1
Ich entfalte doch die geometrischen Eigenschaften dieser Kette auch indem ich die Umformungen einer andern gleich gebauten Kette vorführe. Aber dadurch zeige ich doch nicht was ich tatsächlich mit der ersten tun kann, wenn diese sich nämlich tatsächlich als unbiegbar oder sonst wie physikalisch ungeeignet erweist. Also kann ich doch nicht 2. sagen: ich
entfalte die Eigenschaften jener dieser
Kette. |
Wie kann man
den Eigenschaften der Kette entfalten, die sie gar nicht
hat? |
‘Wir
entfalten die Eigenheiten des hier
gezeichneten || gezogenen
Vielecks.’ Nehmen wir an das Vieleck wäre aus Draht gebogen, statt gezeichnet; wären wir noch (ebenso) geneigt zu sagen: wir entfalteten 3. die
Eigenschaften des
gebogenen Drahtes? Wir entfalten sie soll hier doch heißen, wir führen sie vor Augen, machen sichtbar || deutlich, was früher nicht deutlich || zu sehen war. |
Ich messe einen Tisch &
er || eine Tischplatte & sie ist 1 m lang. – Nun lege ich meinen Meterstab an einen andern
Meterstab. Messe ich ihn dadurch? Finde
ich daß jener zweite Meterstab 1 m lang
4 ist? Mache ich
das gleiche Experiment der Messung nur mit dem Unterschied
daß ich des Ausgangs sicher bin? |
Ja wenn ich den Maßstab an den Tisch anlege,
messe ich immer den Tisch, kontrolliere ich nicht manchmal den
Maßstab? Und worin liegt der Unterschied des
Vorgehens? || des einen & des andern
Vorgehens || Vorgehens & des
andern? || zwischen 5 dem einen Vorgehen &
dem andern? |
Ich entfalte die Eigenschaften dieses Vielecks, heißt
hier, ich zeige,
z.B., daß es 15 Ecken
hat. Ähnlich als sagte
ich, || : ich entfalte die Länge
& Breite dieses Papiers indem ich das Papier
auseinanderfalte. |
Das Entfalten ist hier eine Art Zählen. 6 |
Das
Experiment des Entfaltens einer Reihe kann uns, unter anderem, zeigen
wieviele Kugeln die
Reihe enthält || aus wie vielen Kugeln die Reihe
besteht, oder aber, daß wir diese (sagen
wir) 100 Kugeln so & so bewegen können.
Die Rechnung aber des Entfaltens zeigt uns was wir eine Umformung durch bloßes Entfalten nennen. |
“Ich
entfalte die Eigenschaften dieser Kette, ich zeige, 7 was man alles aus ihr machen
kann.” – Was man alles durch bloßes Biegen
in den || ihren Gelenken aus ihr machen kann.
Nun ich könnte sagen: || möchte vielleicht sagen, ich zeige nicht nur physikalische, sondern auch geometrische Eigenschaften der Kette. Könnte man sagen: Die Glieder dieser Kette sind zwar so zusammengeschweißt || zusammengenietet, daß man sie sie || daß man die Kette nicht biegen kann || in diese Stellung bringen kann, aber es ist 8 doch eine geometrische
Eigenschaft dieser Kette daß man sie in diese Stellung bringen
kann. |
Höchstens, || :
daß man sie … bringen könnte, wenn die Glieder nicht
…. |
Die Eigenschaft ist etwa
die, daß die Kette aus 10 Gliedern besteht.
|
“Ich zeige Dir was man alles aus dieser Kette machen
kann.” Dabei 9 nehme ich als
selbstverständlich an, daß die
Glieder sich bewegen lassen nicht
brechen, sich nicht vermehren etc.
etc. – Zeige ich Dir nun nicht
eine
Eigenschaft || Eigenschaften
der Kette? Aber
welche von den vielen Eigenschaften
der Kette zeige ich? Ist es denn noch eine Kette, wenn sie – aus irgend einem Grunde – steif ist, wie ein Stab || Stock? 10 |
Stimmt die Logik mit
2 × 2 =
4 überein? Man kann
2 × 2 =
4 mit ihr in Übereinstimmung bringen, aber auch
2 × 2 =
5. |
Stimmt 2 × 2
= 4 mit der Logik
überein? Man kann
2 × 2 =
4, aber auch
2 × 2 =
5, mit ihr || dem logischen Kalkül
überein? Man kann
2 × 2 =
4, aber auch
2 × 2 =
5, mit ihm in Übereinstimmung bringen.
(Und ich meine:
2 × 2 =
5 kann unter Umständen ein brauchbares
arithmetisches Sätzchen sein.) |
Aber es kann doch 11 nicht
2 × 2 =
4 &
2 × 2 =
5 wahr sein, es sei denn, daß
“2” oder ‘ × ’ oder
‘ = ’ in den beiden Systemen verschiedenes
bedeuten! Soll das heißen: daß in einem
Fall || System
2 × 2 =
4 im andern
2 × 2 =
5 ist sei das Kriterium dafür || der
Grund warum wir sagen, daß in den beiden
jene Zeichen verschiedene Bedeutung hätten. Oder
lehrt die Erfahrung, daß unter solchen
Umständen die Zeichen immer verschiedene Bedeutung
haben? Davon später mehr. 12 |
Was nennen wir Eigenschaften einer Zahl, Eigenschaften eines Satzes? |
Damit daß wir ein Begriffswort bilden
z.B. “mathematischer
Satz” & für das Wort auch eine Verwendung
haben, die uns geläufig ist, sind wir noch nicht im Stande
zu sagen, wie wir, gegeben die
rechten || beliebigen Umstände, geneigt sein
werden es anzuwenden. D.h. wenn ich eine 13 neue Situation an Dich
heranbringe wirst Du eine neue Entscheidung über seinen Gebrauch
treffen müssen, oder auch erkennen, daß Du ‘nicht
umhin kannst’ es hier so zu
gebrauchen, hier diesen Weg einzuschlagen.
