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Philosophische Bemerkungen XVIII.

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1 16.10.39   Das Paradox “Heterologisch”: Es ist gut sich vorzustellen, daß die Wörter “heterologisch” & “homologisch” irgendwo wirklich Wörter der lebendigen Sprache sind. Stellen wir uns vor, daß in der Schr Schrift des Stammes der … ˇwird das Wort für “rot“ immer ˇmit rot⌊er⌋, ˇTinte das Wort für “blau“ immer ˇmit blau⌊er⌋ Tinte geschrieben⌊,⌋ wird ein Wort das lang bedeutet wird ˇimmer ˇimmer ˇin der Schrift langezogen, eines das kurz bedeutet zusammengepresst. Dagegen wird muß ist ˇbei ihnen eidas Wort für heiß nicht heiß sein & das Wort für kalt nicht kalt sein etc. Ihre Grammatiker reden demgemäß von unterscheiden so zwischen homo-log⌊ischen⌋ & heterologischen Wörtern.      Jemand von ihnen fragt nun: “ist das Wort “h⌊ …⌋”, h …, oder nicht?” & leitet das Paradox ab. Oder, er leitet das Paradox nicht ab & fragt ˇdie Frage im vollen Ernst. Ich (der Gefragte Angeredete ) denke mir: “Was fragt er eigentlich Er fragt, ob “[d|h]” die Eigenschaft hat, die Eigenschaft nicht zu haben, die es bezeichnet bedeutet , als welche die ist: die Eigenschaft nicht zu haben, die es bezeichnet bedeutet , welche aber ⌊(⌋die⌊)⌋ ist, ⌊:⌋ welche die ist , : die Eigenschaft nicht zu haben, die es bezeichnet bedeutet – etc. u.s.f. ”

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Das ist ja als sagte man gabe man Einem den Befehl: “Schreib etwas anderes”, ohne aber zu sagen wovon es verschieden sein soll.

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17.   Auf die Frage “Ist “h” h?” sagen wir uns sofort: “Nun, wir 3 wollen sehen – – was heißt denn ‘h’?” D.h. wir sind nicht gleich klar, zu welchem Resultat hier die Definition Erklärung von “h” führt. Und gleich darauf sehen wir, daß sie zu keinem Resultat führt. Denn das Resultat ist zwar: h (‘h’) = ~h (‘h’), aber, abgesehen davon, daß das ein Widerspruch ist, so ist es keine Erklärungc von “h (‘h’)”.      Und ebenso erhalte ich auch keine Erklärung, wenn ich mir überlege, was “hom (‘hom’)” bedeutet oder hetero “het (‘hom’)” bedeutet.

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Es wird hier mittels eines Satzes & einer Definition ein Kreis geschlossen, & so, daß die Definition ohne den Satz & der Satz ohne die Definition nicht 4 vollständig sind ist , – wodurch man auf der Suche nach der Bedeutung im Kreis herum geführt wird.

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Ebenso, wie man durch die Def ~f(f) = S(f) zum Widerspruch ~S(S) = S(S) geführt wird, aber [w|d]as Zeichen “S(S) aus der Definition auch nicht erklären kann.     Ich könnte es etwa so versuchen: Wenn man statt ‘f’ ‘S’ ⌊ein⌋setzt so muß man wissen ⌊für⌋ welchern Ausdruck nach der Definition für das S steht stehen soll . Am ehesten noch für “~ ξ(ξ)” oder “~ ( )”. Also heißt “S(S)” soviel wie “S(~ ( ))”, aber nicht oder etwa “~ ( )(~ ( ))”: denn zur [e|E]rsetzung des S vor d seinem Argument soll ja nach der Definition so verfahren 4 5 werden:        ~[~ ( )][~ (])

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Schreiben wir eine funktion als ein Verbum & sagen z.B. statt “F(a)”: “a F-iert”   Also: ~ (f f-iert) = f [s|S]-iert Def. Ersehen wir daraus, was wir statt für einen Ausdruck ˇvon der Art “S φ-iert” schreiben sollen?

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Denken wir uns einen Kalkül mit einem Widerspruch drin aber wir merken den Widerspruch nicht. Wir leiten allerlei Sä⌊t⌋ze ab, die, wie wir später sehen, mit einander im Widerspruch stehen. Wenn uns ein Teufel narrt so daß wir es nie merken, – was werden wir sagen? Daß es kein Kalkül ist? 6

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Was hindert mich zu sagen: [i|I]ch nenne etwas nicht “Calcul”, wenn ihm nicht ein Inductionsbeweis dafür beigefügt gegeben ist, der zeigt, daß man in ihm nicht kein Gebilde ˇvon der & der einer gewissenc Form erzeugen kann?

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18.10.   Ich will der Formulierung entgehen: “ich weiß jetzt mehr über den Kalkül”, & statt ihrer die setzen: “ich habe jetzt einen andern Kalkül”. Der Sinn hiervon ist, die Kluft zwischen einem mathematischen Wissen & nicht-mathematischem Wissen immer in ihrer vollen Größe vor Augen zu behalten. 7 6

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Angenommen, in einem Stamm führen sie Rechnungen der vier [s|S]pecies aus & hie & da verwenden sie einen Übergang von der Art (3 ‒ 3) ∙ 4 = (3 ‒ 3) ∙ 5. Sie erhalten daher ma⌊n⌋chmal widersprechende Resultate – wie wir sagen würden. Das [S|s]tört sie aber durchaus nicht.   Man könnte sich auch den Fall denken, daß Menschen jenen Übergang nur in gewissen Notfällen gebrauchen; wenn eine Rechnung in irgend einem Sinn nicht stimmen will, & stimmen muß. Ein solches Rechnen wäre ähnlich gewissen gebräuchlichen Schlußweisen, du⌊r⌋ch die irgend 8 eine Annahme (manchmal religiöser Art) gestützt wird, mögen die Facten auf die sie gestützt wird nun so, oder umgekehrt ausschauen.

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19.10.   4 × (2 × 2 = 4) = (8 × 2 = 16)   4 × (4 × ξ) = 16 × ξ   Vierfach ist ein Vierfaches.

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Jede mathematische Erfindung (z.B.) jeden Beweis) muß man sich wegdenken können & sehen was dann von der Mathematik noch bleibt.

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//   Man muß sich immer wieder eine mathematische Entdeckung wegdenken – & sehen, was dann von der Mathematik bleibt – – oder, was für 8 9 eine Mathematik dann (zurück)cbleibt. – Denn es bleibt (dann) ein Spiel zurück, mit anderer Pointe vielleicht, (&) manchmal gleichsam das ein ˇ // nur das // Embryo einer Mathematik // ja manchmal nur das Embryo einer Mathematik // , – aber wir können es doch als einen Kalkül, als eine Art des Rechnens, auffassen, & entgehen so der Gefahr dies entzieht uns der Gefahr uns von den ‘Denkgesetzen’ eine viel zu enge Vorstellung zu machen. //

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25.10.   ‘Ein Mathematischer Beweis muß übersichtlich sein.’ “Beweis” nennen wir (wir) nur eine Struktur, deren Reproduktion eine leicht lösbare Aufgabe ist. Es muß sich mit Sicherheit entscheiden lassen, ob wir hier wirklich zweimal den gleichen Beweis vor uns haben, oder 10 nicht. Der Beweis muß ein Bild sein , eine Zeichnung welche , welches sich mit Sicherheit genau reproduzieren läßt. Oder auch: was dem Beweise wesentlich ist muß sich mit Sicherheit genau reproduzieren lassen. Er kann z.B. in zwei verschiedenen Handschriften oder Farben niedergeschrieben sein. Wir wären dann vielleicht zweifelhaft ob die eine Handschr Zur Reproduktion eines Beweises soll nichts gehören was ahnlich von der Art einer genauen Reproduktion eines Farbtones oder einer Handschrift ist.

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Es muß leicht sein genau diesen Beweis wieder anzuschreiben. Hierin liegt der Vorteil des Geschriebenen 10 11 im Vergleich zum gezeichneten Beweis. Dieser ist oft seinem Wesen nach mißverstanden worden. Die Zeichnung eines Euklidischen Beweises kann ungenau sein, in dem Sinne, daß die Geraden nicht gerade sind die Kreisbögen nicht genau kreisförmig etc. etc.; & dabei ist die Zeichnung doch ein exacter Beweis & daraus sieht man dies zeigt & daß diese Zeichnung nicht – z.B. – demonstriert daß eine solche Konstruktion ein Vieleck mit 5 gleichlangen Seiten ergibt, daß sie einen Satz der Geometrie, nicht einen über die Eigenschaften des Papiers von Papier, Zirkel, Lineal & Bleistift beweist    [Hängt zusammen mit: Beweis ein Bild eines Experiments] 12

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Wäre dies ein Beweis: Man schreibt        ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ = ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ & wägt legt (dann) die Tinte auf ˇ(den) beiden Seiten des Gleichheitszeichens der Gleichung ; ist das Gewicht das Gleiche wiegt sie gleichviel , so ist die Gleichung richtig. Nun, diese Wägung könnte uns sehr wohl z als Beweis d.h. als Kriterium // Erkennungszeichen // dafür dienen, daß auf den beiden Seiten dieser individuellen (token) Gleichung insgesamt gleichviel Striche stehen, aber sie wäre kein Beweis ˇder Additionsformel im Sinne der Mathematik, sondern ein experimenteller Beweis, Experiment. eines nicht-mathematischen Satzes.

∫

27.10.   Ich will sagen:⌊:⌋ Wenn man eine nicht übersichtlichesehbare Beweisfigur durch Veränderung der Notation übersehbar macht, dann schafft man erst einen Beweis, wo früher 12 13 keiner war.

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Denken wir uns nun einen Beweis Russells Russellschen für einen Additionssatz der Art a + b = c der aus ein paar tausend Zeichen bestünde. Du wirst sagen: Zu sehen, ob dieser Beweis stimmt, oder nicht, ist eine rein äußerliche Schwierigkeit, die von keinem mathematischen Interesse ist. (“Ein Mensch übersieht leicht, was ein Aanderer schwer ˇoder garnicht übersieht”; – etc. etc.)

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Wir stellen fest daß in der Stadt A 5 Millionen Menschen sind & in der Stadt B 3 Millionen. Wir rechnen daß wir für beide 5 Millionen Br Gasmasken brauchen & richten unsre Fabrik so ein daß sie diese Zahl herstellt. Wir finden 13 14 daß die entsprechende Menge erzeugt worden ist. So war also die Addition Rechnung in diesem Fall sehr nützlich. Und es ist merkwürdig, daß die Russellsche Logik in dieser Weise nützlich sein kann. Oder ist es bloßer Zufall, daß dies sie es in solchen Fällen so oft ist?

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Die Annahme ist, daß die Definitionen nur zur Abkürzung des Ausdrucks dienen, zur Bequemlichkeit des Rechnenden; während sie doch ein Teil der Rechnung sind. Mit ihrer Hilfe werden Ausdrücke erzeugt, die ohne ihre Hilfe nicht erzeugt würden. werden könnten.

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28.   Vielleicht sagt man, daß mit ihrer Hilfe nur Aspekte von 14 15 Ausdrücken her[f|v]orgehoben werden[,|.] die Aber was heißt ‘einen Aspekt hervorheben’ anderes, als als einen neuen Ausdruck erzeugen. [ˇnur mittelmäßig]

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Wie ist es aber damit: “Man kann zwar im R'schen Kalkül nicht 234 mit 537 multiplizieren ⌊–⌋ im gewöhnlichen Sinn – aber man es gibt eine R'sche Rechnung die dieser Multiplication entspricht”? – Welcher Art ist diese Entsprechung? Es könnte so sein: Man kann auch im R'schen Kalkül diese Multiplication ausführen nur in einem andern Symbolismus – wie wir ja auch sagen würden wir könnten sie auch i[m|n] einem andern Zahlensystem ausführen. Wir könnten dann also z.B. die praktischen Aufgaben, zu deren 16 Losung man jene Multiplication benützt auch durch die Rechnung [e|i]m R'schen Kalkül lösen, nur umstandlicher.

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Denken wir uns nun die Kardinalzahlen erklärt als 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, ((1 + 1) + 1) + 1, u.s.f.. Du sagst, die Definitionen welche die Ziffern des Dezimassystems einführen dienen bloß zur Bequemlichkeit; man könnte die Rechnung 703000 × 40000101 auch in jener langwierigen Schreibweise ausführen. Aber stimmt das? – “Freilich stimmt es! Ich kann doch eine Rechnung in der ersten jener Notation anschreibenˇ, konstruieren,, die der Rechnung in der Dezimalnotation entspricht.” – Aber wie weiß ich, daß sie ihr entspricht? – Nun, weil ich so sie nach einer gewissen Methode 16 17 aus der andern abgeleitet habe. – Aber wenn ich sie nun nach einer halben Stunde wieder anschaue, kann sie sich da nicht verände⌊r⌋t haben? Sie ist ja nicht übersehbar[!|.]

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Ich frage nun: könnten wir uns von der Wahrheit des Satzes 7034174 + 6594321 = 13628495 auch durch einen Beweis überzeugen, der in der ersten Notation geführt wäre? – Gibt es so einen Beweis ◇ dieses Satzes? – Die Antwort ist: nein.

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Aber zeigt nicht Russells [e|E]rklärung den Zusammenhang de zwischen der Addition & Disjunktion. Zeigt sie nicht, daß was das Wesen der Addition ist, indem sie sozusagen das allge- 18 meine Schema der Anwendung der Addition zeigt; gleichsam die allgemeine Art, wie sich die Addition auf die Dinge bezieht, die Art ihres Zusammenhangs mit dem worauf sie angewendet wird? So könnte man sich z.B. – vom Ausdruck “addieren” verführt – vorstellen daß man die Einwohner von London & Manchester in irgend einer Weise zusammenlegtegen muß, wenn man berechnet wie viele Einwohner beide Städte zusammen haben; & nun sagt uns die R'sche Erklärung, daß es sich um keinerlei Zusammenlegen von der Gegenständen handelt. (Damit in Zusammenhang : , was Frege den ‘PfefferußSstandpunkt’ nannte: die 18 19 Idee, eine Zahl sei ein Haufe⌊(⌋n⌊)⌋ von Dingen.) – Ich habe also die beiden Begriffe zusammengenommen, nicht die Städte oder ihre Einwohner – – aber habe ich nicht doch in einem Sinne die Einwohner zusammengenommen? – nämlich, indem ich sie zählte & mit den Zeichen, die ich dadurch so erhielt, operierte.

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“Die Zahl der Londoner & die Zahl der Dubliner zusammengenommen” ist allerdings gleichbedeutend mit: “die Zahl der Leute, die entweder Londoner oder Dubliner sind” oder mit: “die Zahl der Gegenstände die unter den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’ fallen ” (von der Idee solcher dieser ‘Gegenstände’ ˇdie das Pradikat Mensch haben wird noch die Rede sein gesprochen werden ) – aber ist 20 der Ausdruck, der sich ders Disj oOder bedient fundamentaler als der andere? Oder auch: muß ich den ⌊(⌋die⌊)⌋ Begriffssumme der Disjunktion der beiden Begriffe bilden wenn ich von der Summe der beiden Anzahlen reden will? In den meisten Fällen werde ich es nicht tun sondern die beiden Zahlen addieren & von der Summe der beiden Zahlen reden. Es gibt freilich auch den andern Fall: man sagt z.B.: die Zahl der gebürtigen Londoner faulen oder doch angefaulten Apfel in dieser Kiste ist … “die Zahl der Leute, die in London, oder ˇdoch in der Umgebung von London wohnen ist …“. Freilich könnte ich 20 21 auch im ersten Fall, ⌊–⌋ auf die Frage wenn ich gefragt würde : “welcher Begriff gehört nun zu der Summe dieser Zahlen die Du gebildet hast ”– antworten sagen : der Begriff: Mensch we ˇMensch, welcher ein Londoner oder ein Dubliner ist – aber könnte ich nicht ebensowohl antworten: ‘der Begriff⌊:⌋ Fass Bier ﹖ Bierfass , das ich zu erzeugen habe ( (wenn ich nämlich für jeden Londoner & Dubliner ein Faß Bier erzeugen wollte).

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Aber lehrt uns Russell nicht doch eine Art des Addierens?

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30.   Angenommen wir bewiesen mauf R's Methode daß (∃[x|a].....g) .... (∃a.....i) ⊃ (∃a.....s) eine Tautologie ist; könnten wir nun unser Resultat dahin ausdrücken, g + i sei s? Das setzt doch voraus, daß ich 22 die drei Stücke des Alphabets als Repräsentanten des Beweises nehmen kann. Aber zeigt denn das R's Beweis? Den R'schen Beweis hätte ich doch offenbar auch mit solchen Gruppen Folgen Reihen von Zeichen in den Klammern führen können, deren Reihenfolgen für mich nichts Characteristisches gehabt hätten, so daß ⌊(⌋ich⌊)⌋ es nicht möglich gewesen wäre die Zeichenfolgegruppe in einer Klammer durch ihr letztes Glied zu repräsentieren.

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Angenommen sogar, der R'sche Beweis werde mit einer Notation der Art x1 x2 … x10 x11 … x100 … als in der Dezimalnotation geführt, & es seien 100 Glieder in der ersten 300 Glieder in der zweiten & 400 Glieder in der dritten Klammer, zeigt 22 23 der Beweis selbst dann, daß 100 + 300 = 400 ist? – Wie wenn dieser Beweis einmal zu diesem einmal zu einem andern Resultat führte z.B. 100 + 300 = 420? Was bedarf es, um zu sehen daß ˇdas Resultat ders Beweis⌊es⌋, wenn ˇer richtig geführt ˇist, immer zum gleichen Re nur von den zwei letzten Ziffern der ersten Zwei Klammern abhängt?

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Aber für kleine Zahlen lehrt uns doch Russell addieren; denn dann übersehen wir eben die Zeichenˇgruppen in den Klammern & können sie als Zahlzeichen nehmen; z.B. ‘xy’, ‘xyz’, ‘xyzuv’. Russell lehrt uns also einen anderen Kalkül, um von 2 und 3 zu 5 zu gelangen; & das stimmt auch dann, wenn wir 24 sagen der logische Kalkül seien nur – ‘ Fransen frills ’, die dem arithmetischen ˇKalkül angehängt seien.

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Die Anwendung der Rechnung muß für sich selber sorgen. Und das ist, was am ‘Formalismus’ richtig ist.       Die Zurückführung der Arithmetik auf ˇsymbolische Logik soll die M Application der Arithmetik zeigen; [G|g]leichsam das Ansatzstück den Ansatz , mit mittels welchem sie an auf ihrer Anwendung angebracht ist sitzt . So als zeigte man Einem erst eine Trompete ohne das Mundstück – & nun das Mundstück, welches ˇuns lehrt zeigt , wie die eine Trompete mit dem menschlichen Körper in Contact gebracht wird verwendet, geblasen, wird . Das Ansatzstück aber, das uns Russell zeigt gibt, ist ⌊(⌋einerseitsc⌊)⌋ zu eng anderseits 24 25 zu weit – ; zu allgemein und zu speziell. zu eng & zu weit. Die Rechnung sorgt für ihre eigene Anwendung.

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Wir dehnen unsre Ideen von den Rechnungen mit kleinen Zahlen auf die mit großen Zahlen aus, ähnlich wie wir uns vorstellen, daß wenn die Distanz von hier zur Sonne mit dem Zollstock gemessen werden könnte dann eben das herauskäme was wir heute auf ganz andere Art herausbringen. Das heißt, wir sind geneigt die Längenmessung mit dem Zollstab zum Modell zu nehmen auch für die Messung des Abstand zweier Sterne.       Und man sagt, etwa in der Schule: “Wenn wir ˇuns Zollstäbe 2[5|6] von hier bis zur Sonne gelegt denken, …” & scheint damit zu erklären, was wir unter dem Abstand zwischen Sonne und Erde verstehen. Und die Verwendung der Gebrauch eines solchen Bildes ist ganz in Ordnung, so lange es uns klar ist daß wir den Abstand von uns zur Sonne messen könnnen & daß wir ihn nicht mit Zollstäben messen können.

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31.10. Wie, wenn jemand sagen würde: “der eigentliche Beweis von 1000 + 1000 = 2000 ist doch erst der Russellsche, der welcher zeigt, daß der Ausdruck … eine Tautologie ist”? Kann ich denn nicht beweisen, daß eine Tautologie herauskommt, wenn ich in den beiden ersten Klammern 2[6|7] je 1000 Glieder & in der dritten 2000 habe? Und wenn ich dies das beweisen kann, so kann ich das als Beweis des arithmetischen Satzes ansehen.

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In der Philosophie ist es immer gut, statt einer Antwort auf ein Problem, eine Frage zu setzen. // statt einer Beantwortung einer Frage eine Frage / zu setzen. //     Denn eine Beantwortung der philosophischen Frage kann leicht ungerecht könnte ungerecht sein; die ihre Erledigung der Frage mittels einer andern Frage ist es nicht.

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Soll ich also z.B. hier eine Frage setzen statt der Antwort, man könne jenen arithm. Satz mit R's Methode nicht beweisen? 2[7|8]

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1.11.39.   Der Beweis, daß      (1) (2) ⊃ (3) eine Tautologie ist, besteht dar⌊i⌋n, daß man die immer ein Glieder in 3 der 3ten Klammer für eines ˇGlied invon 1 oder 2 abstreicht. Und es gibt ja viele Arten und Weisen Methoden dieses Kollationierens. // daß man die Glieder in 3 & die in 1 & 2 gegen einander abstreicht. Und es gibt natürlich viele Weisen eines solchen Kollationierens. // Oder man könnte auch sagen: es gibt viele Arten & Weisen, das Gelingen der 1 → 1 Zuordnung festzustellen. Eine Art wäre z.B. [S|s]ternförmige Muster ˇeins für [je|di]e [e|l]inke eins für die rechte Seite der Implication zu konstruieren & diese wieder dadurch zu vergleichen daß man ein Ornament 2[8|9] aus beiden bildet.   Man könnte also die Regel geben: “[w|W]enn Du wissen willst, ob die Zahlen A & B zusammen wirklich C geben ergeben , [S|s]chreib den einen Ausdruck der Form … an & ordne die Variablen in den Klammern einander zu indem Du den Beweis dafür anschreibst (oder anzuschreiben trachtest) daß der Ausdruck eine Tautologie ist.”   Mein Einwand dagegen ist nun nicht, daß es willkürlich ist, gerade diese Art des Kollationierens vorzuschreiben, sondern, daß man auf diese [A|W]eise nicht feststellen kann, daß 1000 + 1000 = 2000 ist.

