Aber, erstens, warum definiert man dann nicht gleich S als das Bestehen einer solchen Relation. Und wenn man darauf antwortet, diese
Erklärung
Definition
würde die Gleichzähligkeit bei unendlichen Anzahlen nicht einschließen so ist zu sagen daß dies nur auf eine Frage der „Eleganz” hinausläuft, da ich letzten Endes doch mei für endliche Zahlen meine Zuflucht doch zu den „extensionalen” Beziehungen nehmen müßte. Aber diese führen uns auch zu nichts: denn, zu sagen, zwischen φ & ψ bestehe eine Beziehung ˇ– z.B. – der Form x = a ∙ y = b ⌵ x = c ∙ y = d sagt nichts andres als
    (∃x,y) φx ∙ φy ∙ ~(∃x,y,z) φx ∙ φy ∙ φz: (∃x,y) ψx ∙ ψy ∙ ~(∃x,y,z) ψx ∙ ψy ∙ ψz
(Was ich in der Form schreibe
    (∃n2x) φx ∙ (∃n2x) ψx
Und, zu sagen, zwischen φ & ψ bestehe eine der Beziehungen x = a ∙ y = b; x = a ∙ y = b . ⌵ . [y|x] = c ∙ y = d; etc. etc.,
heißt nichts andres als, es bestehe entwed eine der Tatsachen φ1 ∙ ψ1; φ2 ∙ ψ2; etc. etc.. Nun hilft man sich mit der größereren Allgemeinheit indem man sagt, zwischen φ & ψ bestehe irgend eine 1–1 Relation & vergißt daß man dann doch für diese Bezeichnung dieser Allgemeinheit die Regel festlegen muß nach welcher „irgend eine Relation” auch die Relationen der Form x = a ∙ y = b etc. einschließt. Dadurch daß man mehr sagt kommt man nicht drum herum das Engere zu sagen da[ß|s] in dem Mehr vorhanden sein soll. (Die Logik läßt sich nicht betrügen.)
  In dem Sinne von S also in welchem S aus φ5 ∙ ψ5 folgt, wird es durch die Russellsche Erklärung nicht erklärt. Vielmehr braucht man da eine Reihe von Erklärungen
φ0 ∙ S = φ0 ∙ ψ0 = ψ0 ∙ S
φ1 ∙ S = φ1 ∙ ψ1 = ψ1 ∙ S
}(Ƒ) ‒ ‒ ‒ α

etc ad inf.
Dagegen wird π als Kriterium der Gleichzahligkeit gebraucht & kann natürlich in einem andern Sinne von S auch S gleichgesetzt werden. (Und man
kann dann nur sagen: Wenn in
einer
Deiner
Notation ˇS = π ist ◇dasselbe bedeutet◇◇ dann bedeutet S nichts andres als π.)
   Es folgt zwar nicht π aus φ5 ∙ ψ5 wohl aber φ5 ∙ ψ5 aus π ∙ φ5.
π ∙ φ5 = π ∙ φ5 ∙ ψ5 = π ∙ ψ5
u.s.w.
Also kann man schreiben
π ∙ φ0 = π ∙ φ0 ∙ ψ0 = π ∙ φ0 ∙ S
π ∙ φ1 = π ∙ φ1 ∙ ψ1 = π ∙ φ1 ∙ S
}(Ƒ) ‒ ‒ ‒ β

π ∙ φ2 = π ∙ φ2 ∙ ψ2 = π ∙ φ2 ∙ S

u.s.w. ad inf.

Und dies kann man dadurch ausdrücken daß man sagt die Gleichzahligkeit folge aus π. Und man kann auch die Regel geben
π ∙ S = π
die mit den Regeln β , oder der Regel, β & α & der Regel α übereinstimmt.