A, als Regel für das algebraische Rechnen, kann n
icht
rekursiv bewiesen werden; das würde man besonders klar sehen, wenn
man den “rekursiven Beweis” als eine Reihe
arithmetischer Ausdrücke hinschriebe.
Denkt man sie sich hingeschrieben (d.h. ein
Reihenstück mit dem
“u.s.w.”), aber ohne
die Absicht irgend etwas zu “beweisen”, und nun fragte
Einer: “beweist dies a + (b + c) =
(a + b) + c?”, so würden wir
erstaunt zurückfragen: “wie kann es denn so was
beweisen? in der Reihe kommen doch nur Ziffern und
keine Buchstaben
vor!” –
Wohl aber könnte man nun sagen: Wenn ich für das
Buch
stabenrechnen
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die Regel A einführe, so kommt dieser Kalkül
dadurch in einem bestimmten Sinn in Einklang mit dem Kalkül der
Kardinalzahlen, wie ich ihn durch das Gesetz der Additionsregeln
(rekursive Definition a + (b + 1) =
(a + b) + 1) festgelegt habe.
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