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2.11. Die Der R'sche Methode Vorgang erzeugt nicht den Aspekt dieser Addition. ⌊⌊ Schlecht ausgedrückt        ⌋⌋ Aber kann dieser 29 30 Aspect nicht doch mittels ihrer erzeugt werden durch eine entsprechende Folge von Definitionen?       Warum will ich sagen, daß der R'sche Beweis nichts Interessantes der Transformation ⌊hin⌋zufügt, die durch die Definitionen allein bewerkstelligt wird? Ich Es kommt mir vor, daß der Beweis ˇdavon, daß für die Werte Zahlen 1000, 1000 & 2000 eine Tautologie entsteht herauskommt gänzlich außerhalb des Beweises des uns interessierenden Satzes arithmetischen Satzes ist.

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Und doch erscheint mir auch in dem, was ich sage, etwas falsches.

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‘Die Menge in der 3ten Klammer, die mit den beiden andern eine Tautologie erzeugt, den Ausdruck zu einer Tautologie macht, ist die 30 31 Summe jener beiden. der beiden ersten Mengen. ’         Wie komme ich aber überhaupt zum Begriff einer bestimmten Menge?

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Man hat oft gesagt, daß die Wichtigkeit Bedeutung einer Definition oft darin liege, daß sie die Wichtigkeit des Definiens hervorhebe. Aber in anderem Sinne läßt macht sie ja das Definiens aus dem im Kalkül verschwinden. Die Wichtigkeit einer Definition liegt zumeist darin, daß sie Ausdrücke⌊n⌋n eine andre Struktur erhalten neue Strukturen gibt.

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Führt der, welcher neue Definitionen einführt, nicht einen neuen Kalkül ein?

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3.11.   Denke, Du hättest eine meilenlange 31 32 ‘Formel’ angeschrieben, & zeigtest durch Transformation, daß sie tautologisch ist (‘wenn sie sich inzwischen nicht verändert hat’, müßte könnte man sagen). Nun zählen wir die Glieder in den Klammern oder [T|t]eilen sie ab & machen den Ausdruck übersichtlich & es zeigt sich, daß in der ersten Klammer 7566 in der zweiten 2434 in der dritten 10000 Glieder stehen. Habe ich nun gezeigt bewiesen , daß 2434 + 7566 = = 10000 ist? – Das kommt drauf an, – könnte man sagen – ob Du sicher bist, daß bei das Zählen wirklich die Zahlen der Glieder ergeben hat, die während des Beweises in den Klammern standen.

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Könnte man so sagen: “R. leht 32 33 uns in die 3te Klammer so viele Variable Zeichen schreiben als in den beiden ersten zusammen stehen”? Aber eigentlich: er leh⌊r⌋t uns für je eine Variable in ⌊(⌋1⌊)⌋ & in ⌊(⌋2⌊)⌋ eine Variable in (3) schreiben.   Aber lernen wir dadurch welche Zahl die Summe zweier ˇgegebener Zahlen ist? Vielleicht sagt man: “Freilich, denn in der 3ten Klammer steht nun das Paradigma, Urbild, der neuen Zahl.” Aber inwiefern ist        ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘     das Paradigma einer Zahl? Bedenke, wie man es als solches verwenden kann[?|.]

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[4|5].11. Muß denn ein Begriff eine bestimmte Anzahl Zahl // eine Anzahl Zahl // von Gliedern haben?

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Es ist falsch zu sagen: “Unter 33 34 der Summe der Anzahlen zweier Begriffe verstehe ich die Anzahl der Begriffsdisjunktionsumme” – sondern ich verstehe darunter dasselbe wie die Anzahl der Begriffs[s|u]mme, wenn sich diese Anzahl in bestimmter [w|W]eise aus den beiden ersten Zahlen berechnen läßt. D.h., wenn das was man unter ‘Anzahl der Begriffsumme’ versteht eben so aus den Zahlen der ersten Begriffe zu erhalten ist.

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6.11.       Wir haben einerseits eine Definition der Zahlensumme, die keine Andeutung darüber macht, wie eine Addition anzuwenden wäre ist . Diese Erklärung scheint deshalb daher vielleicht unbefriedigend. Anderseits ist da eine Erklärung der Summe 3[4|5] aus ihrer Anwendung heraus. (Und diese scheint ˇim Vergleich zur ers⌊t⌋en unbefriedigend, weil sie sich in Dinge mischt, ˇum diec sie sich nicht zu bekümmern hat.)     Wenn ich nun sage: die Summe der Anzahlen zweier Begriffe ist die Anzahl der Begriffssumme – so muß ich dazu sagen: & diese ˇZahl ist aus den beiden ersten ˇso & so zu berechnen. – Wenn das aber der Fall ist, – warum definiere ich nicht die Zahlensumme durch diese ihre Berechnung? – Ich verstehe eben unter der Zahl der Begriffssumme etwas, was durch ˇeine bestimmte Rechnung aus den Zahlen der Summandenbegriffe zu erhalten ist.

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Einmal scheine ich zuerst nur mit ⌊(⌋den⌊)⌋ Begriffen zu ope- 3[5|6] rieren & was dann die Zahl des R resultierenden Begriffes ist, nenne ich Summe der Zahlen der Teilbegriffe. – Im andern Fall habe ich mit Begriffen, deren Zahlen die Zahlen sind, ⌊(⌋gar⌊)⌋ nichts zu tun.

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7.   Warum soll ich nicht sagen: “Wenn 5 die Zahl von φ ist & 7 die Zahl von ψ, so nenne ich 12 ‘die Zahl von φ ⌵ ψ’”? Statt zu sagen: “dann ist die Zahl von φ ⌵ ψ 12”.

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Die Fregesche Erklärung der Summe zweier Anzahlen scheint uns den Inhalt der Addition zu erklären, während die bloßen Rechenregeln dies nicht zu tun scheinen.         // Freges Erklärung scheint 3[6|7] uns zu zeigen was die Addition eigentlich ist, wozu sie dient, & daraus scheinen ergeben sich ˇbei ihr // dann // die Additionsregeln ˇvon selbst. Während das bloße Erklären, ⌊(⌋Beschreiben⌊)⌋, der Rechentechnik dieser ihr die inhaltliche Grundlage nicht zu geben scheint. // // Die bloße Erklärung – Beschreibung der Rechentechnik scheint uns die inhaltliche Grundlage nicht zu geben. //     Aber muß hier nicht ein falscher Schein vorliegen? – Beide Erklärungen müssen uns doch ja die Rechnungsregeln geben. Und gibt die erste Erklärung wirklich mehr, – muß sie dann nicht Überflüssiges geben?

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Woher aber der Schein, daß die erste Erklärung 3[7|8] inhaltlich ist? denn beide zeigen uns ja eine Rechentechnik mit Zeichen. – Nun, in In der ersten Erklärung ist schon alles vorbereitet, um z.B. für statt “φ” “Londoner” & statt ⌊für⌋ “ψ” “Dubliner” ⌊ein⌋zusetzen.     Und nun scheint die Erklärung zu sagen: Wenn der Begriff ‘Londoner’ n Gegenstände Glieder hat & der Begriff ‘Dubliner’ m Gegenstände, so brauchst // so bilde // den // Du nur den Begriff ’Londoner oder Dubliner’ zu bilden , & so viele Glieder dieser Begriff hat soviel beträgt n + m. // Oder: Bilde den Begriff ‘L. oder D.’, sieh nach, welche Zahl ihm zukommt, so hast Du die Summe n + m. // Du brauchst nur den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’ zu bilden, so hast Du die Summe der beiden Zahlen. // // Bilde den Begriff ‘L oder D’; seine Zahl ist die Summe von n und m. // Bilde die Disjunktion der Begriffe … & … ; die den Begriff … ; der hat doch auch eine Zahl : Das das ist die Summe von n und m. // 3[8|9] Aber wie sehe ich nach, welche Zahl ihm zukommt?! – Indem ich den Begriff ‘L. oder D.’ untersuche? // Bilde den Begriff ‘L oder D’; ; – der hat doch auch eine Zahl – ; & die ist die Summe der beiden ersten. // Also braucht man nur den Begriff ‘L oder D’ zu bilden , & was ; was seine Zahl ist, ist die Summe von n und m. // Aber was ist seine Zahl? Soll ich sie durch eine Zählung der Londoner-und-Dubliner feststellen? So als sagte man: Die Disj. der Begriffe kannst Du doch 3940 gewiß leicht bilden – nun, die Anzahl dieses Begriffs ist Die Summe n + m. – Als wäre jetzt ja alles ⌊(⌋schon⌊)⌋ getan, da man ja nur mehr nachschauen braucht, welches die Anzahl der Begriffssumme ist.

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Man könnte natürlich definieren: Wenn Der Ausdruck “die Summe der Anzahlen Zahlensumme // numerische Summe // der Begriffe von ‘φ’ und ‘ψ’” soll solle bedeuten: heißt soviel wie: “die Anzahl des Begriffes ‘φ ⌵ ψ’”.

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Kann man denn aber nicht erklären: “Addition ist diejenige Operation, die nötig ist gebraucht wird , um aus den Anzahlen zweier Begriffe die Anzahl der Begriffssumme [f|z]u finden”?

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Aber ist das richtig? Braucht 40 41 man dazu addieren? kann man nicht z.B. sagen, die Anzahl von φ ⌵ ψ sei: 1000 + 2000?

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8.11.    ∣ Man könnte, was ich wir hier betreiben, ‘infantile Mathematik’ nennen. ∣ [Zu gewissen Überlegungen im ersten Bd.]

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“Der Begriff ‘φ ⌵ ψ’ hat doch eine Zahl”. Wie soll die sie festgestellt werden? Unabhängig von den Zahlen von ‘φ’ und ‘ψ’? Und wie wenn sich durch Zählung der Gegenstände die φ ge[ü|n]ügen &, der Gegenstände die ψ genügen & der Gegenstände die φ ⌵ ψ genügen ergibt daß die erste Zahl 100 die zweite 200 & die dritte 302 ist?      Es soll also heißen: 4[1|2] die Summe der Anzahlen von φ und ψ ist die Anzahl der Begriffssumme – // : // , – wie sich diese aus der Berechnung ergibt.

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Wer also sagt, die Summe zweier Anzahlen sei die Anzahl der Begriffsdijunktionsumme, sagt eigentlich: “Berechne die Anzahl der Begriffssumme, dann hast Du die Summe der ˇbeiden Anzahlen”.

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9.11.   Die R'sche Tautologie, die dem Satz a + b = c entspricht, zeigt uns vor allem nicht in welcher Notation die Zahl c zu schreiben ist & es ist kein Grund warum sie nicht in der Form a + b geschrieben werden soll. –Denn R. lehrt uns ja nicht die keine Technik des 4[2|3] Addierens, etwa, im Dezimalsystem. – Aber könnten wir sie vielleicht aus seiner Technik ableiten?     Fragen wir einmal so: Kann man die Technik des Dezimals[t|y]stems aus der des Systems     1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, etc. ableiten?     Könnte man diese Frage nicht auch so stellen: Wenn man eine Rechentechnik in mit dem einen System & eine im andern System hat, – wie zeigt man, daß die beiden aquivalent sind?

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13.11.   Ein Volksstamm habe eine Technik des Zählens, etwa die unsere im Dezimalsystem. Statt des Addierens, Subtrahierens, etc. aber verwenden sie folgenden Vorgang: Sie stellen Eisen Würfel von genau 4[3|4] gleicher Größe her, zählen etwa 3470 in eine Wageschale, 250 in die andere & nun zählen sie, wieder mit 1 anfangend soviele Würfel in die zweite Wagschale bis die Wage das Zünglein einspielt. Das Resultat dieses Prozesses drucken sie dann in einer durch eine Formel aus, etwa “250 + 3220 = = 3470”. Sie haben also durch ein Experiment er[t|h]alten, was wir durch ˇeine Rechnung? – Wie verwenden sie die Formel? – Wenn 250 Soldaten in einer Reihe stehen & sie stellen weitere 3220 dazu, so erwarten sie daß eine Zählung Aller 3470 ergeben werde. – Warum? – Es hat sich gezeigt daß dies für gewöhnlich so herauskam. – Aber wie, wenn 4[4|5] sie einmal die oben beschriebene Wägung ausführen & sie erhalten nun die Formel 250 + 3000 = 3470 – sagen sie dann: “diesmal ergiebten diese Zahlen 3470” oder sagen sie: “es muß ein Fehler in der Wägung vorliegen”? – Habe ich im zweiten Fall den ursprünglichen Vorgang des Wägens ˇerste nicht mehr als Experiment, sondern als Beweis aufgefaßt? ‒ ‒ Nun, wenn ich ⌊(⌋die⌊)⌋ Erfahrung mich mir oft genug das gleichec gelehrt wiederholt hat, so werde ich endlich unbedingt an dieser einer Annahme festhalten & alles andere muß sich nach ihr richten. Man könnte kann sagen: die Hypothese Annahme versteinert zu einer zur Regel. – Wenn nun die Hypothese, daß n + m Würfel 𝓁 Würfeln das Gleichgewicht halten zur Regel versteinert, wird die⌊(⌋se⌊)⌋ Hypothese 4[5|6] dann zum zum einem arithmetischen Satz?

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“250 Würfel [&| + ] 3220 Würfel sind ebensoviel, soviel, wie 3470 Würfel.”

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“250 + 32[0|2]0 Würfel sind die gleiche Anzahl von Würfeln wie 3470.”

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14.11. ‘Aber warum vertraust Du dieser Rechnung, daß sie Dir wirklich die gleiche Anzahl liefert?’ – Ich vertraue ihr ⌊(⌋gar⌊)⌋ nicht. Das ist, was ich jetzt ‘gleiche Anzahl’ nenne.

​

Ich will sagen: Mit ‘ebensoviel’ verbinde ich eine gewisse Vorstellung – ; etwa      | | | | | | | | | | | | | | | |   ; & nun führe ich für ebensoviel ein neues Kriterium ein. “Nun nenne ich das ‘ebensoviel’.” Natürlich wegen einer Verwandschaft des 4[6|7] neuen ˇCriteriums mit dem alten. Criterium.

​

⇒1 Diese Sätze sind Dieser Satz ist in gewissem Sinne analog dem gebildet: diese wiegen soviel wie jene. Er sieht es so an: ˇin d[ie|en] Wir sehen es so: in den … Ziffern allein liegt es noch nicht, daß die einen gleichviele sind wie die andern. Gleichviele zu sein ist ein Drittes. // daß die eine Klasse gleichviel Glieder hat wie die andre. //

​

Wie vergleicht sich: a)     “250 und 3220 Erbsen sind soviele, wie 3470 Erbsen” b)     “2[0|5]0 und 3220 Erbsen wiegen gleichviel, wie 3470 Erbsen” c)     “250 und 3220 Erbsen haben das gleiche Volumen, wie 3470 Erbsen”    ? 4[7|8]

​

15.11. Man möchte ⌊(⌋vielleicht⌊)⌋ sagen: a ist ein Satz der Mathematik, b aber ein Erfahrungssatz. – Aber kann nicht a auch als Erfahrungssatz verstanden werden?? wenn man – Und kann c nicht leicht als mathematischer & als Erfahrungssatz gedeutet werden? Warum dann nicht b als mathematischer Satz?

​

Warum soll man sich nicht die Arithmetik gewisser Menschen eines Volkes als mit den Vorgängen des Wägens untrennbar verbunden denken // als untrennbar verbunden mit den Vorgängen des Wägens denken // // als untrennbar von den Vorgängen des Wägens den 4[8|9] ken // Wie es eine Mathematik des Zeichnens & Messens mit Zirkel & Lineal gibt – warum nicht ⌊(⌋so⌊)⌋ eine Mathematik des Wägens?

​

Und wenn die Mathematik a priori ist ; , warum soll es nicht der Satz b sein? wenn wir nur nicht die Erfahrung als Zeugin für oder wider gegen ihn anrufen. –

​

Im [a|A]rchimedischen Beweis des Hebelgesetzes wird der Satz, daß der genau symmetrisch belastete gleicharmige Hebel ˇsich im Gleichgewicht ist befindet ˇnicht als ein ˇErfahrungsSsatz sondern als Satz a priori behandelt angenommen; ⌊(⌋so⌊)⌋wie im Beweis des Satzes von den communizierenden Gefäßen der Satz, daß das Wasser in einem Gefäß im 49 50 ˇbleibe offenbar im Gleichgewicht bleibt, auch wenn ein Teil des selben ˇplötzlich erstarrte. Vergleiche: ⌊auch⌋ ˇden Beweis mit der Stevinsche⌊n⌋ Kette   Wenn man diesen Satz den Satz von dem Erstarren der Flüssigkeit als Satz der Erfahrung auffaßt, so appelliert er an eine Beobachtung, die ein Experiment, das gewiß gewiß noch niemand ausgeführt gemacht hat.

​

Betrachte diesen Satz: “Müssen sich die n + m & die 𝓁 Kugeln Würfel das Gleichgewicht halten ‒ ‒ –– nun, es sind vor allem gleich viele.” (Wenn, z.B., ˇ◇◇◇ die // Seitenzahl // ˇZahl der Seiten eines [G|g]ezeichneten regelmäßigen Vielecks ˇn + m // wäre // ist & ein anderes hätte die Zahl 𝓁, so … // und eines andern 𝓁, // die Zahl 𝓁 die Zahl der Seiten eines solchen Vielecks, so hätten haben beide ⌊(⌋die⌊)⌋ gleiche Gestalt.)   (Wenn, z.B., die n + m Kugeln ˇin einem Kreis in gleichen Abständen in einem 50 51 Kreis liegen & ˇauch die 𝓁 Kugeln liegen in gleichen Abständen in einem Kreis, so haben wir beidemale die gleiche Struktur Figur )   Und sie halten sich auch das Gleichgewicht, in einer idealen Welt.

​

16.11.      Wir hätten (dann) eine Statik a priori in der nicht gesagt wird wie die Kanten der Würfel zu messen sind, noch, wie festzustellen ist, daß sie aus dem gleichen Material bestehen – ; so wie in der Euklidischen Geometrie nicht gesagt wird wie wir die Längengleichheit zweier Strecken feststellen.         Was ist aber der Beweise eines Satzes dieser rein mathematischen Statik? Natürlich nicht das Experiment des Wägens. 5[1|2]

​

Ist es nun mit dem Zählen wie mit dem Wägen?

​

“Ein Beweis soll nicht nur zeigen, daß es so ist, sondern daß es so sein muß.”

​

Unter welchen Umständen zeigt dies das Zählen?

​⌇

17.11.    { Man möchte sagen: “wenn die Ziffern & das Gezählte ein einprägsames Bild ergeben.” Wenn dieses Bild nun statt jedes neuen Zählens dieser Menge gebraucht wird. – Aber hier scheinen wir nur von räumlichen Bilden zu reden: wenn wir aber eine Reihe von Wörtern auswendig wissen, & nun zwei solche Reihen einander eins zu eins zuordnen 5[2|3] indem wir z.B. sagen “, ⌊–⌋ Montag; der zweite, ⌊–⌋ Dienstag; der dritte, ⌊–⌋ Mittwoch; etc.” – können wir so nicht beweisen daß vom Montag zum Donnerstag vier Tage sind?     Es fragt sich eben: Was nennen wir ein “einprägsames Bild”. Was ist das Kriterium davon, daß es ein wir es uns eingeprägt haben? Oder ist die Antwort hierauf: [“d|“D]aß wir es als Paradigma der Identität benützen!”?       (In dieser ganzen Untersuchung fühle ich mich nicht wohl: mir scheint, ich bin dogmatisch.) }

​

Wir machen nicht Experimente Versuche , an einem Satz, oder Beweis, um seine Eigenschaften festzustellen.

​

Wie reproduzieren wir, kopieren 5[3|4] wir einen Beweis? – Nicht, z.B., indem wir Messungen an ihm anstellen.

​

Wie wenn ein Beweis so ungeheuer lang wäre, daß man ihn unmöglich übersehen könnte – – oder sehen wir einen anderen Fall an: Man habe als Paradigma der Zahl die wir 1000 nennen eine lange Reihe von Strichen in einen harten Fels gegraben. Diese Reihe nennen wir die Ur-[t|T]ausend & um zu erfahren, ob tausend Menschen auf einem Platz sind ziehen wir Stiche, oder spannen Schnüre (1 → 1 Zuordnung)   Hier hat nun dieas T Zahlzeichen für 1000 nicht die Identität einer Gestalt sondern eines Physikalischen Gegenstandes. Wir können uns ähnlich 5[4|5] eine Ur-Hundert ˇetc denken & einen Beweis daß 10 × 100 = 1000 ist, den wir nicht übersehen könnten.

​

Die Ziffer für 1000 im     1 + 1 + 1 + 1 … System kann nicht durch, ihre Gestalt erkannt werden.

​

18.11. Es wird mir schwer, hier gerecht zu sein. Es ist schwer in der Philosophie, nicht ungerecht zu sein, wenn man den gerechten Ausweg nicht sieht.

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❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘|❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘   Ist diese Figur ein Beweis für 27 + 16 = 43 – : weil man zu “27” kommt, wenn man die linken Striche ˇder linken Seite zählt, zu “16” zum Wort “16” auf der 5[5|6] rechten Seite, & zu “43” wenn man die ganze Reihe zählt? Worin liegt ˇhier das Seltsame – , wenn man wir die Figur den Beweis dieses Satzes nennt nennen? Doch in der Art darin , wie dieser Beweis zu reproduzieren ist, oder wiederzuerkennen ist ; , darin, daß er keine charakteristische visuelle Gestalt hat. –

​

∣ Die meisten Leute verstehen nichts, & wundern sich daher über nichts. // & können sich daher ˇauch über nichts wundern. // [ nicht über Siehe Cantor, Gödel⌊, etc.⌋] ∣

​

Wenn nun jener Beweis auch keine visuelle Gestalt hat, so kann ich ihn dennoch genau kopieren⌊(⌋, reproduzieren⌊)⌋ – ist die Figur also nicht doch ein der Beweis? Ich 5[6|7] könnte d ihn etwa in ein Stahlstück einritzen & von Hand zu Hand gehen lassen. Ich würde also Einem sagen: “Hier hast Du den Beweis, daß 27 + 16 = 43 ist.” – – Nun, kann man nicht doch sagen: er beweise den Satz mit Hilfe der Figur? Doch; aber die Figur ist nicht der Beweis.

​

Das aber würde man doch einen Beweis von 250 + 3220 = 3470 nennen: man zählt von über 250 hinaus & fängt zugleich ⌊auch⌋ bei 1 zu zählen an & ordnet die beiden Zählungen einander zu:       251 … 1       252 … 2       253 … 3        etc      3470 …3[4|2]20 57 Man könnte das einen Beweis nennen, der durch 3220 Stufen fortschreitet. Das ist doch ein Beweis – & kann man ihn übersichtlich nennen??

