Man könnte – wie gesagt – den Induktionsbeweis
ganz ohne die Benützung von Buchstaben (mit
voller Strenge) anschreiben. Die rekursive
Definition a + (b + 1) =
(a + b)1 müßte dann als
Definitionsreihe geschrieben werden. Diese Reihe
verbirgt sich nämlich in der Erklärung ihres
Gebrauchs. Man kann natürlich auch der
Bequemlichkeit halber die Buchstaben in der Definition
beibehalten muß sich aber dann in der Erklärung auf ein
Zeichen der Art „1, (1) + 1,
((1) + 1) + 1,
u.s.w.” beziehen; oder, was auf
dasselbe hinausläuft „[1, ξ, ξ + 1]”.
Hier darf man aber nicht etwa glauben, daß dieses Zeichen
eigentlich lauten sollte „(ξ) ∙ [1, ξ, ξ + 1]”! –
Der Witz unserer Darstellung ist ja daß der Begriff
„alle Zahlen” nur durch eine Struktur der Art
„[1, ξ, ξ + 1]”
gegeben ist. Die Allgemeinheit ist durch diese Struktur im
Symbolismus
dargestellt & kann nicht durch ein
(x) ∙ fx
beschrieben werden.
Natürlich
ist die sogenannte „rekursive Definition”
keine Definition im hergebrachten Sinne des Worts, weil keine
Gleichung. Denn die Gleichung
„a + (b + 1) =
(a + b) + 1” ist nur ein Bestandteil
von ihr. Noch ist sie das logische Produkt von
Gleichungen. Sie ist vielmehr ein Gesetz wonach
Gleichungen gebildet werden; wie [1, ξ, ξ + 1] keine Zahl
ist sondern ein Gesetz etc.. (Das
Überraschende || Verblüffende am Beweis
von a + (b + c) =
(a + b) + c ist ja daß er aus einer
Definition allein hervorgehen soll. Aber
α ist keine Definition sondern
eine allgemeine Additionsregel.)
Anderseits ist die Allgemeinheit dieser Regel keine andere als die
der periodischen Division
.
D.h. es ist in der Regel nichts offen
gelassen, ergänzungsbedürftig oder
dergl..
Und vergessen wir
nicht: Das Zeichen „[1, ξ, ξ + 1] …
N interessiert uns nicht als ein suggestiver Ausdruck
des allgemeinen Gliedes der Kardinalzahlenreihe, sondern nur,
sofern es mit analog gebauten Zeichen in Gegensatz tritt:
N
im Gegensatz zu, etwa, [2, ξ, ξ + 3]; kurz als
Zeichen, als Instrument, in einem Kalkül. Und
das Gleiche gilt
natürlich von
.
(Offengelassen wird in der Regel nur ihre
Anwendung.)