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Der Beweis zeigt, daß aus der Form 1) „a + (b + c) = = (a + b) + c” mittels der Regel 2) „a + (b + 1) ≝ (a + b) + 1” die Form „a + (b + c(c + 1)) = (a + b) + (c + 1)” folgt. Oder, was dasselbe heißt, die Form „a + (b + (c + 1))” läßt sich mit Hilfe der Regeln 1) und 2) in „(a + b) + (c + 1)” überführen. Das ist die ganze Wirklichkeit des Beweises. Alles andere & die ganze gewöhnliche Interpretation liegt in der Möglichkeit seiner Anwendung.