Philosophische
Bemerkungen
XVIII. |
1
16.10.39 Das Paradox “Heterologisch”: Es ist gut sich vorzustellen, daß die Wörter “heterologisch” & “homologisch” irgendwo wirklich Wörter der lebendigen Sprache sind. Stellen wir uns vor, daß in der Schrift des Stammes … das Wort für rot immer rot, || mit roter¤ Tinte, das Wort für blau immer blau || mit blauer Tinte geschrieben wird || in der Schrift des Stammes … wird das Wort für rot immer mit roter Tinte, das Wort für blau immer mit blauer Tinte geschrieben, ein Wort das lang bedeutet wird immer in der Schrift langgezogen, eines das kurz bedeutet zusammengepreßt. Dagegen wird bei ihnen das Wort für heiß nicht heiß & das Wort für kalt nicht kalt sein || ist bei ihnen das Wort für heiß nicht heiß & das Wort für kalt nicht kalt || muß bei ihnen das Wort für heiß nicht heiß & das Wort für kalt nicht kalt sein etc. Ihre Grammatiker unterscheiden so zwischen || reden demgemäß von homo- || homologischen & heterologischen Wörtern. Jemand von ihnen fragt nun: |
Das ist ja als sagte man Einem || gäbe man Einem den Befehl:
“Schreib etwas anderes”, ohne aber zu
sagen wovon es verschieden sein soll. |
17.
Auf die Frage “Ist
“h”
h?” sagen wir uns
sofort: “Nun, wir 3 wollen sehen – – was heißt denn
‘h’?”
D.h. wir sind nicht gleich klar, zu welchem
Resultat hier die Erklärung || Definition von
“h”
führt. Und gleich darauf sehen wir, daß sie zu
keinem Resultat führt. Denn das
Resultat ist zwar:
h (‘h’) =
~h (‘h’), aber,
abgesehen davon, daß das ein Widerspruch ist, so ist es keine
Erklärung von
“h
(‘h’)”.
Und ebenso erhalte ich auch keine Erklärung, wenn ich mir überlege, was “hom (‘hom’)” bedeutet oder “het (‘hom’)” bedeutet. |
Es wird hier mittels eines
Satzes & einer Definition ein Kreis geschlossen,
& so, daß die Definition ohne den Satz & der Satz
ohne die Definition nicht 4 vollständig ist || sind, || – wodurch man auf der Suche
nach der Bedeutung im Kreis herum geführt wird. |
Ebenso, wie man durch die
Definition ~f(f) = S(f) zum Widerspruch
~S(S) = S(S) geführt wird, aber
das Zeichen “S(S)
” aus der Definition auch nicht erklären
kann.
Ich könnte es etwa so versuchen: Wenn man statt ‘f’ ‘S’ setzt || einsetzt so muß man wissen welcher Ausdruck nach der Definition für || für welchen Ausdruck nach der Definition das S stehen soll || steht. Am ehesten noch für “~ ξ(ξ)” oder “~ ( )”. Also heißt “S(S)” soviel wie “S(~ ( ))”, oder etwa || aber nicht “~ ( )(~ ( ))”: denn zur Ersetzung des S vor seinem Argument soll ja nach der Definition so verfahren 5
werden:
~[~ ( )][~ (])
|
Schreiben
wir eine Funktion als ein Verbum & sagen
z.B. statt
“F(a)”:
“a
F-iert”.
Also: ~ (f f-iert) = f S-iert Def. Ersehen wir daraus, was wir statt einem || für einen Ausdruck von der Art “S φ-iert” schreiben sollen? |
Denken wir uns einen Kalkül mit einem Widerspruch
drin aber wir merken den Widerspruch nicht.
Wir leiten allerlei Sätze ab, die, wie wir
später sehen, mit einander im Widerspruch stehen. Wenn
uns ein Teufel narrt so daß wir es nie merken, – was werden
wir sagen? Daß es kein Kalkül
ist? 6 |
Was hindert mich zu sagen:
Ich nenne etwas nicht
“Kalkül”,
wenn ihm nicht ein Induktionsbeweis
dafür beigefügt || beigegeben ist, der zeigt, daß
man in ihm kein || nicht Gebilde von
einer gewissen || der & der Form
erzeugen kann? |
18.10.
Ich will der Formulierung entgehen: “ich
weiß jetzt mehr über den Kalkül”, &
statt ihrer die setzen: “ich habe jetzt einen andern
Kalkül”. Der Sinn hiervon ist, die Kluft
zwischen einem mathematischen Wissen &
nicht-mathematischem Wissen immer in ihrer vollen
Größe vor Augen zu behalten. 7 ¤ |
Angenommen, in einem Stamm führen sie
Rechnungen der vier Spezies aus
& hie & da verwenden sie einen Übergang von der
Art
(3 ‒ 3) ∙ 4 = (3 ‒ 3) ∙ 5.
Sie erhalten daher manchmal widersprechende
Resultate – wie wir sagen würden. Das
stört sie aber durchaus nicht.
Man könnte sich auch den Fall denken, daß Menschen jenen Übergang nur in gewissen Notfällen gebrauchen; wenn eine Rechnung in irgend einem Sinn nicht stimmen will, & stimmen muß. Ein solches Rechnen wäre ähnlich gewissen gebräuchlichen Schlußweisen, durch die irgendeine 8 Annahme (manchmal religiöser Art)
gestützt wird, mögen die Fakten auf die
sie gestützt wird nun so, oder umgekehrt ausschauen.
|
19.10.
4 × (2 × 2 = 4) = (8 × 2 = 16)
4 × (4 × ξ) = 16 × ξ Vierfach ist ein Vierfaches. |
Jede mathematische Erfindung
(z.B. jeden Beweis) muß
man sich wegdenken können & sehen was dann von der
Mathematik noch bleibt. |
Man muß sich immer wieder eine
mathematische Entdeckung wegdenken – & sehen, was
dann von der Mathematik bleibt – – oder, was
für 9
eine Mathematik dann
zurückbleibt || bleibt.
– Denn es bleibt
(dann) ein Spiel zurück, mit
anderer Pointe vielleicht,
(&)
manchmal gleichsam das || ein || nur das
Embryo einer Mathematik || ja manchmal nur das Embryo
einer Mathematik, – aber wir können
es doch als einen Kalkül, als eine Art des Rechnens, auffassen,
& dies entzieht uns der Gefahr || entgehen so der
Gefahr uns von den ‘Denkgesetzen’ eine viel zu
enge Vorstellung zu machen. |
25.10.
‘Ein Mathematischer Beweis muß übersichtlich
sein.’ “Beweis” nennen wir
¤ nur eine Struktur, deren Reproduktion eine leicht lösbare Aufgabe
ist. Es muß sich mit Sicherheit
entscheiden lassen, ob wir hier wirklich zweimal den gleichen Beweis
vor uns haben, oder 10 nicht. Der Beweis muß ein Bild sein, welches || , eine Zeichnung welche sich mit
Sicherheit genau reproduzieren läßt. Oder
auch: was dem Beweise wesentlich ist muß sich mit Sicherheit
genau reproduzieren lassen. Er kann
z.B. in zwei verschiedenen Handschriften
oder Farben niedergeschrieben sein. Wir wären dann
vielleicht zweifelhaft ob die eine Handschrift
Zur Reproduktion eines Beweises soll nichts gehören was
von der Art einer
genauen Reproduktion eines Farbtones oder einer Handschrift
ist. |
Es muß leicht
sein genau diesen Beweis wieder anzuschreiben.
Hierin liegt der Vorteil des Geschriebenen 11 im
Vergleich zum gezeichneten Beweis. Dieser ist oft seinem Wesen nach
mißverstanden worden. Die
Zeichnung eines Euklidischen Beweises
kann ungenau sein, in dem Sinne, daß die Geraden nicht gerade sind
die Kreisbögen nicht genau kreisförmig
etc. etc.; & dabei ist
die Zeichnung doch ein exakter Beweis
& dies zeigt || daraus sieht man
daß diese Zeichnung nicht –
z.B. – demonstriert daß eine
solche Konstruktion ein Vieleck mit 5 gleichlangen Seiten
ergibt, daß sie einen Satz der Geometrie, nicht einen
über die Eigenschaften von Papier,
Zirkel, Lineal & Bleistift beweist.
[Hängt zusammen mit: Beweis ein Bild eines Experiments.] 12 |
Wäre dies ein
Beweis: Man schreibt ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ = ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ & legt || wägt (dann) die Tinte auf (den) beiden Seiten der Gleichung || des Gleichheitszeichens; wiegt sie gleichviel || ist das Gewicht das Gleiche, so ist die Gleichung richtig. Nun, diese Wägung könnte uns sehr wohl zum || als Beweis d.h. als Kriterium || Erkennungszeichen dafür dienen, daß auf den beiden Seiten dieser individuellen (token) Gleichung insgesamt gleichviel Striche stehen, aber sie wäre kein Beweis der Additionsformel im Sinne der Mathematik, sondern ein Experiment. || experimenteller Beweis, eines nicht-mathematischen Satzes. |
27.10.
Ich will
sagen:: Wenn man eine nicht
übersichtliche || übersehbare Beweisfigur durch Veränderung der
Notation übersehbar macht, dann schafft man erst einen Beweis, wo
früher 13 keiner
war. |
Denken wir uns nun
einen
Beweis Russells || einen
Russellschen
Beweis für einen Additionssatz der Art
a + b = c der aus ein paar
tausend Zeichen bestünde. Du wirst sagen:
Zu sehen, ob dieser Beweis stimmt, oder nicht, ist eine rein
äußerliche Schwierigkeit, die von keinem mathematischen
Interesse ist. (“Ein Mensch
übersieht leicht, was ein
Anderer || anderer schwer oder garnicht übersieht”; || –
etc. etc.) |
Wir stellen fest
daß in der Stadt A 5 Millionen Menschen sind
& in der Stadt B 3 Millionen. Wir rechnen
daß wir für beide 5 Millionen
Gasmasken brauchen & richten unsre Fabrik so ein daß sie
diese Zahl herstellt. Wir finden 14 daß die
entsprechende Menge erzeugt worden ist. So war
also die Rechnung || Addition in diesem Fall sehr
nützlich. Und es ist merkwürdig, daß die
Russellsche Logik in
dieser Weise nützlich sein kann. Oder ist es bloßer
Zufall, daß sie es in solchen Fällen so oft
ist? |
Die Annahme ist,
daß die Definitionen nur zur Abkürzung des Ausdrucks
dienen, zur Bequemlichkeit des Rechnenden;
während sie doch ein Teil der Rechnung sind. Mit ihrer Hilfe werden Ausdrücke erzeugt, die ohne ihre Hilfe nicht erzeugt werden könnten. || würden. |
28.
Vielleicht sagt man, daß mit ihrer Hilfe nur Aspekte von
15
Ausdrücken hervorgehoben
werden. Aber was
heißt ‘einen Aspekt hervorheben’
anderes, als ¤ einen neuen Ausdruck
erzeugen. [nur
mittelmäßig] |
Wie ist es aber damit: “Man kann zwar im
R'schen Kalkül nicht 234 mit 537 multiplizieren
– im gewöhnlichen Sinn – aber
es gibt eine R'sche Rechnung die dieser
Multiplikation entspricht”?
– Welcher Art ist diese Entsprechung? Es
könnte so sein: Man kann auch im R'schen Kalkül diese Multiplikation ausführen nur in einem andern Symbolismus – wie wir ja auch sagen würden wir könnten sie auch in einem andern Zahlensystem ausführen. Wir könnten dann also z.B. die praktischen Aufgaben, zu deren 16
Lösung man jene
Multiplikation benützt auch durch die
Rechnung im R'schen Kalkül
lösen, nur umständlicher. |
Denken wir uns nun die Kardinalzahlen
erklärt als 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1,
((1 + 1) + 1) + 1,
u.s.f.. Du sagst, die
Definitionen welche die Ziffern des
Dezimalsystems einführen dienen
bloß zur Bequemlichkeit; man könnte die Rechnung 703000
× 40000101 auch in jener langwierigen Schreibweise
ausführen. Aber stimmt das? –
“Freilich stimmt es! Ich kann doch eine
Rechnung in jener || der ersten
Notation anschreiben, konstruieren,¤ die der
Rechnung in der Dezimalnotation entspricht.”
– Aber wie weiß ich, daß sie ihr entspricht?
– Nun, weil ich sie nach einer
gewissen Methode 17 aus der
andern abgeleitet habe. – Aber wenn ich sie nun nach
einer halben Stunde wieder anschaue, kann sie sich da nicht
verändert haben? Sie ist ja nicht
übersehbar. |
Ich frage nun: könnten wir uns von
der Wahrheit des Satzes 7034174 + 6594321 = 13628495 auch
durch einen Beweis überzeugen, der in der ersten
Notation geführt wäre? – Gibt es
so einen Beweis dieses Satzes? – Die
Antwort ist: nein. |
Aber zeigt nicht Russells Erklärung den Zusammenhang
zwischen der Addition &
Disjunktion. Zeigt sie nicht, was das
Wesen der Addition ist, indem sie sozusagen das allgemeine 18 Schema der Anwendung der
Addition zeigt; gleichsam die allgemeine Art, wie sich die
Addition auf die Dinge bezieht, die Art ihres Zusammenhangs mit dem
worauf sie angewendet wird? So
könnte man sich z.B. –
vom Ausdruck “addieren” verführt –
vorstellen daß man die Einwohner von London &
Manchester in irgend einer Weise
zusammenlegt || zusammenlegen muß, wenn man berechnet wie viele Einwohner
beide Städte zusammen haben; & nun sagt uns die
R'sche Erklärung, daß es sich um keinerlei
Zusammenlegen der
Gegenstände || von Gegenständen handelt.
(Damit in Zusammenhang, || : was
Frege den
‘Pfeffernußstandpunkt || Pfeffernuß Standpunkt’ nannte:
die 19
Idee, eine Zahl sei ein
Haufe || Haufen
von Dingen.) – Ich habe also die beiden
Begriffe zusammengenommen, nicht die Städte oder ihre
Einwohner – – aber habe ich nicht doch in einem
Sinne die Einwohner zusammengenommen? –
nämlich, indem ich sie zählte & mit den
Zeichen, die ich so || dadurch erhielt,
operierte. |
“Die Zahl der Londoner & die Zahl der Dubliner
zusammengenommen” ist allerdings gleichbedeutend
mit: “die Zahl der Leute, die entweder Londoner oder
Dubliner sind” oder mit: “die Zahl der
Gegenstände die unter den Begriff
‘Londoner oder Dubliner’
fallen ” (von der Idee dieser || solcher
‘Gegenstände’ die das
Prädikat Mensch haben wird noch
gesprochen werden || die Rede sein) – aber ist
20 der Ausdruck, der sich
der
Disjunktion || des Oder bedient
fundamentaler als der andere? Oder auch:
muß ich
die Begriffssumme || den Begriff der
Disjunktion der beiden Begriffe bilden wenn ich von der Summe
der beiden Anzahlen reden will? In den
meisten Fällen werde ich es nicht tun sondern die
beiden Zahlen addieren & von der Summe der
beiden Zahlen reden. Es gibt freilich auch
den andern Fall: man sagt z.B.:
die Zahl der
gebürtigen Londoner || der faulen oder doch angefaulten
Äpfel in dieser Kiste ist … || “die Zahl
der Leute, die in London, oder der Umgebung von
London wohnen ist …”.
Freilich könnte ich 21 auch im
ersten Fall, || – wenn ich
gefragt würde || auf die Frage: “welcher
Begriff gehört nun zu der Summe die Du gebildet
hast || dieser Zahlen”– sagen || antworten: der Begriff: Mensch, welcher ein Londoner oder ein
Dubliner ist – aber könnte ich nicht ebensowohl
antworten: ‘der Begriff:
Bierfaß || Faß Bier ﹖, das ich zu
erzeugen habe (wenn ich
nämlich für jeden Londoner & Dubliner ein Faß
Bier erzeugen wollte). |
Aber lehrt uns Russell nicht doch eine Art des
Addierens? |
30.
Angenommen wir bewiesen auf
R's Methode daß (∃a.....g) .... (∃a.....i)
⊃ (∃a.....s) eine Tautologie ist;
könnten wir nun unser Resultat dahin ausdrücken,
g + i sei s? Das setzt doch voraus, daß
ich 22 die drei Stücke des
Alphabets als Repräsentanten des Beweises nehmen kann.
Aber zeigt denn das R's Beweis?
Den R'schen Beweis hätte ich doch offenbar auch mit
solchen Reihen || Folgen || Gruppen von Zeichen in den Klammern führen
können, deren Reihenfolgen für mich nichts
Charakteristisches gehabt hätten, so daß
¤ es nicht möglich gewesen
wäre die Zeichenfolge || Zeichengruppe in einer Klammer durch
ihr letztes Glied zu repräsentieren. |
Angenommen sogar, der
R'sche Beweis werde mit einer Notation der Art
x1 x2 …
x10 x11 … x100 …
als in der Dezimalnotation geführt, & es seien 100
Glieder in der ersten 300 Glieder in der zweiten & 400
Glieder in der dritten Klammer, zeigt 23 der Beweis
selbst dann, daß 100 + 300 = 400 ist? – Wie
wenn dieser Beweis einmal zu diesem einmal zu einem andern
Resultat führte z.B.
