(Wenn wir statt “(
∃'x) &
(
∃'x)
⊃
(
∃'x,y)” schrieben:
“(
∃'x) &
(
∃'x)
⊃ (
∃'x +
x)”, so hätte das keinen Sinn; es sei
denn, daß die Notation von vornherein
nicht
ι)
“(
∃'x)
etc.”, “(
∃'x,y)
etc.”,
“(
∃'x,y,z)
etc.” lautet, sondern:
κ) “(
∃'x)
etc.”, “(
∃'x +
x) etc.”,
“(
∃'x + x +
x) etc.”.
Denn warum sollten wir plötzlich statt
“(
∃'x,y)
& (
∃'x)
⊃
(
∃'x,y,z)”
schreiben: “(
∃'x,y)
& (
∃'x)
⊃ (
∃' xy
+ x)”? das wäre nur eine
Verwirrung der Notation. – Nun sagt man:
Es vereinfacht doch das Hinschreiben der Tautologie sehr,
wenn man in der rechten Klammer gleich die
Ausdrü
cke der beiden
linken hinschreiben kann. Aber diese Schreibweise ist ja
noch gar nicht erklärt; ich weiß ja
nicht, was (
∃' xy +
x) bedeutet, daß
nämlich (
∃' xy
+ x) = (
∃'x,y,z)
ist.
Wenn man aber von vornherein die
Notation “(
∃'x)”,
“(
∃' x +
x)”,
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“(
∃' x + x +
x)”, so hätte vorerst nur der Ausdruck
“(
∃' x + x + x
+ x)”, Sinn, aber nicht
“(
∃'
(x + x) + (x + x))”.
Die Notation
κ ist
auf einer Stufe mit || im
gleichen Fall wie ι.
Daß ||
Ob sich in der Form
δ eine Tautologie ergibt, kann man
etwa kurz durch das Ziehen von Verbindungslinien kalkulieren,
also
(
Еx,y) &
(
Еx,y)
⊃ (
Еx,y,z,u) und analog
(
Еx + x)
& (
Еx + x)
⊃ (
Еx + x + x +
x).
Die
Bögen || Verbindungslinien
entsprechen
nur der Regel, die in jedem Fall für die
Kontrolle der Tautologie gegeben sein
muß. Von einer Addition ist
hier noch keine Rede. Die tritt erst ein, wenn ich mich
entschließe –
z.B. – statt
“x, y, z, u”
“xy + xy” zu
schreiben, und zwar in Verbindung mit einem Kalkül, der nach
Regeln die Ableitung einer Ersetzungsregel
“xy + xy = xyzu”
erlaubt. Addition liegt auch dann nicht vor, wenn ich
in der Notation
κ
schreibe “(
∃'x)
& (
∃'x)
⊃ (
∃'
x + x)”, sondern erst, wenn ich zwischen
“x + x” und
“(x) +
(x)” unterscheide und schreibe:
(x) + (x) = (x +
x).