​

Die Zeichenbildung nach einem gewissen System.       (∃x) φx       (∃n, m) φn.φm       (∃a, r, v) φa.φr.φv       – – – – – – – – – – Worin besteht es, das System zu sehen? Etwa darin auf den Befehl die Reihe fortzusetzen so & so zu reagieren.   Und durch eine bestimmte Definition kann ich wohl ein System andeuten, indem ich geradie diese Zeichen zusammenfasse, aber ich kann schaffe nicht das System durch bloße ’Abkürzung’ der 58 Schreibweise schaffen; ich hebe es nur hervor.       Wie ich ein System durch die Schreibweise       x y z u v w r s t(Ƒ) zum Ausdruck bringe, so auch durch eine Definitionen. Aber die bloße Abkürzung des Zeichens zeigt mir nicht wie nun in jedem Fall diese [T|D]efinition anzuwenden ist.

​

“Wie kannst Du sagen, daß Russell den Satz “250 + 3220 = = 3470” nicht beweisen kann?!”   Denk Dir einfach, daß man die Definitionen 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, etc. nicht darum auswendig, weiß, weil sie einem System folgen; – man weiß sie eben auswendig. 59 Was ist die Erfindung des Dezimalsystems eigentlich? Die Erfindung eines Systems von Kürzungen Abkürzungen– –aber was ist das System der Kürzungen Abkürzungen ? ist es da bloß das System der neuen Zeichen, oder auch ein System ihrer Anwendungen zur als Abkürzung? Und ist es das zweite letztere , daß ist es ja eine neue Anschauungsart des alten Zeichensystems.

​

Können wir vom 1 + 1 + 1 … System kommend, durch bloße Abkürzungen der Schreibweise im Dezimalsystem rechnen lernen?

​

19.11. “Wiederhole diesen Vorgang, diese Operation, die wir … nennen wollen!” – Weiß er, was er zu 60 wiederholen hat?

​

20.11.   Eine Definition führt den Ausdruck eines neuen Systems ein.

​

Man könnte freilich nach jedem mathematischen Satz sagen “per definitionem”. Und so wäre, wenn man z.B. nach auf Skolems Art vorgeht, 250 + 3220 = 3470 einfach eine abgeleitete Definition.

​

Und es ist natürlich auch wahr – “es sind 25[ + |0] + 3220 Leute in diesem Raum” heißt genau dasselbe wie: “es sind 3470 Leute in diesem Raum”.    In dem mathematischen Satz liegt kein Naturgesetz. Ist der eine Satz wahr, so ist es damit auch schon der zweite, 61 & umgekehrt! Sodaß, wer durch Versuch den einen festgestellt hat eben damit auch schon den zweiten festgestellt hat, & umgekehrt. Und doch deutet der eine auf eine andere Art der Verifikation, als der andere. Es ist ganz richtig zu sagen: “In dieser Kiste sind 2[5|3] + 2[5|7] Äpfel”, wenn man einfach sagen will es sind , es seien in ihr 50 Äpfel ◇◇◇ darin in ihr – & doch wird es niemand sagen, der nicht einen bestimmten Zweck mit dieser Teilung verbindet.

​

Angenommen ich habe nach Russell einen Satz der Form       (∃xyz …) (∃uvw …) ⊃ (∃abc …) bewiesen – & nun ‘mache ich ihn übersichtlich’, indem 62 ich über die Variablen Zeichen x1, x2, x3 … schreibe – soll ich nun sagen, ich habe nach Russell einen arithmetischen Satz im Dezimalsystem bewiesen?

​

22.11. Aber zu jedem Beweis in Dezimalsystem entspricht doch einer im Russellschen System! – Woher wissen wir, daß es sich so verhält? so ist? Lassen wir die Intuition beiseite. – Aber man kann es beweisen. –

​

Wenn man eine Zahl im Dez.Syst. aus 1, 2, 3 ... 9, 0 definiert & die Z⌊e⌋ichen 0,1 …9 aus 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, ..., kann man dann durch die Rekursive Erklärung des Dezimalssystems hindurch von irgendeiner Zahl zu einem Zeichen der Form 1 + 1 + 1 … gelangen? 63

​

Wie, wenn Einer sagte: Die R.sche Arithmetik stimmt mit der gewöhnlichen bis zu Zahlen unter 1010 überein; dann aber weicht sie von ihr ab. Wie w Und nun führt er uns einen R-Beweis dafür vor daß 1010 + 1 = 1010 ist. Warum soll ich nun einem solchen Beweis nicht trauen? Wie wird man mich davon überzeugen, daß ich mich im R-Beweis verrechnet haben muß?         Brauche ich denn aber eines Beweis ˇaus eine[s|m] anderen System, um mich zu überzeugen, ob ich mich in dem ersten Beweis verrechnet habe? Genügt es nicht, daß ich diesen Beweis übersehbar anschreibe?

​

2[4|3].11.   Liegt denn nicht meine 64 ganze Schwierigkeit darin, einzusehen, wie man, ohne aus R's logischem Kalkül Logik herauszutreten zum Begriff der Menge der von Variablen in dem im Ausdruck “(∃ x,y,z [ …| etc])” kommen kann, ˇdort wo diesesr Zeichen Ausdruck unubersehbar nicht übersehbar ist? –   Nun kann man ihn aber doch übersehbar machen indem man schreibt: (∃x1,x2,x3, etc). Und dennoch verstehe ich etwas nicht: man hat doch nun das Kriterium für die Identität so eines Ausdrucks geändert! Ich sehe jetzt auf andere Weise, daß die Menge der Zeichen in zwei solchen Ausdrücken die selbe ist.

​

Wenn ich eine Folge Reihe 65 von Zeichen auswendig weiß & die Zeichen in der ersten Klammer reichen vom ersten Zeichen bis zum “”, in der zweiten Klammer vom ersten bis zum “”, dann in der dritten vom ersten bis zum “”.

​

Ich bin eben versucht zu sagen: R's [b|B]eweis kann wohl Stufe für Stufe weitergehen, aber am Schluß wisse man nicht recht was man bewiesen hatt habe – wenigstens nicht nach den alten Kriterien; i. Indem ich den ˇR-schen Beweis übersichtlich mache, beweiiese ich etwas über den diesen Beweis.

​

Ich will sagen: man bra⌊u⌋che die R'sche Rechen- 66 technik gar nicht anzuerkennen – , & könne mit einer andern (Rechentechnik) beweisen, daß es einen R'schen Beweis des Satzes geben müßsse. Dann aber ruht der Satz freilich nicht mehr auf dem R-Beweis.        Oder: Daß man sich zu jedem ˇbewiesenen Satz der Form m + n = l einen Rschen Beweis vorstellen kann, zeigt nicht daß der Satz auf dieser Rechnung diesem Beweis ruht. Denn der Fall ist denkbar, daß man den R-Beweis eines Satzes vom R-Beweis eines andern Satzes gar nicht unterscheiden kann & nur darum sagt sie seien verschieden, weil sie die Übersetzungen zweier erkennbar verschiedener 67 Beweise sind.

​

Oder: Etwas hört auf Beweis zu sein, wenn es aufhört Paradigma zu sein, z.B. R.'s logischer Kalkül; & anderseits ist jeder andere Kalkül annehmbar, der uns als Paradigma dient.

​

24.11.   Man könnte doch fragen: Was ist das Eigentümliche eines mathematischen Problems überhaupt? Wenn ich z.B. frage: “gibt es einen Weg diese Figur nachzufahren ohne zweimal die gleichen Strecke zu passieren?” so würde jeder sagen: das ist ein mathe- 68 matisches Problem, das ist mathematisch zu entscheiden. muß sich mathematisch entscheiden lassen. Ebenso, wenn man die Frage stellt: “Kann man diese Rechtecke ˇdieser Figur mit srot⌊er⌋ & grün⌊er⌋ ˇFarbe so anstreichen, so daß jedes Rechteck ˇentweder ganz rot oder ganz grün ist & ˇdaß ein jedes sich von jedem angrenzenden abhebt?”     Was ist charakteristisch mathematisch an diesen Problemen? Nun, man könnte sagen : , daß wir ⌊(⌋für sie⌊)⌋ eine bestimmte Art der Beantwortung ˇfür sie annehmen gelten lassen .     Z.B.: Wenn ich ˇes mir gelungen ist in ein jedes der Rechtecke de solchermaßen entweder das Wort “[S|s]chwa den Buchstaben ‘x’ oder ‘y’ zu schreiben, daß zwei angrenzende Rechtecke nie den gleichen Buchstaben enthalten, so nehme ich das als positive Beantwor- 69 tung der zweiten Frage an.       Nun nehmen wir an die Figur von der wir sprachen sei nicht als diese bestimmte Gestalt definiert gewesen sondern als die Figur in einem gewissen Zeitraum auf dieser Buchseite Tafel zu sehen ist & nehmen wir an diese Figur flimmerte & wir frag⌊t⌋en nun: “läßt sie sich so & so nachziehen?” – Dann würden wir dies keine mathematische Frage mehr nennen?      Wie weiß ich, noch ehe' ich einen Begriff von der Art der Lösung habe davon habe wie die Frage sie zu lösen ist, schon : , daß dies eine mathematische Frage ist? // Wie weiß ich noch eh' ich einen Begriff von der Methode vom Vorgang der ihrer Lösung habe schon, daß … // // Wie weiß ich, ˇnoch ehe ich einen Begriff von der 70 Methode, die Frage sie zu lösen, habe, schon: daß dies … //

​

“Das ist eine mathematische Frage”, – heißt: Ddas ist ein für allemal ˇdurch ein Bild zu entscheiden.

​

Daß der R'sche Beweis von n + m = l alles mögliche Überflüssige enthält ist wohl klar, aber das zu zeigen genügt mir noch nicht. Nun, wenn er auch ⌊(⌋logisch⌊)⌋ einigermaßen ausgeschmückt ist, ist er macht ihn das noch nicht falsch. Man braucht dies um & auf nicht, aber es schadet aucht nichts. // Man braucht diese Deutung nicht, aber sie … // Wenn wir sie aber weglassen, so haben wir vorerst eine Konstruktion, aus mittels ausgehend von zwei Klammeraus- 71 drücken Reihen von Variablen eine [D|d]ritte Reihe zu bilden, die so viele Variable enthält, als beide ersten zusammen. Analog etwa dieser Konstruktion: ( a b c d ) ( r s t )      ( α β γ δ ε ξ η )(Ƒ) Genügt nun dies, die Addition der Kardinalzahlen zu erklären? Ist es richtig, daß unser ganzer Additionskalkül ˇmit Kardinalzahlen wirklich auf so einem eins-zu-eins Kollationieren Abstreichen beruht, – sodaß dieses im Hintergrund jeder solchen Rechnung Additionsr solchen // jeder Addition // stünde steht ?

​

25.11. Es ist eine Tatsache, daß verschiedene Methoden der Zählung sogut wie immer übereinstimmen.

​

Wenn ich die Felder eines Schachbretts zähle, komme 72 ich so gut wie immer zu ‘64’.

​

Wenn ich zwei Reihen von Wörtern auswendig weiß, z.B., Zahlwörter & das Alphabet & ich ordne ˇsie nun einander 1 → 1 zu         a 1         b 2         c 3          etc so komme ich bei ‘z’ s.g.w.i. zu ‘26’.

​

Es gibt ⌊(⌋so⌊)⌋ etwas wie: eEine Reihe von Wörtern auswendig können. Wann sagt man ich wisse das Gedicht … auswendig? Die Kriterien sind ziemlich kompliziert. Übereinstimmung mit dem einem gedruckten Texte ist eines. Was müßte geschehen, das mich zweifeln machte, daß ich wirklich das ABC auswen- 73 dig weiß? Es ist schwer vorzustellen.         Aber ich verwende nun das2 ¤      [(|[]I'm much too slick & all I produce is pritty slick. Es hatt nicht genug Falten im Gesicht sondern ist oberflächlich & von glatter Stirn. Zugleich oacht es fälschlich den Eindruck der Tiefe, denn es ist von Einem t geschrieben der sich so gern tief wüßte. Das Gesicht ist zu Faltenlos; aber Falten kommen vom Kummer, nicht von der Bequemlichkeit. Wer [ä|a]uf dem Kummer schwimmen will, um ja nie unterzutauchen, wie sollte der Tiefe kennen. Mein ganzes Leben (innereh & äußeres) ist darauf angelegt, im auf sicherem Boot auf dem Meere, ˇauf der Oberfläche⌊,⌋ zu schwimmen. Ich will doch gar nicht zahlen; wie sollte ich erhalten?[)|]] ¤ Aufsagen, oder [a|A]nschreiben, einer Wortfolge Zeichenfolge aus dem Gedächtnis als Kriterium der Zahlengleichheit, 74 (Mengengleichheit).

​

Soll ich nun sagen: Das macht ja alles nichts – die Logik bleibt doch der Grundkalkül nur wird freilich, ob ich zweimal dieselbe Formel vor mir habe, von Fall zu Fall anders verschieden aufgefunden festgestellt // herausgebracht // .

​

26.11. Stellen wir uns vor, daß wir nie andere Zeichenfolgen als die von der Form x1, x2, x3 … x10 x11 … gesehen hätten. Unsere ˇlogischen Beweise bezögen sich dann ganz natürlich eben auf diese Folgen.      Nehmen wir an, ich bilde nun den Begriff der ‘Addition von 10’ mittels des Begriffs der ‘Addition von 1’. Und dann, mittels der Addition 75 von 10 erst den der 100. –

​

Ist es die Logik, die mich zwingt, – – –

​

Es ist nicht die Logik, die mich zwingt – möchte ich sagen – einen Satz von der Form (∃   ) (∃   ) ⊃ (∃   ) anzuerkennen, wenn in den ersten beiden Klammern je eine Million Variable ist & in der dritten zwei Millionen. Ich will sagen: die Logik zwänge mich in diesem Falle gar nicht irgend einen Satz anzuerkennen. Etwas anderes zwingt mich so einen Satz als der Logik gemäß anzuerkennen.

​

27.11.   Die Logik zwingt mich nur, sofern mich der logische Kalkül 76 zwingt.

​

Aber es ist doch dem Kalkül mit 1000000 wesentlich, daß sich diese Zahl muß in eine Summe 1 + 1 + 1 … auflösen lassen! Und um sicher zu sein, daß wir die richtige Summe vor uns haben, Anzahl von Einsern vor uns haben, können wir ja die Einser numerieren.     1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 1000000     Diese Notation wäre ähnlich der:     ‘100,000.000,000’, die ja auch das Zahlzeichen übersehbar macht. Und ich kann mir doch denken, jemand hätte große [s|S]ummen Geldes in Pfennigen in ein Buch eingetragen wo sie etwa ˇals 1[2|0]0stellige Zahlen erschienen ständen , mit denen ich nun zu rechnen hätte. Ich finge nun damit an, sie mir in eine Übersehbare Notation zu übersetzen, würde sie aber doch ‘Zahlzeichen’ nennen, sie als Dokumente von 77 Zahlen behandeln. Ja ich würde es sogar als Dokument einer Zahl ansehen, wenn mir einer sagte N hat soviele ⌊Sc⌋hill⌊inge,⌋ als ◇◇◇ Erbsen in dieses Faß gehen. Anders wieder: “Er hat soviele Schillinge als das Hohe Lied Buchstaben hat”.

​

28.11. Versuche nicht, recht zu behalten! Es ist fruchtbarer, zu trachten, das eigne Unrecht zu beweisen. Ich bin jetzt eigentlich sicher, ich habe mich geirrt. Aber der Platz meines Irrtums & seine Reichweite weiß ich nicht.

​

29.11.   Die Notation ‘x1, x2, x3 …’ macht den Ausdruck ‘(∃ …) zur Gestalt & damit die R-bewiesene Tautologie.

​

Laß mich so fragen: Ist 78 es nicht denkbar möglich , daß die 1 → 1 Zuordnung im R.schen Beweis nicht verlässlich vollzogen werden kann, daß, z.B., wenn wir sie zum Addieren benützen wollen, recgelmäßig ˇsich ein derm gewöhnlichen Addition Resultat widersprechendes Resultat heraukommt ergibt, & daß wir dieas auf auf mit der einer ˇeine Ermüdung erklären schieben, die uns, ohne daß wir's merken wissen ˇuns gewisse Schritte überspringen läßt? Und könnten wir [ni|da]nn nicht sagen: – wenn wir nur nicht ermüdeten, würde ˇsich das & das dieses // das gleiche // Resultat ergeben –? Un Darum, weil es die Logik fordert? Fordert sie es denn? Berichtigen wir hier Kontrollieren wir ⌊(⌋hier⌊)⌋ nicht die Logik den logischen Kalkül durch mit einenm anderen Kalkül? 79

​

[n|N]ehmen wir an wir nähmen immer 100 Schritte des ˇlogischen Kalküls Zusammen & erhie⌊l⌋ten nun verläßliche Resultate, während wir sie nicht erhalten, wenn wir alle Schritte auszuführen trachten versuchen einzelnen ausführen , – – man möchte sagen: die Rechnung basiert ja doch auf Einerschritten, da ein Hu⌊n⌋derterschritt durch Einerschritte defin⌊i⌋ert ist. – Die Definition sagt doch: einen Hunderterschritt machen sei dasselbe wie … [;| ,] ⌊–⌋ – & doch machen wir den Hunderterschritt & nicht die hundert Einerschritte     Beim abgekürzten Rechnen folge ich doch einer Regel – – & wie wurde diese Regel begründetc abgeleitet ? – Wie, wenn der gekürzte & der ungekürzte Beweis verschiedene Resultate haben ergeben ? 80

​

30.11.     Was ich sage kommt doch darauf hinaus, : daß ich, z.B., ‘10’ als ‘1 + 1 + 1 + 1 …’ definieren kann & ‘100 × 2’ als ‘2 + 2 + 2 …’, aber darum nicht notwendig ‘100 × 10’ als ‘10 + 10 + 10 …’ oder gar als ‘1 + 1 + 1 + 1 …’.

​

Ich kann mich davon, daß 100 × 100 = 10000 ist durch ein ‘abgekürztes’ Verfahren überzeugen. Warum soll ich dann nicht dieses als das ursprüngliche eigentliche Beweisverfahren betrachten?

​

Ein abgekürztes Verfahren lehrt mich, was bei dem unabgekürzten herauskommen soll. (Statt daß es umgekehrt wäre.) 81

​

1.12.   “Die Rechnung basiert ja doch auf den Einerschritten …” Ja; aber auf andre Weise. Der Beweisvorgang ist eben ein anderer.

​

Ich könnte z.B. sagen: 10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; und 100 gleichermaßen ˇist 100 = = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 Habe ich nicht die Erklärung von 100 auf die ˇsuccessive Addition von 1 zu 1 ⌊1 ⌋ basiert? Aber in der selben [w|W]eise, als hätte ich 100 Einser addiert? Braucht es in meiner Notation überhaupt ein Summenzeichen Zeichen der Form – ‘1 + 1 + 1 …’ mit 100 Summanden Gliedern geben?

​

Die Gefahr scheint hier zu sein, das (ab)gekürzte Verfahren als einen blassen Schatten des 82 ungekürzten anzusehen. Die Regel des Zählens ist nicht das Zählen.

​

2.12.   Worin besteht es 100 Schritte des Kaküls ‘zusammenzunehmen’? Doch darin, daß man ein nicht die Einerschritte sondern einen andern Schritt als maßgebend annimmt ansieht .

​

Wie weiß ich, daß beim Abdrucken einer Buchseite immer einer Seite eines mathischen Buches immer wieder die gleiche Anzahl von Strichen auf dem Papier erzeugt wird? Hier scheinen z.B. gewisse Fehler möglich, andere ganz undenkbar. (Man kann es sich ⌊zB⌋ leicht erklären, wenn daß beim Abdrucken der Zeichen der Formel von ‘(x + y)² = ‘x² + 2xy + y²’ statt des ‘y2’ nur ‘y’ erscheint; aber nicht, daß 83 statt dessen ‘(y + 1)3’ erscheint. ) Und wäre das unmöglich?) Wenn also beim Abdrucken dieselben Fehler vorkämen wie die sie etwa ein dummer Schüler machen würde.)

​

Beim gewöhnlichen Addieren von KardinalzZahlen Anzahlen ganzen Zahlen im Dezimal[z|s]ystem machen wir Einerschritte, Z[a|e]hnerschritte, etc.. Kann man sagen, daß [v|V]erfahren basiere auf dem, nur Einerschritte zu machen? Und man könnte es so begründen: Das Resultat der Addition schaut allerdings so aus: ⌊ –⌋ ‘7583’, aber die Erklärung dieses Zeichens, seine Bedeutung, die endlich auch in seiner Anwendung zum Ausdruck kommen muß ist doch von der Art: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 u.s.f.. Aber 84 ist dem so? Muß dieses ˇdas Zahl Zzeichen so erklärt werden oder diese Erklärung implicite in seiner Anwendung zum Ausdruck kommen? Ich glaube, wenn wir nachdenken zeigt sich's, es ist nicht der Fall.

​

Das Rechnen mit Kurven oder mit dem Rechenschieber.   Freilich wenn wir die eine Art des Rechnens mit der anderen kontrollieren, kommt normalerweise dasselbe heraus. Wenn es nun aber mehrere Arten gibt: – wer sagt, wenn sie nicht ubereinstimmen, welches die eigentliche, d.h. aus dem Wesen der Zahl stammende, Rechnungsweise ist? // die eigentliche, and der Quelle der Mathematik sitzende, … // 84

​

3.12. Sich seiner Handlungen schämen ist ein Teil des menschlichen Lebens – & ich will dem entgehen, ich will es vermeiden. Das heißt: ich will das Los der andern Menschen nicht teilen. Das ist, wie wenn ich mich für zu gut hielte mit anderen Hunger oder Mühe zu teilen; als wollte ich in einem Palast leben (& fu fände dies mir ganz angemessen) während die Anderen in gewöhnlichen Häusern & Hütten leben.

​

‘ Ein Der Beweis muß überblickbar übersehbar sein’ – heißt das nicht einfach: das Bild eines Beweises muß als Beweis fungieren funktionieren können? // das Bild des Beweises ist﹖ der Beweis? // // das Bild eines Beweises ist abermals der Beweis? // 85

​

Wie, wenn man sagte: man muß sich den Beweis merken können?

​

4.12.   Wo ein [z|Z]weifel darüber auftauchen kannc, ob dies wirklich das Bild dieses Beweises ist, wo wir bereit sind die Identität eines Beweises anzuzweifeln, dort hat der Beweis seine // unser Vorgehen seine // die Ableitung ihre Beweiskraft verloren. Denn der Beweis dient uns ja als Maß.

​

Könnte man sagen: Zu einem Beweise gehört ein von uns festgesetztes anerkanntes Kriterium der Richtigkeit der Reproduktion richtigen Reproduktion des Beweises?