100 + 300 = 420? Was bedarf es, um zu sehen daß
der Beweis || das Resultat des Beweises, wenn
er richtig geführt ist, immer nur von den zwei letzten Ziffern der ersten
zwei Klammern
abhängt? |
Aber
für kleine Zahlen lehrt uns doch Russell addieren; denn dann
übersehen wir eben die Zeichen || Zeichengruppen in den Klammern &
können sie als Zahlzeichen nehmen;
z.B. ‘xy’,
‘xyz’,
‘xyzuv’. Russell lehrt uns also einen anderen Kalkül, um von 2 und 3 zu 5 zu gelangen; & das stimmt auch dann, wenn wir 24 sagen der logische Kalkül sei nur –
‘frills || Fransen’, die dem
arithmetischen Kalkül angehängt seien. |
Die Anwendung der
Rechnung muß für sich selber sorgen. Und das ist,
was am ‘Formalismus’ richtig ist.
Die Zurückführung der Arithmetik auf symbolische Logik soll die Applikation der Arithmetik zeigen; gleichsam den Ansatz || das Ansatzstück, mittels || mit welchem sie auf || an ihrer Anwendung sitzt || angebracht ist. So als zeigte man Einem erst eine Trompete ohne das Mundstück – & nun das Mundstück, welches uns zeigt || lehrt, wie eine || die Trompete verwendet, geblasen, wird || mit dem menschlichen Körper in Kontakt gebracht wird. Das Ansatzstück aber, das uns Russell zeigt || gibt, ist (einerseits) zu eng anderseits 25 zu
weit; || – zu allgemein und zu speziell. || zu eng & zu weit. Die Rechnung sorgt
für ihre eigene Anwendung. |
Wir dehnen unsre Ideen von den Rechnungen mit
kleinen Zahlen auf die mit großen Zahlen aus, ähnlich
wie wir uns vorstellen, daß wenn die Distanz von hier zur Sonne mit
dem Zollstock gemessen werden könnte dann eben das
herauskäme was wir heute auf ganz andere Art
herausbringen. Das heißt, wir sind geneigt die
Längenmessung mit dem Zollstab zum Modell zu nehmen auch für
die Messung des Abstandes zweier Sterne.
Und man sagt, etwa in der Schule: “Wenn wir uns Zollstäbe 26 von hier bis zur Sonne
gelegt denken, …” & scheint damit zu
erklären, was wir unter dem Abstand zwischen Sonne und Erde
verstehen. Und der Gebrauch || die Verwendung
eines solchen Bildes ist ganz in Ordnung, so lange es uns klar ist
daß wir den Abstand von uns zur Sonne messen
können & daß wir ihn
nicht mit Zollstäben messen können. |
31.10.
Wie, wenn jemand sagen würde:
“der eigentliche Beweis von
1000 + 1000 = 2000
ist doch erst der Russellsche, welcher || der zeigt,
daß der Ausdruck … eine Tautologie ist”?
Kann ich denn nicht beweisen, daß eine Tautologie herauskommt,
wenn ich in den beiden ersten Klammern 27 je 1000 Glieder &
in der dritten 2000 habe? Und wenn ich das || dies beweisen kann, so kann ich das als Beweis des
arithmetischen Satzes ansehen. |
In der Philosophie ist es immer gut,
statt einer Antwort auf ein Problem, eine Frage
zu setzen. || statt einer Beantwortung
einer Frage eine Frage zu
setzen. Denn eine Beantwortung der philosophischen Frage könnte ungerecht || kann leicht ungerecht sein; die Erledigung der Frage || ihre Erledigung mittels einer andern Frage ist es nicht. |
Soll ich also
z.B. hier eine Frage setzen statt der
Antwort, man könne jenen arithmetischen Satz mit R's Methode nicht
beweisen? 28 |
1.11.39.
Der Beweis, daß (1) (2) ⊃ (3) eine Tautologie ist, besteht darin, daß man die Glieder der 3ten Klammer für eines in || immer ein Glied der 3ten Klammer für ein Glied von 1 oder 2 abstreicht. Und es gibt ja viele Methoden || Arten und Weisen dieses Kollationierens. || daß man die Glieder in 3 & die in 1 & 2 gegen einander abstreicht. Und es gibt natürlich viele Weisen eines solchen Kollationierens. Oder man könnte auch sagen: es gibt viele Arten & Weisen, das Gelingen der 1 → 1 Zuordnung festzustellen. Eine Art wäre z.B. sternförmige Muster eins für die linke eins für die rechte Seite der Implikation zu konstruieren & diese wieder dadurch zu vergleichen daß man ein Ornament 29 aus beiden
bildet. Man könnte also die Regel geben: “Wenn Du wissen willst, ob die Zahlen A & B zusammen wirklich C ergeben || geben, schreib den || einen Ausdruck der Form … an & ordne die Variablen in den Klammern einander zu indem Du den Beweis dafür anschreibst (oder anzuschreiben trachtest) daß der Ausdruck eine Tautologie ist.” Mein Einwand dagegen ist nun nicht, daß es willkürlich ist, gerade diese Art des Kollationierens vorzuschreiben, sondern, daß man auf diese Weise nicht feststellen kann, daß 1000 + 1000 = 2000 ist. |
2.11.
Die R'sche
Methode || Der R'sche Vorgang
erzeugt nicht den Aspekt dieser
Addition. [Schlecht ausgedrückt] Aber kann dieser 30
Aspekt nicht doch mittels ihrer erzeugt werden
durch eine entsprechende Folge von Definitionen?
Warum will ich sagen, daß der R'sche Beweis nichts Interessantes der Transformation zufügt || hinzufügt, die durch die Definitionen allein bewerkstelligt wird? Es kommt mir vor, daß der Beweis davon, daß für die Zahlen || Werte 1000, 1000 & 2000 eine Tautologie herauskommt || entsteht gänzlich außerhalb des Beweises des arithmetischen Satzes || uns interessierenden Satzes ist. |
Und doch erscheint mir auch in dem, was ich sage, etwas
falsches. |
‘Die
Menge in der 3ten Klammer, die den Ausdruck zu
einer Tautologie macht, || mit den
beiden andern eine Tautologie erzeugt, ist die 31 Summe
der beiden ersten Mengen. || jener beiden.’
Wie komme ich aber überhaupt zum Begriff einer bestimmten Menge? |
Man
hat oft gesagt, daß die Bedeutung || Wichtigkeit
einer Definition oft darin liege, daß sie die Wichtigkeit
des Definiens hervorhebe. Aber in
anderem Sinne macht || läßt sie ja das
Definiens im || aus dem Kalkül
verschwinden. Die Wichtigkeit einer Definition liegt
zumeist darin, daß
Ausdrücke eine andre || neue
Struktur erhalten || sie Ausdrücken neue Strukturen
gibt. |
Führt
der, welcher neue Definitionen einführt, nicht
einen neuen Kalkül ein? |
3.11.
Denke, Du hättest eine meilenlange 32
‘Formel’ angeschrieben, & zeigtest durch
Transformation, daß sie tautologisch ist (‘wenn sie
sich inzwischen nicht verändert hat’,
müßte || könnte man
sagen). Nun zählen wir die Glieder in den
Klammern oder teilen sie ab & machen den Ausdruck
übersichtlich & es zeigt sich, daß in der ersten
Klammer 7566 in der zweiten 2434 in der dritten 10000 Glieder
stehen. Habe ich nun bewiesen || gezeigt,
daß 2434 + 7566 = ¤10000
ist? – Das kommt drauf an, || – könnte man sagen – ob Du sicher bist, daß
das Zählen wirklich die Zahlen der Glieder
ergeben hat, die während des Beweises in den Klammern
standen. |
Könnte man so sagen:
“R. lehrt 33 uns in die
3te Klammer so viele Zeichen || Variablen schreiben als in den beiden
ersten zusammen stehen”? Aber eigentlich:
er lehrt uns für je eine Variable in
(1) & in (2) eine
Variable in (3) schreiben. Aber lernen wir dadurch welche Zahl die Summe zweier gegebener Zahlen ist? Vielleicht sagt man: “Freilich, denn in der 3ten Klammer steht nun das Paradigma, Urbild, der neuen Zahl.” Aber inwiefern ist ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ das Paradigma einer Zahl? Bedenke, wie man es als solches verwenden kann. |
5.11.
Muß denn ein Begriff eine bestimmte Zahl || Anzahl || eine Zahl || Anzahl
von Gliedern haben? |
Es ist falsch zu sagen:
“Unter 34 der Summe
der Anzahlen zweier Begriffe verstehe ich die Anzahl der
Begriffsdisjunktion || Begriffssumme” – sondern ich verstehe
darunter dasselbe wie die Anzahl der
Begriffssumme, wenn sich diese Anzahl in
bestimmter Weise aus den beiden
ersten Zahlen berechnen läßt.
D.h., wenn das was man unter ‘Anzahl
der Begriffssumme’ versteht eben so aus
den Zahlen der ersten Begriffe zu erhalten
ist. |
6.11.
Wir haben einerseits eine Definition der Zahlensumme, die keine Andeutung darüber macht, wie eine Addition anzuwenden ist || wäre. Diese Erklärung scheint daher || deshalb vielleicht unbefriedigend. Anderseits ist da eine Erklärung der Summe 35 aus ihrer Anwendung
heraus. (Und diese scheint im Vergleich zur
ersten unbefriedigend, weil sie sich in Dinge
mischt, um die sie sich nicht zu bekümmern
hat.) Wenn ich nun sage: die Summe der Anzahlen zweier Begriffe ist die Anzahl der Begriffssumme – so muß ich dazu sagen: & diese Zahl ist aus den beiden ersten so & so zu berechnen. – Wenn das aber der Fall ist, || – warum definiere ich nicht die Zahlensumme durch diese ihre Berechnung? – Ich verstehe eben unter der Zahl der Begriffssumme etwas, was durch eine bestimmte Rechnung aus den Zahlen der Summandenbegriffe zu erhalten ist. |
Einmal scheine ich zuerst nur
mit (den) Begriffen zu
operieren 36 & was dann
die Zahl des resultierenden Begriffes ist,
nenne ich Summe der Zahlen der Teilbegriffe. – Im
andern Fall habe ich mit Begriffen, deren Zahlen die Zahlen sind,
(gar) nichts zu tun. |
7.
Warum soll ich nicht sagen: “Wenn 5 die Zahl
von φ ist & 7 die Zahl von ψ, so nenne
ich 12 ‘die Zahl von φ ⌵
ψ’”? Statt zu sagen:
“dann ist die Zahl von
φ ⌵ ψ
12”. |
Die Fregesche
Erklärung der Summe zweier Anzahlen scheint uns den Inhalt
der Addition zu erklären, während die bloßen Rechenregeln
dies nicht zu tun scheinen. || Freges Erklärung scheint 37 uns zu zeigen was die
Addition eigentlich ist, wozu sie dient, & daraus
ergeben sich bei ihr || dann die
Additionsregeln von selbst. Während
das bloße Erklären,
(Beschreiben), der Rechentechnik
ihr || dieser die inhaltliche Grundlage nicht zu geben
scheint. || Die bloße Erklärung – Beschreibung der Rechentechnik scheint uns die inhaltliche Grundlage nicht zu geben. Aber muß hier nicht ein falscher Schein vorliegen? – Beide Erklärungen müssen uns ja || doch die Rechnungsregeln geben. Und gibt die erste Erklärung wirklich mehr, – muß sie dann nicht Überflüssiges geben? |
Woher aber der Schein,
daß die erste Erklärung 38 inhaltlich ist? denn
beide zeigen uns ja eine Rechentechnik mit Zeichen.
– In || Nun, in der ersten Erklärung
ist schon alles vorbereitet, um z.B.
statt || für
“φ” “Londoner” &
statt || für
“ψ” “Dubliner”
zu setzen || einzusetzen. Und nun scheint die Erklärung zu sagen: Wenn der Begriff ‘Londoner’ n Glieder || Gegenstände hat & der Begriff ‘Dubliner’ m Gegenstände, so brauchst Du nur den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’ zu bilden || so bilde Du nur den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’, & so viele Glieder dieser Begriff hat soviel beträgt n + m. || Oder: Bilde den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’, sieh nach, welche Zahl ihm zukommt, so hast Du die Summe n + m. || Du brauchst nur den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’ zu bilden, so hast Du die Summe der beiden Zahlen. || Bilde den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’; seine Zahl ist die Summe von n und m. || Bilde den Begriff … ; der || die Disjunktion der Begriffe … & … ; die hat doch auch eine Zahl das || : Das ist die Summe von n und m. 39 Aber wie sehe ich
nach, welche Zahl ihm zukommt?! – Indem ich
den Begriff ‘Londoner oder
Dubliner’ untersuche?
|| Bilde den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’; || ; || – der hat doch auch eine Zahl; || – & die ist die Summe der beiden ersten. Also braucht man nur den Begriff ‘Londoner oder Dubliner’ zu bilden; was || , & was seine Zahl ist, ist die Summe von n und m.¤ Aber was ist seine Zahl? Soll ich sie durch eine Zählung der Londoner-und-Dubliner feststellen? So als sagte man: Die Disjunktion der Begriffe kannst Du doch 40
gewiß leicht bilden – nun, die Anzahl dieses Begriffs ist
die Summe
n + m. – Als wäre jetzt ja alles
(schon) getan, da man ja nur mehr
nachschauen braucht, welches die Anzahl der Begriffssumme ist.
|
Man könnte natürlich
definieren: Der
Ausdruck “die Summe der Anzahlen || Zahlensumme || numerische
Summe von || der
Begriffe ‘φ’ und
‘ψ’” heißt soviel
wie: || solle
bedeuten: “die Anzahl des Begriffes
‘φ ⌵ ψ’”.
|
Kann man denn aber nicht
erklären: “Addition ist diejenige
Operation, die gebraucht wird || nötig
ist, um aus den Anzahlen zweier Begriffe die Anzahl der
Begriffssumme zu finden”? |
Aber ist das richtig?
Braucht 41 man dazu
addieren? Kann man
nicht z.B. sagen, die Anzahl von
φ ⌵ ψ
sei: 1000 + 2000? |
8.11. ∣ Man könnte, was ich hier betreibe || wir hier betreiben, ‘infantile Mathematik’ nennen. ∣ [Zu gewissen Überlegungen im ersten Bd.] |
“Der Begriff
‘φ ⌵ ψ’ hat doch
eine Zahl”. Wie soll sie || die
festgestellt werden? Unabhängig von den Zahlen von
‘φ’ und ‘ψ’?
Und wie wenn sich durch Zählung der Gegenstände die
φ genügen &, der
Gegenstände die ψ genügen & der
Gegenstände die φ ⌵ ψ genügen ergibt
daß die erste Zahl 100 die zweite 200 & die dritte 302
ist? Es soll also heißen: 42 die Summe der
Anzahlen von φ und ψ ist die Anzahl der
Begriffssumme, – || – || : wie sich diese aus der
Berechnung ergibt. |
Wer
also sagt, die Summe zweier Anzahlen sei die Anzahl der
Begriffsdisjunktion || Begriffssumme,
sagt eigentlich: “Berechne die Anzahl der
Begriffssumme, dann hast Du die Summe der beiden
Anzahlen”. |
9.11.
Die R'sche Tautologie, die dem Satz
a + b = c
entspricht, zeigt uns vor allem nicht in welcher Notation die Zahl
c zu schreiben ist
& es ist kein Grund warum sie nicht in der Form
a + b
geschrieben werden soll. –Denn
R. lehrt uns ja keine || nicht
die Technik des 43 Addierens, etwa, im
Dezimalsystem. – Aber könnten wir sie
vielleicht aus seiner Technik ableiten?
Fragen wir einmal so: Kann man die Technik des Dezimalsystems aus der des Systems 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, etc. ableiten? Könnte man diese Frage nicht auch so stellen: Wenn man eine Rechentechnik mit || in dem einen System & eine im andern System hat, – wie zeigt man, daß die beiden äquivalent sind? |
13.11.
Ein Volksstamm habe eine Technik des Zählens, etwa
die unsere im Dezimalsystem. Statt des Addierens,
Subtrahierens, etc. aber verwenden sie folgenden
Vorgang: Sie stellen Würfel || Eisenwürfel von genau
44 gleicher
Größe her, zählen etwa 3470 in eine
Wagschale, 250 in die andere &
nun zählen sie, wieder mit 1 anfangend soviele Würfel
in die zweite Wagschale bis die Waage || das Zünglein einspielt. Das
Resultat dieses Prozesses drücken sie dann
durch eine || in einer Formel aus, etwa
“250 + 3220 = ¤3470”.
