Wenn man sagt, es wäre
möglich, mit Hilfe der Tautologie
(
∃n2x).fx
& (
∃n3x).Fx & Ind.
.
⊃ . (
∃n5x). fx
⌵ Fx …A) zu addieren, so wäre das
folgendermaßen zu verstehen:
Zuerst ist es möglich, nach gewissen Regeln
herauszufinden, daß
(
∃nx).fx
& (
∃nx).Fx & Ind.
.
⊃ . (
∃nx,y): fx
⌵ Fx . & . fy
⌵ Fy
tautologisch ist. (
∃nx).fx
ist eine Abkürzung für
(
∃x).fx &
~(
∃x,y). fx & fy. Ich werde
ferner Tautologien der Art A zur
Abkürzung so schreiben: (
∃'
) & (
∃)
⊃ (
∃'
)
So geht also aus den Regeln hervor,
daß (
∃'x)
& (
∃'x)
⊃
(
∃'x,y),
(
∃'x,y) &
(
∃'x)
⊃ (
Еx,y,z)
und andere Tautologien. Ich sch
reibe
“und andere” und nicht
“u.s.w. ad
inf.
”, weil man mit diesem
Begriff noch
nicht operieren muß. 593
Unser
Kalkül braucht überhaupt noch nichts von der
Bildun
g einer Reihe
‘(
∃'x)’,
‘(
∃'x,y)’,
‘(
∃'x,y,z)’,
etc. zu wissen, sondern kann einfach
einige, etwa 3, dieser Zeichen einführen, ohne das
“u.s.w.”. Wir
können nun einen Kalkül mit einer endlichen Reihe von
Zeichen einführen, indem wir eine Reihenfolge gewisser Zeichen
festsetzen, etwa die der Buchstaben des
Alphabets, und schreiben:
(
∃'a) &
(
∃'a)
⊃
(
∃'a,b),
(
∃'a,b) &
(
∃'a)
⊃
(
∃'a,b,c),
(
∃'a,b) &
(
∃'a,b)
⊃
(
∃'a,b,c,d),
u.s.w. bis zum z.
Die rechte Seite (rechts vom
“
⊃ ”) kann
man dann aus der linken durch einen Kalkül der Art
finden:
a b c d e f . . . . . z
a b - - -
- - a b c B)
a b c d e |
Dieser Kalkül
ergäbe sich aus den Regeln zur Bildung der Tautologien als
eine Vereinfachung. – Dieses Gesetz der Bildung eines
Reihenstückes aus zwei andern vorausgesetzt, kann ich für
das erste nun die Bezeichnung “Summe der beiden
andern” einführen und also definieren:
a + a ≝ ab
a + ab ≝ abc
u.s.w. bis z.
Hätte man an einigen
Beispielen die Regel des Kalküls B erklärt, so
könnte man auch diese Definitionen als Spezialfälle einer
allgemeinen Regel betrachten und nun Aufgaben stellen von der
Art: “abc + ab =
?”.
Es liegt nun nahe, die
Tautologie
α)
(
∃'a,b) &
(
∃'a,b)
⊃
(
∃'a,b,c,d) mit der Gleichung
β) ab + ab =
abcd zu
verwechseln. – Aber diese ist eine
Ersetzungsregel, jene ist keine Regel, sondern eben eine
Tautologie. Das Zeichen
“
⊃ ” in
α
entspricht in keiner Weise dem
“ = ” in
β.
Man vergißt,
daß das Zeichen
“
⊃ ” in
α ja
nicht sagt, daß die
594
beiden Zeichen
rechts und links von ihm eine Tautologie ergeben.
Dagegen könnte man einen Kalkül
konstruieren, in welchem die Gleichung
x +
η =
ζ als
eine Transformation erhalten wird
(aus
﹖) der Gleichung:
γ)
(
∃'x) &
(
∃'y)
⊃ (
∃'z) =
Taut.
¤ So,
daß ich also sozusagen
ζ =
x +
η
erhalte, wenn ich
ζ aus der
Gleichung
γ
herausrechne.