⌇

Das heißt z.B., D.h., z.B. (auf den gewöhnlichen Fall angewandt): daß wir müssen sicher sein (können), ˇ, es muß uns als sicher feststehen, daß wir beim Beweisen ˇ(z.B.) kein Zeichen ausgelassen übersehen haben. Daß uns kein Teufelchen betrogen haben kann, indem es Zeichen ohne 86 unserm Wissen ˇverschwinden ließ, hinzusetzte, etc.

​

[Bemerkung über 12 × 12 = 144]

⌇

Man könnte sich so ausdrücken sagen : Wo Wenn man sagen kann: “auch wenn uns ein Dämon betrogen hätte, so wäre doch alles in Ordnung”, dort hat der Schabernack, den er uns antun wollte, (ebenc) seinen Zweck verfehlt.

⌇

“Der Beweis muß übersehbar überblickbar sein” – heißt: wir müssen bereit sein ihn zur (unbedingten) als Richtschnur zu gebräuchen﹖ nehmen , dafür, – – – 4.12. – – – für das dafür , was als gleich & ungleich zu gelten hat, etc..

​

Ein ˇmathematischer Beweisˇ, könnte man sagen, hilft immer, einen Begriff zu bestimmen. definieren. 87

​

Der Beweis muß unser Vorbildˇ, unser Bild, davon sein, ⌇ wie dieser Ausdruck richtig anzuwenden ist⌇.

​

5.12.   Der Beweis, könnte man sagen, zeigt nicht einfach bloß , daß es so ist, sondern : , wie es so ist. Er zeigt, wie 13 + 14    27 ergeben.

​

“Der Beweis muß übersehbar sein” – heißt, : wir müssen bereit sein, ihn als Richtschnur unseres [(nicht-mathematischen)] Urteilens zu gebrauchen nehmen . ¤

​

Wenn ich sage: “der Beweis ist ein Bild” – so kann man sich ihn auch als kinematographisches Bild denken.

​

¤ // ... ihn als Richtschnur zu nehmen gebrauchen dafür, wie wir eine Lage beurteilen. // 88

​

Den Beweis machen wir macht man ein für alle mal Mal . // allemal. //

​

6.12.   Kann ich sagen: “Der Beweis ist ein Bild davon, wie es aussieht wenn 200 & 200    400 geben”? Man könnte etwa sagen: es gibt auch ein Bild davon wie 200 & 200    399 ergeben – man sieht namlich dabei eine Einheit verschwinden es verschwindet nämlich dabei eine Einheit .         Oder: “Wenn 200 & 200    400 ergeben ergibt , so geht das so zu. –”

​

“Dies Bild macht uns sagen, daß 200 + 200 = 400 sind.”      Es ist unser Vorbild für die Addition von 200 & 200.

​

Dieses Bild zeigt uns nicht, daß 200 & 200    400 ergeben – , sondern 89 wie sie es ‘ergeben’.

​

Kann man sagen: “So schaut es aus, wenn 200 & 200    400 ergeben”? “Ergeben” muß doch hier zeitlich gemeint sein! ¥•

​

Schau den geschriebenen Beweis als eine Zeichnung an. [mit dem vorherg. Satz nur in loser Verbindg.[)|]]

​

⍈ Wenn ich aber 200 Äpfel zu 200 Äpfeln lege, so sieht es (für) gewöhnlich nicht so aus.

​

Wenn ich aber 200 Äpfel zu 200 Äpfeln lege, so sieht es (für) gewöhnlich nicht so aus.

​

Wie, wenn ich sagte: “So kann es ausschauen, wenn man & 200 Äpfel & 200 Äpfel zusammengibt.”

​

Oder: “So kann es ausschauen, wenn man 200 & 200 Äpfel so zusammengibt, daß sie 400 ergeben.” 90

​

7.12.    // … wir müssen bereit sein ihn als Richtschnur zu nehmen zur für die Beurteilung einer Lage Situation ; wir mü[ß|ss]en, z.B., auf grund dieses Bildes bereit sein, zu sagen, daß nach diesen & diesen Teilungen & Abhebungen soviel Pfunde £ zurückbleiben müssen : , wenn keine, auf uns unbekannte Weise, hinzu dazu oder abhanden gekommen sind. //

​

Der Beweis muß natürlich vorbildlich sein.

​

8.12.   Der Beweis(, (das Beweisbild)) zeigt uns das Resultat eines Vorgangs ˇ(der Konstruktion); & wir sind überzeugt – wir nehmen an – // wir sind bedingungslos bereit anzunehmen // , daß ein so geregeltes Vorgehen (immer) zu diesem Bild führet. 91

​

(Der Beweis führt uns ein S synthetischesc Factum vor.)

​

‘Ja, – wenn ich nach diesen Vorschriften vorgehe, muß ich immer so gehen (wie dies Bild es zeigt), muß immer das herauskommen.’

​

9.12.   Mit dem Satz, der Beweis sei ein Vorbild, – dürfen wir natürlich nichts nNeues sagen.

​

Der Beweis muß ein Vorgang sein, von dem ich sage: Ja, so muß es sein; das muß herauskommen, wenn ich nach dieser Regel vorgehe. mich nach dieser Regel richte.

​

Der Beweis, könnte man sagen, muß ursprünglich eine Art Versuch Experiment sein – wird aber 92 dann einfach als Bild genommen.

​

Wenn ich 200 Äpfel Kartoffel & 200 Äpfel Kartoffel zusammenschütte & zähle, & es kommt 400 heraus, ergibt sich daß ˇdann 400 Kartoffel da sind, so ist das kein Beweis, daß für 200 + 200 = 400 ist. D.h., wir würden dieses Factum nicht als Paradigma zur Beurteilung aller ahnlichen Situationen verwenden wollen.

​

Zu sagen: “diese 200 Äpfel & diese 200 Äpfel geben 400”– sagt: Wenn man sie zusammenschüttet, kommt keiner weg, noch dazu, sie verhalten sich normal.

​

‘Das ist nicht nur ein|mal geschehen, sondern (es) muß sich notwendig wiederholen. 93

​

Wir nehmen dies Bild als zum Vorbild der einer 1 → 1 Zuordnung von 200 + 200 ˇGegenständen und 400 Gegenständen.

​

Diese Transformationen werden von einem einmaligen Ereignis zur Begriffsbestimmung Vorgang zum Begriff // zur Bestimmung eines Begriffs // .

​

11.12.   ‘Das ist das Vorbild der Addition von 200 & 200’– nicht: ‘ Das ist das Vorbild davon, daß 200 & 200 addiert 400 ergeben’ Der Vorgang des Addierens ergab allerdings 400, aber dies Resultat nehmen wir nun zum Kriterium der richtigen Addition – oder einfach: der Addition – dieser Zahlen.

​

Der ‘Bewiesene Satz’ drückt aus, was aus dem Beweisbild abzulesen ist. 96

​

Der Beweis ist unser Vorbild uns ein Paradigma des richtigen Zusammenzählens von 200 Äpfeln & 200 Äpfeln: D.h., er bestimmt einen ˇneuen Begriff: ‘das Zusammenzählen von 200 & 200 Gegenständen’. Oder man könnte auch sagen: “ein neues Kriterium dafür, daß nichts weggekommen, oder dazugekommen ist”.

​

← // Der Beweis muß unser Vorbild, unser Bild, davon sein, wie diese Operationen ein Ergebnis haben. //

​

Der Beweis definiert das ‘richtige Zusammenzählen’.

​

Der Beweis ist unser Vorbild eines bestimmten Ergebens ; , – welches als Vergleichsobject ◇ 97 (Maßstabc) für wirkliche Veränderungen Standard zur Beschreibung von (wirklichen) Vorgängen dient.

​

12.12.   Das ist ein Bild, welches zustande kommt, wenn wir diesen Regeln folgen – und . Und nun sagen wir: Es es muß zustande kommen.

​

Der Beweis ist das Vorbild eines neuen Begriffes.

​

Wie aber, wenn ein logischer Beweis von Satz zu Satz von einem Satz zum andern Satz fortschreitet?   Nun, der Beweis des Satzes beweist natürlich immer seine Beweisbarkeit ˇ(Konstruierbarkeit) – aber wird er nicht auch anders benützt? Liegt hier nicht das Interesse, das diese Transformationen für uns haben, wo anders, als im früher betrachteten Fall. 98

​

Wenn ich z.B. aus (x)fx f(a) folgere ––     –– –– ––

​

– – – – : [W|w]ir müssen bereit sein, ihn als Richtschnur zu nehmen dafür, wie ein Satz Urteil zu verifizieren ist.

​

13.12.   Beweis verglichen einem Zigsaw puzzle. – Müssen die Stücke, wenn sie sich nicht ändern, immer wieder zu dem der gleichen Bild Figur // Rechteck // zusammengelegtgesetzt werden können?

​

15.12. Gestern nicht gearbeitet. Scheine müde zu sein, abgestumpft!

​

17.12. Ich erkenne doch aber auch ein Beweisverfahren als äquivalent einem andern an! Ich sage: “man kann die Teilbarkeit 99 auch so beweisen”.

​

Der Beweis überzeugt uns von etwas – – aber nicht der Gemutszustand der Überzeugung die Gemütsbewegung(en) des Uberzeugtseins interessierten uns jetzt, sondern die Anwendungen Handlungen die diese Überzeugtheitgung belegen. // aber nicht der Gemütszustand des Überzeugtseins interessiert uns – sondern die Anwendungen die die diese Uberzeugung belegen. //

​

Daher läßt uns die Aussage, der Beweis überzeuge uns von der Wahrheit dieses Satzes, kalt;, da dieser Satz sehr ˇAusdruck der verschiedenersten Auslegungen fähig ist. kalt: der Beweis … Satzes, – da …

​

Wenn ich sage: “der Beweis 100 überzeugt mich von etwas”, so muß aber der dieser Satz, der dieser Überzeugung ausdruck gibt nicht das im Beweise konstruiert werden. Wie wir z.B. multiplizieren, aber nicht notwendigerweise das Ergebnis in Form des Satzes … × … = … hinschreiben. Man wird also wohl sagen : , die Multipli[c|k]ation gebe uns diese Überzeugung, ohne daß der Satz der sie ausdrückt je ausgesprochen wird.

​

Der Beweis kann mit einem Satz endigen, braucht nicht mit einem Satz zu endigen. Ein Der Satz, ein der sogenanntere Satz, zeigt uns beiläufig an, wie der Beweis zu 101 verwenden ist, da der Satz sich ja Zeichen enthalten muß, die [w|W]orten der [u|U]mgangssprache entsprechen [.| (]& so die Brücke zur Anwendung durch eine uns vertraute wohlbekannte Praxis schlägt).

​

Ein psychologischer Nachteil der Beweise, die Sätze konstruieren, ist, daß sie uns leichter vergessen machen, lassen, daß der Sinn des Resultats nicht aus diesem allein abzulesen abgelesen werden , sondern aus dem Beweis. In dieser Beziehung Hinsicht hat das Eindringen des Russellschen Symbolismus in die Beweise viel Schaden angerichtet gemacht. // getan. //

​

Die Russellschen Zeichen hüllen die wichtigen Formen des Beweises, 102 gleichsam, bis zur Unkenntlichkeit ein, wie wenn man eine die M menschliche Gestalt in ⌊(⌋viele⌊)⌋ Tücher ˇgewickelt. ist.

​

(Ich sagte schrieb einmal: “Wenn Du wissen willst, was bewiesen ist, schau auf den Beweis”. Also nicht: “schau auf das Ende des Beweises”.)

​

Das menschliche Vorgehen nach der einer Regel ist ein Vorgang dessen Ergebnis die Erfahrung lehrt.

​

Der Beweis aber sagt: Wenn Du nicht zu diesem Ergebnis gelangst, bist Du nicht nach dieser Regel vorgegangen.

​

“Der Beweis überzeugt uns von der Wahrheit dieses Satzes”: Wie äußert sich diese Überzeu- 103 gung – , z.B. – ;, welchen Schluß rechtfertigt dieser Satz?   Der durch den Beweis erzeugte ˇmathematische Satz ist ein Instrument – und wir wollen wissen: Wie wird dieses Instrument angewandt?

​

(, Wenn ich sage; Mit dem: “er sei ist ein ’Instrument[’|“] , so will ich sagen : , seine Funktion sei nicht, Glauben, oder Unglauben – zu erzeugen, Kopfschütteln, oder Kopfnicken.)

​

Was fangen wir mit der Überzeugung an: – 25 × 25 sei ˇgleich 625?

​

18.12. Bedenken wir, wir werden in der Mathematik von grammatischen Sätzen überzeugt; der Ausdruckˇ, das Ergebnis, dieser Überzeugtheit 104 ist also, daß wir eine Regel annehmen.

​

Nichts ist wahrscheinlicher, als daß der Wortausdruck des Resultats eine mathem. Beweises dazu angetan ist, uns einen Mythus vorzumachen vorzuspiegeln.     Wie sollte es nicht so sein, da jeder Ausdruck in diesen Sätzen in einer sehr speziellen, & dabei, gewissermaßen, übertragenen Bedeutung gebraucht wird.

​

19.12.   Könnte man sagen: Der bewiesene Satz hat zwar nicht die Form einer Regel, aber er läßt sich in auf eine Regel übersetzen bringen, also erzeugt der Beweis das ein Vorbild eines für einen Symbolismus. 105

​

Ich will etwa sagen: Wenn auch der bewiesene mathematische Satz hinaus auf eine Realität außerhalb (seiner ˇselbst) zu deuten scheint, (so) ist er doch nur ⌊(⌋der⌊)⌋ Ausdruck der Anerkennung eines neuen Maßes (der Realität).

​

Wir nehmen also (aus diesen Grundlagen, auf diese Weise) die Konstruierbarkeit ˇ(Beweisbarkeit) dieses Symbols (ˇnämlich des math. Satzes) zum Zeichen dafür, daß wir Symbole so & so transformieren sollen – – –

​

Wir haben uns im Beweis durch den Beweis hindurch vordringend“, durch den Beweis“, zu einer Erkenntnis durchgerungen? // Wir haben uns, von Stufe zu Stufe des Beweises fortschreitend, zu einer … // Und der letzte Satz spricht diese Erkenntnis aus?  Ist diese Erkenntnis nun frei vom Beweise (ist die Nabelschnur ab- 106 geschnitten durchschnitten)? – Nun, der Satz wird jetzt allein & ohne das An[g|h]ängsel des Beweises verwendet.

​

Warum soll ich nicht sagen: ich habe mich, im Beweis, zu einer Entscheidung durchgerungen?

​

Der Beweis stellt diese Entscheidung in ein System von Entscheidungen.

​

(Ich könnte natürlich auch sagen: “der Beweis überzeugt mich von der Zweckmäßigkeit dieser Regel”. Aber das ˇzu sagen könnte leicht irreführen.)

​

20.12. Der durch den Beweis bewiesene Satz dient als Regel, – also als Paradigma. Denn nach der Regel richten wir uns. 107

​

Aber bringt uns der Beweis nur dazu, daß wir uns nach dieser Regel richten (sie anerkennen), oder zeigt er uns auch, wie wir uns nach ihr richten sollen?

​

Der math. Satz soll uns ja zeigen, was zu sagen Sinn hat.

f

Der Beweis konstruiert einen Satz; aber es kommt eben drauf an wie er ihn konstruiert. Manchmal z.B. konstruiert er zuerst eine Zahl & dann folgt der Satz, daß es eine ˇsolche Zahl gibt. Wenn wir sagen[;|,] die Konstruktion müsse uns von dem Satz überzeugen, so heißt das, daß sie uns dazu bestimmen bringen muß, diesen Satz so & so anzuwenden. Daß sie uns be- 108 stimmen muß, das als Sinn, das nicht als Sinn anzuerkennen.

​

21.12.   Was hat der Zweck einer Euklidischen Konstruktion, etwa der Halbierung der Strecke, mit dem Zweck der Ableitung einer Regel aus Regeln mittels logischer Schlüsse gemein?

​

Das Gemeinsame scheint zu sein, daß ich durch die Konstruktion eines Zeichens die Anerkennung eines Zeichens erzwinge.

​

Könnte man sagen: “Die Mathematik schafft neue Ausdrücke, nicht neue Sätze”??      Insofern nämlich, als die [M|m]athematischen Sätze 109 ein für allemal in die Sprache aufgenommene Instrumente sind – ( & ihr Beweis die Stelle zeigt, an der sie stehen.

​

Inwiefern sind aber z.B. Russells Tautologien ‘Instrumente der Sprache’?   Russell hätte sie jedenfalls nicht für solche gehalten. Sein Irrtum, wenn ein solcher vorlag, konnte aber nur darin bestehen, daß er auf ihre Anwendung nicht acht hatte.

​

Der Beweis läßt ein Gebilde aus einem anderen anderen entstehen.      Er führt uns die [e|E]ntstehung von einem aus anderen vor.   Das ist alles recht gut – aber er Das ist leistet doch damit 110 in verschiedenen Fällen ganz Verschiedenes! Was ist das Interesse dieser Überleitung?!

​

Wenn ich auch den Beweis in einem Archiv der Sprache niedergelegt denke – , wer sagt, wie dies Instrument zu verwenden ist, wozu es dient!

​

22.12.   Der Beweis bringt mich dazu zu sagen : , das müsse sich so verhalten. ‒ ‒ Nun, das versteh ich im Fall eines Euklidischen Beweises oder eines Beweises von “25 × 25 = 625”, aber ist es auch so im Fall eines R.schen Beweises etwa von “⊢ p ⊃ q ∙ p. ⊃ .q”? Was heißt hier ‘es müsse sich so verhalten, im Gegensatz zu ‘es verhält sich so’? Soll ich sagen: ˇ“nun ich 111 nehme diesen Ausdruck als Paradigma für alle nichtssagenden Sätze dieser Form an”?

​

Ich gehe den Beweis durch & sage: “[j|J]a, so muß es sein; ich muß den Gebrauch meiner der Sprache so festlegen”. Ich schlage gleichsam einen Pflock Nagel // Dübel // Nagel Bolzen ein – , ⌇ der die möglichen Bewegungen der Sprache näher bestimmt. hemmt & bestimmt. // der gewisse Bewegungen der Sprache ausschließt. // // der den Freiheitsgrad der Sprache einschränkt. // // & schließe damit gewisse Bewegungen aus. //

​

Ich will sagen[;|,] daß das Muß einem Gleise entspricht, das welches﹖ ich in der Sprachec﹖ lege. // Ich will sagen: das Muß entspricht einem Gleise, das ich ...... // 112

​

Wenn wir diese Regel annehmen, so müssen wir diese Regel annehmen, wenn wir nicht in Schwierigkeiten geraten wollen.      Wenn wir z.B. nicht sagen wollen, “wir müssen uns verrechnet haben”, wenn gar kein Grund zu dieser Anschauungsweise vorliegt.

​

23.12. Es ist ein Bild, was bildlicher Vorgang, der , was Dich überzeugt, oder bestimmt.

​

24.12.   Wenn ich sagte, ein Beweis führe einen neuen Begriff ein so meinet⌊e⌋ ich so etwas wie: er der Beweis setze ein neues Paradigma zu der Paradigmensamlung den Paradigmen der Sprache; (ein neues Modell) ahnlich etwa wie wenn man ein besonderes rötlich- 113 blau mischte die besondere Farbmischung irgendwie festlegte, & ihr einen Namen gäbe.      Aber wenn wir auch geneigt sind, einen Beweis ein solches neues Par[d|a]digma zu nennen – was ist die (genaueen) Ahnlichkeit Beziehung eines Beweises zu so eine[n|m] Begriffsvorbild Paradigma ?         Man möchte sagen: der Beweis ändert die Grammatik unserer Sprache⌊,⌋ ˇändert unsere Begriffe. Er macht neue zusammenhänge & er schafft den Begriff dieser Zusammenhänge. (Er stellt nicht fest, daß sie dasind da sind , sondern sie sind nicht da, bestehen nicht, ehe er sie nichtc schafft macht .)

​

Bewege ich mich im Kreise?

​

Man könnte z.B. sagen ein B[ …|eweis] schaffe den Begriff des Folgens dieses Satzes aus diesem Satze. 114 Aber, will ich fragen : , wie wird das Begriffswort dieses Begriffes in der gewöhnlichen Sprache ˇd.h. außerhalb der Mathematik angewandt? // wie wird dieser Begriff verwendet? //

​

Welchenr Begriff schafft entspricht legt ’p ⊃ p’ fest? Und doch ist es mir als könnte man sagen “p ⊃ p” diene uns als Begriffszeichen.       “p ⊃ p” ist eine Formel. Legt eine Formel einen Begriff fest? Man kann sagen: “daraus folgt nach der Formel … das & das”. Oder auch: “daraus folgt auf die Art ⌊(⌋& Weise⌊)⌋ … das & das”. Aber ist das ein Satz, wie ich ihn wünsche? Wie ˇist es aber damit “Zieh⌊'⌋e aus diesem Satz darausc die Consequenz auf die Art …”?

​

25.12.   Aber man kann natürlich auch sagen: “Und daraus folgt, nach 115 der Regel ◇◇◇ “⌊‘⌋p ⊃ p ⌵ q”⌊’⌋, ….” Und wenn man auch obwohl man sagen kann, daß die Einschaltung “nach der Regel ‘p ⊃ p ⌵ q’” in ˇeinem gewissen Sinne überflüssig ist, so ist sie doch nützlich (&) spielt ihre Rolle im Sprachspiel.

​

Wenn ich vom Beweis sage, er sei ein Vorbild⌊(⌋, ein Bild,⌊)⌋ so muß ich es auch von einer R.schen p.p. sagen ˇsagen können (als der Eizelle eines Beweises).

​

Man ﹖ kann fragen: Wie ist man darauf gekommen den Satz “p ⊃ p” als eine gewiß wahre wahre Behauptung auszusprechen?   Nun, man hat ihn nicht im praktischen Sprachverkehr gebraucht ; , – aber dennoch hat war man ˇgeneigt // gedrungen // // gedrängt // ihn unter besondern Umständen (wenn man z.B. Logik 116 betrieb betreibt ) mit Überzeugung auszusprechen.

​

26.12.   Wenn ich sagte “[d|D]er Beweis muß übersehbar sein” – gilt dies denn nicht ebenso von jedem Satz: z.B., “In England gibt es 20000 Kühe”⌊?⌋ ˇMan kann auch ˇMan denke sich in diesem Satz kann man “20000“ ersetzt denken durch eine ˇlange Reihe von Strichen.

​

Wir entscheiden uns stufenweise zur Anerkennung Annahme dieser Regel.

​

Wenn der Beweis eine Straße ist, die zum Satz führt, // ist zu diesem Satz, // zum ⌊(⌋bewiesenen⌊)⌋ Satz ist, welche Rolle spielt diese Straße noch , – , wenn wir sie einmal gegangen sind? Sie gibt dem Satz seinen Ort in einem im System. 117

​

Was ist es, was mir unklar ist: ist es die Rolle eines Beweises in Sprachspielen?