Sie haben also durch ein Experiment erhalten, was wir
durch eine Rechnung? – Wie verwenden sie
die Formel? – Wenn 250 Soldaten in einer Reihe
stehen & sie stellen weitere 3220 dazu, so erwarten sie
daß eine Zählung aller 3470 ergeben
werde. – Warum? – Es hat sich
gezeigt daß dies für gewöhnlich so herauskam. – Aber wie, wenn 45 sie einmal die oben
beschriebene Wägung ausführen & sie erhalten
nun die Formel 250 + 3000 = 3470 – sagen sie dann:
“diesmal
ergeben diese Zahlen
3470” oder sagen sie: “es muß ein Fehler in
der Wägung vorliegen”? –
Habe ich im zweiten Fall das erste
Wägen || den ursprünglichen Vorgang des Wägens
nicht mehr als Experiment, sondern als Beweis aufgefaßt?
‒ ‒ Nun, wenn
(die) Erfahrung mich
oft genug das gleiche gelehrt || mir oft genug das gleiche
wiederholt hat, so werde ich endlich unbedingt an einer || dieser Annahme festhalten & alles andere muß sich
nach ihr richten. Man kann || könnte sagen: die Annahme || Hypothese versteinert zur || zu einer
Regel. – Wenn nun die Hypothese, daß
n + m
Würfel 𝓁 Würfeln das Gleichgewicht halten zur
Regel versteinert, wird die || diese Hypothese 46 dann zum || zu einem || zum
arithmetischen Satz? |
“250 + 3220 Würfel sind die
gleiche Anzahl von Würfeln wie 3470.”
|
14.11.
‘Aber warum vertraust Du dieser Rechnung, daß sie Dir
wirklich die gleiche Anzahl liefert?’ –
Ich vertraue ihr (gar) nicht.
Das ist, was ich jetzt ‘gleiche Anzahl’
nenne. |
Ich will sagen:
Mit ‘ebensoviel’ verbinde ich eine
gewisse Vorstellung ; || – etwa
47 neuen
mit dem alten Kriterium. || Kriteriums mit dem alten. |
⇒1 Dieser Satz ist || Diese
Sätze sind in gewissem Sinne analog dem
gebildet:
diese wiegen soviel wie jene. Er sieht es so
an: in den || Wir sehen es
so: in den Ziffern allein liegt es noch nicht,
daß die einen gleichviele sind wie die andern.
Gleichviele zu sein ist ein Drittes. || daß die eine Klasse gleichviel Glieder hat wie die
andre. |
Wie vergleicht sich: a) “250 und 3220 Erbsen sind soviele, wie 3470 Erbsen” b) “250 und 3220 Erbsen wiegen gleichviel, wie 3470 Erbsen” c) “250 und 3220 Erbsen haben das gleiche Volumen, wie 3470 Erbsen” ? 48 |
15.11.
Man möchte (vielleicht)
sagen: a ist ein Satz der Mathematik, b aber
ein Erfahrungssatz. – Aber kann nicht a
auch als Erfahrungssatz verstanden
werden?? – Und
kann c nicht leicht als mathematischer &
als Erfahrungssatz gedeutet
werden? Warum dann nicht b als mathematischer
Satz? |
Warum
soll man sich nicht die Arithmetik eines Volkes || gewisser Menschen als mit den Vorgängen
des Wägens untrennbar verbunden denken || als untrennbar verbunden mit den Vorgängen
des Wägens denken || als
untrennbar von den Vorgängen des Wägens denken?
49 Wie es eine
Mathematik des Zeichnens & Messens mit Zirkel &
Lineal gibt – warum nicht (so)
eine Mathematik des Wägens? |
Und wenn die Mathematik a priori
ist, || ; warum soll es nicht der Satz b
sein? wenn wir nur nicht die Erfahrung als
Zeugin für oder gegen || wider ihn anrufen. – |
Betrachte diesen
Satz: “Müssen sich die
n + m
& die 𝓁 Würfel || Kugeln das
Gleichgewicht halten
–– || ‒ ‒
nun, es sind vor
allem gleich viele.”
(Wenn, z.B., die Zahl der Seiten || Seitenzahl eines gezeichneten regelmäßigen Vielecks n + m ist || wäre & die Zahl 𝓁 die Zahl der Seiten eines solchen Vielecks, so || ein anderes hätte die Zahl 𝓁, so || und eines andern 𝓁, so haben || hätten beide (die) gleiche Gestalt.) (Wenn, z.B., die n + m Kugeln in einem Kreis in gleichen Abständen Und sie halten sich auch das Gleichgewicht, in einer idealen Welt. |
16.11.
Wir hätten (dann) eine Statik a priori in der
nicht gesagt wird wie die Kanten der Würfel zu messen sind, noch,
wie festzustellen ist, daß sie aus dem gleichen Material
bestehen – || ; so wie in der
Euklidischen Geometrie nicht
gesagt wird wie wir die Längengleichheit zweier Strecken
feststellen. Was ist aber der Beweis eines Satzes dieser rein mathematischen Statik? Natürlich nicht das Experiment des Wägens. 52 |
Ist es nun mit dem
Zählen wie mit dem Wägen? |
“Ein Beweis soll nicht nur zeigen,
daß es so ist, sondern daß es so sein
muß.” |
Unter welchen Umständen zeigt dies das Zählen?
|
17.11.
{ Man möchte sagen:
¤wenn die Ziffern & das Gezählte ein
einprägsames Bild ergeben. Wenn dieses
Bild nun statt jedes neuen Zählens dieser Menge gebraucht
wird. – Aber hier scheinen wir nur von
räumlichen Bilden zu reden: wenn wir aber eine
Reihe von Wörtern auswendig wissen, & nun zwei
solche Reihen einander eins zu eins zuordnen 53 indem wir
z.B. sagen
“der erste, Montag; der zweite, Dienstag; der dritte, || der erste – Montag; der zweite – Dienstag; der dritte – Mittwoch; etc.” – können wir so nicht beweisen daß vom Montag zum Donnerstag vier Tage sind? Es fragt sich eben: Was nennen wir ein “einprägsames Bild”. Was ist das Kriterium davon, daß wir es uns eingeprägt haben? Oder ist die Antwort hierauf: “Daß wir es als Paradigma der Identität benützen!”? (In dieser ganzen Untersuchung fühle ich mich nicht wohl: mir scheint, ich bin dogmatisch.) } |
Wir machen nicht
Versuche || Experimente, an einem Satz, oder
Beweis, um seine Eigenschaften festzustellen. |
Wie reproduzieren wir, kopieren
54 wir einen
Beweis? – Nicht, z.B.,
indem wir Messungen an ihm anstellen. |
Wie wenn ein Beweis so
ungeheuer lang wäre, daß man ihn unmöglich
übersehen könnte – ¤
oder sehen wir einen anderen Fall an: Man habe als
Paradigma der Zahl die wir 1000 nennen eine lange Reihe von
Strichen in einen harten Fels gegraben. Diese Reihe nennen
wir die Ur-Tausend & um zu erfahren, ob
tausend Menschen auf einem Platz sind ziehen wir Striche,
oder spannen Schnüre (1 → 1
Zuordnung). Hier hat nun das Zahlzeichen für 1000 nicht die Identität einer Gestalt sondern eines physikalischen Gegenstandes. Wir können uns ähnlich 55 eine Ur-Hundert
etc. denken & einen Beweis
daß 10 × 100 = 1000 ist, den wir nicht
übersehen könnten. |
Die Ziffer für 1000 im
1 + 1 + 1 + 1 … System kann nicht durch¤ ihre Gestalt erkannt werden. |
18.11.
Es wird mir schwer, hier gerecht zu sein. Es ist schwer in der Philosophie || in der
Philosophie schwer, nicht ungerecht zu sein, wenn man den
gerechten Ausweg nicht sieht. |
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘|❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
Ist diese Figur ein Beweis für 27 + 16 = 43 – || : weil man zu
“27” kommt, wenn man die linken Striche || Striche der
linken Seite zählt, zu “16” || zum Wort “16” auf der 56 rechten Seite, &
zu “43” wenn man die ganze Reihe
zählt?Worin liegt hier das Seltsame , || – wenn man die Figur den Beweis dieses Satzes nennt || wir die Figur den Beweis dieses Satzes nennen? Doch darin || in der Art, wie dieser Beweis zu reproduzieren ist, oder wiederzuerkennen ist, || ; darin, daß er keine charakteristische visuelle Gestalt hat. – |
∣ Die meisten
Leute verstehen nichts, & wundern sich daher über
nichts. || & können sich daher
auch über nichts wundern.
[Siehe || nicht über
Cantor,
Gödel,
etc.] ∣ |
Wenn nun jener Beweis auch keine visuelle Gestalt
hat, so kann ich ihn dennoch genau kopieren(,
reproduzieren) – ist die Figur also nicht
doch der || ein Beweis? Ich 57 könnte
ihn etwa in ein Stahlstück
einritzen & von Hand zu Hand gehen lassen. Ich
würde also Einem sagen: “Hier hast Du den
Beweis, daß 27 + 16 = 43 ist.” – – Nun, kann man nicht doch sagen: er beweise den
Satz mit Hilfe der Figur? Doch; aber die Figur ist nicht
der Beweis. |
Das aber
würde man doch einen Beweis von 250 + 3220 = 3470
nennen: man zählt von || über 250 hinaus & fängt zugleich
auch bei 1 zu zählen an & ordnet die beiden
Zählungen einander zu:
251 … 1 252 … 2 253 … 3 etc. 3470 …3220 57 Man könnte das einen Beweis nennen, der durch 3220
Stufen fortschreitet. Das ist doch ein Beweis –
& kann man ihn übersichtlich nennen??
|
Die Zeichenbildung nach einem
gewissen System.
(∃x) φx (∃n, m) φn.φm (∃a, r, v) φa.φr.φv – – – – – – – – – – Worin besteht es, das System zu sehen? Etwa darin auf den Befehl die Reihe fortzusetzen so & so zu reagieren. Und durch eine bestimmte Definition kann ich wohl ein System andeuten, indem ich gerade diese Zeichen zusammenfasse, aber ich Wie ich ein System durch die Schreibweise x y z u v w r s t(Ƒ) zum Ausdruck bringe, so auch durch eine Definition || Definitionen. Aber die bloße Abkürzung des Zeichens zeigt mir nicht wie nun in jedem Fall diese Definition anzuwenden ist. |
“Wie kannst Du sagen, daß
Russell den Satz
“250 + 3220 = ¤3470”
nicht beweisen kann?!” Denk Dir einfach, daß man die Definitionen 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, etc. nicht darum auswendig, weiß, weil sie einem System folgen; – man weiß sie eben auswendig. 59 Was ist die Erfindung des
Dezimalsystems eigentlich? Die Erfindung eines Systems
von Kürzungen – – aber was ist das System der
Kürzungen || Abkürzungen – – aber was ist das
System der Abkürzungen ? ist es
bloß das System der neuen Zeichen, oder
auch ein System ihrer Anwendungen als || zur
Abkürzung? Und ist es das letztere || zweite,
dann
ist es ja eine neue Anschauungsart
des alten Zeichensystems. |
Können wir vom 1 + 1 + 1 … System kommend, durch
bloße Abkürzungen der Schreibweise im Dezimalsystem rechnen
lernen? |
19.11.
“Wiederhole diesen Vorgang, diese Operation, die wir
… nennen wollen!” – Weiß er, was
er zu 60 wiederholen hat? |
20.11.
Eine Definition führt den Ausdruck eines neuen
Systems ein. |
Man
könnte freilich nach jedem mathematischen Satz sagen
“per definitionem”. Und so
wäre, wenn man z.B. auf || nach Skolems Art
vorgeht, 250 + 3220 = 3470 einfach eine abgeleitete
Definition. |
Und
es ist natürlich auch wahr – “es sind
250 + 3220 Leute in diesem Raum” heißt
genau dasselbe wie: “es sind 3470 Leute in
diesem Raum”. In dem mathematischen Satz liegt kein Naturgesetz. Ist der eine Satz wahr, so ist es damit auch schon der zweite, 61 & umgekehrt!
Sodaß, wer durch Versuch den einen festgestellt hat eben damit
auch schon den zweiten festgestellt hat, &
umgekehrt. Und doch deutet der eine auf eine andere
Art der Verifikation, als der andere || andre. Es ist ganz richtig zu
sagen: “In dieser Kiste sind
23 + 27 Äpfel”, wenn
man einfach sagen will es sind
50 Äpfel darin || in ihr || , es seien in ihr 50
Äpfel – & doch wird es niemand sagen, der
nicht einen bestimmten Zweck mit dieser Teilung
verbindet. |
Angenommen ich habe nach Russell einen Satz der Form
(∃xyz …) (∃uvw …) ⊃ (∃abc …) bewiesen – & nun ‘mache ich ihn übersichtlich’, indem 62 ich über die
Variablen Zeichen x1, x2,
x3 … schreibe – soll ich nun sagen, ich habe
nach Russell einen
arithmetischen Satz im Dezimalsystem bewiesen? |
22.11.
Aber jedem Beweis in Dezimalsystem entspricht
doch einer im Russellschen
System! – Woher wissen wir, daß es so
ist? || sich so verhält? Lassen wir
die Intuition beiseite. – Aber man kann es
beweisen. – |
Wenn man eine Zahl im Dezimalsystem aus 1, 2, 3 ... 9, 0 definiert & die
Zeichen 0,1 …9 aus 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, ...,
kann man dann durch die rekursive
Erklärung des Dezimalsystems hindurch von
irgendeiner Zahl zu einem Zeichen der Form
1 + 1 + 1 … gelangen? 63 |
Wie, wenn
Einer sagte: Die R.sche Arithmetik stimmt
mit der gewöhnlichen bis zu Zahlen unter 1010
überein; dann aber weicht sie von ihr ab. Und nun führt er uns einen
R-Beweis dafür vor daß
1010 + 1 = 1010 ist. Warum soll
ich nun einem solchen Beweis nicht trauen? Wie wird man
mich davon überzeugen, daß ich mich im
R-Beweis verrechnet haben muß?
Brauche ich denn aber einen Beweis aus einem anderen System, um mich zu überzeugen, ob ich mich in dem ersten Beweis verrechnet habe? Genügt es nicht, daß ich diesen Beweis übersehbar anschreibe? |
23.11.
Liegt denn nicht meine 64 ganze Schwierigkeit darin, einzusehen, wie man, ohne aus
R's Logik || logischem
Kalkül herauszutreten zum Begriff der Menge
von || der Variablen im || in dem
Ausdruck “(∃ x,y,z … || etc.)” kommen kann,
dort wo dieses Zeichen || dieser Ausdruck nicht
übersehbar || unübersehbar
ist? – Nun kann man ihn aber doch übersehbar machen indem man schreibt: (∃x1,x2,x3, etc.). Und dennoch verstehe ich etwas nicht: man hat doch nun das Kriterium für die Identität so eines Ausdrucks geändert! Ich sehe jetzt auf andere Weise, daß die Menge der Zeichen in zwei solchen Ausdrücken die selbe ist. |
Ich bin eben versucht zu
sagen: R's Beweis kann wohl Stufe für
Stufe weitergehen, aber am Schluß wisse man nicht
recht was man bewiesen habe || hat –
wenigstens nicht nach den alten Kriterien; indem || . Indem ich den
R-schen Beweis übersichtlich mache,
beweise || bewiese ich etwas
über diesen || den Beweis. |
Ich will sagen: man brauche die
R'sche Rechentechnik 66 gar nicht
anzuerkennen, || – & könne mit
einer andern (Rechentechnik) beweisen, daß es einen
R'schen Beweis des Satzes geben
muß || müsse. Dann aber
ruht der Satz freilich nicht mehr auf dem R-Beweis. Oder: Daß man sich zu jedem bewiesenen Satz der Form m + n = l einen R'schen Beweis vorstellen kann, zeigt nicht daß der Satz auf diesem Beweis || dieser Rechnung ruht. Denn der Fall ist denkbar, daß man den R-Beweis eines Satzes vom R-Beweis eines andern Satzes gar nicht unterscheiden kann & nur darum sagt sie seien verschieden, weil sie die Übersetzungen zweier erkennbar verschiedener 67 Beweise sind. |
Oder: Etwas hört auf Beweis zu sein, wenn es
aufhört Paradigma zu sein, z.B.
R.'s logischer Kalkül; & anderseits
ist jeder andere Kalkül annehmbar,
der uns als Paradigma dient. |
24.11.
