“Alle Zahlen können
nicht
zufällig eine Eigenschaft
P besitzen; sondern nur ihrem
Wesen (als Zahlen) nach. || Wesen nach.” – Der Satz
“die Menschen, welche rote Nasen haben, sind
gutmütig” hat auch dann nicht denselben Sinn wie der
Satz “die Menschen, welche Wein trinken, sind
gutmütig”, wenn die Menschen, welche rote Nasen
haben, eben die sind, die Wein trinken. Dagegen:
wenn die Zahlen m, n, o der Umfang eines
mathematischen Begriffs sind, so daß
also fm
& fn & fo der Fall ist, dann hat
der Satz, welcher sagt,
daß die Zahlen, die
f befriedigen, die
Eigenschaft P haben, den gleichen Sinn wie
“
ε(m)
&
ε(n) &
ε(o)”.
Denn die beiden Sätze
“f(m) & f(n) &
f(o)” und
“
ε(m)
&
ε(n) &
ε(o)” lassen
sich, ohne daß wir dabei den Bereich der
Grammatik verlassen, in einander umformen.
Sehen wir uns nun den Satz an: “alle
n Zahlen, welche der
Bedingung F(x)
genügen, haben zufälligerweise die Eigenschaft
P.” Da kommt
es drauf an, ob die Bedingung F(x)
eine mathematische ist. Ist sie das, nun dann
kann ich ja aus F(x)
ε(x)
ableiten, wenn auch über die Disjunktion der
n Werte von
F(x).
(Denn hier gibt es eben eine Disjunktion.) Hier
werde ich
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also nicht von einem Zufall
reden. – Ist die Bedingung eine
nicht-mathematische, so wird man dagegen vom Zufall reden
können. Z.B. wenn ich
sage: alle Zahlen, die ich heute auf den Omnibussen gelesen
habe, waren zufällig Primzahlen. (Dagegen kann
man natürlich nicht sagen: “die Zahlen 17, 3,
5, 31, sind zufällig Primzahlen”, ebensowenig
wie: “die Zahl 3 ist zufällig eine
Primzahl”.) “Zufällig”
ist wohl der Gegensatz von “allgemein
ableitbar”; aber man kann sagen: der Satz
“17, 3, 5, 31 sind Primzahlen” ist allgemein
ableitbar – so sonderbar das klingt –, wie auch der Satz
2 + 3 =
5.
Sehen wir nun zu unserm
ersten Satz zurück, so fragen wir wieder: Wie soll
denn der Satz “alle Zahlen haben die Eigenschaft
P” gemeint
sein? wie soll man ihn denn wissen können? denn
diese Festsetzung gehört ja zur Festsetzung seines
Sinnes! Das Wort “zufällig” deutet
doch auf eine Verifikation durch
su
kzessive Versuche und dem
widerspricht, daß wir nicht von einer
endlichen Zahlenreihe reden.