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Es besteht eine Versuchung, die Form der Gleichung
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für die Form von
Tautologien und Kontradiktionen zu halten, und zwar darum, weil es scheint,
als könne man sagen
: ,
x =
x ist selbstverständlich wahr (und)
x = y selbstverständlich
falsch.
Eher noch
–﹖ // kann man natürlich
x = x mit einer Tautologie
vergleichen, als x = y mit einer
Kontradiktion // |
, da ja alle richtigen (und
“sinnvollen” Gleichungen der Mathematik von der Form
x = y sind.
Man könnte x = x eine degenerierte Gleichung
nennen (Ramsey nannte
sehr richtig Tautologien und Kontradiktionen degenerierte Sätze) und zwar
eine richtige degenerierte Gleichung (den Grenzfall einer
Gleichung).
Denn wir gebrauchen Ausdrücke der Form
x = x wie richtige Gleichungen,
wobei wir uns vollkommen bewusst sind,
dass es sich um degenerierte Gleichungen
handelt.
Im gleichen Fall sind Sätze in geometrischen Beweisen, wie etwa:
“der Winkel
ist gleich dem Winkel
, der Winkel ist sich selbst gleich
…”.
Man könnte nun einwenden, dass richtige Gleichungen
der Form x = y auch Tautologien, dagegen
falsche, Kontradiktionen sein müssten, weil man ja die
richtige Gleichung muss beweisen können und das, indem
man die beiden Seiten der Gleichung transformiert, bis eine Identität
x = x herauskäme.
Aber obwohl durch diesen Prozess die erste Gleichung
als richtig erwiesen ist und insofern die Identität
x = x das Endziel der
Transformationen war, so ist sie nicht das Endziel in dem Sinne, als hätte
man durch die Transformationen der Gleichung ihre richtige Form geben
wollen, wie man einen krummen Gegenstand zurechtbiegt, und als habe sie nun
ˇin der Identität diese vollkommene Form
(
endlich) erreicht.
Man kann also nicht sagen: die richtige Gleichung ist ja
eigentlich eine Identität.
Sie ist eben
keine Identität.