Man könnte doch fragen: Was ist das
Eigentümliche eines mathematischen Problems
überhaupt? Wenn ich z.B.
frage: “gibt es einen Weg diese
Figur nachzufahren ohne
zweimal die gleiche Strecke zu passieren?” so
würde jeder sagen: das ist ein mathematisches68 Problem, das
muß sich mathematisch entscheiden
lassen. || ist mathematisch zu
entscheiden. Ebenso, wenn man
die Frage stellt: “Kann man diese Rechtecke rot & grün anstreichen, so || die Rechtecke dieser Figur mit roter & grüner Farbe so
anstreichen, daß jedes Rechteck entweder ganz rot
oder ganz grün ist & daß ein jedes sich von
jedem angrenzenden abhebt?” Was ist charakteristisch mathematisch an diesen Problemen? Nun, man könnte sagen, || : daß wir für sie eine bestimmte Art der Beantwortung || eine bestimmte Art der Beantwortung für sie gelten lassen || annehmen. Z.B.: Wenn es mir gelungen ist in ein jedes der Rechtecke solchermaßen entweder den Buchstaben ‘x’ oder ‘y’ zu schreiben, daß zwei angrenzende Rechtecke nie den gleichen Buchstaben enthalten, so nehme ich das als positive Beantwortung 69 der zweiten Frage an. Nun nehmen wir an die Figur von der wir sprachen sei nicht als diese bestimmte Gestalt definiert gewesen sondern als die Figur in einem gewissen Zeitraum die auf dieser Tafel || Buchseite zu sehen ist & nehmen wir an diese Figur flimmerte & wir fragten nun: “läßt sie sich so & so nachziehen?” – Dann würden wir dies keine mathematische Frage mehr nennen. || würden wir dies eine mathematische Frage nennen? Wie weiß ich, noch ehe || eh' ich einen Begriff von der Art der Lösung habe || davon habe wie die Frage || sie zu lösen ist, schon, || : daß dies eine mathematische Frage ist? || Wie weiß ich noch eh' ich einen Begriff vom Vorgang || von der Methode ihrer || der Lösung habe schon, daß dies eine mathematische Frage ist? || Wie weiß ich, noch ehe ich einen Begriff von der 70 Methode, sie || die
Frage zu lösen, habe, schon: daß
dies eine mathematische Frage
ist? |
“Das ist eine mathematische
Frage”, || – heißt:
Das || das ist ein für
allemal durch ein Bild zu entscheiden. |
Daß der
R'sche Beweis von
n + m = l
alles mögliche Überflüssige enthält ist wohl klar,
aber das zu zeigen genügt mir noch nicht.
Nun, wenn er auch
(logisch) || einigermaßen ausgeschmückt ist,
macht ihn das noch nicht falsch.
Man braucht dies um &
auf nicht, aber es schadet
auch nichts. || Man
braucht diese Deutung nicht, aber sie
schadet auch nichts. Wenn wir
sie aber weglassen, so haben wir vorerst eine
Konstruktion, aus || mittels || ausgehend von zwei
Klammerausdrücken 71 || Reihen von Variablen eine
dritte Reihe zu bilden, die so viele Variable
enthält, als beide ersten zusammen. Analog etwa dieser
Konstruktion:
( a b c d ) ( r s t ) ( α β γ δ ε ξ η )(Ƒ)
Genügt nun dies, die Addition der Kardinalzahlen zu
erklären? Ist es richtig, daß unser ganzer
Additionskalkül mit Kardinalzahlen wirklich auf so
einem eins-zu-eins Abstreichen || Kollationieren
beruht, || – sodaß dieses im
Hintergrund jeder solchen
Rechnung || Additionsrechnung || jeder solchen Rechnung || jeder Addition
steht || stünde? |
25.11.
Es ist eine Tatsache, daß verschiedene Methoden
der Zählung so gut wie immer
übereinstimmen. |
Wenn ich die Felder eines Schachbretts zähle, komme
72 ich so gut wie immer zu
‘64’. |
Wenn ich zwei Reihen von Wörtern auswendig
weiß, z.B., Zahlwörter & das
Alphabet & ich ordne sie nun einander 1 → 1
zu a 1
b 2
c
3
etc. so komme ich bei ‘z’ so gut wie immer zu ‘26’. |
Es gibt (so) etwas wie:
eine || Eine Reihe von
Wörtern auswendig können. Wann sagt man ich wisse
das Gedicht … auswendig? Die Kriterien sind
ziemlich kompliziert.
Übereinstimmung mit dem || einem
gedruckten Texte ist eines. Was müßte
geschehen, das mich zweifeln machte, daß ich wirklich das
ABC auswendig 73 weiß? Es ist schwer
vorzustellen.
Aber ich verwende nun das2 Aufsagen, oder Anschreiben, einer Wortfolge || Zeichenfolge aus dem Gedächtnis || Anschreiben aus dem Gedächtnis, einer Wortfolge || Zeichenfolge als Kriterium der Zahlengleichheit, (Mengengleichheit). [I'm much too slick & all I produce is pretty slick. Es hat nicht genug Falten im Gesicht sondern ist oberflächlich & von glatter Stirn. Zugleich macht es fälschlich den Eindruck der Tiefe, denn es ist von Einem geschrieben der sich so gern tief wüßte. Das Gesicht ist zu faltenlos; aber Falten kommen vom Kummer, nicht von der Bequemlichkeit. Wer auf dem Kummer schwimmen will, um ja nie unterzutauchen, wie sollte der Tiefe kennen. Mein ganzes Leben (inneres & äußeres) ist darauf angelegt, auf sicherem || im sicheren Boot auf dem Meere, auf der Oberfläche, zu schwimmen. Ich will doch gar nicht zahlen; wie sollte ich erhalten?] |
Soll ich nun sagen: Das
macht ja alles nichts – die Logik bleibt doch der
Grundkalkül nur wird freilich, ob ich zweimal dieselbe Formel vor
mir habe, von Fall zu Fall verschieden || anders
festgestellt || aufgefunden || herausgebracht. |
26.11.
Stellen wir uns vor, daß wir nie andere Zeichenfolgen als die
von der Form x1, x2, x3 …
x10 x11 … gesehen hätten.
Unsere logischen Beweise bezögen sich dann ganz
natürlich eben auf diese Folgen.
Nehmen wir an, ich bilde nun den Begriff der ‘Addition von 10’ mittels des Begriffs der ‘Addition von 1’. Und dann, mittels der Addition 75 von 10 erst den der 100. – |
Ist es die Logik,
die mich zwingt, – – – |
Es ist nicht die Logik, die mich zwingt –
möchte ich sagen – einen Satz von der Form (∃ ) (∃ ) ⊃ (∃ )
anzuerkennen, wenn in den ersten beiden Klammern je eine Million
Variable ist & in der dritten zwei
Millionen. Ich will sagen: die Logik
zwänge mich in diesem Falle gar nicht irgend einen Satz
anzuerkennen. Etwas anderes zwingt mich so einen
Satz als der Logik gemäß anzuerkennen. |
27.11.
Die Logik zwingt mich nur, sofern mich der logische Kalkül
76 zwingt. |
Aber es ist doch dem Kalkül mit 1000000
wesentlich, daß sich diese Zahl muß in eine Summe
1 + 1 + 1 … auflösen lassen! Und um sicher
zu sein, daß wir die richtige Anzahl von Einsern vor uns
haben, || Summe vor uns haben, können wir ja die
Einser numerieren.
‘100,000.000,000’, die ja auch das Zahlzeichen übersehbar macht. Und ich kann mir doch denken, jemand hätte große Summen Geldes in Pfennigen in ein Buch eingetragen wo sie etwa als 100-stellige Zahlen ständen || erschienen, mit denen ich nun zu rechnen hätte. Ich finge nun damit an, sie mir in eine übersehbare Notation zu übersetzen, würde sie aber doch ‘Zahlzeichen’ nennen, sie als Dokumente von 77 Zahlen behandeln.
Ja ich würde es sogar als Dokument einer Zahl
ansehen, wenn mir einer sagte N hat soviele Schillinge, als
Erbsen in dieses Faß gehen.
Anders wieder:
“Er hat soviele Schillinge
als das Hohelied Buchstaben hat”. |
28.11.
Versuche nicht, recht zu behalten! Es ist
fruchtbarer, zu trachten, das eigne Unrecht zu beweisen.
Ich bin jetzt eigentlich sicher, ich habe mich geirrt.
Aber der Platz meines Irrtums & seine Reichweite weiß
ich nicht. |
29.11.
Die Notation ‘x1, x2,
x3 …’ macht den Ausdruck
‘(∃ …)’ zur Gestalt
& damit die R-bewiesene
Tautologie. |
Laß
mich so fragen: Ist 78 es nicht möglich || denkbar, daß die
1 → 1 Zuordnung im
R.schen Beweis nicht verläßlich
vollzogen werden kann, daß, z.B.,
wenn wir sie zum Addieren benützen wollen,
regelmäßig ein der gewöhnlichen Addition
widersprechendes Resultat herauskommt || sich ein dem
gewöhnlichen Resultat widersprechendes ergibt, &
daß wir dies || das
mit
der || einer Ermüdung erklären || auf eine
Ermüdung schieben, die , ohne daß
wir's wissen || merken uns gewisse
Schritte überspringen läßt? Und könnten
wir dann nicht sagen: – wenn wir nur nicht
ermüdeten, würde sich das &
das || dieses || das
gleiche Resultat ergeben –?
Darum, weil es die Logik
fordert? Fordert sie es denn?
Kontrollieren wir (hier) || Berichtigen wir hier nicht den logischen
Kalkül || die Logik durch einen || mit einem
anderen Kalkül? 79 |
Nehmen
wir an wir nähmen immer 100 Schritte des logischen
Kalküls zusammen &
erhielten nun verläßliche Resultate,
während wir sie nicht erhalten, wenn wir alle Schritte
auszuführen versuchen || trachten || einzeln ausführen , – – man
möchte sagen: die Rechnung basiert ja doch auf
Einerschritten, da ein Hunderterschritt durch
Einerschritte definiert
ist. – Die Definition sagt doch: einen
Hunderterschritt machen sei dasselbe wie
… ; || , || –
– & doch machen wir den Hunderterschritt &
nicht die hundert Einerschritte.
Beim abgekürzten Rechnen folge ich doch einer Regel – – & wie wurde diese Regel abgeleitet || begründet? – Wie, wenn der gekürzte & der ungekürzte Beweis verschiedene Resultate ergeben || haben? 80 |
30.11.
Was ich sage kommt doch darauf
hinaus, || : daß ich,
z.B., ‘10’ als
‘1 + 1 + 1 + 1 …’ definieren kann
& ‘100 × 2’ als
‘2 + 2 + 2 …’, aber darum nicht notwendig
‘100 × 10’ als
‘10 + 10 + 10 …’ oder gar als
‘1 + 1 + 1 + 1 …’. |
Ich kann mich davon, daß
100 × 100 = 10000 ist durch ein
‘abgekürztes’ Verfahren
überzeugen. Warum soll ich dann nicht dieses
als das ursprüngliche || eigentliche
Beweisverfahren betrachten? |
Ein abgekürztes Verfahren lehrt mich, was bei
dem unabgekürzten herauskommen soll.
(Statt daß es umgekehrt wäre.) 81 |
1.12.
“Die Rechnung basiert ja doch auf den
Einerschritten …” Ja; aber auf andre
Weise. Der Beweisvorgang ist eben ein anderer.
|
Ich könnte
z.B. sagen: 10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; und 100 gleichermaßen || gleichermaßen ist 100 || gleichermaßen 100 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10. Habe ich nicht die Erklärung von 100 auf die sukzessive Addition von 1 zu 1 || 1 basiert? Aber in der selben Weise, als hätte ich 100 Einser addiert? Braucht es in meiner Notation überhaupt ein Zeichen || Summenzeichen der Form – ‘1 + 1 + 1 …’ mit 100 Gliedern || Summanden geben? |
Die Gefahr scheint hier zu sein,
das abgekürzte || gekürzte Verfahren als einen
blassen Schatten des 82 ungekürzten anzusehen. Die Regel des
Zählens ist nicht das Zählen. |
2.12.
Worin besteht es 100 Schritte des Kalküls
‘zusammenzunehmen’? Doch darin, daß
man nicht die Einerschritte sondern
einen andern Schritt als maßgebend ansieht || annimmt. |
Wie
weiß ich, daß beim Abdrucken einer Seite eines
mathematischen Buches immer || einer Buchseite
immer wieder die gleiche Anzahl von Strichen auf dem
Papier erzeugt wird? Hier scheinen
z.B. gewisse Fehler möglich, andere ganz
undenkbar. (Man kann es sich
z.B. leicht
erklären, daß || wenn beim Abdrucken
der Formel || der Zeichen von
‘x² + 2xy + y²’
statt des
‘y2’
nur ‘y’ erscheint; aber nicht, daß
83 statt dessen
‘(y + 1)3’
erscheint. Und wäre das
unmöglich? Wenn also beim
Abdrucken dieselben Fehler vorkämen wie
sie || die etwa ein dummer Schüler machen
würde.) |
Beim
gewöhnlichen Addieren von
Kardinalzahlen || Anzahlen || Zahlen || ganzen Zahlen im Dezimalsystem
machen wir Einerschritte, Zehnerschritte,
etc.. Kann man sagen,
das Verfahren basiere auf dem, nur
Einerschritte zu machen? Und man könnte es so
begründen: Das Resultat der Addition schaut
allerdings so aus: || –
‘7583’, aber die Erklärung
dieses Zeichens, seine Bedeutung, die endlich auch in seiner
Anwendung zum Ausdruck kommen muß ist doch von der Art:
1 + 1 + 1 + 1 + 1
u.s.f.. Aber 84 ist dem so? Muß
dieses Zeichen || das Zahlzeichen so erklärt
werden oder diese Erklärung implizite in
seiner Anwendung zum Ausdruck kommen? Ich glaube, wenn
wir nachdenken zeigt sich's, es ist nicht der Fall.
|
Das Rechnen mit Kurven oder
mit dem Rechenschieber. Freilich wenn wir die eine Art des Rechnens mit der anderen kontrollieren, kommt normalerweise dasselbe heraus. Wenn es nun aber mehrere Arten gibt: || – wer sagt, wenn sie nicht übereinstimmen, welches die eigentliche, d.h. aus dem Wesen der Zahl stammende, Rechnungsweise ist? || die eigentliche, an der Quelle der Mathematik sitzende, Rechnungsweise ist? 84 |
3.12.
Sich seiner Handlungen schämen ist ein Teil des
menschlichen Lebens – & ich will dem entgehen, ich
will es vermeiden. Das heißt: ich will das Los
der andern Menschen nicht teilen. Das ist, wie wenn ich
mich für zu gut hielte mit anderen Hunger oder
Mühe zu teilen; als wollte ich in einem Palast leben
(& fände dies mir ganz
angemessen) während die Anderen in gewöhnlichen
Häusern & Hütten leben. |
‘Der || Ein Beweis muß übersehbar || überblickbar sein’ – heißt
das nicht einfach: das Bild eines Beweises muß
als Beweis funktionieren || fungieren können? || das
Bild des Beweises ist﹖ der
Beweis? || das Bild eines
Beweises ist abermals der Beweis? 85 |
Wie, wenn man sagte: man
muß sich den Beweis merken können? |
4.12.
Wo ein Zweifel darüber auftauchen
kann, ob dies wirklich das Bild
dieses Beweises ist, wo wir bereit sind die Identität
eines Beweises anzuzweifeln, dort hat die Ableitung
ihre || der Beweis seine || unser Vorgehen
seine Beweiskraft verloren. Denn
der Beweis dient uns ja als Maß. |
Könnte man sagen: Zu einem Beweise
gehört ein von uns anerkanntes || festgesetztes Kriterium der richtigen
Reproduktion || Richtigkeit der Reproduktion des
Beweises? |
D.h.,
z.B. || Das heißt
z.B., (auf den gewöhnlichen
Fall angewandt): wir
müssen sicher sein (können), || , es
muß uns als sicher feststehen,
daß wir beim
Beweisen (z.B.) kein
Zeichen übersehen || ausgelassen
haben. Daß uns kein Teufelchen betrogen haben kann,
indem es Zeichen ohne 86 unserm Wissen verschwinden ließ, hinzusetzte,
etc. |
[Bemerkung über 12 × 12 = 144]
|
Man könnte
sagen || sich so ausdrücken:
Wenn || Wo man sagen kann:
“auch wenn uns ein Dämon betrogen hätte, so
wäre doch alles in Ordnung”, dort hat der Schabernack,
den er uns antun wollte, (eben)
seinen Zweck verfehlt. |
“Der
Beweis muß übersehbar || überblickbar sein” –
heißt: wir müssen bereit sein ihn
als || zur (unbedingten) Richtschnur
zu
nehmen || gebrauchen﹖,
dafür, – – – 4.12.
– – – dafür || für das, was
als gleich & ungleich zu gelten hat,
etc.. |
Ein mathematischer Beweis, könnte man sagen,
hilft immer, einen Begriff zu definieren. || bestimmen. 87 |
Der Beweis
muß unser Vorbild, unser Bild, davon sein, ⌇ wie
dieser Ausdruck richtig anzuwenden ist⌇. |
5.12.
