2.8.
~ 1 +
1
2
+
1
3
+ … = (1 +
1
2
+
1
+ …) ∙ (1 +
1
3
+
1
+ …)
Das Argument läuft so: Das rechte
Produkt ist eine Reihe von Brüchen
1
n
in deren Nenner alle Kombinationen 2ν3μ vorkommen; wären das alle Zahlen, so müßte diese Reihe die gleiche sein wie die 1 +
1
2
+
1
3
+ … und dann müßten auch die Summen gleich sein. Die linke ist aber ∞ & die rechte nur eine endliche Zahl
2
1
3
2
= 3, also fehlen in der rechten Reihe unendlich viele Brüche, d.h. es gibt in der rechten Reihe Brüche die in der linken nicht vorkommen. Und nun handelt es sich darum: ist dieses Argument richtig? Wenn es sich hier um endliche Reihen handelte, so wäre alles klar || durchsichtig. Denn dann könnte man aus den Gliedern der linken Reihe || der Methode der Summation eben herausfinden, welche Glieder der linken Reihe auf die rechte Reihe fehlen. Man könnte nur fragen: wie kommt es, daß die rechte Reihe ∞ gibt, was muß sie außer den Gliedern der linken enthalten, daß es so wird? Ja es frägt sich: hat eine Gleichung wie die obere 1 +
1
2
+
1
3
+ … = 3 überhaupt einen Sinn? Ich kann ja aus ihr nicht herausfinden welche Glieder links zu viel sind. Wie wissen wir, daß alle Glieder der rechten auch in der linken Seite vorkommen? im Fall endlicher Reihen kann ich es erst sagen, wenn ich mich Glied für Glied davon überzeugt habe; – und dann sehe ich zugleich welche übrig bleiben. – Es fehlt uns hier die Verbindung zwischen dem Resultat der Summe & den Gliedern, die einzige die den Beweis erbringen könnte. – Am klarsten wird alles, wenn man sich die Sache mit einer
endlichen Gleichung ausgeführt denkt.
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
≠ (1 +
1
2
) ∙ (1 +
1
3
) = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
6
Wir haben nämlich hier wieder das Merkwürdige, was man etwa einen Indizienbeweis in der Mathematik nennen könnte – der ewig unerlaubt ist. Oder, einen Beweis durch Symptome. Das Ergebnis der Summation ist ein Symptom dessen (oder wird als eines aufgefaßt), daß rechts Glieder sind, die links fehlen. Die Verbindung des Symptoms mit dem was man beweisen || bewiesen haben möchte, ist eine lose. D.h. es ist eine Brücke nicht geschlagen, aber man gibt sich damit zufrieden, daß man das andere Ufer sieht.
     Alle Glieder der rechten Seite kommen in der linken Seite vor, aber die Summe links gibt ∞ & die rechte nur einen endlichen Wert – also müssen … aber in der Mathematik muß gar nichts, außer was ist.
     Die Brücke muß geschlagen werden.
     In der Mathematik gibt es kein Symptom; das kann es nur im psychologischen Sinne für den Mathematiker geben.
     Man könnte auch so sagen: Es kann sich in der Mathematik nicht auf etwas schließen lassen, was sich nicht sehen läßt.