Was ist nun der Gegensatz eines allgemeinen

Satzes wie a + (b + (1 + 1)) = a + ((b + 1) + 1)? Welches ist das System von Sätzen innerhalb dessen diese Regel || dieser Satz verneint wird? Oder auch: wie, in welcher Form, kann diese Regel || dieser Satz mit andern in Widerspruch geraten? Oder: welche Frage kann er beantworten, zwischen welchen Alternativen entscheiden? Jedenfalls nicht || Nicht zwischen einer „(n) ∙ fn” & einer „(∃n) ∙ ~fn”, denn die Allgemeinheit ist dem Satz von der Regel R zugebracht. Sie kann ebensowenig in Fragen gestellt || gezogen werden, wie das System der Kardinalzahlen. [Oder: Welche Frage beantwortet er? Nicht || Gewiß nicht die, ob (n) ∙ fn oder (∃n)~fn der Fall ist, etc.] Die Allgemeinheit einer Regel kann eo ipso nicht in Frage gestellt werden.
     Denken wir uns nun den allgemeinen Satz als Reihe geschrieben
      p₁₁, p₁₂, p₁₃, …
      p₂₁, p₂₂, p₂₃, …
      p₃₁, p₃₂, p₃₃, …
      ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒
& verneint. Wenn wir ihn als (x)f(x) auffassen, so ist er ein || betrachten wir ihn als logisches Produkt & sein Gegenteil ist eine || die logische Summe || Disjunktion der Verneinungen von p₁₁, p₁₂, etc.. Diese Disjunktion (nun) ist mit jedem beliebigen Produkt p₁₁ ∙ p₂₁ ∙ p₂₂ ∙ p₁₂ …p_mn vereinbar. (Freilich || Gewiß, wenn man den Satz mit einem logischen Produkt vergleicht, so wird er unendlich vielsagend & sein Gegenteil nichtssagend.) (Bedenke aber: das „u.s.w.” steht in der Regel im Satz nach einem Beistrich nicht nach einem „und” („ ∙ ”). Das „u.s.w.” ist kein Zeichen ihrer Unvollständigkeit.)

Ist denn die Regel R unendlich vielsagend? Wie ein ungeheuer langes logisches Produkt?
     Daß man die Zahlenreihe durch die Regel laufen läßt, ist eine gegebene Form; darüber wird nichts behauptet & kann nichts verneint werden.
     Ich möchte sagen: Das Durchleiten des Zahlenstromes ist ja nichts wovon ich sagen kann, ich könne es beweisen. Beweisen kann ich nur etwas über die Form, den Model, durch den ich den Zahlenstrom leite.
     Kann man nun nicht sagen, daß die allgemeine Zahlenregel a + (b + c) = (a + b) + c (A) eben die Allgemeinheit hat wie a + (1 + 1) = (a + 1) + 1 (indem diese für jede Kardinalzahl, jene für jedes Kardinalzahlentrippel gilt); & daß der rekursive Beweis || Induktionsbeweis von A die Regel A rechtfertigt? Daß wir also die Regel A geben dürfen, weil der Beweis zeigt, daß sie immer stimmt?
     Rechtfertigt

1 : 3 = 0˙3
1

die Regel

„1

1
:

3 = 0˙3, 1

2
:

3 = 0˙33, 1

3
:

3 = 0˙333, u.s.w.”? ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒

A ist eine vollkommen verständliche Regel; so wie die Ersetzungsregel P. Eine solche Regel kann ich aber darum nicht geben weil ich die einzelnen Fälle von A schon durch eine andere Regel berechnen kann, wie ich P nicht als Regel geben kann wenn ich eine Regel gegeben habe mit der ich 1

1
:

3 = 0˙3, etc. berechnen kann.

Die Arithmetik ist, wie gesagt, auch ohne eine Regel. Wie wäre es, wenn man außer den Multiplikationsregeln noch „25 × 25 = 625” als Regel festsetzen wollte? (Ich sage nicht „25 × 25 = 624”!) – 25 × 25 = 625 hat nur Sinn, wenn die Art der Rechnung || Ausrechnung bekannt ist, die zu dieser Gleichung gehört, & hat nur Sinn in Bezug auf diese Rechnung. A hat nur Sinn mit Bezug auf die Art der Ausrechnung von A. Denn die erste Frage wäre hier eben: ist das eine Bestimmung || Festsetzung, oder ein errechneter Satz? Denn ist 25 × 25 = 625 eine Festsetzung (Grundregel), dann bedeutet das Multiplikationszeichen jetzt etwas anders, als es z.B. in Wirklichkeit bedeutet. (D.h. wir haben es mit einer anderen Rechnungsart zu tun.) Und ist A eine Festsetzung dann definiert das die Addition anders, als wenn es ein errechneter Satz ist. Denn die Festsetzung ist ja dann eine Erklärung des Additionszeichens & die Rechenregeln, die A auszurechnen erlauben, eine andere Erklärung desselben Zeichens. Ich darf hier nicht vergessen daß α, β, γ nicht der Beweis von A ist sondern nur die Form des Beweises, oder des Bewiesenen, ist; α, β, γ definiert also A.

(2015–) Wittgenstein Source Bergen Nachlass Edition (WS-BNE). Edited by the Wittgenstein Archives at the University of Bergen under the direction of Alois Pichler. In: Wittgenstein Source, curated by Alois Pichler (2009–) and Joseph Wang-Kathrein (2020–). (N) Bergen: WAB.