(∃x):aRx & xRb
     (∃x,y):aRx & xRy & yRb
     (∃x,y,z):aRx & xRy & yRz & zRb u.s.f.
kann man sehr wohl so ausdrücken:
“es gibt ein Glied zwischen a und b”
“es gibt zwei Glieder zwischen a und b”
u.s.w.
und kann das etwa Schreiben (∃1x).aRxRb, (∃2x). aRxRb, etc.. Es ist aber klar, daß zum Verständnis dieser Ausdrücke die obere Erklärung nötig ist, weil man sonst nach Analogie von (∃2x). fx = (∃x,y)fx & fy glauben könnte (∃2x). aRxRb sei gleichbedeutend einem Ausdruck
(∃x,y).aRxRb & aRyRb.
     Ich könnte natürlich auch statt “(∃x,y).F(x,y)” schreiben “(∃2x,y).F(x,y)”. Aber die Frage wäre nun: was habe ich dann unter “(∃3x,y).F(x,y)” zu verstehen? Aber hier läßt sich eine Regel geben; und zwar brauchen wir eine, die uns in der Zahlenreihe beliebig weiterführt. Z.B. die:
(∃3 x,y).F(x,y) = (∃x,y,z): F(x,y) & F(x,z) & F(y,z)
(∃4 x,y).F(x,y) = (∃x,y,z,u): F(x,y) & F(x,z) & … es folgen die Kombinationen zu zwei Elementen. U.s.f.. Es könnte aber auch definiert werden: (∃3 x,y).F(x,y) = (∃x,y,z).F(x,y) & F(y,x) & F(x,z) & F(z,x) & F(y,z) & F(z,y) u.s.f.. “(∃3x).F(x,y)” entspräche etwa dem Satz der Wortsprache “F(x,y) wird von 3 Dingen befriedigt” und auch dieser Satz bedürfte einer Erklärung um eindeutig zu werden.
     Soll ich sagen, daß in den || diesen verschiedenen Fällen das Zeichen “3” eine andere || verschiedene Bedeutung hat? Drückt nicht vielmehr das Zeichen “3” das aus, was den verschiedenen Interpretationen gemeinsam ist? Warum hätte ich es sonst gewählt. Es gelten ja auch die gleichen Regeln von dem Zeichen “3” in dieser wie || und in jener Verwendung || in jedem dieser Zusammenhänge. Es ist nach wie vor durch 2 + 1 zu ersetzen; etc.. Allerdings aber ist ein Satz nach dem Vorbild von
Е❘ ❘ & Е❘ ❘ ❘ ⊃ Е❘ ❘ ❘ ❘ ❘ nun keine Tautologie. Zwei Menschen, die miteinander in Frieden leben und drei weitere Menschen, die miteinander in Frieden leben geben nicht fünf Menschen, die miteinander in Frieden leben. Aber das heißt nicht, daß nun 2 + 3 nicht 5 ist. Vielmehr läßt sich die Addition nur nicht so anwenden.
     Mit andern Worten die Zeichen von der Form (∃1 x,y).F(x,y), (∃2 x,y).F(x,y), etc. haben die Multiplizität der Kardinalzahlen, wie die Zeichen (∃1x). fx, (∃2x). fx, etc. und wie auch die Zeichen (Е1x). fx, (Е2x). fx, etc..