(Etwa zu sagen “es gibt keine Konstruktion der
Dreiteilung des ∢ mit
Lineal & Zirkel”.) |
Und so bringt auch
Cantors Beweis eine neue
Situation an uns hervor & die 14 Frage ist:
“Was sollen wir nun
sagen?” |
[Auch Kontradiktionen
könnten unter Umständen richtig, oder wahr, genannt
werden.] |
[Zu zeigen, daß die internen Beziehungen von
Sätzen, die ‘Operationen’ die einen Satz aus
einem andern erzeugen, nicht ‘abzählbar’
sind. Dadurch fällt ein Licht auf den Begriff
‘Operation’.] 15 |
[Freiheit] |
[“Bist Du Dir auch des Unterschiedes bewußt
… ”] |
Ist ein
Kalkül allgemeiner als ein andrer? Worin besteht die ‘Allgemeinheit’ des Mengenkalküls? Nicht darin, daß er ein einfaches Bild einer Klasse andrer (‘spezieller’) Kalküle ist? Ist er ohne Beziehung auf diese auch allgemein? 16 |
Worin besteht die ‘enlightened
simple-mindedness’ von der
Littlewood
spricht? Besteht sie nicht darin zu
glauben, daß die sogenannte allgemeine
mathematische Untersuchung Wahrheiten ans Licht
bringt, die von den
spezielleren Untersuchungen nur noch ins
Kleine ausgeführt werden.
Während der allgemeine Kalkül nur dadurch
‘allgemein’ 17 ist daß er sich auf
spezielle Kalküle bezieht. Weil in der Mathematik
nichts im Wort liegt sondern alles im Kalkül.
D.h. weil das Zeichen in die
reine Mathematik keine andre Bedeutung mitbringt, als der
Kalkül selbst sie ihm gibt. |
Die Mathematik besteht nicht aus Betrachtungen.
Und ‘abstrakt’ kann man einen Teil der
Mathematik 18 nur nennen, insofern
seine Anwendung zwar angedeutet aber im
unklaren || vag gelassen ist. |
[Was fehlt der
Mendelssohnschen Musik? Eine ‘mutige’
Melodie?] |
Wenn
Du sagst: “aber Mathematik muß doch eine Art der
Physik sein!”, so sage
ich || sagen wir: dann ist sie eine
Physik ihrer Symbole,
d.h., sie hat ihre
physikalische 19 Bedeutung
(Pascal)
für die Symbole die Bilder, die sie
empfiehlt. |
‘Diese Überlegung zeigt, …’ Wie
kann eine Überlegung etwas zeigen? |
D.h. ich wünsche,
daß Du Dir die Mathematik in jedem Stadium als komplett
(Referrent), & jeden neuen Kalkül nicht als
eine Entdeckung sondern als neue Erfindung denkst. 20 |
‘Ich will Dir in dieser Menge von Operationen ein
Loch zeigen.’ |
6.1.39.
Zu welchem alltäglichen
Zwecke ließe sich die Cantorsche
Rechnungsart || Rechnungsweise
gebrauchen? Es ist leicht verständlich im Fall einer endlichen Anzahl von Zahlen. 21 |
Wir
wollen uns die Cantorsche
Bildungsweise von D' eingeführt denken
zu einem praktischen Zweck. (Dies
natürlich aus Gründen der Klärung unsrer
Grammatik, & es
darf daher gleich diese
praktische Anwendung eine noch so phantastische
sein.) || & die praktische
Anwendung darf daher so phantastisch sein, wie sie
will.) |
Als erstes fällt mir ein das
Cantorsche 22 Verfahren als Lösung eines
Scherzrätsels. Ich sage: “ich
habe alle Kombinationen von Stellen in unendlichen Reihen
angeschrieben – zeige mir eine Kombination die ich nicht
angeschrieben habe.” |
Eins ist klar: Wenn jemand
sagte, || : “Wer weiß, || – vielleicht kann man gar keine reellen Zahlen außer
diesen mehr bilden, weil schon || einfach alle
Kombinationen 23 von Stellen erschöpft
sind” – so kann man ihm, nach
Cantor, antworten:
Nein, denn wenn Du ein Gesetz angibst, das
D' erzeugt so wirst,
Du zugeben || sagen, daß es eine von
allen diesen Gesetzen verschiedene Zahl erzeugt.
|
Das heißt: die
Cantorsche
Demonstration ist eine richtige Antwort auf jenen
unsinnigen || falschen Einwand. Aber nicht,
weil sie eine neue Kombination 24 zeigt, die man
früher nicht gesehen hatte, sondern weil sie zeigt, was man in so
einem Fall, eine von allen diesen verschiedene Zahl nennt
& was hier also
‘Bildung einer neuen
Kombination’ zu nennen
wäre. |
Es kann
z.B. einen Beweis geben, daß
π von den algebraischen Zahlen
‘diagonal verschieden’ ist. 25 |
Unser Ausdruck ist nur dort von
besonderer || einer besonderen Exaktheit || muß nur dort
von einer besonderen Exaktheit sein, wo sie den
psychologischen Punkt genau treffen muß. || strebt nur dort
eine besondere Exaktheit an || muß nur dort von
ausnehmender || einer besonderen Exaktheit
sein; || , nur dort kommt es
(uns) auf eine haargenaue Einstellung des
Ausdrucks an, wo sie den
psychologischen Punkt genau treffen
muß. || strebt nur dort
besondere || eine peinliche
Exaktheit an, nur dort kommt es
(uns) auf die kleinste Abweichung nach rechts
oder links an, wo der
psychologische Punkt zu treffen ist. || es sich drum
handelt, den psychologische Punkt
zu treffen. 26 || Unser Ausdruck muß nur dort von
einer ganz besonderen || ganz besonderer || von einer
ungewöhnlichen
Exaktheit sein, nur
dort || da kommt es uns
auf die Schattierung des Ausdrucks an, wo es gilt, den
psychologischen Punkt zu treffen. (Gegensatz
hiezu Moore.) Wir
verfassen kein || nicht ein
gerichtliches || juridisches
Dokument, in || mit dem wir der Gegenpartei jeden
Einwand verstopfen wollen || das jeden Einwand voraussehen
& verstopfen soll || muß. Denn wer sich
nicht gutwillig überzeugen läßt, den
wollen wir gar nicht überzeugen. || Wir verfassen kein 27 juridischen Dokument,
das der Gegenpartei jeden Einwand verstopfen soll.
