Und das Zeichen
“
[0
˙3, 0,x,
0,x3
]” ist kein
Ersatz für eine Extension, sondern das vollwertige Zeichen
selbst; und ebensogut ist
“0
˙3̇
”.
Es sollte uns doch zu denken geben, daß
ein Zeichen der Art “0
˙3̇
”
genügt, um damit zu machen, was wir
brauchen. Es ist kein Ersatz
, und im
Kalkül gibt es keinen Ersatz.
Wenn
man meint, die besondere Eigenschaft der Division
sei ein Anzeichen
für die Periodizität des unendlichen
Dezimalbruchs, oder
der Dezimalbrüche der
Entwicklung,
so heißt das, || so ist das ein Anzeichen
dafür, das etwas
regelmäßig
ist; aber
was? Die Extensio
nen,698
die ich gebildet habe?
Aber andere gibt es ja nicht. Am absurdesten
würde die Redeweise, wenn man sagte: die Eigenschaft der
Division sei ein Anzeigen dafür,
daß das Resultat die Form
[0,a,
0, x,
0, xa
]
habe; das wäre so, als wollte man sagen: eine Division
ist das Anzeichen dafür, daß eine
Zahl herauskommt. Das Zeichen
“0
˙3̇
”
drückt seine Bedeutung nicht von einer
größeren Entfernung aus, als
“0,333 …”, denn dieses
Zeichen gibt eine Extension von drei Gliedern und eine Regel; die
Extension 0,333
ist für unsere Zwecke nebensächlich und so bleibt nur
die Regel, die “
[0
˙3,
0, x,
0, x3
]”
ebensogut gibt. Der Satz “die Division wird nach
der ersten Stelle periodisch”
heißt soviel wie:
“der erste Rest ist gleich dem Dividenden”.
Oder auch: der Satz “die Division wird von der
ersten Stelle an ins Unendliche die gleiche Ziffer
erzeugen”
heißt
“der erste Rest ist gleich dem Dividenden”;
so wie der Satz “dieses Lineal hat einen unendlichen
Radius” heißt, es sei
gerade.