non 1 +
+
+ … = (1 +
+
+ …) × (1 +
+
+ …) das Argument
läuft so: Das rechte Produkt ist eine Reihe
von Brüchen
646
¤ in deren Nenner
alle Kombinationen 2
n3
m vorkommen; wären
das alle Zahlen, so müßte diese Reihe
die gleiche sein, wie die 1 +
+
…
und dann müßten auch die Summen gleich
sein. Die linke ist aber unendlich und die
rechte nur eine endliche Zahl
× = 3, also
fehlen in der rechten Reihe unendlich viele Brüche,
d.h.
es gibt in der rechten
Reihe Brüche, die in der linken nicht vorkommen. Und
nun handelt es sich darum: ist dieses Argument
richtig? Wenn es sich hier um endliche Reihen
handelte, so wäre alles
klar || durchsichtig.
Denn dann könnte man aus der Methode der Summation eben
herausfinden, welche Glieder der linken Reihe auf die rechte Reihe
fehlen. Man könnte
nur || nun
fragen: wie kommt es, daß die rechte
Reihe unendlich gib
t, was
muß sie
außer den Gliedern der linken enthalten,
daß es so wird? Ja es
frägt sich: hat eine Gleichung, wie die obere
1
+
+
+ … =
3 überhaupt einen S
inn?
Ich kann ja aus ihr nicht herausfinden,
welche
Glieder links zu viel sind. Wie wissen wir,
daß alle Glieder der
rechten auch in der linken Seite vorkommen?
Im Fall endlicher Reihen kann ich es erst sagen, wenn ich mich
Glied für Glied davon überzeugt habe; – und dann
sehe ich zugleich welche übrigbleiben. – Es fehlt
uns hier die Verbindung zwischen dem R
esultat
der Summe und den Gliedern, die einzige, die den
Beweis
erbringen könnte. – Am klarsten
wird alles, wenn man sich die Sache mit einer endlichen Gleichung
ausgeführt denkt:
1 +
¤ +
+
+
+
≠ (1 +
) ×
(1 +
) = 1 +
+
+
Wir haben hier wieder das Merkwürdige,
was man etwa einen Indizienbeweis in der Mathematik nennen
könnte – der ewig unerlaubt ist. Oder, einen
Beweis durch
Symptome. Das Ergebnis der
Summation ist ein Symptom dessen (oder wird als eines
aufgefaßt),
daß rechts Glieder sind, die links
fehlen. Die Verbindung des
Symptoms, mit dem, was man
beweisen || bewiesen haben möchte, ist eine
lose. D.h. es ist
eine Brücke nicht geschlagen, aber man gibt sich damit
zufrieden,
647
daß man das andere Ufer
sieht.
Alle Glieder der rechten
Seite kommen in der linken Seite vor, aber die Summe links gibt
unendlich und die rechte nur einen endlichen Wert –
also müssen … aber in der Mathematik
muß garnichts, außer was
ist.
Die Brücke
muß geschlagen werden.
In der Mathematik gibt es kein Symptom, das kann es nur im
psychologischen Sinne für den Mathematiker geben.
Man könnte auch so sagen: Es kann sich
in der Mathematik nicht auf etwas
schließen lassen, was sich nicht
sehen läßt.