Denken wir, es stritten sich Leute
darüber, ob in der Division 1 : 3
lauter Dreier im Quotienten herauskommen
müßten; sie hätten aber keine
Methode,
wie dies zu entscheiden sei ||
um dies zu entscheiden. Nun
bemerkt Einer von ihnen die induktive Eigenschaft von
und sagt: jetzt
weiß ich's, es müssen lauter 3
im Quotient
en stehen. Die Andern hatten
an
diese Art
der Entscheidung nicht
gedacht. Ich nehme an, es habe ihnen unklar etwas von
einer Entscheidung durch
stufenweise Kontrolle
vorgeschwebt, und daß sie diese
Entscheidung freilich nicht herbeiführen könnten.
Halten sie nun an ihrer extensiven Auffassung fest, so ist
allerdings durch die Induktion
689
eine Entscheidung herbeigeführt,
denn die Induktion zeigt für jede Extension des Quotienten,
daß sie aus lauter 3 besteht.
Lassen sie aber die extensive Auffassung fallen, so entscheidet
die Induktion nichts. Oder nur das, was die Ausrechnung
von
entscheidet: nämlich,
daß ein Rest bleibt, der gleich dem
Dividenden ist. Aber mehr nicht. Und nun kann es
allerdings eine richtige Frage geben, nämlich: ist
der Rest, der bei dieser Division bleibt, gleich dem
Dividenden? und diese Frage ist jetzt an die Stelle der
alten extensiven getreten und ich kann
natürlich den alten Wortlaut beibehalten, aber er ist
jetzt außerordentlich irreleitend, denn
sie || er läßt es immer
so erscheinen, als wäre die Erkenntnis der Induktion nur ein
Vehikel, das uns in die Unendlichkeit tragen kann. (Das
hängt auch damit zusammen, daß
das Zeichen “u.s.w.”
sich auf eine interne Eigenschaft des Reihenstückes,
das ihm vorhergeht, bezieht und nicht auf seine Extension.)
Die Frage “gibt es eine rationale Zahl,
die die Wurzel von x² + 3x + 1 = 0
ist” ist freilich durch eine Induktion
entschieden
, || : – aber hier habe ich eben
eine Methode
konstruiert, um Induktionen zu
bilden; und die Frage hat ihren Wortlaut nur, weil es
sich um eine Konstruktion von Induktionen handelt.
D.h. die Frage wird durch eine Induktion
entschieden, wenn ich nach dieser Induktion fragen konnte.
Wenn mir also ihr Zeichen von vornherein auf ja und nein
bestimmt war, so daß ich rechnerisch zwischen
ihnen entscheiden konnte, wie z.B., ob
der Rest in 5 :
7 gleich oder ungleich dem Dividenden sein wird.
(Die Verwendung der Ausdrücke “alle
…” und “es gibt …”
für diese Fälle hat eine gewisse
Ähnlichkeit mit der Verwendung des
Wortes “unendlich” im Satz “heute habe
ich ein Lineal mit unendlichem Krümmungsradius
gekauft”.)