Aber, erstens, warum definiert man
dann nicht gleich S als das Bestehen einer
solchen
Relation. Und wenn man darauf antwortet, diese
Definition || Erklärung würde die
Gleichz
ahligkeit bei unendlichen
Anzahlen nicht einschließen so ist zu sagen daß
dies nur auf eine Frage der „Eleganz”
hinausläuft, da ich letzten Endes für endliche Zahlen meine Zuflucht doch zu
den „extensionalen” Beziehungen nehmen
müßte. Aber diese führen uns auch zu
nichts: denn, zu sagen, zwischen
φ &
ψ bestehe eine Beziehung
– z.B. – der Form
x = a ∙ y = b ⌵ x
= c ∙ y = d sagt nichts andres als
(∃x,y)
φx ∙ φy ∙
~(∃x,y,z)
φx ∙ φy ∙ φz: (∃x,y)
ψx ∙ ψy ∙ ~(∃x,y,z)
ψx ∙ ψy ∙ ψz
. (Was ich
in der Form schreibe
(∃
n2x) φx
∙ (∃
n2x) ψx
.
Und, zu sagen, zwischen φ &
ψ bestehe
eine der
Beziehungen x = a ∙ y = b;
x =
a ∙ y = b . ⌵ .
x = c ∙ y = d;
etc. etc.,
heißt nichts andres als,
es bestehe eine der Tatsachen
φ1 ∙ ψ1;
φ2 ∙ ψ2;
etc. etc.. Nun hilft man
sich mit der größereren Allgemeinheit indem man sagt, zwischen
φ &
ψ bestehe irgend eine 1–1 Relation &
vergißt daß man dann doch für
diese || die Bezeichnung dieser Allgemeinheit
die Regel festlegen muß nach welcher „irgend eine Relation” auch die Relationen der
Form x
= a ∙ y = b etc.
einschließt. Dadurch daß man mehr sagt kommt man
nicht drum herum das
Engere zu sagen
da
s in dem Mehr vorhanden sein soll.
(Die Logik läßt sich nicht betrügen.)
In dem Sinne von S also in welchem S aus
φ5 ∙ ψ5 folgt, wird
es durch die Russellsche
Erklärung nicht erklärt. Vielmehr braucht
man da eine Reihe von Erklärungen
φ0 ∙ S = φ0 ∙ ψ0 = ψ0 ∙ S
φ1 ∙ S = φ1 ∙ ψ1 = ψ1 ∙ S
}(Ƒ) ‒ ‒ ‒ α
etc
. ad inf.
Dagegen wird
π als Kriterium der
Gleichzahligkeit gebraucht & kann natürlich
in einem
andern Sinne von S auch S gleichgesetzt
werden. (Und man
kann dann
nur sagen: Wenn in
Deiner || einer Notation
S = π ist
◇dasselbe bedeutet◇◇ dann bedeutet S nichts andres als
π.)
Es
folgt zwar nicht π aus
φ5 ∙ ψ5 wohl aber
φ5 ∙ ψ5 aus
π ∙ φ5.
π ∙ φ5 =
π ∙ φ5 ∙ ψ5 =
π ∙ ψ5
u.s.w.
Also kann man
schreiben
π ∙ φ0 = π ∙ φ0 ∙ ψ0 = π ∙ φ0 ∙ S
π ∙ φ1 = π ∙ φ1 ∙ ψ1 = π ∙ φ1 ∙ S
}(Ƒ) ‒ ‒ ‒ β
π ∙ φ2 = π ∙ φ2 ∙ ψ2 = π ∙ φ2 ∙ S
u.s.w. ad inf.
Und dies kann man
dadurch ausdrücken daß man sagt die Gleichzahligkeit folge aus
π. Und man kann auch die
Regel geben
π ∙ S =
π
die mit den Regeln
β || , oder der Regel, β &
α || & der Regel α
übereinstimmt.