|| , das jeden Einwand des
Gegners verstopfen soll. …
Denn wer sich nicht gutwillig überzeugen läßt,
den wollen wir gar nicht überzeugen.
|
[Hierher gehört auch
der Satz von den ‘Fahrgeleisen’.] |
Nun geht aber
Cantor ja noch weiter: er
sagt nicht nur, man könne keinen Grund haben zu
sagen: dies seien nun alle reelle
Zahlen; sondern, er zeigt 28 uns auch eine reelle Zahl
die von allen diesen verschieden sei; || :
nämlich die Zahl “diagonal
verschieden von …”. 29 |
Warum
verwendet z.B. Hardy nicht die logische
Demonstration, wenn er zeigen will, daß es außer den rationalen
Zahlen noch andere Zahlen geben muß || es gäbe außer den
rationalen noch andere Zahlen? – Etwa weil
das Argument auf dieser Stufe zu schwierig
ist? Nicht darum,
weil, das Geschöpf, was dabei
herauskäme || herauskommt, nicht eigentlich wie eine
neue || weitere Zahl
aussieht? (Er hätte auch
die Zahl
0˙01001000100001
… anführen können von der es klar ist
daß sie || die offenbar kein periodischer
Dezimalbruch ist.) Er wollte etwas 30
haben || vorzeigen, womit man
offenbar messen
kann. || mißt. |
Der allgemeine Satz mag sagen, was
alle speziellen sagen, aber die allgemeine Technik
tut || lehrt nicht was alle besonderen Techniken
tun || lehren. |
Indem ich Dich lehre einen Ziegelstein
auf einen andern zu legen, lehre ich Dich nicht ein Haus bauen, –
da ich Dich 31 doch die allgemeine Form des
Häuserbauens gelehrt habe. |
Wir sagen: Wenn man von einer Technik des
Entwickelns zeigen kann, daß ihre Resultate mit denen eines Systems
von Entwicklungen diagonal nicht
übereinstimmen, so sagen
wir: die || diese Technik habe ein von
den || allen Entwicklungen
des Systems verschiedenes Resultat. 32 |
Kann
man also zeigen, daß die Entwicklung von √2 mit den
Entwicklungen der Brüche diagonal nicht
übereinstimmt, so sagt man: √2
erzeuge eine von ¤ jenen andern
verschiedene Entwicklung. |
Wie ist es nun mit der
Technik || Regel des Entwickelns:
‘Addiere 1 zu jeder Stufe der Diagonale des
Systems.’ Das ist doch eine Technik des
Entwickelns. Und ist es nicht
33 wahr, daß ihre
Resultate diagonal mit den Entwicklungen des Systems || mit
den Entwicklungen des Systems diagonal nicht
übereinstimmen? – Die Umstände sind
hier ganz anders || andere, (ich
habe eine ganz neue Art der Regel eingeführt) also
muß || müßte ich hier nicht dasselbe
sagen. Aber ich kann dasselbe sagen &
also D'S eine
von allen Zahlen des Systems verschiedene Zahl nennen. |
Woher aber das
eigentümliche Gefühl, daß zwar
√2 eine Zahl
ist || sei, weil sie – wie ich zu sagen
versucht bin – ihre 34 ganze
unendliche Entwicklung schon
voraussieht, dagegen D'S eigentlich
keine || nicht eine Zahl sei, weil hier immer
nur das Stück vorhanden ist, was ich gerade
bilde? – || weil es hier immer nur die
Stücke gebe, die ich gerade bilde?
Aber worin liegt es denn, daß die √2 (z.B.) ‘ihre ganze Entwicklung voraussieht’? || ihre Entwicklung schon in sich hat? Oder, || : daß die √2 – sozusagen – schon fertig ist, schon fertig da ist, wenn auch || schon ihre Entwicklung nur 35 im Gang ist? |
Oder: Wie kommt es, daß wir
nicht versucht sind zu sagen: || ,
die Zahl π kennen wir nur
beiläufig || nicht genau, da wir ihr Zahlzeichen
nie || nicht ganz anschreiben können.
Warum erscheint uns hier die Entwicklung
gleichsam als ein Nebenprodukt des Kalküls mit
dieser || der Zahl; während
die Entwicklung || sie im Fall
D'S das ein &
alles der Zahl zu sein scheint? Doch offenbar, weil im Fall von π die Entwicklung || das Bilden der 36 Entwicklung wirklich nur ein
kleiner Teil des Kalküls mit π ist, weil
also das Zeichen π in einem
ausgedehnten Kalkül eingebettet ist (der ihm seine Bedeutung
gibt), während D'S nichts weiter ist als
eine Technik zur fortgesetzten Bildung
eines Dezimalbruchs || von Dezimalstellen.
|
“Der Kalkül gibt
dem Zeichen seine Bedeutung”,
heißt:
Der Kalkül zeigt, wozu ein Zeichen
37 dient – nicht || wozu das Zeichen … nütze ist – nicht
… sein Aussehen || seine
Schreibweise bloß, nicht ein Bild das sich mit ihm
verbindet, nicht ein Teil bloß || irgend ein
Ausschnitt des Kalküls. || ¤: Der
Kalkül zeigt Dir, wozu das Zeichen dient– || ; wozu man es überhaupt braucht
– nicht sein Aussehen || seine Schreibweise bloß,
nicht ein Bild das sich mit ihm verbindet, nicht ein
Teil bloß || irgend ein Ausschnitt des
Kalküls. || Der
Kalkül offenbart Dir den Zweck des Zeichens; wozu
man es denn überhaupt gebraucht || es denn überhaupt
dient – nicht seine Schreibweise
bloß || allein, nicht ein Bild, das sich
mit ihm verbindet, nicht ein || irgend ein
Ausschnitt bloß des Kalküls.
