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Das, was
a + (b + 1) =
(a + b) + 1
In diesem Beweis kommt offenbar der bewiesene Satz gar nicht
vor. – Man müsste nur
eine allgemeine Bestimmung machen //
treffen // , die den
Uebergang zu ihm erlaubt.
Diese Bestimmung könnte man so ausdrücken:
a + (b + (c + 1)) = a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1 B (a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1
Wenn 3 Gleichungen von der Form u, v, w bewiesen sind, so sagen wir, es sei “die Gleichung D für alle Kardinalzahlen bewiesen”. Das ist eine Erklärung dieser Ausdrucksform durch die erste. Sie zeigt, dass wir das Wort “beweisen” im zweiten Fall anders gebrauchen als im ersten. Es ist jedenfalls irreführend, zu sagen, wir hätten die Gleichung D oder A bewiesen, und vielleicht besser zu sagen, wir hätten ihre [a|A]llgemeingültigkeit bewiesen, obwohl das wieder in anderer Hinsicht irreführend ist. Hat nun der Beweis B eine Frage beantwortet, eine Behauptung als wahr erwiesen? Ja, welches ist denn der Beweis B: Iist es die Gruppe der 3 Gleichungen von der Form u, v, w, oder die Klasse der Beweise dieser Gleichungen? Diese Gleichungen behaupten ja etwas (und beweisen nichts in dem Sinne, in dem sie bewiesen werden). Die Beweise von u, v, w aber beantworten [w|d]ie Frage, ob diese 3 Gleichungen stimmen, und erweisen die Behauptung als wahr, dass sie stimmen. Ich kann nun erklären: die Frage, ob A für alle Kardinalzahlen gilt, solle bedeuten: “gelten für die Funktionen f(x) = a + (b + x), g(x) = (a + b) + x Gleichungen u, v und w?” Und dann ist diese Frage durch den rekursiven Beweis von A beantwortet, wenn hierunter die Beweise von u, v, w verstan- 700 den werden
(bezw. die Festsetzung von
u und die Beweise von
v und w
mittels u).
Ich kann also sagen, dass der rekursive Beweis ausrechnet, dass die Gleichung A einer gewissen Bedingung genügt; aber es ist nicht eine Bedingung der Art, wie sie etwa die Gleichung (a + b)² = a² + 2ab + b² erfüllen muss, um “richtig” genannt zu werden. Nenne ich A “richtig”, weil sich Gleichungen von der Form u, v, w dafür beweisen lassen, so verwende ich jetzt das Wort “richtig” anders, als im Falle der Gleichungen u, v, w, oder (a + b)² = a² + 2ab + b². Was heisst “1 : 3 = 0,3̇ ”? heisst es dasselbe wie “
“1 : 3 = 0,3̇ ” ist nicht von der Art, wie “1 : 2 = 0,5”; vielmehr entspricht “10 : 2 = 0,5” dem “
Ich will einmal statt der Schreibweise “1 : 4 = 0,25” die adoptieren: “1
dann kann ich sagen, diesem Satz entspricht nicht der: 1 : 3 = 0,3̇ , sondern z.B. der: “1
701 dass die
Division a : b als Quotienten
0,ċ
ergibt,
ist dieselbe wie die: die erste Stelle des Quotienten sei
c und der
erste Rest gleich dem Dividenden.
Nun steht B zur Behauptung, A gelte für alle Kardinalzahlen, im selben Verhältnis, wie
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