​

Der mathematische Beweis, weist der Regel ihren Platz an. (Die Regel “16 × 4 = 64” könnte ja auch eine ursprüngliche Definition sein.)

​

Der Beweis überredet mich – mich ; – aber nicht, ⌇ daß das & das sich so & so verhält ⌇, sondern, daß ich meine Begriffe so dahin erweitern, so dahin abändere abändern soll .

​

Ich nehme diese Transformationen an. – Ich lasse sie meine Darstellungsweise Ausdrucksweise bestimmen. ⌊(Soll ich sagen: “aus den verschiedensten Gründen”?)⌋

​

Wie ist es aber mit ‘p ⊃ p’? Ich 118 sehe in ihm einen degenerierten ◇◇◇ Satz, der auf der Seite der Wahrheit ist.        Ich lege ihn als wichtigen Schnittpunkt von sinnvollen Sätzen von Sätzen fest. Ein Angelpunkt der Darstellung. // Darstellungsweise. //

​

Wovon soll der Beweis ein Vorbild sein? – Soll ich sagen: ‘von einer bestimmten Sprachbewegung’?

​

Wenn der Beweis auch nach Regeln fortschreitet, so ist er doch das Paradigma für diese Fortschreitung.

​

Ich wollte sagen: Der mathematische Beweis wird außerhalb der Mathematik verwandt verwendet & ist da das Paradigma eines 119 unserer Begriffe. ⌊–⌋ Aber in wiefern ist das wahr?

​

Nimm einen R.schen Beweis des ersten Teils der Pric. Math.: inwiefern kann man ihn Vorbild eines Begriffs nennen? Nun, er ist Vorbild des Begriffs eines bestimmten Übergangs.

​

27.12. Aber das scheint zu wenig zu sagen. – Wie würde der Begriff so einer Transformation gebraucht? Indem man ˇetwa sagen würde: “N. führt mit den Zeichen die Transformation T aus”. Und die Transformation T ist eine, die ich durch eine Vorlage erkläret ˇwird. Es könnte z.B. eine Umgruppierung der Figuren auf dem Schachbrett sein. 120

​

Ich bin willens, diese Konstruktion “Konstruktion des regelm. 5-[E|e]cks mittels Zirkel & Lineals” zu nennen.

​

Ich will sagen: Durch die Konstruktion des Fünfecks schaffe ich den Begriff dieser Konstruktion, & durch den Aufbau des Beweises von … den Begriff dieses Beweises.

​

(Immer das Gefühl, als drehte ich mich im Kreise.)

​

Aber könnte ich nicht auch sagen: der Beweis schaffe den Begriff dieses Satzes an diesem Platz?

​

Der Beweis ist unser Vorbild dieses Weges. 121

​

Was aber die Wichtigkeit dieses Weges ist, ist damit noch nicht gesagt. –

​

Es genügt nicht zu sagen: “ich bin willens, diese Konstruktion als //als// ˇden Beweis dieses Satzes zu nennen //anzuerkennen//”, sondern ich muß sagen: – “dieses Satzes, den ich so & so gebrauche”.

​

28.12.   Die Konstruktion des Beweises beginnt mit irgend welchen Zeichen, & unter diesen müssen die ‘ einige, die ‘Constanten’ in der Sprache schon Bedeutung haben. So ist es wesentlich daß “ ⌵ ” & “~” schon eine uns geläufige Anwendung besitzen & die Konstruktion eines 122 Beweises in den Princ. Math. nimmt ihre Wichtigkeit, ihren Sinn, daher. Die Zeichen aber des Beweises lassen diese ihre Bedeutung nicht erkennen.

​

Die ‘Verwendung’ des Beweises hat natürlich mit jener Verwendung seiner Zeichen zu tun.

​

[Die Biegung des Weges, die Du gehst machst , erscheint Dir als Biegung, während ˇfür Deinen Blick die Biegungen vor & hinter Dir sich für Deinen Blick au in Gerade ausstrecken.]

​

Wie gesagt, ich bin ja auch schon von den p.p. Russell's in gewissem Sinne überzeugt.     Die Überzeugung also, die der Beweis hervorbringt 123 kann nicht nur von der Beweiskonstruktion herrühren.

​

(Was ich jetzt schreibe muß außerordentlich schlecht sein.)

​

Wenn ich mir denke, daß der Beweis Regeln aus Regeln ableitet, so bestimmt er mich also gewisse Regeln anzuwenden, nachdem ich mich schon vorher entschieden habe gewisse Regeln anzuwenden.

​

Wie kann Die Beweisfigur zeigt ein gewisses Passen – etwas was ich –– ‒ ‒ aus komplizierten Gründen –– ‒ ‒ als Passen anerkenne.

​

Wenn ich sagte sage : “der Beweis 124 schafft einen Begriff” – ist dieser Begriff, sozusagen, ˇeinfach ein Geometrischer Begriff, (entsprechend der geometrischen Figur des Beweises), oder ist es ein Begriff, dessen Inhalt mit der ˇ(außerlogischen) Anwendung des Beweises zu tun hat? (Diese Frage beruht natürlich auf einer Verwirrung.)

​

Die ‘geometrische’ Anwendung des Beweises ist offenbar nur eine unter vielen möglichen. Anwendungen.   Und sie ist ja eine Anwendung auf ein praktisches Problem.

​

‘Das regelm. 5-Eck mit Zirkel & Lineal konstruieren’ heißt das tun. Die Wichtigkeit der Konstruktion, des Begriffes, mag darin liegen, 125 daß diese Konstruktion unter gewissen [u|U]mständen ein regelmäßiges 5-Eck im metrischen Sinn ergibt.

​

29.12. Warum bildet man diesen Begriff? Weil er nützlich ist.

​

Warum bildet man den Begriff des Übergangs von diesen Zeichen zu diesem Zeichen?

​

Aber wovon kann mich ein Begriff überzeugen? – Soll ich sagen: davon, daß ich ihn so werde gebrauchen können?

​

Ich habe vor mir eine Reihe von Zeichen – – daß ⌊(⌋aber⌊)⌋ die Übergänge nach diesen Regeln gemacht sind, ist eine Frage 126 der Anerkennung.

​

Wozu kann so eine Re Folge von Zeichen, wie sie der Beweis ist, nützlich nütze sein?

​

Aber könnte man die Konstruktion des metrischen regelm. 5-Ecks kein Experiment nennen? Das Konstruieren ist ein Experiment (oder kann eins sein). Die Konstruktion ist – wenn Du willst – eine Anweisungc﹖.

​

Die Kons⌊t⌋ruktion des Kräfteparallelogrammes.

​

Der Beweis, könnte man sagen, ist der einc Ausschnit eines aus einemc Systems von Zeichen. Wir nehmen – aus verschiedenerlei verschiedenen Gründen – den Ausschnitt die Darstellungs 127 form, – die der Ausschnit representiert, an.

​

Ich habe früher eine Rechnung dargestellt als Teil einer Technik, z.B. des Hausbaues. Es könnte aber auch ein Experiment mit Zeichen ein Teil so einer Technik sein: – Man übergieße diese Zeichen mit Schwefelsäure & richte sich dann in der & der Weise nach dem was sich dann auf dem Papier zeigt. – Das aber ist keine Rechnung. Die Rechnung muß ‘ übersehbar übersichtlich ’ sein. –

​

Der Begriff einer der Beweiskonstruktion kann auf verschiedenen Umwegen nützlich sein. 128

​

Was ist der Unterschied zwischen einem Beweis in der reinen Mathematik & einem in der angewandten Mathematik?

​

Wenn ich das Urmeter in Paris sähe, aber die Institution des Messen & ihren Zusammenhang mit jenem dem ‘ Stab Urmeter ’ nicht kennte , – könnte ich sagen, ich // besäße // kenneverstehe den Begriff des Urmeters?

​

Ist nicht auch so der Beweis die Beweiskonstruktion ein Teil einer Institution?

​

Der Beweis ist ein Instrument – aber warum, sage ich: “ein Instrument der Sprache“?   Ist denn die Rechnung notwendigerweise ein Instrument 129 der Sprache?

​

Man könnte sich, z.B., denken, daß ˇdie Ableitungen in Princ. Math. von ⌊von⌋ jemandem zum Zeitvertreib, ˇals ˇein Schreibspiel, ⌊hin⌋geschrieben worden wären, der mit “ ⌵ ” nicht den Begriff ‘oder’ mit ‘~’ nicht den Begriff ‘nicht’ verbunden hätte, u.s.f. etc Später hätte jemand “ ⌵ ” als Zeichen der Disjunktion für oder , ~ als Zeichen der Verneinung aufgefaßt⌊(⌋, etc⌊)⌋, & die ˇˇ(gewissen) zusammenhängenden Zeichengruppenc ˇdes Buches als Ableitungen von Schlußregeln.       Hätte nun dieser Letztere schon angewandte Mathemathik betrieben?

​

30.12. ∣ Sich psychoanalysieren lassen kann ähnlich sein einem dem Essen vom Baum der Erkenntnis sein. ist irgendwie ähnlich vom Baum der Erkenntnis essen. Die Erkenntnis, die man dadurch dabei erhält, stellt gibt gäbe 130 uns ⌊(⌋neue⌊)⌋ ethische Probleme Aufgaben ; trägt aber nichts zu ihrer Lö[g|s]ung bei. ∣

​

Was ist es ˇdenn, was Dich quält? Dieaßas mangelnde Dir die Fehlen ˇder Übersicht fehlt über den Gebrauch des Beweises. ¥ •

​

Das ‘Einleuchten’ der Axiome besteht darin //ist ein das// dem einem Entschlossensein sie & unbedingt sie als // sie unbedingt als … // sie als ⌊(diec)⌋ Richtschnurren der Darstellung zu nehmen. ⍈↺   Ich suche vergebens eine Übersicht über die Verwendung der Konstruktionen.

​

Die Konstruktion der 5-Ecks Seite ist bei Euklid ein Teil des Beweises, daß die die Konstruktion der 5-Ecks Seite ist. Aber könnten wir uns nicht denken, daß Leute 131 festsetzen, dies ˇdieser Konstruktionsvorgang soll als Meßmethode für die Regelmäßigkeit de[s|r] Fünfecke dienen gelten ? Gestützt wäre diese Festsetzung durch gewisse (wohlbekannte) Erfahrungen.

​

Was ich immer tue, scheint zu sein : , zwischen Sinnbestimmung & Sinnverwendung einen Unterschied hervorzuheben.

​

Die An Rolle, die die sogenannten Axiome in der eigentlichen Anwendung spielen ist eine mannigfache: Wie kommt es dann, daß mit ihnen immer eine Überzeugung Hand in Hand geht verbunden ist ?      Was ist das Gemeinsame der Überzeugungen davon daß p ⊃ p wahr ist & das daß man 132 zwischen je 2 Punkten eine Gerade ziehen kann, ( oder daß alle Körper einander anziehen? – Was ist das Gemeinsame in der Verwendung dieser Behauptungssätze?

​

Angenommen, wir sagten: Mit dem Beweis geht immer ein Entschluß zusammen.

​

Ich möchte sagen: Der Beweis ist eine Konstruktion, & eine Konstruktion, die wir nicht als Experiment betrachten. Sie ist eine Bilderreihe, deren Ende wir ‘das Ergebnis’ nennen. (Und zwar : , we⌊i⌋l so wirklich ˇnormalerweise das Ergebnis ausschaut, wenn wir nach der & der Regel fortschreiten.) Im Satz: “die Konstruktion ergibt das⌊“⌋ & das ist “ergeben” 133 zeitlos gebraucht.

​

Das Ergebnis der Eucl. Konstr der 5-EcksSeite ist also nicht die metrische 5-Ecksseite. Diese wird sich manchmal ergeben, manchmal nicht.

​

Die Konstruktion ist also in diesem Sinne nicht ein Bau das Aufrichten Errichten eines Baus, das Erzeugen eines Ergebnisses[.|,] ⌊das Ergebnis kein Erzeugnis.⌋

​

(Ich mache Bemerkungen über die Grammatik der Worte des Wortes ‘Konstruktion’, ‘Ergebnis’, etc.)

​

Das ⌊(⌋geometrische⌊)⌋ Ergebnis der Eucl. Konstr. der 5-Ecksseite mit Zirkel & Lineal könnte man daher überhaupt nicht die Fünfeckseite nennen, sondern nur die ganze Konstruktionsfigur – zu der das regelm. 5-Eck gar nicht gehört.

​

Wir erkennen aber die Konstruktion in gewissem Sinne an. Was heißt es denn: sie anerkennen? Als was kann ich diese Verbindung von Linien anerkennen? Nun es kommt drauf an: – Im ‘Beweise’ spricht man davon einem Anerkennen der Axiome & der einzelnen Schritte. In der Konstruktion der 5-EckSseite gibt es so ein Anerkennen nicht.

​

Aber – wie gesagt – ‘die Axiomeˇ, oder Premissen, etc anerkennen’ kann doch verschiedenerlei heißen.

∫

Im rein-mathematischen Beweis, – könn 135 te man sagen – ist sei das Anerkennen der Premissen etwas Ähnliches wie das Anerkennen der Schritte.

​

(Ich fürchte, ich bin vielleicht zu nicht mehr jung genug, den Purzelbaum zu machen, der vielleicht hier nötig ist.)

​

31.12.   Denn alles liegt daran, das Wohlbekannte von einer neuen Seite anzusehen.

​

Den Beweis anerkennen: man Man kann ihn anerkennen als Paradigma einer der Figur, die entsteht, wenn diese Regeln richtig auf gewisse diesejene Figuren angewandt werdenc wurden . Man kann ihn anerkennen als die richtige Ableitung einer Schlußregel. Oder als eine richtige Ablei- tung aus einem richtigen Erfahrungssatz; oder als die richtige Ableitung aus einem falschen Erfahrungssatz; oder einfach als die richtige Ableitung aus einem Erfahrungssatz, von dem wir nicht wissen ob er wahr od⌊e⌋r falsch ist.

​

Man könnte fragen: “ ‘Was tun wir, auf den Beweis hin?’

​

Es ist ein seltsamer Gebrauch ˇin unsrer Sprache, wenn wir von Zahlen ◇◇◇ wenn sie von Zahlen in Erfahrungssätzen & auch in mMathematischen Sätzen redendet. // Es ist eine Seltsamkeit (in) unsrer Sprache, daß wenn wir von Zahlen .... wir in Erfahrungssätzen & auch in mathematischen Sätzen von Zahlen reden. // // 137 // Es ist eine Seltsamkeit unserer Sprache, wenn sie von Zahlen in Erfahrungssatzen – & auch in mathematische Sätzen redet. //

​

Kann ich nun aber sagen, daß die Auffassung des Beweises als ‘Beweises der Konstruierbarkeit’ des bewiesenen Satzes in irgend einem Sinn(e) eine einfachere, primärere, ist als jede andere?       Kann ich also sagen: “ Der Ein jeder Beweis beweist vor allem, daß diese Zeichenform herauskommen muß wenn ich diese Regeln auf diese Zeichenformen anwende”? Oder: “Der Beweis beweist vor allem, daß diese Zeichenform entstehen kann, wenn man nach die- 138 sen Transformationsregeln mit diesen Zeichen [O|o]periert. –   Das Das würde ˇauf eine geometrische Anwendung deuten. Denn der Satz dessen Wahrheit, wie ich sage, hier bewiesen ist, ist ein Geometrischer Satz – , ein Satz Grammatik die das Transformieren Transformierungen von Zeichen betreffend. Man könnte z.B. sagen : , es sei bewiesen, daß es Sinn habe zu sagen, jemand habe das Zeichen … nach diesen Regeln aus … & … erhalten[;|,] aber keinen Sinn etc. etc..

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Und doch könnte ich sagen, daß im Beweis vor allem anerkannt werden müsse, daß seine diese Stufen wirklich den Regeln der Übergänge gemäß seien. –       Ist es aber wirklich we- 139 sentlich, daß im Beweis die Regeln angegeben werden, nach denen die Übergange geschehen?

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Der Beweis müsse also vor allem als Konstruktion den Regeln gemäß anerkannt werden. –

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Oder: „Wenn man die Mathematik jeddesn [i|I]nhalts entkleide, so bleibe, daß gewisse Zeichen aus andern nach gewissen Regeln sich konstruieren lassen. –

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Das Mindeste, was wir anerkennen (müssen) sei: daß dies Zeichen etc. etc. – & diesee Anerkennung dies Anerkennen lege jeder anderen jedem andern zu Grunde. – 140

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Ich möchte nun sagen: Die Zeichenfolge des Beweises zieht nicht ˇnotwendigerweise irgeneine Anerkennen nach sich. – Wenn wir aber einmal mit dem Anerkennen anfangen, dann braucht es nicht das ‘geometrische’ zu sein.’

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Ein Beweis könnte doch aus bloß zwei Stufen bestehen: etwa einem Satz ‘⌊(x).⌋f(x’ & einem ‘f(a)’ – spielt hier das richtige Übergehen nach einer Regel eine wichtige Rolle?

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Man könnte fragen, : “Warum verwendet die Mathematik überhaupt satzförmige Axiome?”

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Die Frage ist: Ist es wahr, daß, wie ich behauptet habe, die 141 Mathematik wesentlich die Rolle der Grammatik ihrer Zeichen spielt? – Kann man denn das in dem Beispiel sagen ˇ(das ich gab)c, worin Leute eine Rechnung als Teil einer Technik des Hausbaus verwenden??

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Ich sagte: bei dieser Rechnung gäbe es ein (sozusagen arithmetisches) [‘r|R]ichtig’c oder Falsch, – nämlich: der Regel gemäß, oder der Regel zuwider.

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Hab⌊en⌋ wir hier nicht, sozusagen, angewandte Mathematik, ohne reine﹖ Mathematik?

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Ich wollte doch sagen: Wo die reine Mathematik von Satz zu Satz fortschreitet, da wird von einer Ausdrucksform zur andern fortgeschritten. 142

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Immer bin ich hier zum Dogmatismus geneigt!

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Ist denn das Charakteristische am Beweis nicht, daß das Bewiesene am Ende ohne den Beweis feststeht? (Obwohl der Beweis immer zur Grammatik des Bewiesenen gehört.)

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Muß also ein der Beweis nicht vor allem beweisen, daß das Beweisen immer zu diesem Resultat führt? // führen muß? //

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Wenn ich aber frage sage : muß er das nicht beweisen, so meine ich doch nicht daß dieser Satz beim Beweis Beweisen heraus kommt.

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Wenn ich also frage: Muß 143 man am Beweis nicht vor allem anerkennen, daß dies Gebilde bei der Anwendung dieser Regeln heraus kommt – – nun, ich brauche ja den Beweis gar nicht so zu formulieren, daß Regeln ausdrücklich angegeben ausgesprochen werden.

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Aber ˇdazu daß der Beweis im Archiv der Sprache niedergelegt werden kann – gehört dazu nicht etwas wie diese geometrische Anerkennung?

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1.1.40.   Was ist unerschütterlich gewiss am Bewiesenen?

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Einen Satz als unerschütterlich gewiss anzuerkennen anznehmen – will ich sagen – heißt : , ihn als grammatische Regel 144 anzunehmen zu verwendenc – : – – dadurch entzieht man ihn der Ungewissheit.

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“Der Beweis muß übersehbar sein” heißt eigentlich nichts andres als: der Beweis ist kein Experiment. Was sich im Beweis in ihm ergibt nehmen wir nicht deshalb an weil es sich einmal ergibt, oder weil es sich oft ergibt. Sondern wir sehen im Beweis ⌊den⌋ Grund ˇdafür, zu sagen, daß es sich ergeben muß.

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Nicht, daß dies das Zuordnen zu diesem Resultat führt beweist, ⌊–⌋ sondern daß wir überredet werden, diese Erscheinungen (Bilder) als Vorlagen Vorbilder zu nehmen dafür﹖, wie es aus- 145 schaut, wenn ….

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Der Beweis ist unser neues Vorbild davon – dafür wie es ausschaut, wenn nichts weg- & nichts dazukommt, wenn wir richtig Zählen, etc.. Aber diese Worte zeigen, daß ich nicht recht weiß, wovon der Beweis ein Vorbild ist.

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Ich will sagen: mit der Logik der Prin[z|c]. Math. könnte man eine Arithmetik begründen in der 1000 + 1 = 1000 ist; & alles was dazu nötig ist, wäre die sinnliche Richtigkeit der Rechnungen anzuzweifeln. Wenn wir sie aber nicht bezweifeln anzweifeln , so ist hat daran nicht unsre Überzeugtheit //Überzeugung// von der Wahrheit der Logik Sschuld die Schuld. // so ist es das nicht das Werk 146 unsrer Überzeugunggtheit von … //

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Wenn wir beim Beweis sagen: “Ddas muß herauskommen” – so nicht aus Gründen, die wir nicht sehen. // – so nur aus Gründen, die wir sehen. //

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Nicht, daß wir dieses Resultat erhalten, sondern, daß es das Ende dieses Weges ist, läßt es uns annehmen.

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[In Zusammenhg. mit.: “D. Bew. muß übersehb. sein”] Dasjenige Das ist der Beweis, was uns überzeugt: Das Bild, das was﹖c // welches // das uns nichtc überzeugt, ist der Beweis auch dann nicht, wenn von ihm gezeigt werden kann, daß es einen Satz exemplifiziert // , was uns nicht überzeugt, ist der Beweis nicht, auch dann nicht, wenn sich zeigen läßt von ihm gezeigt werden 147 kann, daß es den bewiesenen Satz exemplifiziert. //

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2.1.   Das heißt: es darf keine physikalische Untersuchung des Beweisbildes nötig sein um uns zu zeigen, was bewiesen ist.

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Ich hätte auch etwas sagen können wie: “Der muß anschaulich sein.3    (Bemerkung über die Grammatik des Wortes “Beweis”.)

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Der Beweis ist unser Vorbild (–unser Bild)– davon, [wie der neue Begriff zu gebrauchen ist].

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Der neue Begriff: Diese Regel als Resultat dieser Umwandlungen.

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Ich bin irgendwie verleitet versucht zu sagen: die eine neue Regel sei ein neuer Begriff, ◇◇◇ ˇein in unsre Sprache neu eingeführter Begriff. // : die Einführung einer neuen Regel ist die Einführung eines neuen Begriffs. //

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Aber führt sie nicht dann nur nicht nur dann einen neuen Begriff ein, wenn sie ein neues Bild ei als Mittel der Darstellung einführt?

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Ist es nicht merkwürdig, zu sagen: die Formel “25 × 25 = 625” S sei das Zeichen eines Begriffs für einen Begriff ? Und doch versucht mich etwas, das zu sagen. Ist das nur Unsinn, oder Übereilung? Ist es eine Krankheit meiner Anschauungsweise? Es muß teilweise eine Krankheit sein.

