Wie wäre es, wenn man
außer den Multiplikationsregeln noch
“25 ×
25 = 625” als Regel festsetzen
wollte? (Ich sage nicht
“25 ×
25 = 624”!) –
25 × 25
= 625 hat nur Sinn, wenn die Art der
Rechnung || Ausrechnung
bekannt ist, die zu dieser Gleichung gehört, und hat nur Sinn
in Bezug auf diese Rechnung. A hat nur Sinn mit Bezug
auf die Art der Ausrechnung von A. Denn
﹖– die erste Frage wäre hier
eben –﹖: ist das eine
Bestimmung || Festsetzung, oder
ein errechneter Satz? Denn ist
25 × 25
= 625 eine Festsetzung
(Grundregel), dann bedeutet das Multiplikationszeichen
etwas anderes, als es z.B. in Wirklichkeit
bedeutet. (D.h. wir haben es
mit einer andern Rechnungsart zu tun.) Und ist A
eine Festsetzung, dann definiert das die Addition anders, als wenn
es ein errechneter Satz ist. Denn die Festsetzung ist
ja dann eine Erklärung des Additionszeichens und die
Rechenregeln, die A auszurechnen erlauben || Rechenregel, die A auszurechnen erlaubt, eine
andere Erklärung desselben Zeichens. Ich darf
hier nicht vergessen, daß
α, β,
γ nicht der Beweis von A ist,
sondern nur die Form des Beweises, oder des Bewiesenen
ist; α, β,
γ definiert also A.
Darum kann ich nur sagen “25 × 25 = 625 wird bewiesen”, wenn die Beweismethode fixiert ist, unabhängig von dem speziellen Beweis. Denn 731 diese Methode bestimmt erst
die Bedeutung von “x ∙ η”,
also, was bewiesen wird. Insofern
gehört also die Form aa : b = c zur
Beweismethode, die den Sinn von ċ
erklärt. Etwas anderes ist dann die Frage, ob ich
richtig gerechnet habe. – Und so gehört
α,
β, γ zur
Beweismethode, die den Sinn des Satzes A
erklärt. Die Arithmetik ist ohne eine Regel A vollständig, es fehlt ihr nichts. Der Satz A wird (nun﹖) mit Entdeckung einer Periodizität, mit der Konstruktion eines neuen Kalküls, in die Arithmetik eingeführt. Die Frage nach der Richtigkeit dieses Satzes hätte vor dieser Entdeckung (oder Konstruktion) so wenig Sinn, wie die Frage nach der Richtigkeit von “1
Nun ist die Festsetzung P verschieden vom Satz “1 : 3 = 0˙3̇ ” und in diesem Sinne ist “a + (b + ċ ) = (a + b) + ċ ” verschieden von einer Regel (Festsetzung) A. Die beiden gehören andern Kalkülen an. Der Beweis, die Rechtfertigung, einer Ersetzungsregel A ist der rekursive Beweis nur insofern, als er die allgemeine Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist. || Der Beweis, die Rechtfertigung, einer Regel A ist der Beweis von α, β, γ nur insofern, als er die allgemeine Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist. |
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