(So wie man sagen 38 kann: wenn Du die
Konstruktion || den inneren Bau eines Hauses
verstehen willst schau nicht nur auf die Fassade – obwohl diese
manchmal über den Bau Aufschluß geben
kann.) |
Angenommen, wir
hätten nur mit periodischen
Dezimalbrüchen gerechnet;
& nun wäre auf diese Grundlage die
Cantorsche Erfindung
gefolgt || gesetzt worden – ist es klar,
daß wir uns entschlossen hätten, die neuen Regeln zur
Bildung von Ziffernreihen ‘Zahlen’
39 zu nennen?
Hätte man sie etwa neue
‘Brüche’ genannt? |
Es ist die große
Diversität dessen, was wir reelle Zahlen nennen, was uns
die Zahlen D'S schlucken läßt. |
“… also müßte
ich hier nicht dasselbe sagen” –
d.h.: hier ist der Weg durchaus nicht klar
vorgezeichnet. |
Wenn ich
nun aber erkläre auch die 40 Regel
D'S habe als Zahl zu
gelten – – aber eh' ich mich darauf
einlasse || darauf eingehe: Muß
nicht die Regel D'S jedenfalls als neue
Regel gelten? Ja, aber das
ist
DS
auch. Es muß heißen:
Ist nicht das Resultat der neuen Regel jedenfalls
ein neues Resultat? D.h.: ich
brauche es nicht Zahl zu nennen, muß aber doch zugeben,
daß ich eine neue Extension vor mir habe. Aber eine Extension 41 ist die Extension nur von
einer Regel; & ich machte die Übereinkunft, etwas eine von
den Extensionen von S verschiedene Extension einer
Regel zu nennen, wenn es sich zeigen
ließe || läßt, daß die
Extension ein D'S sei
(D'S ist
Prädikat). Und da kommt es drauf an
was ich “Regel” &
“zeigen lassen” nennen will. Ich
könnte ohne weiteres sagen: ich wolle nicht
sagen es ‘ließe sich
zeigen’, daß D + 1 ein
D' sei.
Aber ich kann wieder D + 1 ein D' nennen & 42 also sagen, ich habe
vermittels der
Cantorschen Methode eine neue
Extension || Regel mit neuer Extension
abgeleitet. Und dann habe ich also einen Begriff der
Regel gebildet, den man nicht in ein System ordnen
kann. || ,
der das System durch seine Bestimmung
ausschließt || aufhebt || nicht
zuläßt. |
Und das ist nun nichts so besonderes. 43 |
(Sandhaufen, nächst größere Länge
etc.) |
8.1.
|
Wie zeigt man, daß … alle
Permutationen von a b c d
sind? Wie zeigt man daß man … so in eine Reihe ordnen kann? |
Es müßte heißen: Nun führen wir
44 einen Begriff
ein, von dem es keinen Sinn hat zu sagen, er werde in ein
System gebracht. (Nicht eine Entdeckung
– eine Erfindung.)
|
Jede ‘Eigenschaft einer
Zahl’ entspricht einer endlosen Technik¤
des Erzeugens einer Zahl aus andern.
Wenn1 man nun solche Techniken in eine Reihe ordnet, so zeigt uns die Reihe neue Techniken an. 45 |
Eine
Eigenschaft einer Zahl, (das) ist –
möchte ich sagen – ihre Beziehung zu einer
andern Zahl oder andern Zahlen. |
9.1.39.
Wir behandeln die Grammatik des Wortes
“Technik”. |
Wenn wir sagen || man sagt:
“Die || die
Differentialrechnung handelt || spricht gar nicht
von unendlich Kleinem”, so müßte es vor allem
heißen, daß eine Rechnung noch nicht von etwas
handelt || spricht; dann aber daß die
charakteristische Anwendung der Rechnung
sich allerdings nicht, – wie der Ausdruck
“unendlich klein” 46 erwarten
läßt, || – von winzig kleinem || auf winzig
kleines gemacht wird || auf winzig
Kleines richtet. Aber ebenso richtet sich die Anwendung der unendlichen Mengenlehre nicht auf ungeheure Mengen! |
Kann ich sagen:
“Wenn ich die horizontale Techniken gelernt
habe & die Technik der Bildung neuer in vertikaler
Richtung, so habe ich damit die Technik der 48 Bildung von
DS oder
D'S gelernt”? – Nun, habe ich sie denn damit schon
gelernt? Nein. – Aber
Cantor lehrt sie mich durch
sein Schema, (das ja neu ist.)
D.h.: dieses Schema
bringt auf
neue Möglichkeiten von Operationen z.B. auf
die von DS, & auch auf eine
neue Möglichkeit der Begriffsbildung
‘Operation’. |
“Technik, die ein von den
S verschiedenes Resultat
liefert” nenne ich eine, die ein D'S hervorbringt.
