5.8
Die Bedingung unter der ein Teil der Reihe
1 +
+
+ …,
etwa
+
+
+
… +
, gleich oder
größer als 1 wird ist folgende:
Es soll also
werden:
+
+
+
… +
≧
1
Formen
wir die linke Seite um in:
=
1 +
(1 ‒ ) +
(1 ‒ ) + …
(1 ‒ ) +
+
+
+
… +
n |
⇒
⇒
n ‒
n ∙ (n ‒ 1) ∙ + (ν ‒ n + 1)
n |
=
1 ‒
+
≧ 1
∴ 2nν + 2ν ‒ 2n² ‒ 2n + 2n + 2 ‒ n² ‒ nν + n + ν ≧ 0
nν + 3ν ‒ 3n² + 2 + n ≧ 0
(Ƒ)
Also ist eine hinreichende Bedingung daß
+
+ … +
≧ 1, die, daß
ν ≧
3n ‒ 1. Denke ich mir nun
vom Anfang der Reihe 1 +
+
+ …
solche Abschnitte aneinandergereiht die ≧ 1 sind so
geht || reicht der erste dieser Abschnitte von
der
zweite von der dritte von der m-te
| 1 4 16
| bis
bis bis
bis
| 3, 15, 63,
4m ‒ 1
|
Die
Reihe || Summe
1 +
+
+ …
bis zum 4
mten Gliede
ausgedehnt überschreitet also gewiß
m.
Also
ist
1 +
+
+ …
˃ (1 +
+
+ …) ∙
(1 +
+
+ …) ∙ …
(1 +
+
+ …)
Also muß unter den ersten
4
m ganzen Zahlen mindestens eine sein, die
durch keine der ersten m
ganzen Zahlen teilbar
ist.