Will man
den Satz “unter
f und
F fallen
gleichviele Gegenstände” in
übersichtlicher Notation schreiben, so ist man vor allem
versucht, ihn in der Form
“fn &
Fn”
zu
schreiben. Und ferner empfindet man das nicht
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als logisches Produkt von
fn und
Fn, so
daß es also auch Sinn hätte zu
schreiben fn &
F5 – sondern es ist wesentlich,
daß nach
‘f’
und ‘F’
der gleiche Buchstabe folgt und fn
& Fn ist eine Abstraktion
aus logischen Produkten f4
& F4,
f5 &
F5, etc., nicht
selbst ein logisches Produkt.
(Es
würde also auch nicht aus fn
& Fn
fn
folgen. ‘fn
& Fn’
verhält sich vielmehr zu einem logischen Produkt
ähnlich wie der Differenzialquot
ient zu
einem Quotienten.) Es ist so wenig ein Logisches
Produkt, wie die Photographie einer Familiengruppe eine Gruppe von
Photographien ist. Darum kann uns also die Form
“fn &
Fn” irreführen und es
wäre vielleicht eine Schreibweise der Art
“
” vorzuziehen; aber auch
“(
∃n).
fn &
Fn”, wenn die Grammatik
dieses Zeichens festgelegt ist. Man kann dann
festlegen: (
∃n). fn =
Taut., was soviel
heißt wie (
∃n).
fn & p = p.
Also (
∃n).
fn
⌵ Fn =
Taut., (
∃n).
fn
⊃ Fn =
Taut., (
∃n).
fn
❘
Fn = Cont.,
etc..
f1 &
F1 & (
∃n).
φn &
ψn =
f1 & (
∃n).
φn &
ψn
f2 &
F2 & (
∃n).
φn &
ψn =
f2 & (
∃n).
φn &
ψn
etc. ad inf..
Und
überhaupt sind die Rechnungsregeln für
(
∃n).
φn &
ψn daraus abzuleiten,
daß man schreiben kann:
(
∃n).
φn &
ψn =
f0 & F0
.
⌵ . f1 &
F1 .
⌵ .
f2 &
F2
u.s.w. ad inf..
Es ist klar, daß dies keine logische Summe
ist, da “u.s.w. ad
inf.” kein Satz ist. Die Notation
(
∃n).
φn &
ψn ist aber auch nicht
unmißverständlich; denn man
könnte sich wundern, warum man hier statt
φn &
ψn nicht
Φn sollte
setzen können und dann sollte ja
“(
∃n).
Φn” nichtssagend
werden. Das klärt sich natürlich auf, wenn man
auf die Notation
~(
∃x).
φx für
f0,
(
∃x).
φx &
~(
∃x,y).
φx &
φy für
f1,
etc. zurückgeht, beziehungsweise auf
(
∃n0x).
φx
für f0,
(
∃n1x).
φx
für f1,
etc.. Denn dann ist zu unterscheiden
zwischen (
∃n1x).
φx
&
(
∃n1x).
ψx
und (
∃n1x).
φx
&
ψx. Und geht
man auf
(
∃n).
φn &
ψn über, so bedeutet das
(
∃n):(
∃nnx).
φx
&
(
∃nnx).
ψx
(welches nicht nichtssagend ist) und nicht
(
∃n):(
∃nnx).
φx
&
ψx, welches nichtssagend
ist.