Der Beweis, könnte man sagen, zeigt nicht
bloß || einfach, daß es so ist,
sondern, || : wie es so
ist. Er zeigt, wie 13 + 14 27 ergeben.
|
“Der Beweis muß
übersehbar sein” –
heißt, || : wir müssen bereit sein,
ihn als Richtschnur unseres
[(nicht-mathematischen)]
Urteilens zu nehmen || gebrauchen. ||
ihn als Richtschnur zu gebrauchen || nehmen dafür, wie wir eine Lage
beurteilen. |
Wenn ich sage:
“der Beweis ist ein Bild” – so kann man sich
ihn auch als kinematographisches Bild denken.
|
88 |
Den Beweis macht man || machen wir ein für
alle Mal || mal. || allemal. |
6.12.
Kann ich sagen: “Der Beweis ist ein
Bild davon, wie es aussieht wenn 200 & 200 400
geben”? Man könnte etwa sagen: es
gibt auch ein Bild davon wie 200 & 200 399 ergeben
– es verschwindet nämlich dabei eine Einheit || man sieht nämlich dabei eine Einheit
verschwinden. Oder: “Wenn 200 & 200 400 ergibt || ergeben, so geht das so zu. –” |
“Dies Bild macht uns sagen, daß
200 + 200 = 400 sind.” Es ist unser Vorbild für die Addition von 200 & 200. |
Dieses Bild zeigt
uns nicht, daß 200 & 200 400 ergeben
, || – sondern 89 wie sie es
‘ergeben’. |
Kann man sagen: “So schaut es aus, wenn
200 & 200 400 ergeben”?
“Ergeben” muß doch hier zeitlich
gemeint sein! ¥ |
Schau den geschriebenen Beweis als eine Zeichnung
an. [mit dem vorhergehenden Satz nur in loser Verbindung] |
Wie, wenn ich sagte: “So kann es ausschauen,
wenn man 200 Äpfel & 200
Äpfel zusammengibt.” |
Oder: “So kann es
ausschauen, wenn man 200 & 200 Äpfel so
zusammengibt, daß sie 400 ergeben.” 90 |
7.12.
… wir müssen
bereit sein ihn als Richtschnur zu nehmen für die || zur Beurteilung einer Situation || Lage; wir
müssen, z.B., auf
Grund dieses Bildes bereit sein, zu sagen, daß
nach diesen & diesen Teilungen & Abhebungen soviel
£ || Pfunde
zurückbleiben
müssen, || : wenn keine, auf uns unbekannte
Weise, dazu || hinzu oder abhanden gekommen
sind. |
Der Beweis muß natürlich vorbildlich
sein. |
8.12.
Der Beweis(, (das Beweisbild))
zeigt uns das Resultat eines Vorgangs
(der Konstruktion); & wir
sind überzeugt || – wir
nehmen an – || wir sind
bedingungslos bereit anzunehmen, daß
ein so geregeltes Vorgehen
(immer) zu diesem Bild
führe || führt. 91 |
(Der Beweis führt uns ein
synthetisches
Faktum vor.) |
‘Ja, – wenn ich nach diesen
Vorschriften vorgehe, muß ich immer so gehen (wie dies
Bild es zeigt), muß immer das
herauskommen.’ |
9.12.
Mit dem Satz, der Beweis sei ein Vorbild, –
dürfen wir natürlich nichts
neues || Neues sagen.
|
Der Beweis muß ein Vorgang
sein, von dem ich sage: Ja, so muß es sein; das muß
herauskommen, wenn ich mich nach dieser Regel
richte. || nach dieser Regel vorgehe. |
Der Beweis, könnte man sagen, muß
ursprünglich eine Art Experiment || Versuch sein
– wird aber 92 dann einfach als Bild genommen. |
Wenn ich 200 Äpfel & 200 Äpfel
zusammenschütte & zähle, & es es kommt 400
heraus, || Kartoffeln & 200 Kartoffeln
zusammenschütte & zähle, & es ergibt sich
daß dann 400 Kartoffeln da sind, so ist das kein
Beweis, daß 200 + 200 = 400
ist || für 200 + 200 = 400. D.h., wir würden dieses
Faktum nicht als Paradigma zur Beurteilung aller ähnlichen
Situationen verwenden wollen. |
Zu sagen: “diese 200 Äpfel
& diese 200 Äpfel geben 400”– sagt:
Wenn man sie zusammenschüttet, kommt keiner weg,
noch dazu, sie verhalten sich normal.
|
‘Das ist nicht nur
einmal || ein
Mal geschehen, sondern
(es) muß sich notwendig
wiederholen.’ 93 |
Wir nehmen
dies Bild zum || als Vorbild einer || der
1 → 1 Zuordnung von 200 + 200 Gegenständen
und 400 Gegenständen. |
Diese Transformationen werden von
einem einmaligen Vorgang zum
Begriff || Ereignis zur
Begriffsbestimmung || zur Bestimmung
eines Begriffs. |
11.12.
‘Das ist das Vorbild der Addition von 200 &
200’– nicht: ‘ Das ist das Vorbild
davon, daß 200 & 200 addiert 400
ergeben’. Der Vorgang des Addierens
ergab allerdings 400, aber dies Resultat nehmen
wir nun zum Kriterium der richtigen Addition – oder
einfach: der Addition – dieser Zahlen. |
Der
‘bewiesene Satz’
drückt aus, was aus dem Beweisbild abzulesen ist.
96 |
Der Beweis ist uns ein Paradigma || unser
Vorbild des richtigen Zusammenzählens von 200
Äpfeln & 200 Äpfeln:
D.h., er bestimmt einen neuen
Begriff: ‘das Zusammenzählen von 200
& 200 Gegenständen’. Oder man
könnte auch sagen: “ein neues Kriterium
dafür, daß nichts weggekommen, oder dazugekommen
ist”. |
←
Der Beweis muß unser
Vorbild, unser Bild, davon sein, wie diese Operationen ein
Ergebnis haben. |
Der Beweis definiert das
‘richtige Zusammenzählen’. |
Der Beweis ist unser Vorbild eines
bestimmten Ergebens, || ;– welches als
Vergleichsobjekt
97 (Maßstab) für
wirkliche Veränderungen || Standard zur
Beschreibung von (wirklichen)
Vorgängen dient. |
12.12.
Das ist ein Bild, welches zustande kommt, wenn wir diesen Regeln
folgen. Und || – und nun
sagen wir: es || Es
muß zustande kommen. |
Der Beweis ist das Vorbild eines neuen
Begriffes. |
Wie aber,
wenn ein logischer Beweis von einem Satz zum andern
Satz || von Satz zu Satz
fortschreitet? Nun, der Beweis des Satzes beweist natürlich immer seine Beweisbarkeit (Konstruierbarkeit) – aber wird er nicht auch anders benützt? Liegt hier nicht das Interesse, das diese Transformationen für uns haben, wo anders, als im früher betrachteten Fall. 98 |
Wenn
ich z.B. aus (x)fx f(a)
folgere
–– –– –– –– |
– – – – : wir
müssen bereit sein, ihn als Richtschnur zu nehmen dafür, wie
ein Urteil || Satz zu verifizieren ist. |
13.12.
Beweis verglichen einem
jigsaw puzzle. –
Müssen die Stücke, wenn sie sich nicht
ändern, immer wieder zu dem gleichen
Bild || der gleichen Figur || dem gleichen Rechteck
zusammengelegt || zusammengesetzt werden können? |
15.12.
Gestern nicht gearbeitet. Scheine müde zu
sein, abgestumpft! |
17.12.
Ich erkenne doch aber auch ein
Beweisverfahren als äquivalent einem andern an! Ich
sage: “man kann die Teilbarkeit 99 auch so
beweisen”. |
Der Beweis überzeugt uns von etwas – – aber
nicht der
Gemütszustand der Überzeugung
interessiert || die Gemütsbewegung des
Überzeugtseins interessiert || die
Gemütsbewegungen des Überzeugtseins
interessieren uns jetzt, sondern die
Handlungen || Anwendungen die diese
Überzeugtheit || Überzeugung
belegen. || aber nicht der Gemütszustand des
Überzeugtseins interessiert uns – sondern die
Anwendungen die diese || die
Überzeugung
belegen. |
Daher läßt uns die Aussage, der Beweis überzeuge uns von der
Wahrheit dieses Satzes, kalt, da dieser Satz sehr
verschiedener || Ausdruck der verschiedensten Auslegungen
fähig ist. || kalt: der Beweis überzeuge uns von
der Wahrheit dieses Satzes, – da dieser Satz sehr
verschiedener || Ausdruck der verschiedensten Auslegungen
fähig ist. |
Wenn ich sage: “der Beweis 100 überzeugt mich von
etwas”, so muß aber dieser || der Satz, der dieser Überzeugung
Ausdruck gibt nicht ¤ im
Beweise konstruiert werden. Wie wir
z.B. multiplizieren, aber nicht
notwendigerweise das Ergebnis in Form des Satzes
… × … = … hinschreiben. Man wird also wohl
sagen, || : die Multiplikation
gebe uns diese Überzeugung, ohne daß der
Satz der sie ausdrückt je ausgesprochen
wird. |
Der Beweis kann
mit einem Satz endigen, braucht nicht mit einem
Satz zu endigen.
Ein Satz, ein sogenannter || Der Satz, der
sogenannte Satz, zeigt uns beiläufig an,
wie der Beweis zu 101 verwenden ist, da der Satz ja Zeichen
enthalten muß, die Worten der
Umgangssprache entsprechen (& so die Brücke zur Anwendung durch eine uns
wohlbekannte || vertraute Praxis
schlägt). |
Ein psychologischer Nachteil der Beweise, die
Sätze konstruieren, ist, daß sie uns leichter
vergessen lassen, || machen, daß der Sinn
des Resultats nicht aus diesem allein abgelesen werden
kann || abzulesen (ist),
sondern aus dem Beweis. In dieser
Hinsicht || Beziehung hat das Eindringen des
Russellschen Symbolismus
in die Beweise viel Schaden gemacht. || angerichtet. ||
getan. |
Die Russellschen Zeichen hüllen die wichtigen Formen des
Beweises, 102 gleichsam, bis zur Unkenntlichkeit ein, wie wenn
man eine || die menschliche Gestalt in (viele) Tücher
wickelt. || eine || die menschliche Gestalt in
(viele) Tücher gewickelt ist. |
(Ich sagte || schrieb
einmal: “Wenn Du wissen willst, was bewiesen ist,
schau auf den Beweis”. Also nicht:
“schau auf das Ende des Beweises”.) |
Das menschliche Vorgehen nach
der || einer Regel ist ein Vorgang dessen
Ergebnis die Erfahrung lehrt. |
Der Beweis aber sagt: Wenn Du nicht zu
diesem Ergebnis gelangst, bist Du nicht nach dieser
Regel vorgegangen. |
“Der Beweis überzeugt uns von der Wahrheit dieses
Satzes”: Wie äußert sich diese
Überzeugung 103 , || –
z.B.; || , || –
welchen Schluß rechtfertigt dieser Satz? Der durch den Beweis erzeugte mathematische Satz ist ein Instrument – und wir wollen wissen: Wie wird dieses Instrument angewandt? |
(Wenn ich sage; er sei ein ‘Instrument’,
so || Mit dem: “er ist ein
Instrument” will ich sagen, || :
seine Funktion sei nicht, Glauben, oder Unglauben –
zu erzeugen, Kopfschütteln, oder
Kopfnicken || Kopfschütteln, oder Kopfnicken
zu erzeugen.) |
Was fangen wir mit der Überzeugung an:
– 25 × 25 sei gleich 625? |
18.12.
Bedenken wir, wir werden in der Mathematik von
grammatischen Sätzen überzeugt; der
Ausdruck, das Ergebnis, dieser
Überzeugtheit 104 ist also, daß wir eine Regel
annehmen. |
Nichts ist wahrscheinlicher, als daß der Wortausdruck des
Resultats eines
mathem. Beweises dazu angetan
ist, uns einen Mythus vorzumachen || vorzuspiegeln. Wie sollte es nicht so sein, da jeder Ausdruck in diesen Sätzen in einer sehr speziellen, & dabei, gewissermaßen, übertragenen Bedeutung gebraucht wird. |
19.12.
Könnte man sagen: Der bewiesene Satz hat
zwar nicht die Form einer Regel, aber er läßt sich in eine
Regel übersetzen || auf eine Regel bringen, also erzeugt
der Beweis ein || das Vorbild für einen || eines Symbolismus. 105 |
Ich will
etwa sagen: Wenn auch der bewiesene mathematische
Satz hinaus auf eine Realität außerhalb
(seiner selbst) zu deuten scheint,
(so) ist er doch nur
(der) Ausdruck der Anerkennung eines neuen
Maßes (der Realität).
|
Wir nehmen also (aus
diesen Grundlagen, auf diese Weise) die Konstruierbarkeit
(Beweisbarkeit) dieses Symbols (nämlich
des math. Satzes) zum Zeichen
dafür, daß wir Symbole so & so
transformieren sollen – – – |
Wir haben uns im Beweis || durch den Beweis hindurch || vordringend || “durch den
Beweis” || , durch den Beweis, zu einer
Erkenntnis durchgerungen? || Wir haben uns, von Stufe zu
Stufe des Beweises fortschreitend, zu einer
Erkenntnis durchgerungen? Und der letzte Satz spricht
diese Erkenntnis aus? Ist diese Erkenntnis nun frei vom Beweise (ist die Nabelschnur abgeschnitten 106 || durchschnitten)? – Nun, der Satz wird
jetzt allein & ohne das Anhängsel des
Beweises verwendet. |
Warum soll ich nicht sagen: ich habe mich, im
Beweis, zu einer Entscheidung durchgerungen? |
Der Beweis stellt diese
Entscheidung in ein System von Entscheidungen.
|
(Ich könnte
natürlich auch sagen: “der Beweis
überzeugt mich von der Zweckmäßigkeit dieser
Regel”. Aber das zu sagen könnte
leicht irreführen.) |
20.12.
Der durch den Beweis bewiesene Satz dient als
Regel, || – also als Paradigma. Denn nach der
Regel richten wir uns. 107 |
Aber bringt
uns der Beweis nur dazu, daß wir uns nach dieser Regel richten
(sie anerkennen), oder zeigt er uns auch, wie wir uns
nach ihr richten sollen? |
Der math. Satz soll uns
ja zeigen, was zu sagen Sinn hat. |
Der Beweis
konstruiert einen Satz; aber es kommt eben drauf an wie er
ihn konstruiert. Manchmal z.B.
konstruiert er zuerst eine Zahl & dann folgt der
Satz, daß es eine solche Zahl gibt. Wenn wir
sagen, die Konstruktion müsse
uns von dem Satz überzeugen, so heißt das, daß
sie uns dazu bringen || bestimmen
muß, diesen Satz so & so
anzuwenden. Daß sie uns
bestimmen 108 muß, das als Sinn, das nicht als Sinn
anzuerkennen. |
21.12.
Was hat der Zweck einer
Euklidischen Konstruktion, etwa
der Halbierung der Strecke, mit dem Zweck der Ableitung einer Regel
aus Regeln mittels logischer Schlüsse gemein?
|
Das Gemeinsame scheint zu
sein, daß ich durch die Konstruktion eines Zeichens die Anerkennung
eines Zeichens
erzwinge. |
Könnte man sagen:
“Die Mathematik schafft neue
Ausdrücke, nicht neue
Sätze”??
Insofern nämlich, als die mathematischen Sätze 109 ein für allemal in die Sprache aufgenommene
Instrumente sind – & ihr
Beweis die Stelle zeigt, an der sie stehen. |
Inwiefern sind aber z.B.
Russells Tautologien
‘Instrumente der Sprache’?
Russell hätte sie jedenfalls nicht für solche gehalten. Sein Irrtum, wenn ein solcher vorlag, konnte aber nur darin bestehen, daß er auf ihre Anwendung nicht acht hatte. |
Der Beweis
läßt ein Gebilde aus einem anderen || anderen entstehen. Er führt uns die Entstehung von einem aus anderen vor. Das ist alles recht gut – aber er leistet doch damit 110 in verschiedenen Fällen ganz Verschiedenes!
Was ist das Interesse dieser
Überleitung?! |
Wenn ich auch den Beweis in einem Archiv der Sprache
niedergelegt denke, || – wer sagt, wie
dies Instrument zu verwenden ist, wozu es dient! |
22.12.
Der Beweis bringt mich dazu zu sagen, || : das
müsse sich so verhalten. ‒ ‒ Nun,
das versteh ich im Fall eines Euklidischen Beweises oder eines Beweises von
“25 × 25 = 625”, aber ist es auch so im Fall
eines R.schen Beweises etwa von “⊢ p ⊃ q ∙
p. ⊃ .q”? Was heißt
hier ‘es müsse sich so
verhalten’, im Gegensatz zu ‘es
verhält sich so’? Soll ich sagen:
“nun ich 111 nehme diesen Ausdruck als Paradigma für alle
nichtssagenden Sätze dieser Form an”?
|
Ich gehe den Beweis durch
& sage: “Ja, so
muß es sein; ich muß den Gebrauch der || meiner Sprache so festlegen”.
