Man faßt die Periodizität eines
Bruches, z.B.
, so auf, als
bestünde || bestehe
sie darin, daß etwas, was
man die Extension des unendlichen Dezimalbruchs nennt,
nur
aus || aus lauter Dreien besteht,
und daß die Gleichheit des Restes dieser
Division mit dem Dividenden nur das
Anzeichen für diese Eigenschaft der
unendlichen Extension sei. Oder aber man korrigiert
diese Meinung dahin, daß nicht eine
unendliche Extension diese Eigenschaft habe, sondern eine
unendliche Reihe
, endlicher Extensionen; und hierfür sei
wieder die Eigenschaft der Division ein Anzeigen. Man
kann nun sagen: die Extension mit
einem Glied
sei 0,3, die mit
2 Gliedern 0,33,
die mit dreien 0,333, u.s.w..
Das ist eine
Regel und das
“u.s.w.” bezieht sich
auf die Regelmäßigkeit, und die Regel
könnte auch geschrieben werden
“
[0
˙3,
0, x,
0, x3
]”.
Das, was aber durch die Division
bewiesen ist,
ist
diese Re
gelmäßigkeit697
im Gegensatz zu einer andern, nicht die
Regelmäßigkeit im Gegensatz zur
Unregelmäßigkeit. Die
periodische Division, also
(im Gegensatz zu
beweist
eine
Periodizität der Quotienten, d.h. sie
bestimmt die Regel (die Periode), legt sie
fest, aber ist nicht ein Anzeichen dafür,
daß eine
Regelmäßigkeit
“vorhanden ist”.
Wo
ist sie denn vorhanden? Etwa in den bestimmten
Entwicklungen, die ich auf diesem Papier gebildet habe.
Aber das sind doch nicht “die
Entwicklungen”. (Hier werden wir
irregeführt von der Idee der nicht aufgeschriebenen,
idealen Extensionen, die ein ähnliches Unding sind, wie die
idealen, nicht gezogenen geometrischen Geraden, die wir gleichsam
nur in der Wirklichkeit nachziehen, wenn wir sie
zeichnen.) Wenn ich sagte “das
‘u.s.w.’ bezieht sich
auf die Regelmäßigkeit”, so
unterschied ich es von dem
‘u.s.w.’ in
“er las alle Buchstaben: a, b, c,
u.s.w.”. Wenn ich
sage: “die Extensionen von
1 : 3 sind
0,3,
0,33,
0,333,
u.s.w.”, so gebe ich
drei Extensionen und – eine Regel.
Unendlich ist nur diese, und zwar in keiner andern Weise, als
die Division
.