| | | | | Wie wäre es, wenn man
ausser den Multiplikationsregeln noch
“25 ×
25 = 625” als Regel festsetzen
wollte? (Ich sage nicht
“25 ×
25 = 624”!) –
25 × 25
= 625 hat nur Sinn, wenn die Art der
Rechnung // Ausrechnung //
bekannt ist, die zu dieser Gleichung gehört, und hat nur Sinn
in Bezug auf diese Rechnung. A hat nur Sinn mit Bezug
auf die Art der Ausrechnung von A. Denn
﹖– die erste Frage wäre hier
eben –﹖: ist das eine
Bestimmung // Festsetzung // , oder
ein errechneter Satz? Denn ist
25 × 25
= 625 eine Festsetzung
(Grundregel), dann bedeutet das Multiplikationszeichen
etwas anderes, als es z.B. in Wirklichkeit
bedeutet. (D.h. wir haben es
mit einer andern Rechnungsart zu tun.) Und ist A
eine Festsetzung, dann definiert das die Addition anders, als wenn
es ein errechneter Satz ist. Denn die Festsetzung ist
ja dann eine Erklärung des Additionszeichens und die
Rechenregeln Rechenregel, die A auszurechnen
erlauben, eine
andere Erklärung desselben Zeichens. Ich darf
hier nicht vergessen, dass
u, v,
w nicht der Beweis von A ist,
sondern nur die Form des Beweises, oder des Bewiesenen,
ist; u, v,
w definiert also A.
Darum kann ich nur sagen
“25 ×
25 = 625 wird bewiesen”, wenn die
Beweismethode fixiert ist, unabhängig von dem speziellen
Beweis. Denn 731 diese Methode bestimmt erst
die Bedeutung von “x ∙ y”,
also, was bewiesen wird. Insofern
gehört also die Form aa : b = c zur
Beweismethode, die den Sinn von ċ
erklärt. Etwas anderes ist dann die Frage, ob ich
richtig gerechnet habe. – Und so gehört
u,
v, w zur
Beweismethode, die den Sinn des Satzes A
erklärt. Die Arithmetik ist ohne
eine Regel A vollständig, es fehlt ihr nichts.
Der Satz A wird (nun﹖) mit
Entdeckung einer Periodizität, mit der Konstruktion eines
neuen Kalküls, in die Arithmetik
eingeführt. Die Frage nach der Richtigkeit dieses
Satzes hätte vor dieser Entdeckung (oder Konstruktion)
so wenig Sinn, wie die Frage nach der
Richtigkeit von
“13 = 0,3,
13 = 0,33,
… ad inf.”.
Nun ist die
Festsetzung P verschieden vom Satz
“1 : 3 =
0,3̇
” und in diesem Sinne ist
“a + (b + ċ
)
= (a + b) + ċ
”
verschieden von einer Regel (Festsetzung)
A. Die beiden gehören andern Kalkülen
an. // Der Beweis, die
Rechtfertigung, einer Ersetzungsregel A ist der rekursive Beweis
nur insofern, als er die allgemeine Form der Beweise
arithmetischer Sätze von der Form A ist. // Der Beweis, die Rechtfertigung, einer Regel
A ist der Beweis von u,
v, w
nur insofern, als … //
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