Ich schlage gleichsam einen Pflock || Nagel || Dübel || Bolzen || Nagel ein, || –
⌇ der die möglichen Bewegungen der Sprache hemmt & bestimmt. || näher
bestimmt. || der gewisse
Bewegungen der
Sprache ausschließt. || der
den Freiheitsgrad der Sprache
einschränkt. || &
schließe damit gewisse Bewegungen
aus. |
Ich will sagen, daß das
Muß einem Gleise entspricht, das || welches﹖ ich in der
Sprache﹖ lege. || Ich will
sagen: das Muß entspricht einem Gleise, das ich
in der Sprache
lege. 112 |
Wenn wir
diese Regel annehmen, so müssen wir
diese Regel annehmen, wenn wir nicht in
Schwierigkeiten geraten wollen. Wenn wir z.B. nicht sagen wollen, “wir müssen uns verrechnet haben”, wenn gar kein Grund zu dieser Anschauungsweise vorliegt. |
23.12.
Es ist ein Bild, was || bildlicher
Vorgang, der || , was Dich
überzeugt, oder bestimmt. |
24.12.
Wenn ich sagte, ein Beweis führe einen neuen Begriff ein so
meine || meinte ich so etwas wie: der Beweis || er
setze ein neues Paradigma zu den
Paradigmen || der
Paradigmensammlung der Sprache;
(ein neues Modell) etwa || ähnlich wie wenn man ein besonderes
rötlich-blau113 mischte die besondere Farbmischung irgendwie
festlegte, & ihr einen Namen gäbe.
Aber wenn wir auch geneigt sind, einen Beweis ein solches neues Paradigma zu nennen – was ist die (genaue) Beziehung || Ähnlichkeit eines Beweises zu so einem Paradigma || Begriffsvorbild? Man möchte sagen: der Beweis ändert die Grammatik unserer Sprache, ändert unsere Begriffe. Er macht neue Zusammenhänge & er schafft den Begriff dieser Zusammenhänge. (Er stellt nicht fest, daß sie da sind || dasind, sondern sie bestehen nicht, || sind nicht da, ehe er sie nicht macht || schafft.) |
Bewege ich mich im Kreise? |
Man könnte z.B. sagen ein
Beweis schaffe den Begriff des Folgens
dieses Satzes aus diesem Satze.
114 Aber, will ich
fragen, || : wie wird das Begriffswort dieses
Begriffes in der gewöhnlichen Sprache
d.h. außerhalb der Mathematik
angewandt? || wie wird dieser Begriff
verwendet? |
Welchen Begriff schafft
‘p ⊃ p’ || Welcher Begriff entspricht
‘p ⊃ p’ || Welchen Begriff legt ‘p ⊃ p’
fest? Und doch ist es mir als könnte man
sagen “p ⊃ p” diene uns als
Begriffszeichen.
“p ⊃ p” ist eine Formel. Legt eine Formel einen Begriff fest? Man kann sagen: “daraus folgt nach der Formel … das & das”. Oder auch: “daraus folgt auf die Art (& Weise) … das & das”. Aber ist das ein Satz, wie ich ihn wünsche? Wie ist es aber damit “Ziehe || Zieh' daraus || aus diesem Satz die Konsequenz auf die Art …”? |
25.12.
Aber man kann natürlich auch sagen: “Und
daraus folgt, nach 115 der Regel “p ⊃ p ⌵ q” || ‘p ⊃ p ⌵ q’,
….” Und obwohl man || wenn man
auch sagen kann, daß die Einschaltung “nach der
Regel ‘p ⊃ p ⌵ q’”
in einem gewissen Sinne überflüssig ist, so ist
sie doch nützlich (&) spielt ihre Rolle im
Sprachspiel. |
Wenn ich
vom Beweis sage, er sei ein Vorbild(, ein
Bild,) so muß ich es auch von einer
R.schen primitive proposition sagen || sagen können
(als der Eizelle eines Beweises). |
Man
könnte﹖ || kann
fragen: Wie ist man darauf gekommen den Satz
“p ⊃ p” als eine
wahre || gewiß wahre Behauptung
auszusprechen? Nun, man hat ihn nicht im praktischen Sprachverkehr gebraucht, || ; – aber dennoch war man geneigt || gedrungen || gedrängt ihn unter besondern Umständen (wenn man z.B. Logik 116
betreibt || betrieb) mit
Überzeugung auszusprechen. |
26.12.
Wenn ich sagte “Der Beweis muß
übersehbar sein” – gilt dies denn nicht
ebenso von jedem Satz: z.B.,
“In England gibt es 20000
Kühe”? Auch in diesem Satz kann man
“20000” ersetzt denken || Man kann auch in
diesem Satz “20000” ersetzt denken || Man
denke sich in diesem Satz “20000” ersetzt
durch eine lange Reihe von Strichen. |
Wir entscheiden uns
stufenweise zur Annahme || Anerkennung dieser Regel. |
Wenn der Beweis eine Straße
zum (bewiesenen)
Satz ¤ ist, || ist, die zum Satz
führt, || ist zu diesem
Satz, welche Rolle spielt diese Straße
noch, || , – wenn wir sie einmal gegangen
sind? Sie gibt dem Satz seinen Ort im || in einem System. 117 |
Was ist es,
was mir unklar ist: ist es die Rolle eines
Beweises in Sprachspielen? |
Der mathematische Beweis, weist der
Regel ihren Platz an. (Die Regel
“16 × 4 = 64” könnte ja auch eine
ursprüngliche Definition sein.) |
Der Beweis überredet mich – || mich – || ; aber nicht, ⌇ daß
das & das sich so & so verhält ⌇,
sondern, daß ich meine Begriffe so erweitern, so || dahin erweitern, dahin abändern soll || abändere. |
Ich nehme diese Transformationen an. – Ich
lasse sie meine Darstellungsweise || Ausdrucksweise bestimmen. (Soll
ich sagen: “aus den verschiedensten
Gründen”?) |
Wie ist es aber mit
‘p ⊃ p’?
Ich 118 sehe in ihm einen
degenerierten Satz, der auf der Seite
der Wahrheit ist. Ich lege ihn als wichtigen Schnittpunkt von Sätzen || von sinnvollen Sätzen fest. Ein Angelpunkt der Darstellung. || Darstellungsweise. |
Wovon soll der Beweis ein Vorbild
sein? – Soll ich sagen: ‘von
einer bestimmten Sprachbewegung’? |
Wenn der Beweis auch nach
Regeln fortschreitet, so ist er doch das Paradigma für
diese Fortschreitung. |
Ich wollte sagen: Der mathematische Beweis
wird außerhalb der Mathematik verwendet || verwandt
& ist da das Paradigma eines 119 unserer Begriffe. – Aber
in wiefern ist das wahr? |
Nimm einen
R.schen Beweis des ersten Teils der
Principia Mathematica: inwiefern kann man ihn
Vorbild eines Begriffs nennen? Nun, er ist Vorbild des
Begriffs eines bestimmten Übergangs. |
27.12.
Aber das scheint zu wenig zu sagen. – Wie
würde der Begriff so einer Transformation
gebraucht? Indem man etwa sagen
würde: “N. führt mit den Zeichen die
Transformation T aus”. Und
die Transformation T ist eine, die ich durch eine Vorlage erkläre || durch eine Vorlage
erklärt wird. Es könnte
z.B. eine Umgruppierung der Figuren auf dem
Schachbrett sein. 120 |
Ich bin
willens, diese Konstruktion “Konstruktion des
regelmäßigen
5-ecks mittels Zirkel
& Lineals || Lineal” zu nennen. |
Ich will sagen: Durch die
Konstruktion des Fünfecks schaffe ich den Begriff
dieser Konstruktion, & durch den
Aufbau des Beweises von … den Begriff dieses
Beweises. |
(Immer
das Gefühl, als drehte ich mich im Kreise.) |
Aber könnte ich nicht
auch sagen: der Beweis schaffe den Begriff dieses Satzes an
diesem Platz? |
Der
Beweis ist unser Vorbild dieses Weges. 121 |
Was aber die Wichtigkeit dieses Weges ist, ist damit noch nicht
gesagt. – |
Es
genügt nicht zu sagen: “ich bin willens, diese
Konstruktion den Beweis dieses
Satzes zu nennen || als Beweis dieses Satzes
anzuerkennen”, sondern ich muß sagen: –
“dieses Satzes, den ich so & so
gebrauche”. |
28.12.
Die Konstruktion des Beweises beginnt mit irgend welchen
Zeichen, & unter diesen müssen ¤
einige, die
‘Konstanten’ in der Sprache
schon Bedeutung haben.
So ist es wesentlich daß
“ ⌵ ” &
“~” schon eine uns geläufige
Anwendung besitzen & die Konstruktion eines 122 Beweises in den
Principia Mathematica nimmt ihre Wichtigkeit, ihren Sinn,
daher. Die Zeichen aber des Beweises lassen ihre || diese Bedeutung nicht erkennen. |
Die ‘Verwendung’
des Beweises hat natürlich mit jener Verwendung
seiner Zeichen zu tun. |
[Die Biegung des Weges, die Du machst || gehst, erscheint Dir als Biegung, während
die Biegungen
vor & hinter Dir sich für Deinen Blick || für
Deinen Blick die Biegungen vor & hinter Dir sich
in Gerade
ausstrecken.] |
Wie gesagt, ich bin ja auch schon von den
primitive propositions
Russell's in gewissem Sinne überzeugt.
Die Überzeugung also, die der Beweis hervorbringt 123 kann nicht nur von der Beweiskonstruktion
herrühren. |
(Was ich jetzt schreibe muß außerordentlich schlecht sein.) |
Wenn
ich mir denke, daß der Beweis Regeln aus Regeln ableitet,
so bestimmt er mich also gewisse Regeln anzuwenden, nachdem ich mich
schon vorher entschieden habe gewisse Regeln anzuwenden.
|
Die
Beweisfigur zeigt ein gewisses Passen – etwas was ich
–– aus komplizierten Gründen –– || ‒ ‒ aus komplizierten Gründen
‒ ‒
als Passen
anerkenne. |
Wenn
ich sage || sagte: “der Beweis
124 schafft einen
Begriff” – ist dieser Begriff, sozusagen,
einfach ein geometrischer
Begriff, (entsprechend der geometrischen Figur des
Beweises), oder ist es ein Begriff, dessen
Inhalt mit der
(außerlogischen) Anwendung des
Beweises zu tun hat? (Diese
Frage beruht natürlich auf einer
Verwirrung.) |
Die
‘geometrische’ Anwendung des Beweises ist offenbar
nur eine unter vielen Anwendungen. || möglichen. Und sie ist ja eine Anwendung auf ein praktisches Problem. |
‘Das regelmäßige 5-Eck mit
Zirkel & Lineal konstruieren’ heißt
das tun. Die Wichtigkeit der Konstruktion,
des Begriffes, mag darin liegen, 125 daß diese Konstruktion unter gewissen
Umständen ein regelmäßiges
5-Eck im metrischen Sinn
ergibt. |
29.12.
Warum bildet man diesen Begriff? Weil er
nützlich ist. |
Warum bildet man den Begriff des Übergangs von diesen Zeichen
zu diesem Zeichen? |
Aber wovon kann mich ein Begriff überzeugen? – Soll ich sagen: davon, daß ich ihn so
werde gebrauchen können? |
Ich habe vor mir eine Reihe von Zeichen – – daß
(aber) die Übergänge nach
diesen Regeln gemacht sind, ist eine Frage 126 der Anerkennung.
|
Wozu kann so eine
Folge von Zeichen, wie sie der Beweis ist,
nütze || nützlich sein? |
Aber könnte man die Konstruktion des metrischen
regelmäßigen
5-Ecks kein
Experiment nennen?
Das Konstruieren ist ein Experiment
(oder kann eins sein). Die Konstruktion ist
– wenn Du willst – eine
Anweisung﹖. |
Die Konstruktion des
Kräfteparallelogrammes. |
Der Beweis, könnte man sagen, ist
der || ein
Ausschnitt eines Systems || aus einem
System von Zeichen. Wir nehmen – aus
verschiedenen || verschiedenerlei Gründen –
die Darstellungsform,
127
– die der Ausschnitt
repräsentiert, an. |
Ich habe früher eine Rechnung
dargestellt als Teil einer Technik,
z.B. des Hausbaues || Hausbaus. Es könnte
aber auch ein Experiment mit Zeichen ein Teil so einer
Technik sein: – Man übergieße diese Zeichen
mit Schwefelsäure & richte sich dann in der & der
Weise nach dem was sich dann auf dem Papier zeigt. –
Das aber ist keine Rechnung. Die Rechnung muß
‘übersichtlich || übersehbar’ sein. – |
Der Begriff der || einer Beweiskonstruktion kann auf
verschiedenen Umwegen nützlich sein. 128 |
Was ist der Unterschied zwischen einem Beweis in der reinen
Mathematik & einem in der angewandten
Mathematik? |
Wenn ich das Urmeter in Paris sähe, aber die
Institution des Messens & ihren Zusammenhang
mit dem || jenem ‘Urmeter || Stab’ nicht kennte , || –
könnte ich sagen, ich kenne || verstehe || besäße den Begriff des
Urmeters? |
Ist nicht
auch so die Beweiskonstruktion || der Beweis ein Teil
einer Institution? |
Der Beweis ist ein Instrument – aber warum, sage
ich: “ein Instrument der Sprache“?
Ist denn die Rechnung notwendigerweise ein Instrument 129 der Sprache?
|
Man könnte
sich, z.B., denken, daß die
Ableitungen in Principia Mathematica
von jemandem || jemand zum Zeitvertreib als ein
Schreibspiel, || zum Zeitvertreib als ein
Schreibspiel, von jemandem || jemand
geschrieben || hingeschrieben worden wären, der
mit “ ⌵ ” nicht den Begriff
‘oder’ mit ‘~’
nicht den Begriff ‘nicht’ verbunden hätte,
etc. || u.s.f.
Später hätte jemand “ ⌵ ” als
Zeichen für oder || der Disjunktion,
~ als Zeichen der Verneinung
aufgefaßt(,
etc.), & die
(gewissen)
zusammenhängenden Zeichengruppen des
Buches als Ableitungen von
Schlußregeln. Hätte nun dieser Letztere schon angewandte Mathematik betrieben? |
30.12.
∣
Sich psychoanalysieren lassen ist irgendwie
ähnlich vom Baum der Erkenntnis essen. || kann
ähnlich dem Essen vom Baum
der Erkenntnis sein. Die Erkenntnis, die man
dabei || dadurch erhält,
gäbe || gibt || stellt
130 uns
(neue) ethische
Aufgaben || Probleme; trägt aber nichts
zu ihrer Lösung bei. ∣
|
Was ist es
denn, was Dich quält?
Die mangelnde Übersicht || Daß dir die Übersicht fehlt || Das Fehlen der
Übersicht über den Gebrauch des Beweises.
¥ |
Das ‘Einleuchten’ der Axiome
besteht darin || besteht in
dem || einem || ist ein || das
Entschlossensein sie als || sie
& unbedingt sie als || sie
unbedingt als
(die)
Richtschnur || Richtschnuren der Darstellung zu nehmen.
⍈ Ich suche vergebens eine Übersicht über die Verwendung der Konstruktionen. |
Die Konstruktion der 5-Ecks Seite ist bei Euklid ein Teil des Beweises, daß die die
Konstruktion der 5-Ecks Seite
ist. Aber könnten wir uns nicht denken, daß Leute
131 festsetzen,
dies || dieser Konstruktionsvorgang soll
als Meßmethode für die Regelmäßigkeit
der Fünfecke gelten || dienen? Gestützt wäre diese
Festsetzung durch gewisse (wohlbekannte) Erfahrungen.
|
Was ich immer tue,
scheint zu sein, || : zwischen
Sinnbestimmung & Sinnverwendung einen Unterschied
hervorzuheben. |
Die Rolle, die die
sogenannten Axiome in der eigentlichen Anwendung spielen
ist eine mannigfache: Wie kommt es
dann, daß mit ihnen immer eine Überzeugung
verbunden ist || Hand in Hand geht?
Was ist das Gemeinsame der Überzeugungen davon daß p ⊃ p wahr ist & das daß man 132 zwischen je 2 Punkten eine Gerade ziehen kann,
oder daß alle Körper einander
anziehen? – Was ist das Gemeinsame in der
Verwendung dieser
Behauptungssätze? |
Angenommen, wir sagten:
Mit dem Beweis geht immer ein Entschluß
zusammen. |
Ich möchte sagen: Der Beweis ist eine
Konstruktion, & eine Konstruktion, die wir nicht als
Experiment betrachten. Sie ist eine Bilderreihe, deren Ende
wir ‘das Ergebnis’ nennen. (Und
zwar, || : weil so wirklich
normalerweise das Ergebnis ausschaut, wenn wir nach
der & der Regel fortschreiten.)
