Man faßt
die Periodizität eines Bruches
z.
B.
so auf, als
bestünde || bestehe sie darin, daß
etwas was man die Extension
der Entwickelung || des unendlichen Dezimalbruchs nennt
nur aus || aus lauter Dreiern besteht & daß die Gleichheit
des Restes dieser Division mit dem Dividenden nur das
Anzeichen für diese Eigenschaft der unendlichen
Extension sei. Oder aber man korrigiert diese Meinung
dahin, daß
zwar nicht eine unendliche Extension diese
Eigenschaft habe sondern
alle endlichen || eine
unendliche Reihe endlicher Extensionen;
nicht aber daß das nun heißen
kann: || & hierfür sei wieder die
Eigenschaft der Division ein Anzeichen. Man kann nun
sagen: die Extension mit einem Glied sei
0˙3, die mit
2 Gliedern
bestehe aus 0˙33,
mit dreien 0˙333
u.s.w.. Das ist
nun eine
Regel & das
„u.s.w.” bezieht sich
auf die Regelmäßigkeit & die Regel könnte
etwa auch geschrieben werden
„[0˙3,
0˙ξ, 0˙ξ3]”.
Das, was aber durch die Division
bewiesen ist,
ist
diese Regelmäßigkeit
im Gegensatz zu einer andern, nicht die Regelmäßigkeit
selbst im Gegensatz
zur Unregelmäßigkeit. Die
periodische Division also
(im
Gegensatz zu
) beweise
eine Periodizität der
Quotienten d.h. sie
bestimmt die Regel
(die Periode), legt sie fest, aber ist nicht ein Anzeichen
dafür daß eine Regel
mäßigkeit „vorhanden
ist”.
Wo ist sie denn
vorhanden? Etwa in den bestimmten
Entwicklungen, die ich auf diesem Papier gebildet
habe. Aber das sind doch nicht
„die Entwicklungen”. (Hier werden wir
irregeführt von der Idee der nicht aufgeschriebenen idealen
Extensionen die ein ähnliches Unding sind
wie die idealen nicht gezogenen geometrischen Geraden die wir
gleichsam nur in der Wirklichkeit nachziehen wenn wir sie
zeichnen.) Wenn ich sagte „das
‚u.s.w.’
bezieht sich auf die
Regelmäßigkeit” so unterschied ich es von dem
‚u.s.w.’ in „er
las alle Buchstaben: a, b, c,
u.s.w.”. Wenn ich
sage: „die Extensionen von
1 : 3 sind
0˙3,
0˙33,
0˙333
u.s.w.” so gebe ich
drei Extensionen & – eine Regel.
Unendlich ist nur diese & zwar in keiner andern Weise als
die Division
.