„Ich habe gefunden, daß es
eine solche
so eine
Zahl gibt”.
„Ich habe ausgerechnet, daß es keine solche Zahl gibt.”
  Im ersten Satz darf ich nicht „keine” statt „eine” einsetzen. – Und wie, wenn ich im zweiten St statt „keine” „eine” setze? Nehmen wir an
eine
die
Rechnung ergibt nicht den Satz „~(∃n) etc” sondern „(∃n) etc”. Hat es dann etwa Sinn zu sagen: „nur Mut! jetzt mußt Du einmal auf eine solche Zahl kommen, wenn Du nur lang genug probierst”? Das hat nur Sinn, wenn der Beweis nicht „(∃n) etc” ergeben, sondern dem Probieren Grenzen
gesteckt hat, also etwas ganz anderes geleistet hat. D.h., das, was wir den Satz Existenzsatz nennen, der uns eine Zahl suchen lehrt, hat zum Gegenteil nicht den Satz „(n) ∙ etc” sondern einen Satz der sagt, daß in dem & dem Intervall keine Zahl ist die …. Man kann sagen: das Gegenteil des ˇbewiesenen Satzes ist das was ˇstatt seiner er durch einen bestimmten Rechenfehler im Beweis bewiesen worden wäre. Was ist das Gegenteil des bewiesenen? – Dazu muß man auf den Beweis schauen. – ¥ ¥ Es ist hier nicht, wie im Fall des Beweises, daß keine oder eine der Zahlen a b c d die Eigenschaft ε hat; & diesen Fall hat man immer als Vorbild vor Augen. Hier könnte ein Irrtum darin bestehen, daß ich glaube c hätte die Eigenschaft &, nachdem ich den Irrtum eingesehen hätte, wüßte ich daß keine der Zahlen die Eigenschaft hat. Die Analogie bricht eben hier zusammen.
    Wenn nun z.B. der Beweis daß ~(∃n) etc eine Induktion ist, die zeigt, daß, soweit ich auch gehen, eine solche Zahl nicht vorkommen kann, so ist das Gegenteil dieses Beweises (ich will einmal diesen Ausdruck gebrauchen) nicht der Beweis davon, d Existenzbeweis in unserem Sinne.

  (Das hängt damit zusammen, daß ich nicht in jedem Kalkül in dem ich Gleichungen gebrauchen, eo ipso auch die Verneinungen von Gleichungen gebrauchen darf. Denn 3 × 3 ≠ 7 heißt nicht, daß die Gleichung „3 × 3 = 7” nicht
vorkommen soll wie etwa die Gleichung „3 × 3 = sin”, sondern die Verneinung ist eine Ausschließung innerhalb eines von vornherein bestimmten Systems. Eine Definition kann ich nicht verneinen, wie eine nach Regeln abgeleitete Gleichung.)
     Sagt man, übrigens, daß das Interval im Existenzbeweis sei nicht wesentlich, da ein andres Interval es auch getan hätte, so heißt das natürlich nicht, daß das Fehlen einer Intervalangabe es auch getan hätte. – Der Beweis der Nichtexistenz hat zum Beweis der Existenz nicht das Verhältnis eines Beweises von p zum Beweis des Gegenteils.
   Man sollte glauben, in den Beweis des Gegenteils von „(∃n) etc” müßte sich eine Negation
verirren
einschleichen
können durch die irrtumlicherweise „~(∃n) etc” bewiesen wird.
    Gehen wir doch einmal, umgekehrt, von den Beweisen aus & nehmen wir an, sie wären uns ursprünglich gezeigt worden & man hätte uns dann gefragt: was beweisen diese Rechnungen? Sieh auf die Beweise & entscheide dann, was sie beweisen.