Nach dieser Definition nun kann ich nicht sagen
D'S stehe für eine
Technik die ein von 48 den
S verschiedenes Resultat
hervorbringt. |
Es ist etwa || ganz
ähnlich, wie wenn Einer geneigt ist zu glauben || glaubt, jede unendliche Dezimalzahl
müsse sich einmal wiederholen
(& dies ist man als Anfänger
manchmal geneigt zu glauben)
& wir zeigen ihm 49 nun die Reihe 0˙1011011101111 … & er verläßt seine frühere Auffassung. |
Wie man umgekehrt 50 eine Technik
D'S kennen könnte
ohne die S zu kennen. |
Wie, wenn man von allen
existierenden hergebrachten reellen Zahlen
absieht || absähe || Sehen wir doch einmal
von allen hergebrachten reellen Zahlen
ab¤, & mit
beginnend, Reihen
D'S erzeugt (wobei
immer 0 in 1 & 1 in 0
verwandelt || verändert
wird). Ich sage nun: 51 wenn ich das
D'S immer wieder dem
System hinzufüge & ein neues
D'S bilde, so lassen sich
die so entstehenden D'S nicht in
eine Reihe ordnen. Aber die so entstehenden
D'S lassen sich
doch in eine Reihe ordnen. |
Man kann ‘sie’ nicht in eine Reihe ordnen, –
wer sind die sie, die man nicht ordnen
kann? Ich habe eine Begriffsbestimmung gemacht, in
der ich die Ordnung ausgeschlossen habe,
indem ich 52 bestimme, jede Ordnung sei
immer nur als Teilordnung anzusehen; nun darin
‘kann’ man diesen Begriff nicht
ordnen. Der Schein der Unmöglichkeit
(des Nicht-Könnens) entsteht hier durch die
Art wie wir den Begriff einführen. Indem
die Bestimmung || eine Bestimmung, die das Ordnen
ausschließt, nachträglich wie eine Entdeckung über den
schon fertigen Begriff eingeführt wird. 53 |
Wenn ich also jemand die Technik lehre Brüche
anzuschreiben || zu bilden so habe ich
ihn gelehrt so viele Zeichen anzuschreiben wie wenn
ich ihn lehre, Kardinalzahlen im Dezimalsystem zu bilden || gelehrt so viele zu bilden || so viele zu bilden gelehrt
wie Kardinalzahlen im Dezimalsystem! Lehre ich ihn aber die || jene Technik, die D'S zu bilden, so lehre ich ihn mehr Zeichen bilden, als im ersten Fall! || Kardinalzahlen! |
Wenn die
C'sche
Schema || Demonstration etwas
sonderbares 54 || seltsames
zum Vorschein bringt, dann eine seltsame
Begriffsbestimmung. Wenn hier eine Entdeckung vorliegt, so eine psychologische. |
Es ist klar, welchen Zweck es haben
kann, zu beweisen daß (z.B.)
π ein D'S der algebraischen
Zahlen ist || eine Zahl z.B.
π als von den
algebraischen Zahlen verschieden zu
erweisen: aber welchem Zweck kann es
dienen || welchen Zweck kann es haben eine von den S verschiedene Regel wegen ihrer
D'-Verschiedenheit 55 wegen
einzuführen? || : aber welchem
Zweck kann es dienen, ein D'S bilden bloß seiner
Verschiedenheit wegen?
D.h.: wie kann man in den Fall kommen,
eine von den Regeln S || eines
Systems verschiedene Regel, bloß ihrer
Verschiedenheit wegen, zu
benötigen || brauchen || bedürfen? |
Nun, ich könnte mir
den Fall denken: jeder einer Klasse von Leuten
schreibt zu irgend einem Zweck sukzessive die
56 Stellen von
π,
π2, π3 etc. hin;
¤ ¤
¤ 57 ich soll nun eine Reihe hinschreiben
die einerseits auf eine andre Art als die Reihen πn
gewonnen wird, anderseits soll ich mit Sicherheit
versprechen können daß binnen so & so viel Stellen
meine Reihe mit irgendeiner beliebig gewählten Reihe
πn nicht
übereinstimmen wird. Könnte man die Reihe D'S hier ein neues System der Numerierung nennen. Und zwar nicht allein ihrer Extension wegen, denn das geht nicht, 58 aber zusammen mit ihrem
Titel ‘D'S’?
Man würde dann sagen: zu einer
neuen || verschiedenen Numerierung gehört erstens
eine andere Technik des Erzeugens & zweitens die
Nichtübereinstimmung mit
den Entwicklungen des Systems binnen
einer angebbaren Zahl von Stellen. 59 |
Wozu dient mir eine Technik
der Entwicklung, die mit allen den S diagonal 60 nicht
übereinstimmt. |
In der Mathematik werden Gerüste konstruiert.
‒ ‒ ‒ || Sprachgerüste
konstruiert || Begriffs-,
d.h., Sprachgerüste
konstruiert. Wozu || Ob & wozu
sie dann zu gebrauchen sind, ist eine andere || nun
eine weitere Frage. |
So untersucht die Mathematik auch nicht ein
Kontinuum (nämlich etwa das
‘mathematische
Kontinuum’) sondern
konstruiert einen Begriff des 61
Kontinuums:
d.h.: sie stellt gewisse Regeln für
den Gebrauch des
Wortes || der Worte
‘Kontinuum’
‘kontinuierlich’,
etc. || u.a., auf;
& es fragt sich nun, ob &
inwiefern, das so gebildete Spiel mit Worten nützlich
ist bei der Beschreibung eines kontinuierlichen
Tatbestandes. |
Wieviele
Zahlen || Kardinalzahlen
¤ hat
der anschreiben gelernt der (wie wir alle) gelernt hat
das Dezimalsystem zu beherrschen, oder wieviele Multiplikationen
62 hat er auszuführen
gelernt? Das könnte man in zwei Weisen
beantworten. Entweder indem man die Zahl der
Multiplikationen nennt, die er beim Unterricht
ausgeführt hat. Oder die Antwort ist:
“Er kann beliebig viele
Multiplikationen
ausführen”. (Und nun entschließt
man sich etwa dazu “beliebig viele” ein
Zahlwort zu nennen.) Kann der nun mehr Rechnungen
oder gleichviele Rechnungen als 63 ich, der nicht, wie ich nur
beliebige Multiplikationen, sondern auch
beliebige Divisionen ausführen kann? Es
scheint, er kann mehr, aber anderseits kann er doch auch nur
beliebig viele Rechnungen
ausführen; || , also ebensoviele wie ich.
