3 × 2
= 5 + 1
3 × (a + 1) =
3 + (3 × a) = (5 + b) + 3 =
5 + (b + 3) Warum nennst
Du denn diese Induktion den Beweis dafür
daß (n) : n ˃ 2
. ⊃ . 3 × n ≠
5?! – Nun, siehst Du denn nicht
daß der Satz, wenn er für n = 2 gilt, auch für
n = 3 gilt, & dann
auch für n = 4, & daß es
immer so weiter geht? (Was erkläre ich denn, wenn
ich das Funktionieren des induktiven Beweises
erkläre?) Du nennst ihn also einen Beweis
für „f(2) ∙ f(3) ∙ f(4) ∙
u.s.w.” ist er aber nicht
vielmehr die Form der Beweise für
„f(2)” &,
„f(3)” &
„f(4)”
u.s.w.? Oder kommt das auf
eins hinaus? Nun, wenn ich die Induktion den Beweis
eines Satzes nenne dann darf ich es nur, wenn das nichts
anderes heißen soll, als daß sie jeden Satz einer gewissen Form
beweist. (Und mein Ausdruck bedient sich der
Analogie
vom Verhältnis eines Satzes
(x) ∙ fx zu
f(a) || vom
Verhältnis eines Satzes „alle Säuren färben
Lackmuspapier rot” zu
„Schwefelsäure färbt
Lackmuspapier rot”.) || vom Verhältnis der
Sätze „alle Säuren färben
Lackmuspapier rot”,
„Schwefelsäure färbt
Lackmuspapier rot”.)
Denken wir nun jemand sagte
„prüfen wir nach ob f(n) für alle n
gilt” & nun fängt er an die Reihe zu
schreiben:
3 × 2 =
5 + 1
3 × (2 + 1)
= (3 × 2) + 3 = (5 + 1) + 3 =
5 + (1 + 3)
3 × (2 + 2)
= (3 × (2 + 1)) + 3 =
(5 + (1 + 3)) + 3 =
5 + (1 + 3 + 3)
& nun bricht er ab
& sagt: „ich sehe schon daß es für alle
n gilt”. – So hat er also eine
Induktion gesehen! Aber hatte er denn nach
einer Induktion
gesucht? Er hatte ja gar
keine Methode um nach
ihr || einer zu suchen.
Und hätte er nun keine entdeckt, hätte er damit eine Zahl
gefunden die der Bedingung nicht entspricht? –
Die Regel der Kontrolle
kann ja nicht lauten:
sehen wir nach, ob sich eine Induktion findet, oder ein Fall für
den das Gesetz nicht gilt. – Wenn das Gesetz vom
ausgeschlossenen Dritten nicht gilt, so heißt das nur, daß unser
Ausdruck nicht mit einem Satz zu vergleichen ist.