3 × 2 = 5 + 1
3 × (a + 1) = 3 + (3 × a) = (5 + b) + 3 = 5 + (b + 3) Warum nennst
Du denn diese Induktion den Beweis dafür daß (n) : n ˃ 2 . ⊃ . 3 × n ≠ 5?! – Nun, siehst Du denn nicht daß der Satz, wenn er für n = 2 gilt, auch für n = 3 gilt, & dann auch für n = 4, & daß es immer so weiter geht? (Was erkläre ich denn, wenn ich das Funktionieren des induktiven Beweises erkläre?) Du nennst ihn also einen Beweis für „f(2) ∙ f(3) ∙ f(4) ∙ u.s.w.” ist er aber nicht vielmehr die Form der Beweise für „f(2)” &, „f(3)” & „f(4)” u.s.w.? Oder kommt das auf eins hinaus? Nun, wenn ich die Induktion den Beweis eines Satzes nenne dann darf ich es nur, wenn das nichts anderes heißen soll, als daß sie jeden Satz einer gewissen Form beweist. (Und mein Ausdruck bedient sich der Analogie vom Verhältnis eines Satzes (x) ∙ fx zu f(a) || vom Verhältnis eines Satzes „alle Säuren färben Lackmuspapier rot” zu „Schwefelsäure färbt Lackmuspapier rot”.) || vom Verhältnis der Sätze „alle Säuren färben Lackmuspapier rot”, „Schwefelsäure färbt Lackmuspapier rot”.)
     Denken wir nun jemand sagte „prüfen wir nach ob f(n) für alle n gilt” & nun fängt er an die Reihe zu schreiben:
      3 × 2 = 5 + 1
      3 × (2 + 1) = (3 × 2) + 3 = (5 + 1) + 3 = 5 + (1 + 3)
      3 × (2 + 2) = (3 × (2 + 1)) + 3 = (5 + (1 + 3)) + 3 = 5 + (1 + 3 + 3)
& nun bricht er ab & sagt: „ich sehe schon daß es für alle n gilt”. – So hat er also eine Induktion gesehen! Aber hatte er denn nach einer Induktion gesucht? Er hatte ja gar keine Methode um nach ihr || einer zu suchen. Und hätte er nun keine entdeckt, hätte er damit eine Zahl gefunden die der Bedingung nicht entspricht? – Die Regel der Kontrolle
kann ja nicht lauten: sehen wir nach, ob sich eine Induktion findet, oder ein Fall für den das Gesetz nicht gilt. – Wenn das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gilt, so heißt das nur, daß unser Ausdruck nicht mit einem Satz zu vergleichen ist.