Definitionen zur
Abkürzung:
(
∃x). fx . & . non (
∃x,y). fx & fy ≝ (
εx). fx
(
∃x,y). fx & fy . & . non (
∃x,y,z). fx & fy & fz ≝ (
εx,y). fx & fy u.s.w.
(
εx). fx ≝ (
ε 1x)fx
(
εx,y). fx & fy ≝ (
ε ❘ ❘x)fx ≝ (
ε 2x)fx
u.s.w..
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Man kann zeigen daß
(
Е❘ ❘x)fx & (
Е❘ ❘ ❘x)Fx &
:
⊃ :
(Е❘ ❘ ❘ ❘ ❘x).fx ⌵
Fx
eine Tautologie ist.
Hat man damit den arithmetischen
Satz 2 + 3 =
5 demonstriert? Natürlich
nicht. Man hat auch nicht gezeigt,
daß
(ε❘ ❘x)φx.(ε❘ ❘ ❘x) ψx
.Ind.: ⊃ :(ε
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘x).φx & ψx
tautologisch ist, denn von einer Summe
“
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘”
war in unseren Definitionen
noch || ja gar
keine Rede. (Ich werde die Tautologie zur
Abkürzung in der Form
“
ε❘ ❘.ε❘ ❘ ❘
⊃ ε❘ ❘ ❘ ❘ ❘”
schreiben.) Wenn nun die Frage ist, welche Anzahl von
Strichen rechts von “
⊃ ” bei
gegebener linker Seite das Ganze zu einer Tautologie machen, so
kann man diese Zahl finden, man kann auch finden,
daß sie im vorigen Fall
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘
ist, aber genau so gut, daß sie
❘ + ❘ ❘ ❘ ❘
oder
❘ + ❘ ❘ ❘ + ❘
ist, denn sie ist dies alles. Man kann aber auch eine
Induktion finden, die zeigt, daß –
algebraisch ausgedrückt –
εn.
εm. ⊃ .ε(n + m)
tautologisch wird. Dann habe ich z.B.
ein Recht
ε17.ε28. ⊃ .
ε(17 + 28) als Tautologie
anzusehen. Aber ist nun dadurch die Gleichung
17 + 28 =
45 gegeben?
Keineswegs! || Durchaus
nicht! Dies muß ich mir
vielmehr nun erst ausrechnen. Es hat nun auch Sinn, nach
dieser allgemeinen Regel
ε2.ε3. ⊃ .ε5
als Tautologie hinzuschreiben; wenn ich,
(
sozusagen), noch nicht
weiß, was
2 + 3 ergeben
wird; denn
2 + 3 hat
nur sofern Sinn, als es noch ausgerechnet werden
muß.
Daher hat
die Gleichung
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ =
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ nur dann einen Witz, wenn
das Zeichen “
❘ ❘ ❘ ❘ ❘”
so wiedererkannt wird, wie das Zeichen “5”;
nämlich unabhängig von der Gleichung.