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Ein System muß gefunden werden ‒ ‒ – finden wir nicht dasjenige, das, welches was offenbar vorliegt, // gelingt es mir uns (aber) nicht das zu finden, welches offenbar vorliegt, // so werdene wir ich gedrängt, zu dogmatisieren. (Wenn die richtige [z|Z]usammensetzung des Puzzles nicht gelingt, versuchen wir die Stücke mit Gewalt zusammen|zu fügen passen .)

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∣ Wir sagen von zwei Menschen auf einem Bild nicht vor allem: der eine erscheine kleiner als der andre, & erst dann﹖ : , er erscheine weiter hinten weg zu sein. Es ist, kann man sagen, wohl möglich daß uns das [K|k]leiner kürzer sein gar nicht auffällt sondern bloß nur das Hintenliegen. (Dies scheint 150 mir etwas mit ˇder Frage der ‘geometrischen’ Auffassung des Beweises zu tun zu tun zu haben. zusammen zu hängen. ) ∣

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3.1.40. ‘Er ist das Vorbild für das, was man so & so nennt.’

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Von was soll aber der Übergang von “(x) ∙ φx” auf “φa” ein Vorbild sein? Höchstens davon, wie von Zeichen der Form Art “(x) ∙ φx” geschlossen werden kann.     Das Vorbild dachte ich mir als eine Rechtfertigung, hier aber ist es keine Rechtfertigung. Das Bild (x) ∙ φx :. φa rechtfertigt einen den Schluß nicht. Wenn wir von einer Rechtfertigung des Schlusses reden wollen, so liegt sie außerhalb dieses Zeichenschemas. 151

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Und doch ist etwas daran, daß der [M|m]ath. Beweis einen neuen Begriff schafft. – Der Jeder Beweis ist gleichsam ein Bekenntnis // besonderes Bekenntnis // zu einer bestimmten Zeichenverwendung.

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Aber zu was wozu ist er ein Bekenntnis? Nur zur dieser Verwendung der Übergangsregeln von Zeichen Formel zu Zeichen Formel? Oder (ist er) auch ein Bekenntnis zu[m|r] Verwendung der p.p. in der & der Weise? zu den p.p.? // Oder ist auch ein Bekenntnis zu den ‘Axiomen’ ˇin irgend einem Sinn? //

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Könnte ich sagen , : ich bekenne mich zu p ⊃ p als einer Tautologie?     Ich 152

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Ich nehme p ⊃ p als Maxime an, etwa des Schließens.

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Die Idee, der Beweis schaffe einen neuen Begriff konnte man ⌊(⌋auch⌊)⌋ ˇungefähr so ausdrücken: Der Beweis ist nicht : – seine Grundlagene plus den Schlußregeln , ; und Schlußregeln, sondern ein neues Haus –c wenn schon obgleich ein Beispiel dieses & dieses Stils. Der Beweis ist ein neues Paradigma.

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Der rein math. Beweis ist das Bekenntnis zu einer neuen Maxime. Ist dieas richtig?

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Der Begriff, den der Beweis schafft, kann z.B. ein neuer ˇSchlußBbegriff sein, ein neuer Begriff vom des richtigen Schließen⌊s⌋s. // kann z.B. ein neuer Begriff des richtigen Schließens sein. // 153   Warum ich aber das als richtiges Schließen anerkenne, hat seine Gründe seinen Grund außerhalb des Beweises.

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Der Beweis schafft einen neuen Begriff – indem er ein neues Zeichen darstellt. schafft, oder ist. Oder: – indem er dem Satz, der sein Ergebnis ist, seinem ‘Ergebnis’ einen neuen Platz gibt. (Denn der Beweis ist nicht eine Bewegung, sondern ein Weg.)

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Aber ist ein neuer Begriff eines vom richtigen Schlusses Schließen ein Begriff ˇin dem Sinne, wie ich mir ihn dachte?       Der neue Begriff erlaubt, einen diesen Satz als die Consequenz aus diesen Sätzen // dem & dem Satz // diesem darzustellen. // einen Satz als … aus dem & dem ⌊Satz⌋ … //

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“Ein neuer Begriff” heißt doch wohl nur ein neuer Behelf der Darstellung. (﹖)

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4.1.40.   Der Beweis ist das, was uns überzeugt – also nicht das, wovon wir meinen, es würde uns überzeugen, wenn wir es überblicken könnten.

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Oder: Es gibt nichts, was , – ,⌊–⌋: ﹖theoretisch﹖, der Beweis sein müßte.

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Denn nichts hat – sozusagen – die Pflicht﹖, der Beweis zu sein.

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“Das wäre ein Beweis, wenn ich es überblicken könnte”– – was macht Dich dessen so sicher? – Ein Beweis?

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Könnte man sich nicht denken, daß reine Mathematik nie 155 betrieben würde, sondern nur angewandte?

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Gibt es Sätze – der angewandten Mathematik? Nun, das wären Sätze der Naturwissenschaft in ‘mathematischer Sprache’ geschrieben. Der Satz “2 + 2 = 4” ist einer der reinen Math. & so ist es auch der Satz “2 Äpfel + 2 Äpfel = 4” Äpfel”; dagegen der Satz “Die Preise zweier Anzahlen von Äpfeln verhalten sich wie diese Anzahlen”, also “ p1 p2 = n1 n2 ”, ein Satz der angewandten Math., d.i, ein Erfahrungssatz.

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Man könnte also sagen: Wenn Mathematik in irgend einem Sinne Logik ist (wenn auch nicht ganz so wie Frege & Russell sich es dachten), so ist ein Satz der angewandten Math. 156 ein nicht-mathematischer nicht ein mathematischer Satz.       Dagegen ist aber ein Beweis de der angewandten Mathematik ein mathematischer Beweis – ; :, – eine Rechnung. ›––––––––––‹

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Der Beweis ist ja eben das Vorbild der gerechtfertigten Umwandlung. Umwandlungen.

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Der Beweis muß unser Vorbild, unser Bild, davon sein : , welches die gerechtfertigte Umwandlung ist. sein soll.

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5.1.   “Der Beweis muß übersehbar sein” – soll doch ⌊(⌋etwa⌊)⌋ heißen: die Identität der einer Transformationen ion eines Beweises sinstd nicht durch ˇein Experiment festzustellen, sondern (unmittelbar) durch die Anschau- 157 ung.

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Denn, angenommen, ich habe zwei Zeilen eines Beweises; die zweite ist aus der ersten durch Einsetzung von … für … entstanden – wie stelle ich fest, daß sie wirklich so entstanden ist, d.h., ob daß ich sie mit Recht das Resultat dieser Syubstitution nenne? Man könnte sich denken, daß so etwas durch eine Wägung festgestellt würde.

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Der Beweis muß anschaulich sein. ist ˇ(also) ein anschaulicher Vorgang.

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So kann ich mich im Beweis nicht darauf verlassen // stützen // , daß das Papier die Striche behält, sondern nur darauf, daß 158 mein Gedächtnis sie behält? Unterstütze ich denn nicht zum mindesten mein Gedächtnis durch [a|A]nschauen des Geschriebenen & verlasse mich drauf daß das sich nicht geändert hat? – Ich bin auf f[ä|a]lscher Fährte. –

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Es darf nicht vorstellbar sein, daß diese Substitution in diesem Ausdruck etwas anderes ergibt. Oder: ich muß es für nicht vorstellbar erklären. (Das Ergebnis eines Experiments aber kann man sich so so & so anders vorstellen. so & anders so ausfallen.) // kann so & anders ausfallen. //

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Man könnte sich doch aber 159 den Fall vorstellen, daß der Beweis sich dem Ansehen nach ändert – er ist in einen Fels gegraben & man sagt es sei der, gleiche, was immer der Anschein sagt.

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Sagst Du eigentlich etwas anderes als: der Beweis wird als Beweis genommen?

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Der Beweis muß ein anschaulicher Vorgang sein. Oder auch: der Beweis ist der anschauliche Vorgang. (Der Beweis ist, was an diesem Vorgang anschaulich ist.)

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Nicht etwas hinter dem Beweise, sondern der Beweis beweist.

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Es Mir scheint ˇes: ich will zu viel beweisen; , & darum stocke ich. 160

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Der Bew. muß anschaulich sein: überzeugt uns nicht mehr, was wir sehen, so hat der Beweis seine Kraft verloren. Ob er ˇnun nach dem ‘logischen’ Schema Russell's oder anderswie gebaut ist.

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Von R's Beweis kann sozusagen, gezeigt werden, daß er ein Beweis wäre ist . – Daß aber das ein R'scher Beweis ist, wäre nun nicht auf die ursprüngliche Weise festzustellen. Es wäre ähnlich wie wenn jemand ein Portrait des N. malte, aber in solcher Art, daß es nicht durch das bloße Ansehen festzustellen wäre, daß es ein Bild des N. ist. 161

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⌊⌊Du wirst von etwas anderem überzeugt, daß das der Beweis ist.⌋⌋

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Ich bin entschlossen anzuerkennen, daß es so einen Bewes gibt.   Ich bin entschlossen anzuerkennen, daß es möglich wäre ist , den diesen Satz so zu beweisen.

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Nun, kann ich nicht beweisen, daß so ein Beweis möglich ist?      Das heißt doch: beweisen, daß so eine Konstruktion möglich ist, daß es Sinn hat von so einer Konstruktion zu reden. Aber hat es deswegen auch Sinn von dieser Konstruktion als einem Beweis zu reden?

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6.1.   Wenn bewiesen wurde, daß eine solche Konstruktion möglich (logisch möglich) ist, so haben wir also auf Grund eines Beweises angenom- 162 men, daß, selbst wenn auch im Falle, wennc der Anschein dagegen spräche, // sprechen sollte, // diese ˇeine so beschriebene Konstruktion als unmöglich & nunr diese eine solche als möglicherweise bestehend anzusehen ist. // eine so beschriebene Konstruktion nicht, & nur eine solche möglicherweise besteht. // // eine Konstruktion dieser solcher Beschreibung als unmöglich nicht möglich & nur eine solche als möglicherweise bestehend anzusehen ist. //   Aber der Beweis überzeugt ja durch den Anschein. // ja eben durch den Anschein. // // überredet ja ˇeben durch den Anschein. //

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Der Beweis läßt etwas offenbar genug erscheinen, daß wir ihn als Paradigma gelten lassen.

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Was muß er denn ⌊(⌋als⌊)⌋ offenbar erscheinen lassen?

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Was läßt z.B. der Beweis:        1 : 3 = 0˙3   1 als offenbar erkennen? Daß 0˙333 + 1 3000 der dritte ⌊3te⌋ Teil von 1 ist – oder, daß ⌊sich⌋ bei der voll ausgeführten Division nach drei Stellen dieser Quotient & dieser Rest ergeben muß? In andern Worten: Ist das Ergebnis des Beweises ein arithmetisches oder ein geometrisches?        Es ist offenbar beides. Aber ist eines das primäre? // Aber ist das eine primär? //

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Aber kann ich nicht sagen: Es muß do[f|c]h vor allem offenbar sein, daß diese Substitution (i.e., die Substitution nach dieser Regel) wirklich diesen Ausdruck ergibt?       Muß es nicht vor allem klar sein, daß kein Rechenfehler im Beweis vorliegt??

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Arithmetik, in der es heißt: “2000 + 2000 = 4000 ± 2”.

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7.1.   Wenn ich sage: “es muß vor allem offenbar sein, daß diese Substitution wirklich diesen Ausdruck ergibt” – so könnte ich auch sagen: “ich muß es als unzweifelhaft annehmen” – aber dann müssen dafür gute Gründe vorliegen: Z.B., daß die gleiche Substitution so gut wie immer das gleiche Resultat ergibt etc. Und besteht darin nicht eben die Übersehbarkeit?

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Ich möchte sagen, “daß, wo die Übersehbarkeit nicht vorhanden ist, wo ˇalso ein Zweifel sich einschleichen kann // , wo also für einen Zweifel Platz Raum bleibt ist // , ob (hier) wirklich das Resultat dieser Substitution vorliegt, der Beweis zerstört ist. – Und nicht – in einer dummen & unwichtigen Weise, die mit dem Wesen des Beweises nichts zu tun hat.

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Oder: Die Logik als Grundlage aller Mathematik tut's schon darum nicht, weil die Beweiskraft der logischen Beweise mit ihrer geometrischen Beweiskraftkräftigkeit steht & fällt. // Beweiskräftigkeit fällt. //

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D.h.: Der der logische Beweis, etwa von der Russellschen Art, ist beweis- kräftig nur solange, als er auch geometrische Überzeugungskraft besitzt. Und eine ‘Abkürzung’ eines solchen logischen Beweises kann diese Überzeugungskraft haben & durch sie ein Beweis sein, wenn die (voll) entwickelte logische Beweiskonstruktion es nicht ist. ausgeführte Konstruktion nach R-scher Art es nicht ist. // , wo wenn die ungekürzte logische Konstruktion es nicht wäre ist . //

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Wir neigen dazu, zu glauben denken, zu dem Glauben // , es anzunehmen, daß // daß der logische Beweis eine eigene, absolute, Beweiskraft hat habe , welche von der unbedingten Sicherheit der logischen Grund- & Schlusgesetze herrührt. Während doch die so bewiesenen Sätze nicht sicherer sein können, als es die Richtigkeit der Anwendung jener Schlußgesetzeregeln ist. // , als die Richtigkeit der Anwendung jener Schlußregeln (es) ist. //

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8.1.   Die logische Gewissheit der Beweise – will ich sagen – reicht nicht weiter, als ihre geometrische Gewißheit.

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(Ich habe das bestimmte Gefühl, daß ich sehr unvorsichtig bin. Also irgendwie im seichten Wasser des Dogmatismus herumschwimme.)

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Wenn nun aber der Beweis ein Vorbild ist, so muß es darauf ankommen, was als ˇeine richtige Reproduktion des Beweises zu gelten hat.

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Käme z.B. im Beweis das Zeichen “❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘” vor, so ist es nicht klar, ob als Repro duktion da⌊v⌋on nur eine ‘gleichzahlige’ Gruppe nur ‘die gleiche Anzahl’ von Strichen (oder etwa Kreuzchen) gelten soll, oder ebensowohl auch eine andere, wenn nicht gar zu kleine Anzahl // eine ung nicht gleichzahlige, wenn ˇnur nicht zu kleine Gruppe // . Etc.

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Es ist doch die Frage : , was als Kriterium der Reproduktion des Beweises zu gelten hat ; , – der Gleichheit zweier von Beweisfigurenen. Wie sind sie zu vergleichen, um die Gleichheit festzustellen? Sind sie gleich, wenn sie gleich ausschaun?

​

Ich möchte, sozusagen, zeigen, daß wir den logischen Beweisen in der Mathematik entlaufen davonlaufen können.

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“Durch Mittels entsprechendeder Definitionen können wir “25 × 25 = 625” in der R.schen Logik beweisen.”. – Und Aber kann ich die gewöhnliche Beweistechnik durch die R.sche erklären? Aber wie kann man eine Beweistechnik durch eine andere erklären﹖? Wie kann eine das Wesen einer andern erklären? Denn ist die eine eine ‘Abkürzung’ der ander⌊(⌋e⌊)⌋n, so muß sie doch eine systematische Abkürzung sein. Es bedarf doch eines Beweises, daß ich die langen Beweise systematisch [A|a]bkürzen kann & also wieder ein System von Beweisen erhalte.        Die langen Beweise gehen nun (zuerst) immer mit den kurzen einher & geben ihnen ˇgleichsam ihre ⌊ihre⌋ Sanktion // & bevormunden sie ˇgleichsam // . Aber endlich können sie den kurzen nicht mehr folgen & diese zeigen ihre selbständigkeit.

​

Das Betrachten von der langen unübersehbaren logischen Beweise ist nur ein Mittel um zu zeigen, wie diese Technik zusammenbricht & neue Techniken notwendig werden // , wie diese Technik, da sie, wie jede andre, auf geometrischen Eigenschaften der Beweisfiguren des Beweisesˇ // des Beweisens // beruht, , die ja auf … beruht, zusammenbrechen kann , & & (wie) neue Techniken notwendig werden. // // , wie diese 9.1. Technik, – die auf der Geometrie des Beweisens ruht – zusammenbrechen kann & neue Techniken notwendig werden. //

​

[Was ich sagen will, mag Unsinn sein; aber möge ich dann eben das in solcher Weise herausfinden, daß es wertvoll ist.]

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Ich möchte will sagen: Die Mathematik ist ein buntes Gemisch﹖ von Beweistechniken⌊:⌋.; & ‒ ‒ Und darauf beruht ihre mannigfache Anwendbarkeit & ihre Wichtigkeit.

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Und das kommt doch auf das Gleiche hinaus, wie zu sagen: Wer ein System, wie das R.sche, hätte besäße & aus [ihm| ] ˇ‘durch Def entsprechende ˇDefinitionen’ Systeme, wie den Differentialkalkül, erzeugte, der erzeugte erfände ein neues Stück Mathematik. (Wie ich schon früher gesagt habe.)

​

Nun, man könnte doch einfach sagen: Wenn ein Mensch das Rechnen im Dezimalsystem erfunden hätte – der hätte doch eine mathematische Erfindung gemacht! – Auch wenn ihm Russell's Princ. Math. ˇbereits vorgelegen wären. –

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Wie ist es, wenn man ein Beweissystem einem anderen koordiniert? Es gibt dann eine Übersetzungsregel mittels derer man die in S1 im einen bewiesenen Sätze in die in S2 im andern bewiesenen übersetzen kann.      Man kann sich doch aber denken, daß einige viele , – oder alle, – Beweissysteme der heutigen﹖ Mathematik auf solche Weise einem System, etwa dem R.schen zugeordnet wären. So daß alle Beweise, wenn auch umständlich, in diesem System ausgeführt werden könnten. – So gäbe es d⌊a⌋nn nur das eine System – & nicht mehr die V vielen Systeme? – Aber es muß sich doch also von dem einen System einen zeigen lassen, daß es sich in die den vielen darstellen laßt. // , daß es sich in die vielen auflösen läßt. // – Ein Teil des Systems wird die Eigentümlichkeiten der Trigonometrie besitzen, ein anderer die der Algebra, u.s.w.. Man kann also sagen, daß in diesen Teilen verschiedene Techniken verwendet gebraucht werden.

​

Ich sagte: der, welcher das Rechnen in der Dezimalnotation erfunden hat, habe doch eine [M|m]athematische Entdeckung gemacht. Aber hätte er diese Entdeckung nicht in lauter Russellschen Symbolen machen konnen. Er hätte, sozusagen (wie ich mich seinerzeit ausdrückte) einen neuen Aspect entdeckt.

​

‘Aber die Wahrheit der wahren math. Sätze kann dennoch ˇdann doch aus jenen allgemeinen Grundlagen bewiesen werden.’ – ˇMir scheint, Hhier ist, scheint mir, ein Haken. Wann sagen wir, ein math. Satz sei wahr? –

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Mir scheint, als führten wir, ohne es zu wissen, neue Begriffe in die R.sche Logik ein ‒ ‒ z.B., ein. ‒ ‒ Z.B., indem wir festsetzen, was für Zeichen der Form (∃x,y,z …) als einander äquivalent & welche nicht als äquivalent gelten sollen.         Ist es selbstverständlich, daß “(∃x,y,z)” nicht das gleiche Zeichen ist wie “(∃x,y,z,u)”?

​

Aber wie ist es – : – Wenn ich zuerst ‘p ⌵ q’ & ‘~p’ einführe & einige Tautologien mit ihnen konstruiere – & dann zeige ich ⌊(⌋etwa,⌊)⌋ die Reihe ~p, ~ ~p, ~ ~ ~p, etc vor & führe eine Notation ein wie p1, p ~1p, ~2p ..... ~10p .... etc. ‒ ‒ ich . Ich möchte sagen: wir hatten vielleicht an die Möglichkeit so einer Reihenordnung ˇursprünglich gar nicht gedacht & wir haben ˇnun einen neuen Begriff in unsre Rechnung eingeführt. Hier ist ein ‘neuer Aspekt’.

​

10.1. In aller großen Kunst ist ein wildes Tier: gezähmtc. Bei Mendelsohnˇ, z.B., nicht. Alle grosse Kunst hat als ihren Grundbaß die primitiven Triebe des Menschen. Sie sind nicht die Melodie (wie, vielleicht, bei Wagner), aber das wass der Melodie ihre die Tiefe ˇ& Gewalt giebt.   In diesem Sinne kann man Mendelsohn einen “remroduktiven” Künstler nennen. –   Im t gleichen Sinn: mein Haus für Gretl ist das Produkt Resultat entschiedener Feinhörigkeit, guter Manieren, wer Ausdruck eineh grohhen Verstandnisses (für ˇeine Kultur, ets.). Aber das ursprüngliche Leben, das wrlde Leben, welches sich austoben möchte – fehlt. Man könnte also auch sagen : , es fehlt ihm die Gesundheit (KKierkegaard). (Treib[s|h]auspflanze.)

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Es ist ja klar, daß ich den Zahlbegriff, wenn auch in sehr primitiver & unzureichender Weise hätte so einführen können – aber dieses Beispiel zeigt mir alles was ich brauche.

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In wiefern kann es richtig sein, zu sagen, man führe hätte mit der Reihe ~p, ~~p, ~~~p, etc. einen neuen Begriff in die Logik eingeführt? – Nun, vor allem könnte man sagen, man habe es mit dem ‘etc.’ getan. Denn dieses ‘etc.’ steht für ein mir neues Gesetz der Zeichenbildung. Dafür charakteristisch⌊,⌋ – die Tatsache, daß eine rekursive iterative Definition zur Erklärung der Dezimalnotation nötig ist. benötigt wird. // , daß eine iterative Definition notwendig ist zur Erklärung der Dezimalnotation. //

​

Eine neue Technik wird eingeführt.

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Man kann es auch so sagen: Wer den Begriff der R.'schen Beweis⌊-⌋ bildung hat & Satzbildung hat, hat damit nicht // noch nicht // den Begriff jeder Reihe // Ordnung // R-scher Zeichen.

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Ich möchte sagen: R.'s Begründung der Mathematik schiebt die Einführung neuer Techniken hinaus, – bis man endlich glaubt, sie sei ⌊(⌋gar⌊)⌋ nicht mehr nötig.

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(Es wäre vielleicht so, als philosophierte ich über den Begriff der Längenmessung so lange, bis man vergäße, daß zur Längenmessung die tatsächliche Festsetzung einer Längeneinheit nötig ist.)

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(Übrigens meine ich nicht, daß, man wenn man zu den R'ussellschen Prin[c|z]ipien ein Prin[c|z]ip der Induktion hinzu nimmt, man nun aus dem Wasser sei ist & die Gesamtheit der Mathematik ableiten kann. Denn ein Prinzip der Induktion ist nur ein allgemeines Bild – & seine eine neue Anwendung eine neue Erfindung. (Nicht ‘Intuition’.))

