Hat der ˇrekursive Beweis von a + (b + c) = (a + b) + c ‒ ‒ ‒

eine Frage beantwortet? & welche? Hat er eine Behauptung als wahr erwiesen & also ihr Gegenteil als falsch?
Das, was

Skolem
man

den rekursiven Beweis von A nennt kann man so schreiben:

a + (b + 1) = (a + b) + 1

a + (b + (c + 1) = (a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1 }^(Ƒ)

(a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1

In diesem Beweis kommt offenbar der bewiesene Satz gar nicht vor. – Man müßte nur eine allgemeine Bestimmung machen die den Übergang in ihm erlaubt. Diese Bestimmung könnte man so ausdrücken:

α φ(1) = ψ(1)

∆

β φ(c + 1) = F(φ(c)) }^(Ƒ) φ(c) = ψ(c)

γ ψ(c + 1) = F(ψ(c))

Wenn drei Gleichungen von der Form α, β, γ bewiesen werden sind, so sagen wir es sei „die Gleichung ∆ für alle Kardinalzahlen bewiesen”. Das ist eine Erklärung dieser Ausdrucks⌊form⌋ durch die erste. Sie zeigt daß wir das Wort „beweisen” im zweiten Fall anders gebrauchen als im ersten. Es ist jedenfalls irreführend zu sagen wir hätten die Gleichung ∆ oder A bewiesen & vielleicht besser

zu sagen wir hätten etwas ihre Allgemeingültigkeit bewiesen, obwohl das wieder in anderer Hinsicht irreführend ist.
Hat nun der Beweis B eine Frage beantwortet[?|,] eine Behauptung als wahr erwiesen? Ja, welches ist denn der Beweis B[?|:] ist es die Gruppe der drei Gleichungen von der Form α, β, γ, oder die Klasse der Beweise dieser Gleichungen? Diese Gleichungen behaupten ja etwas (& beweisen nichts in dem Sinne in dem sie bewiesen werden⌊)⌋. Die Beweise von α, β, γ aber beantworten die Frage, ob diese drei Gleichungen stimmen, & erweisen die Behauptung als wahr, daß sie stimmen. Ich kann nun erklären: die Frage, ob A für alle Kardinalzahlen gilt, solle

bedeuten
heißen

: „glelten für die Funktionen
φ(ξ) = a + (b + ξ), ψ(ξ) = (a + b) + ξ
Gleichungen α, β & γ?” Und dann ist diese Frage durch den rekursiven Beweis von A beantwortet, wenn hierunter die Beweise von α, β, γ verstanden werden (bezw. ˇdie Festsetzung von α & die Beweise von β & γ mittels α.).
Ich kann also sagen, daß der rekursive Beweis ausrechnet, daß die Gleichung A einer gewissen Bedingung genügt; aber es ist nicht

eine
die

Bedingung der Art wie sie etwa die Gleichung (a + b)² = a² + 2ab + b² erfüllen muß um richtig genannt zu werden. Nenne ich A „richtig” weil sie ihre Seiten sich in bestim der bestimmten Weise sich Gleichungen ˇvon der Form α, β, γ dafür beweisen lassen, so verwende ich

jetzt das Wort „richtig” anders als im Falle der Gleichungen α, β, γ, oder (a + b)² = a² + 2ab + b².

(2015–) Wittgenstein Source Bergen Nachlass Edition (WS-BNE). Edited by the Wittgenstein Archives at the University of Bergen under the direction of Alois Pichler. In: Wittgenstein Source, curated by Alois Pichler (2009–) and Joseph Wang-Kathrein (2020–). (N) Bergen: WAB.