Im Satz: “die Konstruktion ergibt
das
& das” || das” ist “ergeben”
133 zeitlos
gebraucht. |
Das
Ergebnis der Euklidischen Konstruktion der 5-Ecks-Seite
ist also nicht die metrische 5-Ecksseite. Diese wird sich
manchmal ergeben, manchmal nicht. |
Die Konstruktion ist also in diesem Sinne
nicht ein Bau || das Errichten || Aufrichten eines Baus, das Erzeugen eines
Ergebnisses, das Ergebnis kein
Erzeugnis. |
(Ich mache Bemerkungen über die Grammatik des
Wortes || der Worte ‘Konstruktion’,
‘Ergebnis’, etc.) |
Das
(geometrische) Ergebnis
der Euklidischen Konstruktion der 5-Ecksseite mit Zirkel & Lineal könnte man
daher überhaupt nicht die
Fünfecksseite nennen, sondern |
Wir erkennen aber die
Konstruktion in gewissem Sinne an. Was heißt es
denn: sie anerkennen? Als was kann ich
diese Verbindung von Linien
anerkennen? Nun es kommt drauf
an: – Im ‘Beweise’ spricht man
von
einem Anerkennen der Axiome & der einzelnen
Schritte. In der Konstruktion der
5-Eck
Seite || 5-Eckseite gibt
es so ein Anerkennen nicht. |
Aber – wie gesagt – ‘die Axiome, oder
Prämissen,
etc. anerkennen’ kann
doch verschiedenerlei heißen. |
Im
rein-mathematischen Beweis, || – könnte 135 man sagen – sei || ist das Anerkennen der
Prämissen etwas
Ähnliches wie das Anerkennen der
Schritte. |
(Ich
fürchte, ich bin vielleicht nicht mehr jung genug,
den Purzelbaum zu machen, der vielleicht hier nötig
ist.) |
31.12.
Denn alles liegt daran, das Wohlbekannte von einer neuen Seite
anzusehen. |
Den Beweis
anerkennen: Man || man kann ihn
anerkennen als Paradigma der || einer Figur, die
entsteht, wenn diese Regeln richtig auf
diese || jene || gewisse Figuren angewandt wurden || werden. Man kann ihn anerkennen als die
richtige Ableitung einer Schlußregel. Oder als
eine richtige Ableitung |
Man könnte fragen:
‘Was tun wir, auf den Beweis
hin?’ |
Es
ist ein seltsamer Gebrauch in unsrer Sprache,
wenn wir von Zahlen in
Erfahrungssätzen & auch in mathematischen
Sätzen || Mathematischen reden || wenn sie von Zahlen in
Erfahrungssätzen & auch in mathematischen
Sätzen || Mathematischen redet. || Es ist eine Seltsamkeit (in)
unsrer Sprache, wenn || daß
wir in Erfahrungssätzen
& auch in mathematischen Sätzen von Zahlen
reden. || wir von Zahlen in Erfahrungssätzen
& auch in mathematischen Sätzen von Zahlen
reden. || 137 Es ist eine Seltsamkeit unserer
Sprache, wenn sie von Zahlen in
Erfahrungssätzen – & auch in
mathematischen Sätzen redet.
|
Kann ich nun aber sagen,
daß die Auffassung des Beweises als ‘Beweises
der Konstruierbarkeit’ des bewiesenen Satzes
in irgend einem Sinn(e) eine einfachere,
primärere, ist als jede
andere || andre
Auffassung || als jede andere || andre Auffassung ist?
Kann ich also sagen: “Ein jeder || Der Beweis beweist vor allem, daß diese Zeichenform herauskommen muß wenn ich diese Regeln auf diese Zeichenformen anwende”? Oder: “Der Beweis beweist vor allem, daß diese Zeichenform entstehen kann, wenn man nach diesen 138 Transformationsregeln mit diesen
Zeichen operiert. – Das würde auf eine geometrische Anwendung deuten. Denn der Satz dessen Wahrheit, wie ich sage, hier bewiesen ist, ist ein geometrischer Satz, || – ein Satz Grammatik die Transformierungen || das Transformieren von Zeichen betreffend. Man könnte z.B. sagen, || : es sei bewiesen, daß es Sinn habe zu sagen, jemand habe das Zeichen … nach diesen Regeln aus … & … erhalten, aber keinen Sinn etc. etc.. |
Und doch könnte ich sagen, daß im Beweis vor
allem anerkannt werden müsse, daß diese || seine Stufen wirklich den Regeln der
Übergänge gemäß seien. – Ist es aber wirklich wesentlich, 139
daß im Beweis die Regeln
angegeben werden, nach denen die
Übergänge geschehen? |
Der Beweis müsse also vor allem
als Konstruktion den Regeln gemäß anerkannt werden. – |
Oder:
Wenn man die Mathematik
jedes || jeden
Inhalts entkleide, so bleibe, daß gewisse Zeichen
aus andern nach gewissen Regeln sich konstruieren
lassen. – |
Das
Mindeste, was wir anerkennen (müssen)
sei: daß dies Zeichen etc.
etc. – & diese Anerkennung liege jeder
anderen || dies Anerkennen liege jedem andern zu
Grunde. – 140 |
Ich möchte nun sagen:
Die Zeichenfolge des Beweises zieht
nicht notwendigerweise irgendein
Anerkennen nach sich. – Wenn wir aber einmal mit dem Anerkennen anfangen, dann
braucht es nicht das
‘geometrische’ zu
sein. |
Ein Beweis könnte doch aus
bloß zwei Stufen bestehen: etwa
einem Satz ‘(x).f(x)’
& einem ‘f(a)’ – spielt
hier das richtige Übergehen nach einer Regel eine wichtige
Rolle? |
Man
könnte fragen, || :
“Warum verwendet die Mathematik überhaupt
satzförmige Axiome?” |
Die Frage ist: Ist es wahr,
daß, wie ich behauptet habe, die 141 Mathematik wesentlich die Rolle der Grammatik ihrer
Zeichen spielt? – Kann man denn das in dem Beispiel
sagen (das ich gab), worin
Leute eine Rechnung als Teil einer Technik des Hausbaus
verwenden?? |
Ich sagte: bei dieser Rechnung gäbe es ein
(sozusagen arithmetisches)
Richtig’ oder
Falsch, – nämlich: der Regel
gemäß, oder der Regel zuwider. |
Haben wir hier nicht,
sozusagen, angewandte Mathematik, ohne
reine﹖
Mathematik? |
Ich wollte doch sagen:
Wo die reine Mathematik von Satz zu
Satz fortschreitet, da wird von einer Ausdrucksform zur
andern fortgeschritten. 142 |
Immer bin ich hier zum Dogmatismus geneigt! |
Ist denn das
Charakteristische am Beweis nicht, daß das Bewiesene am Ende
ohne den Beweis feststeht? (Obwohl der
Beweis immer zur Grammatik des Bewiesenen
gehört.) |
Muß also der || ein Beweis nicht vor
allem beweisen, daß das Beweisen immer zu diesem Resultat
führt? || führen
muß? |
Wenn ich aber sage || frage: muß er
das nicht beweisen, so meine ich doch nicht daß dieser Satz
beim Beweisen || Beweis heraus kommt. |
Wenn ich also frage:
Muß 143 man am Beweis nicht vor allem anerkennen, daß
dies Gebilde bei der Anwendung dieser Regeln
heraus kommt – – nun, ich brauche ja den Beweis gar
nicht so zu formulieren, daß Regeln ausdrücklich
ausgesprochen || angegeben
werden. |
Aber
dazu daß der Beweis im Archiv der Sprache niedergelegt
werden kann – gehört dazu nicht etwas wie diese geometrische
Anerkennung? |
1.1.40.
Was ist unerschütterlich
gewiß am Bewiesenen? |
Einen Satz als
unerschütterlich gewiß
anzunehmen || anzuerkennen – will ich
sagen – heißt, || : ihn als
grammatische Regel 144 zu verwenden || anzunehmen– – || – || : dadurch entzieht man
ihn der Ungewißheit. |
“Der Beweis muß
übersehbar sein” heißt eigentlich nichts
andres als: der Beweis ist kein Experiment. Was
sich in ihm || im Beweis ergibt nehmen wir nicht deshalb
an weil es sich einmal ergibt, oder weil es sich oft ergibt.
Sondern wir sehen im Beweis den Grund
dafür, zu sagen, daß es sich ergeben
muß. |
Nicht, daß das || dies Zuordnen zu
diesem Resultat führt beweist, || – sondern daß wir überredet werden,
diese Erscheinungen (Bilder) als Vorbilder || Vorlagen zu nehmen
dafür﹖, wie es
ausschaut, 145 wenn …. |
Der Beweis ist unser neues Vorbild
dafür || davon – wie es ausschaut, wenn
nichts weg- & nichts dazukommt, wenn wir
richtig zählen,
etc.. Aber diese Worte zeigen,
daß ich nicht recht weiß, wovon der Beweis ein Vorbild
ist. |
Ich will
sagen: mit der Logik der
Principia Mathematica könnte man eine Arithmetik
begründen in der 1000 + 1 = 1000 ist; & alles
was dazu nötig ist, wäre die sinnliche
Richtigkeit der Rechnungen anzuzweifeln. Wenn
wir sie aber nicht anzweifeln || bezweifeln, so
ist
daran nicht unsre Überzeugtheit || Überzeugung von
der Wahrheit der Logik schuld || hat daran nicht unsre
Überzeugtheit || Überzeugung von der Wahrheit der
Logik die Schuld. || so ist das || es nicht das Werk 146 unsrer Überzeugung || Überzeugtheit von
der Wahrheit der
Logik. |
Wenn wir beim Beweis sagen:
“Das || das
muß herauskommen” – so nicht aus
Gründen, die wir nicht sehen. || – so nur aus Gründen, die wir
sehen. |
Nicht, daß wir dieses Resultat
erhalten, sondern, daß es das Ende dieses Weges ist, läßt
es uns annehmen. |
[In
Zusammenhang
mit¤: “Der Beweis muß
übersehbar
sein”.]
Das || Dasjenige ist der Beweis, was
uns überzeugt: Das Bild,
das || was﹖ || welches || das uns nicht
überzeugt, ist der Beweis auch dann nicht, wenn von ihm gezeigt
werden kann, daß es einen Satz exemplifiziert. || , was uns
nicht überzeugt, ist der Beweis nicht,
auch dann nicht, wenn sich zeigen läßt || von
ihm gezeigt werden 147 kann, daß es den
bewiesenen Satz exemplifiziert. |
2.1.
Das heißt: es darf keine physikalische Untersuchung des
Beweisbildes nötig sein um uns zu zeigen, was bewiesen
ist. |
Ich hätte
auch etwas sagen können wie:
Der muß anschaulich sein.3
(Bemerkung über die Grammatik des Wortes “Beweis”.) |
Der Beweis ist unser
Vorbild (unser Bild) || – unser Bild –
davon, [wie der neue
Begriff zu gebrauchen ist]. |
Der neue Begriff: Diese Regel als
Resultat dieser Umwandlungen. |
Ich bin irgendwie
versucht || verleitet zu sagen:
die || eine neue Regel sei ein
neuer Begriff, ein in
unsre Sprache neu eingeführter Begriff. || : die Einführung einer neuen Regel ist die
Einführung eines neuen Begriffs. |
Aber führt sie
nicht nur dann || nicht dann nur einen neuen
Begriff ein, wenn sie ein neues Bild als
Mittel der Darstellung einführt? |
Ist es nicht merkwürdig, zu sagen:
die Formel “25 × 25 = 625”
sei das Zeichen für einen Begriff || eines Begriffs? Und doch versucht
mich etwas, das zu sagen. Ist das nur Unsinn, oder
Übereilung? Ist es eine Krankheit meiner
Anschauungsweise? Es muß teilweise
eine Krankheit |
Ein System muß
gefunden werden – || ‒ ‒ finden wir
nicht das, || dasjenige, was || welches
offenbar vorliegt, || gelingt es uns || mir (aber) nicht das zu finden, welches
offenbar vorliegt, so
werden wir || werde
ich gedrängt, zu dogmatisieren. (Wenn die
richtige Zusammensetzung des Puzzles nicht
gelingt, versuchen wir die Stücke || nicht
gelingt, versuchen wir die Stücke des Puzzles
mit Gewalt zusammen zu passen || fügen.) |
∣ Wir sagen von zwei Menschen auf einem Bild nicht vor
allem: der eine erscheine kleiner als der andre,
& erst dann﹖, || : er
erscheine weiter weg || hinten zu sein.
Es ist, kann man sagen, wohl möglich daß uns das
kleiner || kürzer sein gar
nicht auffällt sondern bloß || nur das Hintenliegen. (Dies scheint
150 mir etwas mit
der Frage der ‘geometrischen’ Auffassung des
Beweises zu tun zu haben || zusammen zu
hängen. || zu tun zu
haben.) ∣ |
3.1.40.
‘Er ist das Vorbild für das, was man so & so
nennt.’ |
Von
was soll aber der Übergang von
“(x) ∙ φx” auf
“φa” ein Vorbild
sein? Höchstens davon, wie von Zeichen der
Art || Form
“(x) ∙ φx”
geschlossen werden kann. Das Vorbild dachte ich mir als eine Rechtfertigung, hier aber ist es keine Rechtfertigung. Das Bild (x) ∙ φx :. φa rechtfertigt den || einen Schluß nicht. Wenn wir von einer Rechtfertigung des Schlusses reden wollen, so liegt sie außerhalb dieses Zeichenschemas. 151 |
Und doch ist etwas daran, daß der
math.
Beweis einen neuen Begriff schafft. – Jeder || Der Beweis ist gleichsam ein Bekenntnis || besonderes Bekenntnis zu einer
bestimmten Zeichenverwendung. |
Aber wozu || zu was ist er ein
Bekenntnis? Nur zu dieser
Verwendung der Übergangsregeln von Zeichen zu Zeichen || Formel zu Formel? Oder (ist
er) auch ein Bekenntnis
zur Verwendung der
primitive propositions in
der & der Weise? || zu den primitive propositions? || Oder auch ein Bekenntnis zu den ‘Axiomen’ in
irgend einem
Sinn? |
Könnte ich sagen: || , ich bekenne
mich zu p ⊃ p als einer
Tautologie? 152 |
Ich nehme
p ⊃ p als Maxime an,
etwa des Schließens. |
Die Idee, der Beweis schaffe einen neuen Begriff
könnte man
(auch) ungefähr so
ausdrücken: Der Beweis ist nicht– || : seine Grundlagen || Grundlage plus den
Schlußregeln; || , || und
Schlußregeln, sondern ein neues Haus
– obgleich || wenn schon ein Beispiel
dieses & dieses Stils. Der Beweis ist ein
neues Paradigma. |
Der rein math. Beweis
ist das Bekenntnis zu einer neuen Maxime. Ist
dies || das
richtig? |
Der Begriff, den
der Beweis schafft, kann z.B. ein neuer
Begriff || Schlußbegriff sein, ein neuer Begriff vom
richtigen Schließen || des richtigen Schließens. || kann z.B. ein neuer Begriff
des richtigen Schließens sein. 153 Warum ich aber das als richtiges Schließen anerkenne, hat seinen Grund || seine Gründe außerhalb des Beweises. |
Der Beweis schafft einen neuen
Begriff – indem er ein neues Zeichen schafft, oder
ist. || darstellt. Oder: –
indem er seinem ‘Ergebnis’ || dem
Satz, der sein Ergebnis ist, einen neuen Platz gibt.
(Denn der Beweis ist nicht eine Bewegung, sondern ein
Weg.) |
Aber ist ein
neuer Begriff eines richtigen Schlusses || vom richtigen
Schließen ein Begriff in dem Sinne, wie ich mir ihn
dachte? Der neue Begriff erlaubt, einen || diesen Satz als die Konsequenz aus diesem || diesen Sätzen || dem & dem Satz darzustellen. || einen Satz als die Konsequenz aus dem & dem Satz darzustellen. |
“Ein neuer Begriff” heißt doch
|
4.1.40.
Der Beweis ist das, was uns überzeugt – also nicht das,
wovon wir meinen, es würde uns überzeugen, wenn wir es
überblicken könnten. |
Oder: Es gibt nichts, was, || – || , – || :
﹖theoretisch﹖, der
Beweis sein müßte. |
Denn nichts hat – sozusagen – die
Pflicht﹖, der Beweis zu sein.
|
“Das wäre ein Beweis,
wenn ich es überblicken könnte”–
¤ was macht Dich dessen so
sicher? – Ein Beweis? |
Könnte man sich nicht denken, daß reine
Mathematik nie 155 betrieben würde, sondern nur angewandte?
|
Gibt es Sätze
– der angewandten Mathematik? Nun, das wären
Sätze der Naturwissenschaft in ‘mathematischer
Sprache’ geschrieben. Der Satz
“2 + 2 = 4” ist einer der reinen
Math. & so ist es
auch der Satz “2 Äpfel + 2 Äpfel =
4 Äpfel”; dagegen der Satz
“Die Preise zweier Anzahlen von Äpfeln
verhalten sich wie diese Anzahlen”, also
“
|
Man
könnte also sagen: Wenn Mathematik in irgend
einem Sinne Logik ist (wenn auch nicht ganz
so wie Frege &
Russell sich es
dachten), so ist ein Satz der angewandten Math. 156 nicht ein mathematischer || ein
nicht-mathematischer Satz. Dagegen ist aber ein Beweis der angewandten Mathematik ein mathematischer Beweis: || , – || – || ; eine Rechnung.
