Die Bedingung unter der ein Teil der Reihe 1 +

1
2

1
3

+ …, etwa

1
n

1
(n + 1)

1
(n + 2)

+ … +

1
(n + r)

, gleich oder grösser als 1 wird, ist folgende:
Es soll werden:

1
n

1
(n + 1)

1
(n + 2)

+ … +

1
(n + r)

gleich oder [klei|grös]ser 1.
Formen wir die linke Seite um in:
(1 + n/(n + 1) + n/(n + 2) + … n/(n + r))/n = (1 + (1 ‒ [ ‒ |1]/[1|(]n + 1)) + (1 ‒ 2/(n + 2)) + …(1 ‒ (n ‒ 1)/(n + (n ‒ 1))) + n/2n + n/(2n + 1) + n/[2|(]2n + 2) + … + n/(n + r))/n [ = |1] (n ‒

1
2

n(n ‒ 1) ∙ 1/(n + 1) + (r ‒ n + 1) ∙ n/(n + r))/n = 1 ‒ (n ‒ 1[/|)][(|/](2n + 2) + (r ‒ n + 1)/(n + r) gleich oder grösser 1
Daher: 2nr + 2r ‒ 2n² ‒ 2n + 2n + 2 ‒ n² ‒ nr + n + r = oder grösser 0
nr + 3r ‒ 3n² + 2 + n = oder grösser 0
r = oder grösser

(3n² ‒ (n + 2))
(n + 3)

kleiner als 3n ‒ 1

Also ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass

1
n

1
(n + 1)

+ … +

1
(n + r)

= oder grösser 1, die, dass r = oder grösser 3n ‒ 1. Denke ich mir nun vom Anfang der Reihe 1 +

1
2

1
3

+ … solche Abschnitte aneinandergereiht, die gleich oder grösser als 1 sind, so reicht der erste dieser Absch[j|n]itte von
1 bis 3, der zweite von
4 bis 15, der dritte von
16 bis 63, der m-te bis 4^m ‒ 1.
Die Summe 1 +

1
2

1
3

+ … bis zum 4^mten Gliede ausgedehnt, überschreitet also gewiss m. Also ist
1 +

1
2

1
3

+ …

1
4^m

grösser als (1 +

1
2

1
2²

+ …) ∙ (1 +

1
3

1
3²

+ …) … (1 +

1
m

1
m²

+ …)
Also muss unter den ersten 4^mten ganzen Zahlen mindestens eine sein, die durch keine der ersten m Zahlen teilbar ist.

(2015–) Wittgenstein Source Bergen Nachlass Edition (WS-BNE). Edited by the Wittgenstein Archives at the University of Bergen under the direction of Alois Pichler. In: Wittgenstein Source, curated by Alois Pichler (2009–) and Joseph Wang-Kathrein (2020–). (N) Bergen: WAB.