Die
Gleichungen: 3 + 2 = 5 + 1,
3 ×
(a + 1) = (3 × a) + 3,
(5 + b) + 3 =
5 + (b + 3) im Gegensatz also etwa zu
3 + 2 =
5 + 6, 3
× (a + 1) = (4 ×
a) + 2, etc.. Aber dieses
Gegenteil entspricht ja nicht dem Satz
(
∃x).fx. – Ferner ist nun mit jener Induktion im
Gegensatz jeder Satz von der Form
non-f(n),
nämlich || d.h.
der Satz “non-f(2)”,
“non-f(3)”,
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u.s.w.;
d.h. die Induktion ist
das
Gemeinsame in
der Ausrechnung || den
Ausrechnungen von f(2),
f(3),
u.s.w.; aber sie ist nicht die
Ausrechnung “aller Sätze der Form
f(n)”, da ja
nicht eine Klasse von Sätzen in dem Beweis vorkommt, die ich
“alle Sätze der Form f(n)”
nenne. Jede einzelne nun von diesen Ausrechnungen
ist die Kontrolle eines Satzes von der Form
f(n). Ich
konnte nach der Richtigkeit dieses Satzes fragen und eine Methode
zu ihrer Kontrolle anwenden, die durch die Induktion nur auf eine
einfache Form gebracht war. Nenne ich aber die Induktion
“den Beweis eines allgemeinen Satzes”, so kann
ich nach der Richtigkeit dieses Satzes nicht fragen
(sowenig, wie nach der Richtigkeit der Form der
Kardinalzahlen). Denn, was ich Induktionsbeweis
nenne, gibt mir keine Methode zur
Prüfung, ob
der allgemeine Satz richtig oder falsch ist; diese Methode
müßte mich vielmehr lehren,
auszurechnen (zu prüfen), ob sich für einen bestimmten
Fall eines Systems von Sätzen eine Induktion bilden
läßt, oder nicht. (Was
so geprüft wird, ist, ob alle n die oder jene Eigenschaft
haben, wenn ich so sagen darf; aber nicht, ob alle sie haben,
oder ob es einige gibt, die sie nicht haben. Wir rechnen
z.B. aus, daß
die Gleichung
x²
+ 3x + 1 = 0 keine rationalen
Lösungen hat (daß es keine rationale
Zahl gibt, die …) und nicht die Gleichung
x²
+ 2x +
¤, dagegen die Gleichung
x²
+ 2x + 1 = 0,
etc..)