Definitionen zur Abkürzung:
(
∃x). fx . & . non (
∃x,y). fx & fy ≝ (
εx). fx
(
∃x,y). fx & fy . & . non (
∃x,y,z). fx & fy & fz ≝ (
εx,y). fx & fy u.s.w.
(
εx). fx ≝ (
ε 1x)fx
(
εx,y). fx & fy ≝ (
ε ❘ ❘x)fx ≝ (
ε 2x)fx
u.s.w..
550
584
Man kann zeigen daß
(
Е❘ ❘x)fx & (
Е❘ ❘ ❘x)Fx &
:
⊃ :
(Е❘ ❘ ❘ ❘ ❘x).fx ⌵
Fx
eine Tautologie ist.
Hat man damit den arithmetischen Satz
2 + 3 = 5
demonstriert?
Natürlich nicht.
Man hat auch nicht gezeigt, daß
(Е❘ ❘x).fx & (Е
❘ ❘ ❘x)Fx.Ind..: ⊃ :.(Е
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘x).fx ⌵
Fx
tautologisch ist, denn von einer Summe
“
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘”
war in unseren Definitionen
noch || ja gar keine
Rede.
(Ich werde die Tautologie zur Abkürzung in der Form
“
Е❘ ❘.Е❘ ❘ ❘
. ⊃ .Е❘ ❘ ❘ ❘ ❘”
schreiben.)
Wenn nun die Frage ist, welche Anzahl von Strichen rechts von
“
⊃ ”
bei gegebener linker Seite das Ganze zu einer Tautologie machen, so kann
man diese Zahl finden, man kann auch finden, daß sie
im vorigen Fall
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘
ist, aber genau so gut, daß sie
❘ + ❘ ❘ ❘ ❘ oder
❘ + ❘ ❘ ❘ + ❘ ist, denn sie
ist dies alles.
Man kann aber auch eine Induktion finden, die zeigt,
daß – algebraisch ausgedrückt –
Еn &
Еm.
⊃ .
Е(n + m) tautologisch wird.
Dann habe ich
z.B. ein Recht
ε17.ε28. ⊃ .
ε(17 + 28) als Tautologie
anzusehen.
Aber ist nun dadurch die Gleichung 17 + 28 = 45 gegeben?
Keineswegs! || Durchaus
nicht!
Dies muß ich mir vielmehr nun erst
ausrechnen.
Es hat nun auch Sinn, nach dieser allgemeinen Regel
Е2 &
Е3
⊃ Е5 als Tautologie hinzuschreiben;
wenn ich, (
sozusagen), noch nicht
weiß, was 2 + 3 ergeben wird; denn
2 + 3 hat nur
sofern Sinn, als es noch ausgerechnet werden
muß.
Daher hat die Gleichung
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ =
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ nur dann einen Witz, wenn das
Zeichen “
❘ ❘ ❘ ❘ ❘”
so wiedererkannt wird, wie das Zeichen “5”; nämlich
unabhängig von der Gleichung.