| | Wenn man sagt, es wäre
möglich, mit Hilfe der Tautologie
(En2x).fx
& (En3x).Fx & Ind.
.C. (En5x). fx
⌵ Fx …A) zu addieren, so wäre das
folgendermassen zu verstehen:
Zuerst ist es möglich, nach gewissen Regeln
herauszufinden, dass (Enx).fx & (Enx).Fx & Ind. .C. (Enx,y): fx ⌵ Fx . & . fy V Fy tautologisch ist. (Enx).fx ist eine Abkürzung für (Ex).fx & non(Ex,y). fx & fy. Ich werde ferner Tautologien der Art A zur Abkürzung so schreiben: (E' So geht also aus den Regeln hervor, dass (E'x) & (E'x) C (E'x,y), (E'x,y) & (E'x) C (E'x,y,z) und andere Tautologien. Ich sch[f|r]eibe “und andere” und nicht “u.s.w. ad inf., weil man mit diesem Begriff noch 593 Unser
Kalkül braucht überhaupt noch nichts von der
Bildun[b|g] einer Reihe
‘(E'x)’,
‘(E'x,y)’,
‘(E'x,y,z)’,
etc. zu wissen, sondern kann einfach
einige, etwa 3, dieser Zeichen einführen, ohne das
“u.s.w.”. Wir
können nun einen Kalkül mit einer endlichen Reihe von
Zeichen einführen, indem wir eine Reihenfolge gewisser Zeichen
festsetzen, etwan die der Buchstaben des
Alphabets, und schreiben: (E'a) & (E'a) C (E'a,b), (E'a,b) & (E'a) C (E'a,b,c), (E'a,b) & (E'a,b) C (E'a,b,c,d), u.s.w. bis zum z. Die rechte Seite (rechts vom “C”) kann man dann aus der linken durch einen Kalkül der Art finden:
Dieser Kalkül ergäbe sich aus den Regeln zur Bildung der Tautologien als eine Vereinfachung. – Dieses Gesetz der Bildung eines Reihenstückes aus zwei andern vorausgesetzt, kann ich für das erste nun die Bezeichnung “Summe der beiden andern” einführen und also definieren: a + a ≝ ab a + ab ≝ abc u.s.w. bis z. Hätte man an einigen Beispielen die Regel des Kalküls B erklärt, so könnte man auch diese Definitionen als Spezialfälle einer allgemeinen Regel betrachten und nun Aufgaben stellen von der Art: “abc + ab = ?”. Es liegt nun nahe, die Tautologie s) (E'a,b) & (E'a,b) C (E'a,b,c,d) mit der Gleichung t) ab + ab = abcd zu verwechseln. – Aber diese ist eine Ersetzungsregel, jene ist keine Regel, sondern eben eine Tautologie. Das Zeichen “C” in s entspricht in keiner Weise dem “ = ” in t. Man vergisst, dass das Zeichen “C” in s ja nicht sagt, dass die 594 beiden Zeichen
rechts und links von ihm eine Tautologie ergeben.
Dagegen könnte man einen Kalkül konstruieren, in welchem die Gleichung x + y = z als eine Transformation erhalten wird (aus﹖) der Gleichung: u) (E'x) & (E'y) C (E'z) = Taut.. So, dass ich also sozusagen z = x + y erhalte, wenn ich z aus der Gleichung u herausrechne. |