Wie, soll ich nun annehmen, ist
P bewiesen?
Durch einen Unbeweisbarkeitsbeweis? oder auf eine
andere Weise? Nimm an, durch einen
Unbeweisbarkeitsbeweis. Nun, um zu sehen,
was bewiesen ist, schau auf den Beweis!
Vielleicht ist hier bewiesen, daß die und
die Form des Beweises nicht zu
P führt. – Oder, es sei P auf eine direkte
Art bewiesen – wie ich einmal sagen will –, dann
folgt also der Satz “P ist
unbeweisbar”, und es muß sich nun
zeigen, wie diese Deutung der Symbole von
P mit der Tatsache des
Beweises kollidiert und warum sie hier aufzugeben sei.
Angenommen aber,
~
P sei bewiesen. –
Wie bewiesen? Etwa
dadurch, daß
P direkt bewiesen ist
– denn daraus folgt, daß es
beweisbar ist, also
~
P. Was soll
ich nun aussagen: “P”, oder
“
~
P”?
Warum nicht beides? Wenn mich
jemand fragt: “Was ist
der Fall – P, oder
nicht-P?”, so antworte ich:
“
⊢
P” steht am
Ende eines Russell'schen Beweises, Du schreibst also im
Russell'schen System:
“
⊢
P”;
anderseits ist es aber eben beweisbar und dies
drückt man durch
“
⊢ ~
P”
– 254 –
aus, dieser
Satz aber steht nicht am Ende eines
Russel
l'schen Beweises, gehört also nicht zum
Russell'schen System. – Als die Deutung
“P ist
unbeweisbar” für P gegeben
wurde, da kannte man ja
diesen || den Beweis
für P nicht und man
kann || muß also nicht
sagen
: “P”
sage:
dieser Beweis existierte nicht. – Ist der Beweis
hergestellt || konstruiert, so ist damit eine
neue
Lage geschaffen: Und wir haben nun zu
entscheiden, ob wir
dies einen Beweis
(
noch einen Beweis), oder ob wir
dies noch die Aussage der Unbeweisbarkeit nennen
wollen.
Angenommen
~
P sei direkt bewiesen;
es ist also bewiesen, daß sich
P direkt
beweisen läßt! Das
ist also wieder eine Frage der Deutung – es sei denn,
daß wir nun auch einen direkten Beweis von
P haben.
Wäre es nun so, nun, so wäre es so. –
(Die abergläubische Angst und Verehrung der
Mathematiker vor dem Widerspruch.)