Fügt man nun n zusammen zu 1n, 2n, 3n etc so sieht man daß gegenüber einem Vielfachen von m solange ein Rest bleibt bis man zu m ∙ n kommt, wo immer der euclidische Algoritmus endet (d.h welche der Formeln immer für m anwendbar ist).
  Im ersten Fall z.B. wenn
m = a1a2 + 1:


1n = a0m + a2
2n = 2a0m + 2a2
‒ ‒ ‒
νn = νa0m + νa2
der Rest νa2 bleibt jedenfalls solange keiner als m bis ν = a1 wird; dann ist a1n = a1a0m + a1a2. Noch immer ist der Rest ˂ m; aber nun wird
(a1 + 1)n = (a1 + 1)a0m + (a1 + 1) . a2 = ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ + a1a2 + a2 = ‒ ‒ ‒ +

a1a2 + 1

m
+ a2 ‒ 1


a2 ‒ 1 ist jedenfalls kleiner als m & der Rest verschwindet nur wenn a2 = 1 ist. Dann aber ist m = a1 + 1 also der Factor a1 + 1 = m Ist aber a2 ˃ 1 so geht die Sache weiter & es folgen nun
(a1 + 2)n = ‒ ‒ ‒ + 2a2 ‒ 1
‒ ‒ ‒
(a1 + ν)n = ‒ ‒ ‒ + νa2 ‒ 1
Dieser Rest ist gewiß kleiner als m bis
(2a1)n = ‒ ‒ ‒ + a1a2 ‒ 1 & auch hier noch. Aber
(2a1 + 1)n = ‒ ‒ ‒ + (a1 + 1)a2 ‒ 1 = a1a2 + a2 ‒ 1 =

a1a2 + 1

m
+ (a2 ‒ 2)

& hier geht

der Prozess wieder nur dann auf wenn a2 = 2, dann aber ist m = 2a1 + 1 also wieder gleich dem Factor von n. – Ebenso geht es weiter bis
(3a1)n = ‒ ‒ ‒ + a1a2 ‒ 2 und
(3a1 + 1)n = ‒ ‒ ‒ + m + (a2 ‒ 3) solang bis
(a2a1 + 1)n = ‒ ‒ ‒ + (a2 ‒ a2) = m ∙ n
Ähnlich geht es, wenn m = a1a2a3 + a1 + a3, etc. etc.