Was zeigt dies nun? Zeigt es irgend etwas anderes, als
daß es dumm ist hier nach der Analogie mit den
Zahlwörtern zu suchen || fragen, wo es
offenbar || ist, hier zu fragen, welches der, den
natürlichen64
Zahlen || Zahlwörtern analoge Gebrauch des
Wortes “beliebig viele” ist;
da es hier offenbar verschiedene Wege gibt, die man
‘die Fortsetzung des alten Weges’ nennen
kann. Und sagt man nun:
man
habe || wir haben gleichviele || ebensoviele || die Beiden || wir
beide hätten gleichviele Rechnungen ausführen
gelernt, so ist das nicht der Ausdruck einer Entdeckung über das
Wesen der Unbegrenztheit, sondern eine Bestimmung über den
Gebrauch 65 des
Wortes || Ausdrucks “gleich
viel” in der Verbindung mit dem
Ausdruck “beliebig
viele”. Eine Bestimmung die,
wahrscheinlich, zweckmäßiger
hätte anders getroffen werden
sollen || anders getroffen worden wäre. |
Aber was soll man auf die Frage
antworten: “Wieviel
Kardinalzahlen gibt es?” – Warum
sollte man nicht die Antwort vorschreiben: “Diese
Frage heißt nichts”? – Aber hat denn die
Frage keinen Sinn? Nicht, wenn 66 Du ihr keinen Sinn
gibst. Und angenommen, Du
setztest die || als Antwort fest:
“zahllose”, || “Unbegrenzt viele”, so ist damit noch
nicht bestimmt wie Du diesen Ausdruck nun noch weiter
gebrauchst. || gibst. Und wenn Du
ihr einen gibst, so kannst Du ihr nun den einen oder den andern
geben. |
In der
Mathematik werden Begriffsbestimmungen gemacht, nicht
die Eigenschaften von
Gegenständen || Begriffen
gefunden.
⇒ 67 Es sei denn,
Eigenschaften, wie die Zweckmäßigkeit. |
Eine Technik
‘handelt’ von nichts. Man
mag sie aber mit Hinblick auf die & die
Anwendung lehren. Es wäre seltsam,
die || eine Technik des
Springens || Schleuderns,
z.B., eine allgemeine Technik zu nennen, weil
sie allerlei verschiedene Verwendungen hat. |
‘Eigenschaft einer
Zahl’ 0'a = b Man
zeigt, daß die Operationen mit Kardinalzahlen nicht
abzählbar
sind, indem man zeigt daß jedem System S solcher
Operationen69 eine neue
Operation D'S entspricht.
Dann sind aber auch die Sätze der
Arithmetik nicht abzählbar. Dagegen sind aber
Russells
Sätze || die in Russells System beweisbaren Sätze
abzählbar. |
Wenn
wir die Zeichen Russells
als Ziffern auffassen, so wird jeder seiner Sätze ein
Zahlzeichen & jeder seiner Beweise eine bestimmte
Konstruktionsart einer Zahl (aus den Zahlen der
primitive propositions). Wir könnten jeden
solchen Satz schreiben: 70 “die Zahl
N || n ist
aus M,O,P,Q || r, s, t, u,
beweisbar” wo Beweisbarkeit eben eine
Eigenschaft von Zahlen ist. |
12.1.
Multiplikation
& Division. Division hat
größere Mannigfaltigkeit; sie zeigt auch,
wenn || daß
a × b
nicht c
ist. |
Beweise in meinem
W-F System, daß etwas
keine Taut. & keine
Cont. ist. |
Was heißt es einen
R'schen Beweis einmal als Beweis des
R'schen 71 Satzes, einmal als Beweis
seiner Beweisbarkeit aufzufassen? |
Wie operiert man mit dem
Russellschen Satz, wie mit dem Satz, er sei beweisbar?
Oder analog: Wie operiert man mit der Taut. (p) & anderseits mit einem Satz p = taut.? Sagen sie || diese nicht verschiedenes? Nun ja; es sagt ja jeder sich selbst, d.h., was man liest, wenn man ihn liest. Aber nun fragt es sich, welchen Gebrauch man von den beiden macht. 72 |
Aber jedenfalls ist doch die Verneinung des einen nicht die
Verneinung des andern! Denn wenn ⊢p ⊃ p . = . p ⊃ p = taut., dann kann man fragen: was ist nun das Negativ des Satzes “⊢p ⊃ p”? Besagt es, daß der Satz nicht beweisbar ist, oder daß sein Gegenteil beweisbar ist? 73 |
Endlose Melodie |
Unendliche Erlaubnis Unendlicher Wunsch |
Welcher Teil der Mathematik
wäre insbesondere auf eine unendliche Baumreihe
anzuwenden? Hat der Satz Sinn:
“Diese Baumreihe hat kein Ende || läuft
ohne Ende weiter”? (Warum sollte man
nicht, z.B., eine
kreisförmige Baumreihe so nennen?)
Kann man etwas mit ihm anfangen, so hat er
Sinn. |
Kann man sich unendlich 74 viel Geld
wünschen? Wie weiß man es, wenn der Wunsch
erfüllt ist? |
Wie, wenn jemand sagte:
“Russell behauptet
durchaus nicht daß der Satz beweisbar ist || die
Sätze beweisbar sind; sondern er behauptet einfach
die Sätze, ihre Wahrheit.”? |
“Russell behauptet nur: ‘Es regnet,
oder es regnet nicht’ || , daß es regnet oder nicht
regnet.” |
‘Es ist wohl wahr, || :
Russell behauptet nur
Tautologien; aber er behauptet nicht daß es Tautologien
75 sind. Angenommen
R. macht einen
Rechenfehler, so behauptet er am Ende || dann
also etwas, was keine Tautologie ist.’
