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“Aber sind die Übergänge also durch die algebraische Formel
nicht bestimmt?” – In der Frage liegt
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ein Fehler.
Wir verwenden den Ausdruck: “die Übergänge sind
durch die Formel … bestimmt”.
Wie wird er verwendet?
– Wir können etwa davon reden, daß Menschen durch Erziehung (Abrichtung) dahin gebracht werden, die Formel
y = x² so zu verwenden, daß Alle, wenn sie die gleiche
Zahl für x einsetzen, immer die gleiche Zahl durch y
herausrechnen. Oder wir können sagen: “Diese Menschen
sind so abgerichtet, daß sie alle auf den Befehl
| ‘+3
’
auf der gleichen Stufe den gleichen Übergang machen. Wir
könnten dies so ausdrücken: Der Befehl
‘+3
’ bestimmt für diese Menschen jeden Übergang von einer Zahl
zur nächsten völlig.
” (Im Gegensatz zu andern Menschen,
die auf diesen Befehl nicht wissen, was sie zu tun haben;
oder die zwar mit völliger Sicherheit, aber ein jeder in anderer
Weise, auf ihn reagieren.)
Wir können anderseits verschiedene Arten von Formeln, und zu ihnen gehörige verschiedene Arten der Verwendung (verschiedene Arten der Abrichtung) einander entgegensetzen. Wir
nennen dann Formeln einer bestimmten Art (und der dazugehörigen Verwendungsweise) “Formeln,
welche || die eine Zahl y für ein gegebenes x bestimmen”,
und Formeln anderer Art solche, “die die Zahl y für ein
gegebenes x nicht bestimmen”. (y = x² wäre von der ersten
Art, y ≠ x² von der zweiten.) Der Satz “Die Formel …
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bestimmt eine Zahl y” ist dann eine Aussage über die Form
der Formel
; || – und es ist nun
ein Satz zu unterscheiden wie der: || zu unterscheiden ein Satz wie dieser: “
Die Formel, die ich hingeschrieben habe, bestimmt y” oder “Hier steht eine Formel, die
y
| bestimmt
” – von einem Satz
wie: || der Art: “Die Formel y = x² bestimmt die Zahl y für ein gegebenes x”. Die Frage “Steht
dort eine Formel, die y bestimmt?” heißt dann dasselbe wie:
“Steht dort eine Formel dieser Art, oder jener Art?” –
was wir aber mit der Frage anfangen sollen “Ist
y = x² eine Formel, die y für ein gegebenes x bestimmt?”
ist nicht ohne Weiteres klar. Diese Frage könnte man etwa
an eine
n Schüler richten, um zu prüfen, ob er die Verwendung des Wortes “bestimmen” versteht; oder es könnte
eine mathematische Aufgabe sein, in einem bestimmten System
zu beweisen, daß x nur ein Quadrat besitzt.