„Ich habe gefunden, daß es so
eine || eine solche Zahl gibt”. „Ich habe ausgerechnet, daß es keine solche Zahl gibt.” Im ersten Satz darf ich nicht „keine” statt „eine” einsetzen. – Und wie, wenn ich im zweiten statt „keine” „eine” setze? Nehmen wir an die || eine Rechnung ergibt nicht den Satz „~(∃n) etc.” sondern „(∃n) etc.”. Hat es dann etwa Sinn zu sagen: „nur Mut! jetzt mußt Du einmal auf eine solche Zahl kommen, wenn Du nur lang genug probierst”? Das hat nur Sinn, wenn der Beweis nicht „(∃n) etc.” ergeben, sondern dem Probieren Grenzen ⍈ Wenn nun z.B. der Beweis daß ~(∃n) etc. eine Induktion ist, die zeigt, daß, soweit ich auch gehe, eine solche Zahl nicht vorkommen kann, so ist das Gegenteil dieses Beweises (ich will einmal diesen Ausdruck gebrauchen) nicht der Existenzbeweis in unserem Sinne. (Das hängt damit zusammen, daß ich nicht in jedem Kalkül in dem ich Gleichungen gebrauchen, eo ipso auch die Verneinungen von Gleichungen gebrauchen darf. Denn 3 × 3 ≠ 7 heißt nicht, daß die Gleichung „3 × 3 = 7” nicht Sagt man, das Intervall im Existenzbeweis sei nicht wesentlich, da ein andres Intervall es auch getan hätte, so heißt das natürlich nicht, daß das Fehlen einer Intervallangabe es auch getan hätte. – Der Beweis der Nichtexistenz hat zum Beweis der Existenz nicht das Verhältnis eines Beweises von p zum Beweis des Gegenteils. Man sollte glauben, in den Beweis des Gegenteils von „(∃n) etc.” müßte sich eine Negation einschleichen || verirren können durch die irrtümlicherweise „~(∃n) etc.” bewiesen wird. Gehen wir doch einmal, umgekehrt, von den Beweisen aus & nehmen wir an, sie wären uns ursprünglich gezeigt worden & man hätte uns dann gefragt: was beweisen diese Rechnungen? Sieh auf die Beweise & entscheide dann, was sie beweisen. |
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