Man faßt die Periodizität eines Bruches,
z.B.
, so auf, als
bestünde || bestehe sie
darin, daß etwas, was man die Extension des
unendlichen Dezimalbruchs nennt,
nur aus || aus lauter
Dreien besteht, und daß die
Gleichheit des Restes dieser Division mit dem Dividenden nur das
Anzeichen für diese Eigenschaft der unendlichen Extension
sei.
Oder aber man korrigiert diese Meinung dahin, daß
nicht eine unendliche Extension diese Eigenschaft habe, sondern eine
unendliche Reihe endlicher Extensionen; und hierfür sei wieder die
Eigenschaft der Division ein Anzeigen.
Man kann nun sagen: die Extension mit
einem Glied sei
0,3, die mit 2 Gliedern
0,33, die mit dreien
0,333,
u.s.w..
Das ist eine
Regel und das
“u.s.w.” bezieht sich auf die
Regelmäßigkeit, und die Regel könnte auch geschrieben
werden “
[0
˙3, 0,x,
0,x3
]”.
Das, was aber durch die Division
bewiesen ist, ist
diese
Re
gelmäßigkeit
697
im
Gegensatz zu einer andern, nicht die Regelmäßigkeit im
Gegensatz zur Unregelmäßigkeit.
Die periodische Division, also
(im Gegensatz
zu
beweist
eine Periodizität der Quotienten, d.h.
sie
bestimmt die Regel (die Periode), legt sie fest,
aber ist nicht ein Anzeichen dafür, daß eine
Regelmäßigkeit “vorhanden
ist”.
Wo ist sie denn vorhanden?
Etwa in den bestimmten Entwicklungen, die ich auf diesem Papier gebildet
habe.
Aber das sind doch nicht “die Entwicklungen”.
(Hier werden wir irregeführt von der Idee der nicht aufgeschriebenen,
idealen Extensionen, die ein ähnliches Unding sind, wie die idealen, nicht
gezogenen geometrischen Geraden, die
wir
gleichsam nur in der Wirklichkeit nachziehen, wenn wir sie
zeichnen.)
Wenn ich sagte “das
‘u.s.w.’ bezieht sich auf die
Regelmäßigkeit”, so unterschied ich es von
dem ‘u.s.w.’ in “er
las alle Buchstaben: a, b, c,
u.s.w.”.
Wenn ich sage: “die Extensionen von
1:3 sind
0,3,
0,33,
0,333,
u.s.w.”, so gebe ich
drei
Extensionen und – eine Regel.
Unendlich ist nur diese, und zwar in keiner andern Weise, als die Division
.