3 + 2
= 5 + 1 & die Gleichung
3 × (a + 1)
= (3 × a) + 3 –
etc.. || Die Gleichungen:
3 + 2 =
5 + 1, 3 × (a + 1) =
(3 × a) + 3,
(5 + b) + 3 =
5 + (b + 3) im Gegensatz also etwa zu
3 + 2 =
5 + 6, 3 × (a + 1) =
(4 × a) + 2
etc. Aber dieses Gegenteil entspricht ja
nicht dem Satz (∃x) φx.
– Ferner ist nun mit jener Induktion im Gegensatz jeder Satz
von der Form ~f(n)
nämlich || d.h. der Satz
„~f(2)”,
„~f(3)”
etc. || u.s.w.; d.h.
die Induktion ist
das Gemeinsame in
der Ausrechnung || den
Ausrechnungen von f(2),
f(3),
u.s.w.. aber sie ist nicht die
Ausrechnung „aller Sätze der Form
f(n)”, da ja
nicht eine Klasse von Sätzen in dem Beweis vorkommt die ich
„alle Sätze der Form f(n)”
nenne. Jede
Einzelne nun von diesen
Ausrechnungen ist die Kontrolle eines Satzes von der Form
f(n). Ich
konnte nach der Richtigkeit dieses Satzes fragen & eine
Methode zu ihrer Kontrolle anwenden, die durch die Induktion nur
auf eine
besonders einfache || besondere || einfache Form gebracht war. Nenne ich
aber die
Induktion „den Beweis eines allgemeinen Satzes”, so
kann ich nach der Richtigkeit dieses Satzes nicht fragen (sowenig
wie nach der Richtigkeit
des Zahlensystems || des Systems || Begriffs || der Form der Kardinalzahlen). Denn was ich
Induktionsbeweis nenne, gibt mir keine Methode zur
Prüfung, ob der allgemeine Satz richtig oder falsch
ist; diese Methode müßte mich vielmehr lehren
zu
erkennen || auszurechnen (zu prüfen), ob
sich für einen bestimmten Fall eines Systems von
Sätzen eine Induktion bilden läßt oder nicht.
(
Eine
Prüfung ist hier immer die, || Was so geprüft wird,
ist, ob alle n, die oder jene Eigenschaft haben,
wenn ich so sagen darf; aber nicht, ob alle sie haben, oder ob
es einige gibt die sie nicht haben. Wir rechnen
z.B. aus, daß
alle
Gleichungen der Klasse x rationale Lösungen haben,
dagegen nicht die der Klasse y
etc.) || die Gleichung
x² + 3x + 1 = 0
keine rationalen Lösungen hat (daß es keine
rationale Zahl gibt die …), daß
dagegen die Gleichung x² + 2x + 1 = 0
rationale Wurzeln hat || & nicht die Gleichung
x² + 2x + ,
dagegen die Gleichung x² + 2x + 1 =
0, etc..)