‘Russell behauptet nur﹖ am Ende eines Beweises; aber er behauptet nicht daß dies bewiesen wurde.’ |
Wie aber wenn ich sagte:
‘Russell
interessieren nur Tautologien; er gibt uns also eine Liste von
Tautologien, oder auch die Behauptung, daß dies alles Tautologien
seien’? |
Wenn
Du R. widersprechen 76 wolltest, wie
würdest Du es tun: indem Du behauptest, daß
einer seiner
Sätze || sein Satz || ein Satz der
Principia Mathematica nicht beweisbar sei, oder,
daß sein Gegenteil beweisbar sei. Oder:
Hätte
R. unrecht nur wenn das Gegenteil seines Satzes
¤
bewiesen || beweisbar wäre, oder auch, wenn sich der Satz als nicht
beweisbar herausstellte. |
Welches ist also das Gegenteil einer
R'schen Behauptung? 77 |
Wie wäre es nun mit einem Satz, als dessen Beweis
nicht der Beweis seiner Beweisbarkeit, sondern der Beweis seiner
Unbeweisbarkeit in einem gewissen System
wäre? || gälte? Nun wir hätten hier eine etwas seltsame Ausdrucksweise || Ausdrucksform vor uns. Ein solcher Satz wäre z.B. “⊢p ⊃ q”. Warum soll ich nicht festsetzen, daß 79
Taut.2
|
Was
wir lehren, ist die Verschiedenartigkeit || Vielart der
Begriffe, wie sie weder in der
Oberflächengrammatik unserer Sprache, noch in den
Bildern, zum Ausdruck kommt, die wir mit unser Ausdrücken
verbinden, sondern in der Struktur des Gebrauchs, den wir von ihnen
machen. Diese Struktur zeigt uns, gleichsam, neue
Dimensionen des Begriffs. Während von
oben angesehen, alles in einer Fläche zu liegen scheint.
Die 82
Konnektivität
des Begriffs ist eine andere als sie, vom gewöhnlichen Standpunkt
aus gesehen || angeschaut, scheint.
Was von einem Punkt wie Fransen aussieht sieht man von einem andern || da || hier gesehen wie Fransen || ausgefranst aussieht || erscheint sieht || erkennt man von dort als die Meridiane einer Kugel. || Was von hier wie Fransen aussieht, erkennt || sieht man von dort als Meridiane einer Kugel. 83 |
Denn vom Satz “⊢p ⊃ q ≠
taut.” möchte man etwa
sagen: Gib uns nur Zeit & wir werden
auch ihn als Tautologie erweisen. Wir werden ihn
etwa arithmetisieren & dann in
R'sche Logik
umwandeln. || umsetzen.
Mache ich aber den Schritt, ihn ⊢p ⊃ q zu schreiben, so || so zu schreiben: ⊢p ⊃ q, so erkenne ich damit eine neue Beweisart für Sätze || einen Satz dieser Form || diese Satzform an || diesen Satz an || an für Sätze || einen Satz dieser Form || diese Satzform. Ich fasse dies nun eben als Schritt auf; obwohl es ein degenerierter Schritt ist. Es ist doch dieser Satz (könnte man sagen) ein neues ¤ 84
mathem. Instrument || ¤ so erkenne ich damit eine neue
Beweisart || Art von Beweis für diesen
Satz || den Satz ⊢p ⊃ q an; mache
ihn damit zu einem neuen math.
Instrument. Denn
⊢p ⊃ q ist
(nun) ein Satz, der wahr ist, wenn er
unbeweisbar || R-unbeweisbar
ist, & das war “⊢p ⊃ q ≠
taut.” nicht. Ich will diesen Satz als ein neues Instrument aufgefaßt wissen. Und er ist doch offenbar keine Tautologie; & er ist doch offenbar ein Satz (& einer nach den Konstruktionsregeln R's). 85 |
Ehe
man die 5-Ecks-Konstruktion kannte, &
wußte, daß es keine 7-Ecks-Konstruktion gibt; war || standen nicht das Wort || die
Ausdrücke “5-Ecks-Konstruktion”
& “7-Ecks-Konstruktion” auf gleicher
Stufe? Aber vom letzteren kann man sagen, daß
er sinnlos ist – wenn man aber das
nicht wußte so wußte || kannte man ebensowenig den
Sinn des Wortes || Ausdrucks
5-Eckskonstruktion. 86 |
Nur
von einem gewissen Punkt, vom Zuschauerraum, sieht man das
Zauberstück. Von || ; von
den andern Seiten sieht es ganz anders &
durchaus || absolut nicht wie ein Zauberstück
aus. |
Verschiedenerlei || Verschiedene
Pointen eines Beweises: zu zeigen daß man das sagen
muß, oder mit praktischen Bedürfnissen in
Konflikt kommt – oder, zu zeigen, daß || aber,
daß man das sagen kann, versucht sein kann es zu
sagen. Ich 88 meine: Der
Beweis legt eine Ausdrucksweise nahe & kann dies tun weil
diese Ausdrucksweise am besten den
Tatsachen angepaßt ist, oder aber, weil sie eine
besonders paradoxe ist & es schön ist, zu
finden, daß ein paradoxer Satz wahr ist. || Paradox
wahr ist. 89 |
Da
die Tautologien, z.B.
⊢p ⌵ ~p, ja
doch nicht die Funktion gewöhnlicher Sätze haben so ist
nicht einzusehen, warum wir nicht Sätze mit
noch ganz andern Funktionen verwenden sollen. || mit noch weit verschiedenen Funktionen verwenden
sollen. |
Worauf läuft es denn im Ernst hinaus? Daß,
wenn ich den Beweis der
S-Unbeweisbarkeit von
p als
Beweis des Satzes p anerkenne, ich damit ein
math. System anerkenne,
90 in welchem
p wahr
ist & nicht zu S gehört; daß es also
leicht ist, die Dinge so zu drehen, daß … 91 |
Man
könnte auf zwei Arten zur ‘Kurve’
kommen.
