Russells
Erklärung der Gleichzahligkeit ist aus verschiedenen
Gründen ungenügend. Aber die Wahrheit ist
daß man in der Mathematik keine solche Erklärung der
Gleichzahligkeit
braucht. Hier ist überhaupt alles falsch
aufgezäumt.
Was uns verführt,
die Russellsche,
oder Fregesche,
Erklärung anzunehmen, ist der
Gedanke, zwei Klassen von Gegenständen (Äpfeln in zwei
Kisten) seien gleichzahlig, wenn man sie einander
1–1 zuordnen
könne. Man denkt sich die Zuordnung als eine
Kontrolle der Gleichzahligkeit. Und hier macht man in
Gedanken wohl noch eine Unterscheidung zwischen Zuordnung &
Verbindung durch eine Relation; & zwar
wird die Zuordnung zur Verbindung was die
„geometrische
” Gerade zu einer
wirklichen ist, eine Art idealer
Verbindung; einer Verbindung die quasi von der Logik
vorgezeichnet ist & durch die Wirklichkeit nun
nachgezogen werden kann. Es ist die
Möglichkeit aufgefaßt als eine schattenhafte
Wirklichkeit. Dies hängt dann wieder mit der
Auffassung
von „(∃x) ∙ φx”
als Ausdruck der Möglichkeit von
φx zusammen.
„φ &
ψ sind gleichzahlig”
(ich werde dies schreiben
„S(φ ∙ ψ)”
oder
auch einfach „S”)
soll ja aus „φ5 ∙ ψ5”
folgen; aber aus φ5 ∙ ψ5 folgt nicht
daß φ &
ψ durch eine
1–1 Relation R
verbunden sind (dies werde ich
„π(φ,ψ)”
oder „π”
schreiben.). Man hilft sich indem man sagt es
bestehe dann eine Relation der Art
„x = a ∙ y = b
. ⌵ . x = c ∙ y = d
. ⌵ .
u.s.w.”