In (27) ist die Reihe der Zahlzeichen in augenfälliger Weise
beschränkt.
– In (27) & (28) ist ein
‘beschränkter Vorrat’ von Zahlzeichen
vorhanden: denke an die Analogien || Analogie & die
Verschiedenheiten der dieser beiden Beschränkungen,
& wieder an den Mangel der Analogie.
– In (30) liegt die Beschränkung einerseits im
Werkzeug des Zählens & seinem Gebrauch.
Dann aber, in ganz anderer Weise, darin, daß kein Stoß mehr als zwanzig Platten hat. || nie
mehr als zwanzig Gegenstände gezählt werden.
– In (31) fehlt diese Beschränkung, aber die große Kugel
an der Rechenmaschine betont die Beschränkung unserer Mittel.
– Ist (32) ein beschränktes oder unbeschränktes
Spiel?
Die Praxis der Anwendung des Abakus, die wir
beschrieben haben, hat 40 als obere Grenze.
– Wir || Aber wir sind geneigt zu
sagen, dieses Spiel ‘hat es in sich’, daß es
unbegrenzt fortgesetzt werden kann. || unbegrenzt
fortgesetzt werden zu können.
Aber vergessen wir nicht, daß wir auch die vorhergehenden Spiele als
Anfänge endloser Systeme hätten auffassen
können.
– In (33)
149 ist das System,
d.h. die Gesetzmäßigkeit, in den Zahlzeichen noch
augenfälliger || tritt das Systematische,
d.h. die
Gesetzmäßigkeit, in den Zahlzeichen noch augenfälliger
hervor.
Ich würde || Hier wäre
man geneigt zu sagen, es sei hier dem Spiel durch das
Werkzeug des Zählens keine Grenze gesetzt; wäre es nicht, daß || wenn
nicht die Kinder die Zahlwörter von
1 || eins bis zwanzig || ‘1’ bis
‘20’ auswendig lernen || lernten.
Das möchte darauf hinweisen, daß das Kind nicht gelehrt
wird || legt die Auffassung nahe || den Ausdruck
nahe, daß sie nicht lernen, das System
,
welches wir in diesen Zahlzeichen sehen zu
‘verstehen’. || zu
‘verstehen’, welches wir in diesen
Zahlzeichen sehen. –
Von dem
Volksstamm in (34) werden wir sagen, er verwende || den Leuten in
(34) werden wir sagen, sie verwenden ein unbegrenztes System
von Zahlzeichen, sie kennen die unendliche
Kardinalzahlenreihe.
– (35) kann uns zeigen, welche ungeheure Mannigfaltigkeit von
Fällen man sich denken kann, in denen wir geneigt wären || man geneigt wäre zu sagen,
die Arithmetik der Leute bediene sich einer endlichen Zahlenreihe,
obwohl der Unterricht im Gebrauch der Zahlzeichen keine Zahl || keines als obere Grenze
hinstellt.
– In (36) bedient sich die Sprache des Stammes selbst der
Wörter ‘offen’ &
‘geschlossen’ (statt deren wir durch eine
geringfügige Veränderung des Beispiels die Wörter
‘begrenzt’ &
‘unbegrenzt’ setzen konnten).
In dieser einfachen & klar umschriebenen Form gebraucht ist
natürlich gar nichts Geheimnisvolles an der
Bedeutung || Verwendung des Wortes
‘offen’.
Aber dieses Wort entspricht unserm
‘unendlich’, & die Verwendung
des letztern || dieses Wortes ist nur
ungeheuer viel komplizierter, als die von || des Wortes
‘offen’.
Das heißt, die Bedeutung von ‘unendlich’ ist
ebenso ungeheimnisvoll || wenig geheimnisvoll, als die von
‘offen’, & die Idee,
sie sei in irgend einem Sinne transzendent
beruht auf einem Mißverständnis.
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