Das, was

man
Skolem

den rekursiven Beweis von A nennt, kann man so schreiben:

a + (b + 1) = (a + b) + 1
a + (b + (c + 1)) = a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1 B
(a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1

In diesem Beweis kommt offenbar der bewiesene Satz gar nicht vor. – Man müsste nur eine allgemeine Bestimmung machen // treffen // , die den Uebergang zu ihm erlaubt. Diese Bestimmung könnte man so ausdrücken:

u
v
w

f(1) = g(1)
f(c + 1) = F(f(c))
g(c + 1) = F(g(c))

f(c) = g(c)

Wenn 3 Gleichungen von der Form u, v, w bewiesen sind, so sagen wir, es sei “die Gleichung D für alle Kardinalzahlen bewiesen”. Das ist eine Erklärung dieser Ausdrucksform durch die erste. Sie zeigt, dass wir das Wort “beweisen” im zweiten Fall anders gebrauchen als im ersten. Es ist jedenfalls irreführend, zu sagen, wir hätten die Gleichung D oder A bewiesen, und vielleicht besser zu sagen, wir hätten ihre [a|A]llgemeingültigkeit bewiesen, obwohl das wieder in anderer Hinsicht irreführend ist.
Hat nun der Beweis B eine Frage beantwortet, eine Behauptung als wahr erwiesen? Ja, welches ist denn der Beweis B: Iist es die Gruppe der 3 Gleichungen von der Form u, v, w, oder die Klasse der Beweise dieser Gleichungen? Diese Gleichungen behaupten ja etwas (und beweisen nichts in dem Sinne, in dem sie bewiesen werden). Die Beweise von u, v, w aber beantworten [w|d]ie Frage, ob diese 3 Gleichungen stimmen, und erweisen die Behauptung als wahr, dass sie stimmen. Ich kann nun erklären: die Frage, ob A für alle Kardinalzahlen gilt, solle bedeuten: “gelten für die Funktionen
f(x) = a + (b + x), g(x) = (a + b) + x
Gleichungen u, v und w?” Und dann ist diese Frage durch den rekursiven Beweis von A beantwortet, wenn hierunter die Beweise von u, v, w verstan-

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den werden (bezw. die Festsetzung von u und die Beweise von v und w mittels u).
Ich kann also sagen, dass der rekursive Beweis ausrechnet, dass die Gleichung A einer gewissen Bedingung genügt; aber es ist nicht eine Bedingung der Art, wie sie etwa die Gleichung (a + b)² = a² + 2ab + b² erfüllen muss, um “richtig” genannt zu werden. Nenne ich A “richtig”, weil sich Gleichungen von der Form u, v, w dafür beweisen lassen, so verwende ich jetzt das Wort “richtig” anders, als im Falle der Gleichungen u, v, w, oder (a + b)² = a² + 2ab + b².
Was heisst “1 : 3 = 0,3̇ ”? heisst es dasselbe wie “

1 : 3 = 0,3
1

”? – Oder ist diese Division der Beweis des ersten Satzes? D.h.: steht sie zu ihm im Verhältnis der Ausrechnung zum Bewiesenen?
          “1 : 3 = 0,3̇ ” ist nicht von der Art, wie
           “1 : 2 = 0,5”; vielmehr entspricht

                “1₀ : 2 = 0,5” dem “

1 : 3 = 0˙3
1

” (aber nicht dem “

1 : 3 = 0,3
1

”.)
Ich will einmal statt der Schreibweise “1 : 4 = 0,25” die adoptieren:
“1

-
0

: 4 = 0,25” also z.B. “3

-
-
0

: 8 = 0,375”
dann kann ich sagen, diesem Satz entspricht nicht der: 1 : 3 = 0,3̇ , sondern z.B. der: “1

-
-
1

: 3 = 0,333”. 0,3̇ ist nicht in dem Sinne Resultat (Quotient) der Division, wie 0,357 0,375. Denn die Zahl 0,375 // die Ziffer “0,375” // war uns vor der Division 3 : 8 bekannt; was aber bedeutet “0,3̇ ” losgelöst von der periodischen Division? – Die Behauptung,

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dass die Division a : b als Quotienten 0,ċ ergibt, ist dieselbe wie die: die erste Stelle des Quotienten sei c und der erste Rest gleich dem Dividenden.
Nun steht B zur Behauptung, A gelte für alle Kardinalzahlen, im selben Verhältnis, wie

1 : 3 = 0,3
1

zu 1 : 3 = 0,3̇

(2015–) Wittgenstein Source Bergen Nachlass Edition (WS-BNE). Edited by the Wittgenstein Archives at the University of Bergen under the direction of Alois Pichler. In: Wittgenstein Source, curated by Alois Pichler (2009–) and Joseph Wang-Kathrein (2020–). (N) Bergen: WAB.