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Die Vagheit des Begriffs ‘Aspekt’. Ich kann freilich sagen, daß, wenn ich in R.s Symbolismus (eines Tages) z.B. Multiplizieren lernte die R'schen Ko⌊n⌋struktionen dadurch ein ganz neues Ansehen gewönnen. – Ähnlich dem ˇist der neuen Aspekt, den das Schachspiel gewönne wenn wir jemand eines Tages nach dem Schreibspiel das Brettspiel erfände.

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Man sagt gewöhnlich, daß die Anwendung eines Axiomsystems darin liegt besteht , daß man von der ˇtatsächlichen Wahrheit der Axiome überzeugt ist. Aber was heißt es z.B. von der Wahrheit von ‘p ⊃ p’ überzeugt zu sein? – Man stellt sich also die Axiome vor, als wären sie von ein⌊e⌋ Art von Prinzipien der Mechanik: Erkennt man sie an so erkennt man z.B. an, daß ein Körper im Zustand der Ruhe, oder – etc etc.

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11.1.   Kann man nun, was ich sagen will so ausdrücken: “Wenn wir von Anfang an gelernt hätten alle Mathematik in R's System zu schreiben betreiben, so wäre natürlich mit dem R'schen Kalkül die Dif- ferentialrechnung, z.B., noch nicht erfunden. Wer also diese Rechnungsart im R'schen Kalkülc entdeckte – – –.”

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Angenommen, ich hätte R'sche Beweise der Sätze        ‘ p ‘ ~p ‘ p    ≡ ≡ ≡    ~ ~p ’ ~ ~ ~p ’ ~ ~ ~ ~p ’ vor mir & fände nun einen abgekürzten Weg, den Satz      ‘ p ≡ ~10p ’ zu beweisen. Es ist als habe ich eine neue Rechnungsart innerhalb des alten Kalküls gefunden. // Innerhalb des alten Kalküls habe ich … gefunden. // Worin besteht es, daß sie gefunden wurde?

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Sage mir: [h|H]abe ich eine neue Rechnungsart entdeckt eingeführt , wenn ich multiplizieren gelernt hatte & mir nun Multiplicationen mit lauter gleichen Faktoren als ein besonderer Zweig dieser Rechnungen ◇◇◇ auffallen & ich daher die Notation einführe ‘an = ⌊ …⌋’ ?

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Kann man sagen, daß ich, ˇzwar nicht durch eine einfache, aber durch eine iterative Definition (wenn auch nicht durch eine einfache) einen neuen Begriff einführe? – Warum aber? Führt eine iterative Def. nicht nur einec Reihe von Abkürzungen ein – statt einer Abkürzung?   (Ist es übrigens eine Abkürzung wenn ich festsetze:      1 + (1 + 1) = (1 + 1) + 1 Def. ?)

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12.1.   Offenbar die bloße ‘abgekürz te’, ˇoder andere⌊,⌋ Schreibweise, – ’162“’ statt ’16 × 16’ , – macht's nicht. Wichtig ist, daß wir jetzt die Faktoren bloß zählen.      Ist 1615 das gleiche dasselbe wie 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16.? // Ist ‘1615’ nur eine andere Schreibweise für das Zeichen statt ‘ …‘? …? //   Der Beweis, daß 1615 = .... ist, besteht nicht einfach darin, daß ich 16 15-mal mit sich selbst multipliziere & ˇdaß dabei dieses Resultat heraus kommt – sondern es muß sich im Beweis gezeigt sein, daß ich 16 die Zahl daß ich 16 15-mal zum Faktor setze. der Beweis muß dartun, daß … // ; sondern der Beweis muß es zeigen, daß …

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Wenn ich frage: “Was ist das neue an der ‘neuen Rechnungsart’ des Potenzierens” – so scheint ist das schwer zu sagen. Das Wort ‘neuer Aspekt’ ist vag. – Es heißt, wir sehen die Sache jetzt anders ⌊an⌋ – aber die Frage ist: was ist die wesentliche, ˇdie wichtige ; , ⌊,⌋ Äußerung dieses ‘anders- ⌊-⌋Ansehens’?      Zuerst will ich sagen: “ “Es hätte [E|e]inem mir nie a⌊u⌋ffallen brauchen, daß in gewissen Produkten alle Faktoren gleich sind” – oder: “‘Produkt mit lauter gleicher Faktoren’ ist ein neuer Begriff.” – oder: “[Die| Das] [n|N]eue R besteht darin, daß wir die Rechnungen anders zusammenfassen”. Beim Potenzieren ist es offenbar das Wesentliche, daß wir auf die Zahl der Faktoren sehen. Es ist doch nicht gesagt, daß wir auf die Zahl der Faktoren je geachtet haben. Es mag uns zum ersten Mal mal auffallen daß muß uns nicht aufgefallen sein, daß es Produkte mit 2, 3, 4 etc. Faktoren gibt, obwohl wir schon oft lange solche Produkte ausgerechnet haben. Ein neuer Aspekt – aber wieder: Was ist seine wichtige﹖ Seite? Wozu benütze ich , was mir aufgefallen ist? diesen neuen Aspekt? – Nun vor allem lege ich es ihn vielleicht in einer Notation nieder. Ich schreibe also, zB. statt ‘a × a’ ‘a2’. Dadurch beziehe ich mich auf die Zahlenreihe (spiele auf sie an), was früher nicht geschehen war. Ich stelle also doch eine neue Verbindung her! – Eine Verbindung – zwischen welchen Objekten Dingen ? Zwischen der Technik des Zählens von Faktoren & der Technik des Multiplizierens.

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[Ich schreibe oft meine Bemer- kungen, wie Hausfrauen alten Kram sammeln, – , –: Schnüre, Bänder, Lappen, Stecknadeln,, –: Schnüre, Bänder, Lappen, Stecknadeln, sammeln⌊,⌋ weil man solches sie manchmal brauchen kann. Aber wenn man essie je wirklich braucht, ⌊s⌋istnd essie nicht zur Hand.]

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Aber so macht ja jeder Beweis, jede einzelne Rechnung neue Verbindungen!

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Aber der gleiche Beweis, der zeigt beweist , daß a × a × a × a … = b ist zeigt beweistc doch auch, daß an = b ist; bloß außer , nur, daß wir den Übergang nach der Definition von ‘an’ machen müssen.      Aber dieser Übergang ist gerade das Neue Wichtige . Aber wenn er nur ein Übergang zum zu dem alten Beweis ist, wie kann er dann wichtig sein?

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‘Es ist nur ein andere Schreibweise.’ Wo hört es auf – bloß eine andre Schreibweise zu sein?

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Nicht dort, ⌊:⌋ wo ˇnur die eine Schreibweise⌊, &⌋ nicht ˇdie andre⌊,⌋ so & so verwendet werden kann?

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Man könnte es “einen neuen Aspekt finden” nennen wenn man Einer statt f(a) schreibt a(f); man könnte sagen: ‘Er sieht die Funktion als Funk Argument ihres Arguments an’. Oder wenn Einer statt ‘a × a’ schriebe ‘x(a)’ könnte man sagen: ‘Was man früher als Spezialfall einer Funktion mit zwei Argumentstellen ansah, sieht er als Funktion mit einer Argumentstelle an.’      Wer das tut, hat gewiss in einem Sinn den Aspekt verändert, er hat z.B. diesen Ausdruck mit anderen zusammengestellt, verglichen, mit denen er früher nicht verglichen wurde. – Aber ist das nun eine wichtige Aspektänderung? Nicht, solange sie nicht gewisse [C|K]onsequenzen hat.

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Es ist schon wahr, daß ich mit dem durch das Hineinbringen des Begriffs der Zahl Anzahl der Negationen ˇvon p den Aspekt der logischen Rechnung geändert habe, ⌊–⌋: ‘So hab ich es noch nicht angeschaut’– könnte man sagen. – Aber wichtig wird diese Ände- rung erst, wenn sie in die Anwendung des Zeichens eingreift. erst dadurch, daß sie die Anwendung des Zeichens ändert.

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13.1.   Ein⌊(⌋en⌊)⌋ Fuß als 12 Zoll auffassenc, wäre hieße allerdings eine Änderung desn Aspekts des Fußes ändern, aber wichtig würde diese Änderung erst, wenn man nun auch ei Längen in Zoll mäße. // Längen auf andere Weise, nämlich in Zoll, mäße. //

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Jeder Mensch trachtet sich selbst zu betrügen: und wer jemand betrügen will, macht's natürlich geschickt & nicht ungeschickt; er ˇwird sagt dem Andern nicht ˇsagen, [d|w]as der Andere ˇschon durchschauen kann, sondern was er noch nicht durchschaut. er nicht durchschauen kann.

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Wer das Zählen der Negations- zeichen einführt, führt eine neue Art der Reproduktion der Zeichen ein.

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Es ist zwar für die Arithmetik, die ˇ(doch) // ja // von der Gleichheit der von Anzahlen Zahlen spricht, ganz gleichgültig, wie (die) Gleichheit der zweier Anzahlen zweier // , wie die ⌊An⌋Zahlengleichheit zweier … // Klassen ˇvon Dingen festgestellt wird – [z|a]ber es ist für ihre Schlüsse nicht gleichgültig, wie ihre Zeichen mit einander verglichen werden, nach welcher Methode also, z.B., festgestellt wird, ob die Anzahl der Ziffern zweier Zahlzeichen die gleiche ist.

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Ein Lehrer, der dährend des Unterrichts gute, oder selbst sogar erstaunp[r|i]che Resultate afuweisen kann, ist darum kein guter Lehrer, denn es ist mö- glich, daß er seine Schüler, wärend sie unter seinem unmittelbaren Einfpuß stehen, zu einer ˇihnen unnatürlichen Höhe emporzieht, von ohne sie doch zu dieser höhe zu entwicheln, so daß sie sofort zusammensinken, wenn der Lehrer sdie Schulstube verlaßt. Dies gilt vielleicht von mir; ich habe daran gedacht. (Mahlers Leerfaffürunden4 waren austeze[r|i]chnet, wenn solange er sie leitete; das Orchester schien sofort zusammenzusinken, wie wenn er es nicht selbst leitete.)

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Nicht [w|d]ie Einführung der Zahlzeichen als Abkürzungen ist wichtig, sondern der Methode des Zählens.

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Ich will die Buntheit der Mathematik erklären.

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‘Ich kann auch in Russell's System den Beweis führen, daß 127 : 18 = 7⌊˙⌋055 ist.’ Warum nicht. – Aber muß beim R.schen Beweis dasselbe herauskommen, wie bei der gewöhnlichen Division? Die beiden sind freilich durch eine Rechnung (durch Übersetzungsregeln etwa) mit einander verbunden; aber ist es nicht doch gewagt die Division Rechnung in der ‘sekundären’ der durch diese Regeln eingeführten begründeten Technik zu rechnen auszuführen // die Division in der neuen Technik auszuführen // ? // aber ist es nicht doch gewagt, die Division nach in der neuen Technik auszuführen – , da doch dann ⌊(⌋dadurch⌊)⌋ die Richtigkeit des Resultats abhangig wird von der Geometrie der Übertragung? // // – da doch die Wahrheit des Resultats nun abhängig wird von der Geometrie der Übertragung. //

​

Aber wenn nun Einer sagte: “Unsinn ! – solche Bedenken spielen gar keine Rolle!” // spielen in der Mathematik gar keine Rolle.” // –

​

14.1. – Aber nicht um eine die Unsicherheit handelt sich's, denn wir sind ⌊(ja)⌋ unsrer Schlüsse sicher, sondern darum, ob wir noch (Russellsche) Logik betreiben, wenn wir z.B. wie oben dividieren.      Wie weiß ich, daß wie ich einen R.schen Beweis als Division anwenden kann? Ich sehe z.B. nach, wie oft eine Länge in einer andern enthalten ist: wie zeigt mir führt mich ein R.scher Beweis diese zu dieser Anwendung? – Z.B., in R.schen [|B]eweisen braucht kein Zählen vorkommen. Aber kann ich nicht doch dennoch einen Satz wie ‘127 : 18 = 7˙05’ in R.sche Notation übertragen? – Ja, wenn ich eine gewisse diese Übertragung annehme. Aber ist es denn nicht einfach eine Übertragung nach mittels einer Definition? ‒ ‒

​

Oder soll ich sagen: Die reine Mathematik hat nichts mit Anzahlen Zahlen zu tun, sowenig wie mit Längen, Kreisen, Winkeln, etc? Oder vielleicht besser: ‘sowenig mit dem Zählen, als mit dem Messen von Längen oder ⌊von⌋ Wink[l|e]ln, etc.. etc..’      Aber sie bereitet doch diese Anwendung⌊(⌋en⌊)⌋ jedenfalls vor. ––    Kann man jeden Satz der Mathem. logisch begründen?   D.h. muß man wirklich auf diese Sätze & d⌊i⌋ese Techniken kommen, wenn man die R.schen Beweise abkürzt?

​

15.1.      ∣ ˇIn Zusammenhang mit Dedekinds Theorem: ich kann nach der dritten die vierte Dezimalstelle rechnen, & nicht etwa ˇnach der dritten erst die fünfte, während die vierte auf unbestimmte Dauer unentschieden unbestimmt bleibt. ∣ Oder: wenn sich nach der nten die n & mte ergibt, so muß sich nach einer angebbaren Zahl von Rechnungsstufen die n + 1te ergeben. Oder: [W|w]enn ich ˇauch mit jeder Rechnungsstufe eine Dezimalstelle berechne es aber unentschieden bleibt, wieviele Stufen ich rechnen muß um die n-te Stelle zu erhalten, so berechne ich keine reelle Zahl. ∣

​

Die Trigonometrie hat ihre Wichtigkeit [ü|u]rsprünglich in ihrer Verbindung mit Längen- & Winkelmessungen: sie ist ein Stück Mathematik, das zur Anwendung auf Längen- & Winkelmessungen eingerichtet ist.       Man könnte die Anwendbarkeit auf dieses Gebiet auch einen ‘Aspekt’ der Trigonometrie nennen.

​

Wenn ich einen Kreis in 7 ˇgleiche Teile teile & den [K|C]osinus eines dieser Teile durch Messung bestimme – ist das eine Rechnung oder ein Experiment?        Wenn eine Rechnung – ist sie denn übersehbar?

​

Ist das Rechnen mit dem Rechenschieber übersehbar?

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∣ Was heißt es: glauben, daß ein Körper so & so viel wiegt // das & das Gewicht ein bestimmtes Gewicht hat // ? ∣

​

Wenn man den Cosinus eines Winkels durch Messung bestimmen muß , – , ist dann ein Satz der Form cos α = n ein mathematischer Satz? Was ist das Kriterium der ˇzur // dieser // Entscheidung ˇdieser Frage? Sagt der Satz etwas Äußeres über den unsre Lineale, etc u. dergl. , aus; oder etwas Internes über unsre Begriffe? – Wie ist das zu entscheiden?

​

Gehören die Figuren (Zeichnungen) (Illustrationen) in der Trigonometrie zu[m|r] reinen Mathematik, oder sind sie nur Beispiele möglicher einer möglichen Anwendung?

​

Übersetzung des Schreibspiels in das Brettspiel: –– –– ––

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Ich bin nicht gescheit, sondern ˇsehr dumm; weil ich nicht sehe, was unter meiner Nase liegt.

​

16.1.   Wenn an dem, was ich sagen will, irgend etwas Wahres ist, so muß, – z.B. – z.B. , d[ie|as] Rechnen der Kalkül der mit Dezimalen in der Dezimalnotation sein eigenes Leben haben. – Man kann natürlich jede Dezimalzahl darstellen in der Form: durch ein Zeichen der Form: & daher die vier Spezies Rechnungsarten in dieser Notation ausführen. Aber das Leben der Dezimalnotation müßte unabhängig sein von dem Rechnen mit Einerstrichen. von dem der Strichnotation.

​

In diesem Zusammenhang fällt mir immer wieder ˇfolgendes dies ein,⌊:⌋ dDaß man in R.'s Logik zwar einen Satz a : b = c beweisen kann, daß sie uns aber einen richtigen Satz dieser Form nicht konstruieren lehrt, d.h. daß sie uns nicht Dividieren lehrt. Der Vorgang des Dividierens entspräche z.B. ˇdem eine⌊s⌋, [S|s]ystematischen Probierens R'scher Beweise zu dem Zwecke etwa [ein|den] Beweis eines Satzes von der Form 37 × 15 = x zu erhalten. ‘Aber die Technik eines solchen systematischen Probierens gründet sich doch wieder auf Logik.’ – Man kann doch wieder logisch beweisen, daß diese Technik zum Ziel führen muß.’ Es ist also ähnlich, wie wenn wir im Euklid beweisen, daß sich das & das so & so konstruieren läßt. 200

​

Unsere Vorstellung von den Mengen sind die Zahlen dargestellt in unserm Zahlensystem. in der Darstellung unseres Zahlensystems. // dargestellt im Zahlensystem. //       // Uns⌊e⌋re Vorstellung von den Mengen sind unsere Zahlzeichen. //

​

Im Experiment Für das Resultat des eines Experiments machen wir oft für das Resultat das Wirken unsichtbarer Einf Vorgänge // Mechanismen // eines unsichtbaren Mechanismus verantwortlich; der Beweis liegt offen ganz vor unsern Augen.

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17.1.   Was will Einer zeigen, der zeigen will, daß Mathematik nicht Logik ist? Er will doch etwas sagen wie,⌊: –⌋ daß, wWenn man Tische, Stühle, Kästen Schränke 201 ⌊etc.⌋ in genügend genug Papier wickelt, ˇwerden sie endlich gewiß alle kugelförmig gewiß endlich kugelförmig ausschauen. werden.

​

Er will nicht zeigen, daß es unmöglich ist, zu jedem math. Beweis einen R'schen zu konstruieren, der ihm (irgendwie) ‘entspricht’; sondern, daß das Anerkennen Annehmen so einer dieser // dieser // Entsprechung sich nicht auf Logik stützt.

​

18.1.   “Aber wir können doch immer auf die primitive logische Methode zurückgehen!” Nun, angenommen, daß wir es können ; – wie kommt es, daß wir es nicht tun müssen? Oder ist es eine sind wir vorschnell, Uunvorsichtigkeit, wenn wir es nicht tun?   Aber wie finden gehen wir denn zurück zum [P|p]rimitiven Aus- druck? Nehmen Gehen , ˇz.B. wir,⌊,⌋ den Weg durch den sekundären Beweis & von seinem Ende aus zurück in's primäre System; etc. & sehen zu, wo wir so in diesem hingelangen; oder gehen wir in beiden Systemen vor & machen dann die eine Verbindung der Endpunkte? Und wie wissen wir, daß ˇwir inm ˇersten primären System in beiden Fällen das zum gleichen Resultat das Ggleiche ist? gelangen?         Führt das Vorgehen im Sekundären System nicht Überzeugungskraft mit sich?

​

“Aber wir können uns doch bei jedem Schritt im sekundären System denken, daß er auch im primären gemacht werden könnte!” – Das ist es eben: wir können uns denken, daß er gemacht werden könnte – ohne, daß er gemacht wird. wir ihn machen.

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Und warum nehmen wir den einen an Stelle des andern an? Aus logischen Gründen? // Aus Gründen der Logik? //

​

“Aber kann man nicht logisch beweisen, daß beide Umwandlungen zum gleichen Resultat gelangen mussen?” – Aber es handelt sich doch hier um Umwandlungen von Zeichen – wie will soll denn die Logik hier ein Urteil entscheiden sprechen ? hier entscheiden? // [,|;] –; wie kann die Logik da entscheiden? // // – Aber es handelt sich doch hier um das Ergebnis von Umwandlungen von Zeichen! Wie kann die Logik dies entscheiden? //

​

Man sagt häufig: “Es ist leicht zu sehen, daß dieser Prozess zu diesem Resultat führen muß.” –    Wie kann es leicht zu sehen sein? Wie kommt es, daß es (leichtc﹖) zu sehen ist? Oder bilden wir uns nur ein, es zu sehen – aus einer Art Gedankenlosigkeit?

​

Betrachte statt des Beispiels ‘1 : 3’ ein Beispiel der rekursiven Abkürzung eines R.schen Beweises!

​

19.1.   Frege's Bemerkung, daß, wenn man näher zusieht, doch alle diese Stufen durchlaufen werden mußten, um zu diesem Schluß zu gelangen. (Ja in seinem System des Schließens freilich.)

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20.1.   In gewissem Sinn ist ja eine die Ähnlichkeit aller Zweige der Mathematik offenbar ◇ Immer wieder die|selben Zeichen: [d|D]as Gleichheitszeichen, “ + ”, “ ‒ ” etc., Funktion & Argument. – Das ist doch etwas. ⌇      Aber anderseits – ist es nicht auch irreführend? wie Wie der Gebrauch von Subjekt & Prädikat als Ramen für tausenderlei Bilder. –

​

‘Du siehst also , – : so geht es weiter –.” Dies Argument wird immer wieder gebraucht. Aber es wird in den verschiedensten Positionen Zusammenhängen gebraucht.

​

⌊Z.B.:⌋ Teilbarkeit, – wir beweisen daß eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn ihre Ziffernsumme es ist. Der Beweis muß mit den einzelnen Fällen, in denen wir eine solche Zahl ˇim Dezimalsystem durch 3 dividieren stimmen. Kann man, daß dies der Fall ist, im Strichsystem durch Induktion beweisen?

​

Ich scheine doch etwas durch meinen Beweis prophezeien vorhersagen zu können – – aber meine Vorhersage Prophezeiung ist eine andere, wenn sie sich auf's Strichsystem , ⌊– &⌋ eine andere, wenn sie sich auf's Dezimalsystem bezieht. Und doch Doch aber ist es für den Beweis (der Teilbarkeit, z.B.) wesentlich, eine solche Vorhersage sein zu können.

​

Es entsteht die Frage, Es ist nun die Frage, wie ich in einem System beweisen kann, daß die Rechnung in einem andern eine gültige Vorhersage ist?

​

Unser Beweis muß, um eine richtige Vorhersage begründen herstellen zu können, in Übereinstimmung sein,c mit der ˇbesondern Geometrie dieses des Zeichenraumes.c // mit der besoncdern Geometrie eines Zeichenraumes. //

​

21.1.       Jener Der Beweis der Teilbarkeit, z.B., muß uns überzeugen, daß die Rechnung, so ausgeführtc, zu diesem Resultat führen muß: d.h., daß, wir, die Regeln gewissenhaft befolgend, zu diesem Resultat gelangen werden.

​

Kann man die Frage so stellen: “Wenn man (z.B.) die Zeichen des Dezimalsystems 208 als Abkürzungen der von Zeichen des Strichsystems betrachtet : – – – kann // man nun aber // man den Induktionsbeweis im Dezimalsystem als Abkürzung eines Beweises im Strichsystem betrachten?”

