2.8.
~ 1 +
+
+ …
= (1 +
+
+ …) ∙
(1 +
+
+ …)
Das Argument läuft so: Das rechte
Produ
kt ist
eine Reihe von Brüchen
in deren Nenner alle
Kombinationen 2
ν3
μ vorkommen; wären das alle
Zahlen, so müßte diese Reihe die gleiche sein wie die
1 +
+
+ …
und dann müßten auch die Summen gleich sein. Die
linke ist aber ∞ & die rechte nur eine endliche Zahl
∙
=
3, also fehlen in der rechten Reihe unendlich
viele Brüche, d.h.
es gibt in
der rechten Reihe Brüche die in der linken nicht
vorkommen. Und nun handelt es sich darum: ist dieses
Argument richtig? Wenn es sich hier um endliche
Reihen handelte, so wäre alles
klar || durchsichtig. Denn dann könnte man
aus
den Gliedern der linken Reihe || der
Methode der Summation eben herausfinden, welche Glieder
der linken Reihe auf die rechte Reihe fehlen. Man
könnte nur fragen: wie kommt es, daß die
rechte Reihe ∞ gibt, was muß sie außer
den Gliedern der linken enthalten, daß es so wird? Ja
es frägt sich: hat eine Gleichung wie die obere
1 +
+
+ …
= 3 überhaupt einen Sinn?
Ich kann ja aus ihr nicht herausfinden
welche
Glieder links zu viel sind. Wie wissen wir, daß
alle Glieder der rechten auch in der linken Seite
vorkommen? im Fall endlicher Reihen kann ich es erst
sagen, wenn ich mich Glied für Glied davon überzeugt habe;
– und dann sehe ich zugleich welche übrig
bleiben. – Es fehlt uns hier die Verbindung
zwischen dem Resultat der Summe & den Gliedern, die einzige
die den Beweis
erbringen könnte. – Am
klarsten wird alles, wenn man sich die Sache mit einer
endlichen Gleichung
ausgeführt denkt.
1 +
+
+
+
+
≠ (1 +
) ∙ (1 +
)
=
1 +
+
+
Wir haben nämlich hier wieder das
Merkwürdige, was man etwa einen
Indi
zienbeweis in der Mathematik nennen
könnte – der ewig unerlaubt ist. Oder, einen
Beweis durch
Symptome. Das Ergebnis der Summation
ist ein Symptom dessen (oder wird als eines aufgefaßt),
daß rechts Glieder sind, die links fehlen. Die
Verbindung des Symptoms mit dem was man
beweisen || bewiesen
haben möchte, ist eine
lose.
D.h. es ist eine Brücke nicht
geschlagen, aber man gibt sich damit zufrieden, daß man das
andere Ufer
sieht.
Alle
Glieder der rechten Seite kommen in der linken Seite vor, aber die
Summe links gibt ∞ & die rechte nur einen
endlichen Wert –
also müssen …
aber in der Mathematik
muß gar nichts, außer was
ist.
Die Brücke muß
geschlagen werden.
In der Mathematik gibt es
kein Symptom; das kann es nur im psychologischen Sinne
für den Mathematiker geben.
Man
könnte auch so sagen: Es kann sich in der Mathematik
nicht auf etwas schließen lassen, was sich nicht
sehen
läßt.