Einmal durch eine Gleichung
… ten Grades & indem man zeigt
daß ein Kreis & ein Punkt ein besonderer Fall solcher
Kurven ist – aber auch auf einem ganz andern
Weg, || : indem man einfach sagt
sei auch eine Kurve da
durch sie auch Abszissen Ordinaten zugeordnet
werden. Dies wäre auch ein Schritt der
Math., aber ganz anderer Art, als der
frühere. 92 |
Ich könnte mir einen
Zauberer || Zauberkünstler denken, der
seine Kunststücke vor einem Spiegel ausführt, der ihm
sie zeigt, wie das Publikum sie sieht,
& der nun selbst darüber staunt, daß er dies
hat ausführen können. (So betrügt der Satz den Mathematiker.) Übrigens – nur ein sehr gewandter Zauberkünstler würde || könnte durch so einen Spiegel betrogen werden, 93 einer dem die
Griffe seiner Kunststücke so geläufig geworden
wären, daß er sich ihrer gar nicht mehr bewußt
ist. |
‘Du kannst einen Menschen im
Finstern nicht sehen; ich werde Dir zeigen, wie ein Mensch, im
Finstern ausschaut.’ (Ich mache dann etwa eine
Photographie von ihm mit infraroten Strahlen.)
Was heißt es nun zu sagen: ‘Ehe ich den Prozeß nicht verstehe – verstehe ich 94 auch das Resultat
nicht.’? |
Er zeigt mir ein Bild & sagt:
“So schaust Du im Dunkeln aus.”
Versteh ich ihn nun, || ; weil er mir doch ein Bild
zeigt? |
Gab es immer
die Probleme || das Problem der Grundlagen der
Mathematik? – |
Das Problem entsteht || erwächst dort am
leichtesten, wo starke Tendenzen der Assimilation
der || von Ausdrucksweisen mit 95 ganz
verschiedener
Grammatik || Anwendung
sind. || vorhanden
sind. |
Kommen diese Tendenzen
plötzlich einem Wunsch entgegen & werden
nun || die Ähnlichkeit des
Ausdrucks wird aufgegriffen um zu
zeigen, daß eigentlich || im Wesentlichen
kein Unterschied bestehe, dann entstehen philosophische
Probleme || Beunruhigungen durch den
Zwiespalt || Widerstreit der Ausdrucksweisen, der
sich in dieser || der alten Sphäre nicht
austragen läßt. |
“Er hat den Ostpol der 96 Erde
entdeckt.” – Hat er vielleicht einen Grund
entdeckt, irgend etwas ganz Triviales
(“die)
Entdeckung des Ostpols”
zu nennen? |
“Er
hat ein Mittel gegen die Arbeitslosigkeit
gefunden.” “Er macht Vorschläge zur
Beseitigung der Arbeitslosigkeit.” Verstehen
wir diese Sätze? |
“Er hat gefunden, wieviel Uhr es auf der Sonne
ist.” 97 |
Ich vergleiche diesen Satz nicht mit etwas Rätselhaftem,
sondern mit etwas Unverstandenem. |
Ich zeige Dir eine neue || andere Art
diesen Satz zu betrachten: nicht im Lichte des Rätselhaften
sondern im Lichte des Unverstandenen. |
Du siehst diese Figur noch immer als
Modifikation || Variation einer Figur
A 98 an (so weit sie sich auch
schon von ihr entfernt hat); ich sage: sieh doch auf B hin! || vergleich sie
doch mit B! ist sie denn nicht eine Variation von
B? Und so hattest Du sie bisher noch
nicht angeschaut, & das || ‒ ‒ ‒ & das
ändert Deine Einstellung zur Figur.
(Vielleicht aber ändert es
Deine Einstellung
nicht!) |
Aber “p ⊃ q ≠ taut.”
ist doch ein Satz der Geometrie der Sätze einer gewissen
Art. Und es ist nun 99 entweder ein
geometrisches Faktum, daß dieser
Satz selbst eine Tautologie ist, oder, daß er keine ist.
Angenommen das Faktum, er sei eine
so kann doch, daß ich ihn nun einfach
⊢p ⊃ q schreiben will,
daran || hieran
nichts ändern! || .
Denn ⊢p ⊃ q
sagt doch nun genau dasselbe aus, wie
jener || der längere
Satz. Aber wenn ich annehme, er
sei eine Tautologie, so nehme ich || ich nehme doch
also an, daß gewisse Transformationen, die ich zulasse, ihn
zu einer Tautologie 100 machen. Und die
Frage ist ob ich solche Transformationen des Satzes zulassen
soll, wenn ich die Schreibweise ⊢p ⊃ q zulasse
& den Beweis daß p ⊃ q keine Tautologie
ist. |
Aber kommt das
also nicht darauf hinaus, daß ich sehr wohl für einen Satz
einen andern als nicht-R.schen Beweis anerkennen kann & einen
R.schen nicht? 101 |
Wieviele Multiplikationen habe ich
auszuführen gelernt? – Wieviele Multiplikationen kann ich ausführen? – |
‘Du kannst nicht alle
Kisten der Welt, in eine Kiste legen.’
Warum? Weil ihrer zu viele sind? –
Ich werde Dir beweisen, daß es eine unendliche
Anzahl || Zahl
von Kisten gibt; denn keine Kiste, wie groß Du sie auch machst kann
alle Kisten enthalten || beherbergen. 102 |
Man kann nicht alle Systeme auf die Kardinalzahlen aufteilen,
weil, sie aufteilen, ein System bilden heißt. |
Numeriere die Systeme
einfach || eben mit allen || den
Brüchen zwischen 1 & 2 &
behalte || halte die
Brüche zwischen 2 & 3, 3 & 4,
u.s.w. für weitere
Fälle, in Vorrat. Dann kannst
Du die Systeme der Systeme nach Herzenslust numerieren, wenn
auch nicht in eine Reihe ordnen. |
103
“Du kannst nicht alle Systeme in ein System bringen; daher
kannst Du nicht allen Systemen Namen geben; denn Du kannst alle
Namen in ein System bringen.” –
Du kannst allen Systemen Namen geben,
solange || wenn Du nur die Namen
nicht (dadurch) verschwendest,
daß || indem Du mit dem
System aller Namen anfängst || das System
aller Namen verwendest. |
1) See facsimile; arrow pointing right, probably indicating that the indentation shall be decreased.
2) See facsimile; arrow pointing to the graphic.
3) Continuation in Ms-162b,1r.
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BOXVIEW: http://wittgensteinsource.com/BTE/Ms-162a_n