Statt
des Problems der 3-Teilung
des Winkels mit Lineal & Zirkel können wir nun ein ganz entsprechendes
aber viel übersichtlicheres untersuchen.
Es steht uns ja frei die Möglichkeiten der Konstruktion mit
Lineal & Zirkel weiter einzuschränken. So
können wir z.B. die Bedingung setzen,
daß sich die Öffnung des Zirkels nicht
verändern läßt. Und wir können
festsetzen daß die einzige Konstruktion die wir kennen – oder
besser: die unser Kalkül kennt – diejenige ist die man
zur Halbierung einer Strecke AB benützt
nämlich:
Ich will diese Geometrie das System α nennen & fragen: „ist die 3-Teilung der Strecke im System α möglich?” Welche 3-Teilung ist in dieser Frage gemeint? – denn davon hängt offenbar der Sinn der Frage ab. Ist z.B. die physikalische 3-Teilung gemeint? d.h. die 3-Teilung durch Probieren & Nachmessen. In diesem Falle ist die Frage vielleicht zu bejahen. Oder die optische Dreiteilung? d.h. die Teilung deren Resultat drei gleichlang aussehende Teile sind? Wenn wir z.B. durch ein verzerrendes Medium sehen so ist es ganz leicht vorstellbar daß uns die Teile a, b & c gleichlang erscheinen. Nun könnte man die Resultate der Teilungen im System α nach der Zahl der erzeugten Teile durch die Zahlen 2, 2², 2³, u.s.w. darstellen; & die Frage ob die 3-Teilung möglich ist könnte bedeuten: ist eine der Zahlen in dieser Reihe = 3. Diese Frage Es kann nun gefragt werden: ist die Teilung β in 108 Teile eine Teilung der Art α? Und diese Frage könnte wieder auf die hinauslaufen: ist 108 eine Potenz von 2? aber sie könnte auch auf eine andere Entscheidungsart hinweisen (einen andern Sinn haben) wenn wir die Systeme α & β zu einem geometrischen Konstruktionssystem verbinden so zwar, daß es sich nun in diesem System beweisen läßt, daß die beiden Konstruktionen die gleichen Teilungspunkte B, C, D „liefern müssen”.
Die Antwort auf diese Frage wäre der Beweis daß 2³ nicht durch 3 teilbar ist; oder der Hinweis darauf daß sich die Teile a, b, c wie 1:3:4 verhalten. Und nun könnte man fragen: habe ich also im System α nicht doch einen Begriff von der 3-Teilung, nämlich der Teilung, die die Teile a, b, c im Verhältnis 1:1:1 hervorbringt? Gewiß, ich habe nun einen neuen Begriff ‘3-Teilung einer Strecke’ eingeführt; wir könnten ja sehr wohl sagen daß wir durch die 8-Teilung der Strecke AB die Strecke CB
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