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Wenn in den Diskussionen über die Beweisbarkeit der mathematischen Sätze
gesagt wird, es gäbe wesentlich Sätze der Mathematik, deren Wahrheit oder
Falschheit unentschieden bleiben müsse, so bedenken //
wissen // , die es sagen, nicht, dass
solche Sätze,
wenn wir sie gebrauchen können und
“Sätze” nennen wollen, ganz andere Gebilde sind, als was
sonst “Satz” genannt wird: denn der Beweis ändert
die Grammatik des Satzes.
Man kann wohl ein und dasselbe Brett einmal als Windfahne, ein andermal
als Wegweiser verwenden; aber das feststehende nicht als Windfahne und das
bewegliche nicht als Wegweiser.
Wollte jemand sagen “es gibt auch bewegliche Wegweiser”,
so würde ich ihm antworten: “Du willst wohl sagen,
‘es gibt auch bewegliche
Bretter’; und ich
sage nicht, dass das bewegliche Brett unmöglich
irgendwie verwendet werden kann, – nur nicht als
Wegweiser”.
Das Wort “Satz”, wenn es hier überhaupt Bedeutung haben
soll, ist äquivalent einem Kalkül und zwar jedenfalls den, in welchem
p. V .
non-p =
Taut. ist (das “Gesetz des
ausgeschlossenen Dritten” gilt).
Soll es nicht
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gelten, so haben wir den
Begriff des Satzes geändert.
Aber wir haben damit keine Entdeckung gemacht (etwas gefunden, das ein
Satz ist, und dem und dem Gesetz nicht gehorcht); sondern eine neue
Festsetzung getroffen, ein neues Spiel angegeben.