Also ist eine hinreichende Bedingung dafür, daß

1 n

+

1 (n + 1)

+ … +

1 (n + r)

≧ 1, die, daß r ≧ 3n ‒ 1. Denke ich mir nun vom Anfang der Reihe 1 +

1 2

+

1 3

+ … solche Abschnitte aneinandergereiht, die gleich oder größer als 1 sind, so reicht der erste dieser Abschnitte von
1 bis 3, der zweite von
4 bis 15, der dritte von
16 bis 63, der m-te bis 4^m ‒ 1.

     Die Summe 1 +

1 2

+

1 3

+ … bis zum 4^mten Gliede ausgedehnt, überschreitet also gewiß m. Also ist
1 +

1 2

+

1 3

+ …

1 4m

˃ (1 +

1 2

+

1 2²

+ …) ∙ (1 +

1 3

+

1 3²

+ …) … (1 +

1 m

+

1 m²

m² + …)
     Also muß unter den ersten 4^m ganzen Zahlen mindestens eine sein, die durch keine der ersten m Zahlen teilbar ist.