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Man sieht hier vor allem, dass wir
f(1) =
g(1) zu
sehen ist, gleichsam eine bestimmte Astgabelung, –
dass aber diese Gebilde in
verschiedenen Anordnungen, und Verbindungen untereinander,
auftreten, und dass sie nicht in dem Sinne
Konstruktionselemente bilden //
sind // , wie die Paradigmen im Beweis von
a + (b + (c + 1)) =
(a + (b + c)) + 1 oder
(a + b)² = f(n + 1) = F(fn) g(n + 1) = F(gn) 695
a² + 2ab + b². Der Zweck der
“rekursiven Beweise” ist ja, den
algebraischen Kalkül mit dem der Zahlen in Verbindung zu
setzen. Und der Baum der rekursiven Beweise
“rechtfertigt” den algebraischen Kalkül nur,
wenn das heissen soll,
dass er ihn mit dem arithmetischen
in Verbindung bringt. Nicht aber in dem Sinn, in welchem
die Liste der Paradigmen den algebraischen Kalkül,
d.h. die
Uebergänge in ihm,
rechtfertigt. Wenn man also die Paradigmen der Uebergänge tabuliert, so hat das dort Sinn, wo das Interesse darin liegt, zu zeigen, dass die und die Transformationen alle bloss mit Hilfe jener – im übrigen willkürlich gewählten – Uebergangsformen zustande gebracht sind. Nicht aber dort, wo sich die Rechnung in einem andern Sinne rechtfertigen soll, wo also das Anschauen der Rechnung – ganz abgesehen von dem Vergleich mit einer Tabelle vorher festgelegter Normen – uns lehren muss, ob wir sie zulassen sollen oder nicht. Skolem hätte uns also keinen Beweis des assoziativen und kommutativen Gesetzes versprechen brauchen // sollen // , sondern einfach sagen können, er werde uns einen Zusammenhang der Paradigmen der Algebra mit den Rechnungsregeln der Arithmetik zeigen. Aber ist das nicht Wortklauberei? hat er denn nicht die Zahl der Paradigmen reduziert und uns z.B. statt jener beiden Gesetze eines, nämlich a + (b + 1) = (a + b) + 1 gegeben? Nein. Wenn wir z.B. (a + b)⁴ = etc. (r) beweisen, som könnten wir dabei von dem vorher bewiesenen Satz (a + b)² = etc. (s) [g|G]ebrauch machen. Aber in diesem Fall lassen sich die Uebergänge in r, die durch s gerechtfertigt wurden, auch durch jene Regeln rechtfertigen, mit denen s bewiesen wurde. Und es verhält sich dann s zu jenen ersten Regeln, wie ein durch Definition eingeführtes Zeichen zu dem primären Zeichen, mit deren Hilfe es definiert wurde. Man kann die Definition immer auch elliminieren und auf die primären Zeichen übergehen. Wenn wir aber in C einen Uebergang machen, der durch B gerechtfertigt ist, so können wir diesen Uebergang nun nicht auch mit u allein machen. Wir haben eben mit dem, was hier Beweis genannt wird, nicht einen Schritt // Uebergang // in Stufen zerlegt, sondern etwas ganz andres getan. 739 |
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