Man könnte – wie gesagt – den
Induktionsbeweis ganz ohne die Benützung von Buchstaben
(mit voller Strenge) anschreiben. Die rekursive
Definition a + (b + 1) =
(a + b) + 1
müßte dann als Definitionsreihe
geschrieben werden. Diese Reihe verbirgt sich nämlich
in der Erklärung
ihres Gebrauchs. Man
kann natürlich auch der Bequemlichkeit halber die
Buchstaben in der Definition beibehalten,
muß sich aber dann in der Erklärung
auf ein Zeichen der Art
“1,
(1) + 1, ((1) + 1) + 1,
u.s.w.” beziehen; oder, was
auf dasselbe hinausläuft, “
[1,
x,
x + 1
]”.
Hier darf man aber nicht etwa glauben,
daß dieses Zeichen eigentlich lauten sollte
“(x).
[1,
x,
x + 1
]”! –
Der Witz unserer Darstellung ist ja,
daß der Begriff “alle
Zahlen” nur durch eine Struktur der Art
“
[1,
x,
x + 1
]”
gegeben ist. Die Allgemeinheit ist durch diese
Struktur im Symbolismus
dargestellt und
kann nicht durch ein (x).fx
beschrieben werden.
Natürlich ist die sogenannte “rekursive
Definition” keine Definition im hergebrachten Sinne
des
Wortes || Worts,
weil keine Gleichung. Denn die Gleichung
“a + (b + 1) =
(a + b) + 1” ist nur ein Bestandteil
von ihr. Noch ist sie das logische Produkt von
Gleichungen. Sie ist vielmehr ein Gesetz, wonach
Gleichungen gebildet werden; wie
[1, x,
x + 1
]
keine Zahl ist, sondern ein Gesetz etc..
(Das
Überraschende || Verblüffende am Beweis von
a + (b + c) =
(a + b) + c ist ja,
daß er aus einer Definition allein
hervorgehen soll. Aber u ist keine Definition,
sondern eine allgemeine Additionsregel.)
Anderseits ist die Allgemeinheit dieser Regel keine andere, als
die der periodischen Division
.
D.h. es ist in der Regel nichts
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offen gelassen,
ergänzungsbedürftig oder dergleichen.
Und vergessen wir nicht: Das Zeichen
“
[1,
x,
x + 1
]” …N
interessiert uns nicht als ein suggestiver Ausdruck des allgemeinen
Gliedes der Kardinalzahlenreihe, sondern nur, sofern es mit analog
gebauten Zeichen in Gegensatz tritt: N
im Gegensatz zu, etwa,
[2, x,
x + 3
];
kurz als Zeichen, als Instrument, in einem Kalkül.
Und das Gleiche gilt natürlich von
. (Offen gelassen
wird in der Regel nur ihre Anwendung.)