Nehmen wir an, wir würfen
mit einer Münze “Kopf und Adler” und teilen
nun eine Strecke AB nach folgender Regel:
“Kopf” sagt:
nimm die linke
Hälfte und teile sie, wie der nächste Wurf
vorschreibt. “Adler”
sagt: nimm die rechte Hälfte etc..
Durch fortgesetztes Würfeln erzeuge ich dann Schnittpunkte,
die sich in einem immer kleineren Interval
l
bewegen. Beschreibt es nun die Lage eines
Punktes, wenn ich sage, es solle der sein, dem sich bei
fortgesetztem Würfeln die Schnitte unendlich
nähern? Hier glaubt man etwa einen Punkt bestimmt zu
haben, der einer regellosen unendlichen Dezimalzahl
entspricht. Aber die
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Beschreibung bestimmt doch
ausdrücklich: keinen Punkt; es sei denn,
daß man sagt, daß
die Worte “Punkt auf dieser Strecke” auch
“einen Punkt bestimmen”. Wir
verwechseln hier die Vorschrift des Würfelns mit der
mathematischen Vorschrift, etwa Dezimalstellen der
√2 zu erzeugen.
Diese mathematischen Vorschriften
sind die
Punkte. D.h., es lassen sich
zwischen diesen Vorschriften Beziehungen
finden,
die in ihrer Grammatik den Beziehungen
“größer” und
“kleiner” zwischen zwei Strecken analog sind und
daher mit diesen Worten bezeichnet werden. Die
Vorschrift, Stellen der √2 auszurechnen, ist das
Zahlzeichen der irrationalen Zahl selbst; und ich rede hier von
einer “Zahl”, weil ich mit diesen Zeichen
(gewissen Vorschriften zur Bildung von Rationalzahlen)
ähnlich rechnen kann, wie mit den Rationalzahlen
selbst. Will ich also analog sagen, die Vorschrift des
endlosen Halbierens nach Kopf und Adler bestimme einen Punkt, eine
Zahl, so müßte das
heißen, daß diese
Vorschrift als Zahlzeichen, d.h. analog andern
Zahlzeichen, gebraucht werden kann. Das ist aber
natürlich nicht der Fall. Sollte diese
Vorschrift einem Zahlzeichen entsprechen, so höchstens
(sehr entfernt) dem unbestimmten Zahlwort
“einige”, denn sie tut nichts, als eine Zahl offen
zu lassen. Mit einem Wort, ihr entspricht nichts
anderes, als das ursprüngliche Interval
l
AB.