​

Wie kann beweist der Beweis im Strichsystem beweisen, daß der Beweis im Dezimalsystem ein Beweis ist?

​

Nun, – ist es ˇhier mit dem Beweis im Dezimalsystem nicht so, wie mit einer Konstruktion bei Euclid, von der bewiesen wird, daß sie wirklich eine Konstruktion dieses & dieses Gebildes ist?

​

[K|D]arf ich es so sagen: “Die Übertragung des Strichsystems ins Decimalsystem setzt eine 209 induktive rekursive Definition voraus. Diese // Eine solche // Definition führt aber nicht die Abkürzung eines Ausdrucks durch einen andern ein. Der Induktive Beweis im Dezimalsystem aber enthält natürlich nicht die Menge jener Dezimalzeichen Zeichen die durch die ind induktive rekursive Definition in Strichzeichen zu übertragen wären. Dieses Beweiszeichen Dieser allgemeine Beweis , kann daher durch die rekursive Definition nicht in ein Beweiszeichen einen Beweis des Strichsystems übertragen werden.”?

​

Der rekursive Beweis führt eine neue Zeichentechnik ein. – Er muß also den Übergang in die eine neue ‘Geometrie’ machen. ⌊(⌋Können wir sagen⌊)⌋: wir erhalten eine neue Methode ein Zeichen wiederzuerkennen? 210 // Es wird uns ein neuer Weg eine neue Methode gelehrt, ein Zeichen wiederzuerkennen. // Es wird ein neues Kriterium für die gleichheit von Zeichen eingeführt.

​

“Der Beweis muß übersehbar sein” – heißt das nicht: daß es ein Beweis ist, muß zu sehen sein[?|.]

​

22.1.   Der Beweis sagt zeigt uns, was herauskommen soll. – Und da jede Reproduktion des Beweises das nämliche demonstrieren muß, so muß sie ˇeinerseits // also // das Resultat automatisch [R|r]eproduzieren, anderseits aber auch den Zwang es zu erhalten. // . – Daher muß jede Reproduktion des Beweises das sein Resultat automatisch enthalten, & dennoch 211 auch zu ihm führen. // // muß, so muß sie ˇeinerseits sein dasc Resultat, automatisch, reproduzieren, anderseits aber auch den Zwang, es anzuerkennen. // // soll. – Daher gehört einerseits das Resultat zum Beweis –c & jede die Reproduktion des Beweises muß es dies // das // Resultat automatisch enthalten –, , anderseits aber uns immer wieder zwingen, es anzuerkennen. // // – Daher gehört einerseits das Resultat zum Beweis – & jede Reproduktion des Beweises muß es automatisch enthalten – anderseits aber auch uns immer wieder zwingen, es anzuerkennen. //          D.h.: wir reproduzieren nicht nur die Bedingungen, unter welchen sich dies Resultat einmal ergab (wie beim Experiment), sondern das Resultat selbst. Und doch ist der Beweis kein abgekartetes Spiel, indem insofern er uns immer wieder muß führen können.

​

Wir mü[ß|ss]en einerseits den Beweis automatisch ganz reproduzieren können, & anderseits muß diese Reproduktion wieder ein der Beweis des Resultats sein.

​

“Der Beweis muß übersehbar sein” will unsre Aufmerksamkeit eigentlich auf den Unterschied ˇrichten der Begriffe (richten): ‘einen Beweis wiederholen’ & , ‘ein Experiment wiederholen’. Einen Beweis wiederholen heißt nicht: die Bedingungen reproduzieren unter denen einmal ein﹖ bestimmtes﹖ Resultat erhalten wurde, – sondern es heißt, jede Stufe & das Resultat wiederholen. Und obwohl so also der Beweis etwas ist, was sich ganz – automatisch muß reproduzieren lassen, so muß doch jede solche Reproduktion den Beweiszwang enthalten das Resultat anzuerkennen. // jede solche Reproduktion, sozusagen, von neuem, ein Beweis sein, uns zwingen, das Resultat anzuerkennen. //

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Es ist also, als ob ich sagte: Der Beweis ist nichts als ein Bild, & doch muß er uns überzeugen.

​

Ist Sind die (diversen) ⌊(en)⌋ Kalküle der Mathematik nur darum﹖ nicht durch einen Kalkül wie den Russelschen ˇLogik ersetzbar, weil dieser Kalkül zu weitschweifig wäre?

​

Oder man könnte fragen: “Die Mathematik hat kenntc die mannigfaltigsten Konstruktionen für ihre Sätze: kann man alle diese Konstruktionen auf R.sche Weise rechtfertigen?”

​

Könnte man fragen: ‘Muß die √2, im Dezimalsystem auf Grund der ⌊(⌋R.schen⌊)⌋ Logik, im Dezimalsystem gleich 1˙4142 .... sein?’

​

24.1.   Eine Zahl nach dem Rhythmus von Schlägen erkennen. – Wie weiß ich, daß, was auf diese Weise gleich- zahlig ist, es auch nach der Vergleichsmethode des Zählens ist?

​

Man hätte auf die √2 so kommen können:     Wenn man eine ganze Zahl im Dezimalsystem mit sich selbst multipliziert, so entsteht manchmal ein Produkt mit einer ungeraden Anzahl von Stellen, dessen höchste Stelle 1 ist, der 1 folgt welcher unmittelbar eine (ununterbroche)ne) nicht unterbrochene Reihe von 9ern ˇfolgt & endlich noch einiege ˇZahl andere⌊r⌋ Stellen folgetn; ˇvergrößert man aber die Einerstelle der Factoren um 1, so wird das Produkt ˇbereits ˃ 2. Liegt uns ein solches Produkt      a × a = b vor, so kann man ein weiteres ders|eglelbenichenc dieser Art konstruieren ˇmit einer längeren Reihe von 9ern, indem man an die Ziffernreihe Zahl a rechts eine bestimmtec Folge weiterer Stellen Einerstelle anhängt. Auf diese Weise erhielt man etwa die Folge:     1 × 1 = 1 14 × 14 = 196 141 × 141 = 19881 1414 × 1414 = 1999396       Nun ist es klar, daß man diese Multiplikationen im Strichsystem ausführen kann. Und auch, daß man in diesem System eine Eigenschaft der Produkte nachweisen kann, die darauf hinauskommt, daß die Produkte sich immer mehr einer Zahl 2 × 102n nähern. – Was aber kann mich sicher machen, daß die Beweise in den beiden Systemen wirklich parallel laufen werden? – Dies kann können nicht der die Beweise im Strichsystem sein, da ich ja im Dezimalsystem unabhängig von diesem jenem System vorgehe. Es ist also denkbar, daß es sich am Ende der Wege zeigt, daß sie nicht parallel liefen. So wie Wie es denkbar ist, ⌇daß verschiedene Zählarten zu verschiedenen Resultaten führen. // daß die Zahlbestimmung mittels eines Rhythmus & ˇdie Zahlbestimmung durch mittels des Zählens zu verschiedenen Resultaten führt. // c

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25.1.   Aber, wenn man das auch zugibt,, –; ist es nicht eine Spitzfindigkeit? Kann man nicht sagen: “Der Mathematiker kümmert sich um solche mögliche Unstimmigkeiten nicht – er . Er setzt voraus – & mit Recht – daß alles auf dem Papier in Ordnung geht gehen werde .”   D.h.:– Was etwa den Strichkalkül anbelangt, so können wir ja die Stiche numerieren & ihre Menge dadurch übersehbar machen &, verlaß Dich nur drauf, es wird dann schon alles mit dem gewöhnlichen Kalkül übereinstimmen!

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Wann sagen wir: ein Kalkül ‘entspräche’ einem andern, sei nur eine die abgekürzte Form des ersten? – ‘Nun, wenn man die Resultate dieses, durch ˇentsprechende Definitionen in die Resultate jenes überführen kann.’ Aber ist schon gesagt, wie man, mit diesen Definitionen zu rechnen hat? Was läßt macht uns diese Übertragung anerkennen? Ist sie am Ende ein abgekartetes Spiel? Das ist sie, wenn wir entschlossen sind nur die Übertragung anzuerkennen, die zu dem uns gewohnten Resultat führt.

​

Wenn wir von ‘einander ent- sprechenden’ Kalkülen reden, so denken wir oft an die ˇmögliche Anwendung d[er|ie]ser Kalküle & nennen ‘entsprechende’ Kalküle solche, die der gleichen Anwendung fähig sind. // , die die gleiche Anwendung haben könnten. // // , die gleich angewandt werden könnten. // (Man denkt etwa an irgend eine charakteristische Anwendung des Multiplizierens.) Aber auch dies hilft uns nicht. (Könnte Einer nicht den Beweis für daß ‘3 × 3 = 9’ als Beweis ˇdafür verwenden, daß ‘9 × 9 = 81’ ist[?| ,] ich meine: könnte er aus dem Gang jenes dieses Beweises nicht unmittelbar auf ‘9 × 9 = 81’ schließen?) Er schließt sagt : “3 × 3 = 9, ⌊ –⌋ also muß ich für 9 Nüsse zu à 9 Groschen 81 Groschen zahlen.”)

​

Warum nennen wir einen Teil des Rschen Kalküls den der Differentialrechnung entsprechenden? – Weil in ihm die alle Sätze der Differentialrechnung bewiesen werden. – Aber doch nicht am Ende post hoc. – Aber ist das nicht gleichgültig? Genug, daß man Beweise dieser Sätze im R.schen System finden kann! Aber sind es Beweise dieser Sätze nicht nur dann, wenn sie ihre Resultate sich nur in diese Sätze übertragen übersetzen lassen?   Aber stimmt das, sogar im Fall des Multiplizierens im Strichsystem mit numerierten Strichen?

​

26.1.   Nun muß klar gesagt werden, muß es klar gemacht werden, daß die Rechnungen im Strichsystem in der Strichnotation (SN) normalerweise immer mit denen in der Dezimalnotation übereinstimmen werden. Vielleicht werden wir, um ˇsichere Übereinstimmung zu erzielen, an einem Punkt dazu tt greifen müssen, die Rechnung mit (den) Strichen den SN von mehreren Leuten rechnen nachrechnen zu lassen. Und das gleiche werden wir bei Rechnungen mit noch höheren Zahlen im Dezimalsystem vornehmen tun (müssen). ⌊.⌋      Aber das zeigt freilich natürlich schon : , daß nicht die Beweise im Strichsystem die Beweise im Dezimalsystem zwingend machen. // : , daß nicht die Beweise im Strichsystem – die Beweise im Dezimalsystem zu zwingenden Beweisen machen. //

​

“Hätte man aber nun diese nicht, so könnte man jene gebrauchen, um das Gleiche zu beweisen.” – Das Gleiche – was ? Was ist das Gleiche? – Also, der Strichbeweis wird mich vom Gleichen, wenn auch nicht auf die gleiche Weise, überzeugen. – Wie, wenn ich sagte: “Der Platz an den uns ein Beweis führt, kann nicht unabhängig von diesem Beweis angegeben bestimmt werden”. ? – Bin ich durch einen Beweis im Strichsystem davon überzeugt worden, daß der bewiesene Satz der Anwendung fähig ist die diejenige Anwendbarkeit besitzt, die der Beweis im Dezimalsystem ihm vorbereitet gibt ‒ ‒ – ist, z.B., im Strichsystem gezeigt worden, daß der Satz auch im Dezimalsystem beweisbar ist?

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27.1. Ich schlage mich auf diesen Seiten mit einem bestimmten Teufel herum; & der Kampf ist noch unentschieden.

​

28.1. Es wäre natürlich Unsinn zu sagen, daß ein Satz nicht zwei mehrere Beweise haben kann – denn so sagen wir eben. Aber kann man nicht sagen: Dieser Beweis zeigt daß … herauskommt, wenn man das t[ü|u]t; der andre Beweis zeigt, daß dieser Ausdruck herauskommt, wenn man etwas andres tut.     Ist denn z.B. das mathematische Factum, daß 129 durch 3 teilbar ist, unabhängig ⌊da⌋von dem Re, daß dies Resultat bei dieser Rechnung herauskommt? Ich meine: ist besteht daßs Factum dieser Teilbarkeit unabhängig von dem Kalkül, in dem … vorhanden, in dem es sich ergibt; oder ist es ein Factum dieses Kalküls?

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Denke man sagte: “Durch das Rechnen K lernen wir ˇdie Eigenschaften der Zahlen kennen.”     Aber bestehen die Eigenschaften der Zahlen außerhalb des Rechnens?

​

‘Zwei Beweise, beweisen dasselbe, wenn sie mich von dem gleichen übe⌊r⌋zeugen.’ – Und wann überzeugen sie mich von dem Gleichen? Wie weiß ich, daß sie mich vom Gleichen überzeugen? Natürlich nicht durch Introspektion.

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Man kann mich auf verschiedenen Wegen bewegen, dazu bringen, diese Regel anzunehmen.

​

Kann man in R Logik beweisen, daß ~100p ≡ p ist? – Nun warum nicht? “~100p” steht doch nur als Abkürzung statt “~ ~ ~ ~ – – – –p” & man rechnet einfach von 100 bis 1 herunter. Auch, wenn man daran Anstoß nimmt daß sich hundert ‘~’ nicht als diese Anzahl solche erkennen lassen, so kann man ja die Stellen der ‘~’ numerieren & sie dadurch übersehbar machen. –

​

29.1.   Numerieren wir die ‘~’ vor p mit den Buchstaben ‘a’ bis ‘r’: Ist ~rp ≡ p Ist ‘~rp’ ein R-scher Begriff? (Wie, wenn ‘~rp’ hieße: viele [v|V]erneinungen von ‘p’?)

​

Ich bin versucht hier eine Deutung zu erfinden konstruieren , nach welcher man sagen kann, daß der Sinn der Sätze, die durch die Rechnungen       1000 : 3 = 333 + 1 3   10    10     1 und       1000 : 3 = 333 + 1 3   10     bewiesen sind, ein verschiedener ist.         D.h.: ich will dasie Worte “Sinn eines mathematischen Satzes” so deuten, daß der dieser Sinn // auch davon // davon abhängig wird, abhängt, wie der Satz erhalten wird. So eine Betrachtung Deutung kann natürlich nicht zeigen, daß es falsch ist zu sagen, zwei Beweise bewiesen das Gleiche! (Analog kann man sagen, daß verschiedene Kriterien beweisen, daß der Tod vor zwei Stunden eingetreten sei, & doch kann es nützlich sein von ver- schiedenen Bedeutungen des Ausdrucks “Eintritt des Todes”, je nach dem verwendeten Kriterium, zu reden.) Es ist vielmehr ein besonders wichtiges Mittel ⌇unserer Sprache⌇ zu bestimmen, daß verschiedene Kriterien als Kriterien des Gleichen gelten sollen. –

​

Aber kann man gegen mich nicht einwenden: daß nur eine kleine Zahl Anzahl Zeichen-geometrischer Prinzipe in der Mathematik angewandt werden, so daß der Unterschied der Berechnungen des gleichen Satzes uninteressant wird. [Dies ist sehr unklar ausgedrückt.]      Ich meine: Kommt, was ich sagen will, nicht darauf hinaus, daß jeder neue Beweis des gleichen Satzes schon darum interessant sein muß, weil er eine neue Zeichen-geometrische Methode zeigt. Oder: er überzeugt uns von von einer neuen Möglichkeit der Konstruktion

​

Wohl aber kann nicht so eine neue Methode trivial werden, indem man sie auf trivialem Wege einführt?    Könnte z.B. das Multiplizieren mit Dezimalen nicht als eine triviale Abweichung vom Multiplizieren im Strichsystem dargestellt werden?   Ja; aber hörte die Trivialität nicht dann auf, wenn gezeigt wird, daß wir uns in gewissen Fällen auf die zweite & nicht auf die erste Methode verlassen?

​

(Man könnte mein P[h|r]oblem auch so ausdrücken: Ist es richtig die Mathematik als eine Klasse von ˇwahren Sätzen aufzufassen?)

​

30.1.      Kann die Strichrechnung mich davon überzeugen, daß die Dezimalrechnung dies ergeben wird? In gewissem Sinne doch offenbar!

​

Ist nicht folgendes ein starker Einwand gegen mich: Niemand wird sich die Mühe nehmen, das Kommutative Gesetz für das Rechnen im Dezimalsystem zu beweisen, wenn es für das Strichsystem bewiesen ist. Man wird vielmehr auf diesen Beweis hin sagen : , es müsse nun auf fürs Dezimal- system gelten – & käme dort etwas anderes heraus, so müsse man sich verrechnet haben. Daraus folgt: Man wird in diesem F[ä|a]lle dem Resultat einer Multipli[c|k]ation im Dez. System weniger trauen als einem Induktionsbeweis im Strichsystem.

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Und damit hängt diesec Frage zusammen: Sind es nur so uninteressante Fälle, wie ⌊z.B.⌋ lange Sätze im Dezimalsystem, in denen die ‘kürzere’ Rechnungsweise mehr als eine ganz triviale Transformation der ‘langen’ ist.

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Kann man nicht sagen, daß alle interessanten Sätze über die Kardinalzahlen (& daher alle Sätze über die Zahlen) im Strich- system überzeugend bewiesen werden können & daher jedes and⌊e⌋re System nur denas V Interesse der Kürze hat?!

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Aber, wenn wir nun z.B. das Kommut. Gesetz im Strichsystem bewiesen haben, ist es dann nicht von höchstem Interesse, daß die Rechnungen im Dez. System – so gut wie immer – diesen Beweis // dieses Gesetz // befolgen? Und nicht nur darum weil man also so kürzer rechnen kann, sondern weil man also auch anders rechnen kann.

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Man könnte fragen: Wie ist es denn möglich, daß uns mich der Skolemsche Induktionsbeweis des Distributi- von Gesetzes allgemein von diesem Gesetze überzeugt? Wäre – könnte man sagen – diese Überzeugung, was sie ist, wenn nicht beim Rechnen (etwa im Strichsystem) tatsächlich normalerweise dies Gesetz, bestätigt würde? – Nun, man kann sagen: der Induktionsbeweis überzeugt uns ˇdavon, daß wir zu sagen haben a + (b + c) = (a + b) + c & ob nun im besondern Fall kommt das im besonder Fall nicht heraus, so haben wir einen F[alsh|ehle]r anzunehmen. Wohl, aber das wäre dann also unter Umständen eine sehr unpraktische Regel & eine, die anzunehmen kein Grund vorhanden wäre.

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Es gibt aber nun doch mehr oder weniger triviale Ersetzungen & Abkürzungen!

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∣ Der Bescheidene, der sich selbst mitzuzählen vergaß. ∣

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31.1. Es sei π100 die ˇ100-stellige ganze Zahl : , 314159 …. Ist dann der Beweis, das ~π100p ≡ p ist (oder das Gegenteil) ein R'scher Beweis, da doch dieser Satz der Logik nur eine Abkürzung eines R'schen Satzes ist?

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Nun, der Beweis involviert eine neue Technik der Zahlbestimmung – wie man sagen könnte. Aber statt des allgemeinen Ausdrucks “Zahlbestimmung”, ◇ wäre es besser ˇeinen ganz speziell⌊en⌋ von einer zu verwenden für die Bestimmung der Menge der “~“ zu reden. Negationen.

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Lenkt nicht das Wort “aAbgekürzung” unsre Aufmerksamkeit – , wie ein Taschenspielertrick kunststück –, auf einen den unwichtigen Gegenstand? Freilich ist der “~π100 p” kürzer als ( die eine ihm entsprechende Reihe) von p “~ ~ ~ .....p”; aber doch nur (darum), weil, z.B., der Buchstabe π so ein ein so kurzes Zeichen ist. Wie, wenn wir statt seiner einen Linienzug verwendeten, (der) komplizierter (wäre), als die ganze Reihe der Negationszeichen?

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– Aber man könnte doch auch argumentieren sagen : “Die Rechnung die “~π100 p” in die Form der Reihe umwandelt, zeigt bloß, was “~π100 p” bedeutet –, sie ist bloß die Übersetzung von einer Ausdrucksweise in eine andere – & auf sie folgt der … & auf diese Übersetzung folgt nun der Russellsche Beweis .”

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(Wenn man [so|di]esen Weg geht, könnte man noch einen Schritt weiter gehen & sagen, daß der R'sche Beweis dann einen Satz beweist, der nichts sagt.)

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Aber warum soll ich das ‘Übersetzen’ von einer Ausdrucksweise in eine andre nicht auch einen Beweis nennen? der Der beweist zeigt , daß diesem Ausdruck in der einen Ausdrucksweise dieser in der andern entspricht.   (So kann man Einem mittels Hilfe des Wörterbuchs & der Grammatik beweisen, daß dieser deutsche Satz auf Englisch so lautet heißt . // lauten muß. //

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1.2.    ∣ ‘Zweck der Musik: Gefühle zu vermitteln.’ ∣

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Verb[r|i]rg dir nie : , daß du in Schwierigkeiten bist.

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Damit verbunden: Wir mögen mit Recht sagen Einer ⌊“⌋er macht hat jetzt das gleiche Gesicht ◇ den gleichen Gesichtsausdruck wie früher damals ” – obwohl die Messung in (den) beiden Fällen [v|V]erschiedenes ergab.          Wie werden die Worte “der gleiche Gesichtsausdruck” gebraucht? – Wie weiß man, daß Einer diese Worte richtig gebraucht? Aber wie weiß ich, daß ich sie richtig gebrauche?

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‘Ich fühle, daß ich das Wort “rot” richtig gebrauche.’ Nun, das kann man schon sagen. Nur ist es ˇjetzt interessant zu untersuchen, was mit die- sem Satz nicht gemeint ist.

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Die unerfüllte Sehnsucht in der Philosophie: ‘Ich will [r|R]ot beschreiben, kann es aber nicht’. Sehn' ich mich nach dem, wonach man sich nicht sehnen kann? Wenn ich in einem Kreis herum liefe, immer schneller – , & sagte, ich wolle wollte mich fangen – soll man ˇdann sagen : , ich versuche mich selbst einzuholen – , oder soll man es nicht sagen?

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3.2.   Es heiße ‘ e n ’ die nte Stelle der Zahl e; dann hat – so sa⌊sa⌋g⌊t⌋e ich einmal – der Satz: “ich habe 2 Hüte” den selben Sinn, wie: “ich habe e 1 Hüte”. Aber hat auch ◇“~ ~p ≡ p” den selben Sinn wie “~ e 1 p ≡ p”? ⇒ Fortgesetzt in Band XIII.

Editorial notes

1) See facsimile; arrows pointing to remarks '“250 Würfel ...' and '“250 + 3220 Würfel ...' on page 23v.

2) It seems that the remark 'I'm much too slick ...' was written at an earlier point, and the sentence 'Aber ich verwende ...' had as a consequence to be written around it.

3) See facsimile; line connecting this remark with the following one.

4) See facsimile; Wittgenstein writes 'Leeraufführungen'.