›––––––––––‹
|
Der Beweis ist ja eben das
Vorbild der gerechtfertigten Umwandlungen. || Umwandlung. |
Der Beweis muß unser Vorbild, unser Bild,
davon sein, || : welches die
gerechtfertigte Umwandlung sein soll. || ist. |
5.1.
“Der Beweis muß übersehbar sein” –
soll doch (etwa)
heißen: die Identität der Transformationen eines
Beweises sind || der || einer Transformation eines
Beweises ist nicht durch ein Experiment
festzustellen, sondern (unmittelbar)
durch die Anschauung.157 |
Denn,
angenommen, ich habe zwei Zeilen eines Beweises; die zweite ist aus
der ersten durch Einsetzung von … für …
entstanden – wie stelle ich fest, daß sie wirklich so
entstanden ist, d.h., daß || ob ich sie mit Recht das Resultat dieser
Substitution nenne? Man könnte sich denken,
daß so etwas durch eine Wägung festgestellt
würde. |
Der Beweis
ist (also) ein anschaulicher
Vorgang. || muß anschaulich sein. |
So kann ich mich im Beweis nicht
darauf verlassen || stützen, daß das Papier die
Striche behält, sondern nur darauf, daß 158 mein Gedächtnis sie
behält? Unterstütze ich denn nicht zum
mindesten mein Gedächtnis durch Anschauen des
Geschriebenen & verlasse mich drauf daß das
sich nicht geändert hat? – Ich bin auf
falscher Fährte. – |
Es darf nicht
vorstellbar sein, daß diese
Substitution in diesem Ausdruck etwas
anderes ergibt. Oder: ich muß es für nicht
vorstellbar erklären. (Das Ergebnis eines
Experiments aber kann man sich so &
so || so & anders vorstellen. ||
so & so || anders
ausfallen.) || kann so & anders
ausfallen.) |
Man könnte sich doch aber 159 den Fall vorstellen, daß der
Beweis sich dem Ansehen nach ändert – er ist in einen Fels
gegraben & man sagt es sei der gleiche, was
immer der Anschein sagt. |
Sagst Du eigentlich etwas anderes als: der Beweis wird als
Beweis genommen? |
Der Beweis muß ein anschaulicher Vorgang
sein. Oder auch: der Beweis ist der
anschauliche Vorgang. (Der Beweis ist, was
an diesem Vorgang anschaulich ist.) |
Nicht etwas hinter dem
Beweise, sondern der Beweis beweist. |
Mir scheint es:
ich will zu viel beweisen; || ,
& darum stocke ich. 160 |
Der
Beweis muß anschaulich sein:
überzeugt uns nicht mehr, was wir sehen, so hat der
Beweis seine Kraft verloren. Ob er nun nach dem
‘logischen’ Schema
Russell's oder anderswie gebaut ist. |
Von R's Beweis kann
sozusagen, gezeigt werden, daß er ein Beweis
ist || wäre. – Daß aber
das ein R'scher Beweis
ist, wäre nun nicht auf die ursprüngliche
Weise festzustellen. Es wäre
ähnlich wie wenn jemand ein Portrait des N. malte, aber
in solcher Art, daß es nicht durch das bloße Ansehen
festzustellen wäre, daß es ein Bild des N.
ist. 161 |
Du wirst von etwas anderem
überzeugt, daß das der Beweis ist. |
Ich bin entschlossen
anzuerkennen, daß es so einen Beweis
gibt. Ich bin entschlossen anzuerkennen, daß es möglich ist || wäre, diesen || den Satz so zu beweisen. |
Nun, kann ich nicht beweisen, daß so ein Beweis
möglich ist? Das heißt doch: beweisen, daß so eine Konstruktion möglich ist, daß es Sinn hat von so einer Konstruktion zu reden. Aber hat es deswegen auch Sinn von dieser Konstruktion als einem Beweis zu reden? |
6.1.
Wenn bewiesen wurde, daß eine solche Konstruktion möglich
(logisch möglich) ist, so haben wir also auf Grund eines
Beweises angenommen,162 daß, auch im Falle,
wenn || selbst wenn der Anschein dagegen
spräche, || sprechen
sollte,
diese Konstruktion als unmöglich
& nur diese || eine so beschriebene
Konstruktion als unmöglich & nur eine
solche als möglicherweise bestehend
anzusehen ist. || eine so
beschriebene Konstruktion nicht, & nur eine
solche möglicherweise
besteht. || eine Konstruktion
dieser || solcher
Beschreibung als nicht möglich || unmöglich & nur eine solche
als möglicherweise bestehend anzusehen
ist.
Aber der Beweis überzeugt ja durch den Anschein. || ja eben durch den Anschein. || überredet ja eben durch den Anschein. |
Der Beweis
läßt etwas offenbar genug erscheinen, daß wir ihn als
Paradigma gelten lassen. |
Was muß er denn
(als) offenbar erscheinen
lassen? |
Was
läßt z.B. der Beweis:
erkennen? Daß 0˙333 +
Es ist offenbar beides. Aber ist eines das primäre? || Aber ist das eine primär? |
Aber kann ich nicht sagen: Es
muß doch vor allem offenbar sein, daß diese
Substitution (i.e., Muß es nicht vor allem klar sein, daß kein Rechenfehler im Beweis vorliegt?? |
Arithmetik, in der es heißt:
“2000 + 2000 = 4000 ± 2”.
|
7.1.
Wenn ich sage: “es muß vor allem offenbar sein, daß diese
Substitution wirklich diesen Ausdruck
ergibt” – so könnte ich auch sagen:
“ich muß es als unzweifelhaft annehmen” – aber dann müssen
dafür gute Gründe vorliegen:
Z.B., daß die gleiche Substitution so gut wie
immer das gleiche Resultat ergibt etc. Und
besteht darin nicht eben die Übersehbarkeit? |
Ich
möchte sagen, “daß, wo die Übersehbarkeit
nicht vorhanden ist, wo also ein Zweifel sich
einschleichen kann || , wo also für
einen Zweifel Raum || Platz ist || bleibt, ob
(hier) wirklich das Resultat dieser Substitution
vorliegt, der Beweis zerstört ist. –
Und nicht – in einer dummen & unwichtigen Weise, die
mit dem Wesen des Beweises nichts zu tun hat. |
Oder: Die Logik als
Grundlage aller Mathematik tut's schon darum nicht, weil die
Beweiskraft der logischen
Beweise mit ihrer geometrischen
Beweiskraft || Beweiskräftigkeit steht &
fällt. || Beweiskräftigkeit
fällt. |
D.h.: der || Der logische Beweis, etwa von der
Russellschen Art, ist
beweiskräftig |
Wir neigen
dazu, zu glauben, || denken, daß
|| zu dem Glauben, daß || dazu, es
anzunehmen, daß
der logische Beweis eine eigene,
absolute, Beweiskraft habe || hat, welche von der
unbedingten Sicherheit der logischen Grund- & Schlußgesetze herrührt.
Während doch die so bewiesenen Sätze nicht
sicherer sein können, als es die Richtigkeit
der Anwendung jener Schlußgesetze || Schlußregeln ist. || , als die |
8.1.
Die logische Gewißheit der Beweise –
will ich sagen – reicht nicht weiter, als ihre geometrische
Gewißheit. |
(Ich habe das bestimmte Gefühl, daß ich sehr unvorsichtig bin. Also irgendwie im seichten Wasser des Dogmatismus herumschwimme.) |
Wenn nun || aber der Beweis ein Vorbild ist, so muß es
darauf ankommen, was als eine richtige Reproduktion des
Beweises zu gelten hat. |
Käme z.B. im Beweis das Zeichen
“❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘”
vor, so ist es nicht klar, ob als Reproduktion
|
Es ist doch die
Frage, || : was als Kriterium der Reproduktion des
Beweises zu gelten hat, – || ; der Gleichheit
zweier Beweisfiguren || von Beweisen. Wie
sind sie zu vergleichen, um die Gleichheit festzustellen?
Sind sie gleich, wenn sie gleich ausschauen?
|
Ich möchte, sozusagen,
zeigen, daß wir den logischen Beweisen in der Mathematik
davonlaufen || entlaufen können. |
“Durch entsprechende || Mittels entsprechender Definitionen können wir
“25 × 25 = 625” in der
R.schen Logik beweisen.”
– Aber || Und kann ich die
gewöhnliche Beweistechnik durch die
R.sche erklären? Aber wie kann man eine
Beweistechnik durch eine andere erklären﹖?
Wie kann eine das Wesen einer andern
erklären? Denn ist die eine eine
‘Abkürzung’ der
anderen || andern, so muß sie doch eine systematische
Abkürzung sein. Es bedarf doch eines Beweises, daß
ich die langen Beweise systematisch abkürzen kann & also wieder ein System
von Beweisen erhalte.
Die langen Beweise gehen nun (zuerst) immer mit den kurzen einher & geben ihnen gleichsam ihre Sanktion || & bevormunden sie gleichsam. Aber endlich können sie den |
Das Betrachten der
langen unübersehbaren logischen Beweise ist
nur ein Mittel um zu zeigen, wie diese Technik
zusammenbricht & neue Techniken notwendig
werden. || , wie diese Technik, da
sie, wie jede andre, auf
geometrischen Eigenschaften des Beweises || der
Beweisfiguren || des
Beweisens beruht, || , die ja auf
geometrischen Eigenschaften des Beweises || der Beweisfiguren || des
Beweisens beruht, zusammenbrechen
kann & || , &
(wie) neue Techniken notwendig
werden. || , wie diese
9.1.
Technik, || – die auf der Geometrie des
Beweisens ruht – zusammenbrechen kann & neue
Techniken notwendig werden. |
[Was ich sagen will, mag Unsinn
sein; aber möge ich dann eben |
Ich will || möchte sagen: Die Mathematik
ist ein buntes Gemisch﹖ von
Beweistechniken; & || :
& || . – – Und darauf beruht
ihre mannigfache Anwendbarkeit & ihre
Wichtigkeit. |
Und das kommt doch auf das Gleiche hinaus, wie zu sagen:
Wer ein System, wie das R.sche,
hätte || besäße & aus
ihm || diesem ‘durch
entsprechende
Definitionen’ Systeme, wie den
Differentialkalkül, erzeugte, der erfände || erzeugte ein neues Stück Mathematik. (Wie
ich schon früher gesagt habe.) |
Nun, man könnte doch einfach sagen:
Wenn ein Mensch das Rechnen im Dezimalsystem erfunden hätte
– der hätte doch eine mathematische Erfindung |
Wie ist es, wenn man ein Beweissystem einem anderen
koordiniert? Es gibt dann eine
Übersetzungsregel mittels derer man die in S1 bewiesenen Sätze in
die in S2 || im einen bewiesenen
Sätze in die im andern bewiesenen übersetzen
kann. Man kann sich doch aber denken, daß viele || einige, oder alle, || – oder alle – Beweissysteme der heutigen﹖ Mathematik auf solche Weise einem System, etwa dem R.schen zugeordnet wären. So daß alle Beweise, wenn auch umständlich, in diesem System ausgeführt werden könnten. – So gäbe es dann nur das eine System – & nicht mehr die vielen Systeme? – Aber es muß sich |
Ich
sagte: der, welcher das Rechnen in der Dezimalnotation
erfunden hat, habe doch eine mathematische
Entdeckung gemacht. Aber hätte er diese Entdeckung
nicht in lauter Russellschen Symbolen machen
können. Er hätte, sozusagen
(wie ich mich seinerzeit ausdrückte) einen neuen
Aspekt entdeckt. |
‘Aber die Wahrheit der wahren
math. Sätze kann
dann doch || dennoch aus jenen allgemeinen
Grundlagen bewiesen werden.’ –
Hier
ist, scheint mir, || Mir scheint, hier ist ein
Haken. Wann sagen wir, ein
math. Satz sei wahr?
– |
Mir scheint, als führten wir, ohne es zu
wissen, neue Begriffe in die R.sche Logik
ein. ‒ ‒ Z.B., || ein
‒ ‒ z.B., indem wir festsetzen,
was für Zeichen der Form (∃x,y,z …) als
einander äquivalent & welche nicht als
äquivalent gelten sollen. Ist es selbstverständlich, daß “(∃x,y,z)” nicht das gleiche Zeichen ist wie “(∃x,y,z,u)”? |
Aber wie ist es – :
– Wenn ich zuerst
‘p ⌵ q’ &
‘~p’ einführe
& |
10.1.
In aller großen Kunst ist ein
wildes Tier:
gezähmt || gezähmt. Bei
Mendelssohn, z.B., nicht.
Alle große
Kunst hat als ihren Grundbaß die
primitiven Triebe des Menschen. Sie sind nicht
die Melodie (wie, vielleicht, bei
Wagner), aber das
was der Melodie die || ihre Tiefe
& Gewalt gibt. In diesem Sinne kann Im gleichen Sinn: mein Haus für Gretl ist das Resultat || Produkt entschiedener Feinhörigkeit, guter Manieren, der Ausdruck eines großen Verständnisses (für eine Kultur, etc.). Aber das ursprüngliche Leben, das wilde Leben, welches sich austoben möchte – fehlt. Man könnte also auch sagen, || : es fehlt ihm die Gesundheit (Kierkegaard). (Treibhauspflanze.) |
Es ist ja klar,
daß ich den Zahlbegriff, wenn auch in sehr primitiver &
unzureichender Weise hätte so einführen können
– aber dieses Beispiel zeigt mir alles was ich
brauche. |
In wiefern kann es richtig sein, zu sagen, man
führe mit der
Reihe ~p,
~~p,
~~~p,
etc. einen neuen Begriff in die Logik ein || hätte mit der Reihe ~p,
~~p,
~~~p,
etc. einen neuen Begriff in die Logik
eingeführt? – Nun, vor allem
könnte man sagen, man habe es mit dem
‘etc.’ getan.
Denn dieses ‘etc.’ steht für
ein mir neues Gesetz der Zeichenbildung. Dafür
charakteristisch, || –
die Tatsache, daß eine rekursive || iterative Definition zur Erklärung der
Dezimalnotation benötigt wird. || nötig ist. || , daß eine
iterative Definition notwendig ist zur Erklärung
der Dezimalnotation. |
Eine neue Technik wird
eingeführt. |
Man kann es auch so sagen: |
Ich möchte sagen:
R.'s Begründung der
Mathematik schiebt die Einführung neuer Techniken
hinaus, – bis man endlich glaubt, sie sei
(gar) nicht mehr
nötig. |
(Es wäre vielleicht so, als philosophierte ich über
den Begriff der Längenmessung so lange, bis man vergäße,
daß zur Längenmessung die tatsächliche Festsetzung einer
Längeneinheit nötig ist.) |
(Übrigens meine ich nicht, daß,
man wenn man zu den |
Die Vagheit des Begriffs
‘Aspekt’. Ich kann freilich sagen,
daß, wenn ich in R.s Symbolismus
(eines Tages) z.B.
Multiplizieren lernte die R'schen
Konstruktionen dadurch ein ganz neues Ansehen
gewönnen. – Ähnlich dem
neuen || ist der
neue Aspekt, den das Schachspiel gewönne wenn
|| jemand eines Tages
nach dem Schreibspiel das Brettspiel erfände. |
Man sagt
gewöhnlich, daß die Anwendung eines Axiomsystems darin
besteht || liegt, daß man von der
tatsächlichen Wahrheit der Axiome
überzeugt ist. Aber was heißt es
z.B. von der Wahrheit von
‘p ⊃ p’
überzeugt zu sein? – Man stellt sich also die
Axiome vor, als wären sie eine Art
von Prinzipien der Mechanik: Erkennt man sie an so
erkennt man z.B. an, daß ein Körper im
Zustand der Ruhe, oder – etc.
etc. |
11.1.
Kann man nun, was ich sagen will so
ausdrücken: “Wenn wir von Anfang an gelernt
hätten alle Mathematik in R's System zu
schreiben || betreiben, so wäre natürlich mit dem
R'schen Kalkül die Differentialrechnung, |
Angenommen, ich hätte
R'sche Beweise der Sätze
vor mir & fände nun einen abgekürzten Weg, den Satz ‘ p ≡ ~10p ’ zu beweisen. Es ist als habe ich eine neue Rechnungsart innerhalb des alten Kalküls gefunden. || Innerhalb des alten Kalküls habe ich eine neue Rechnungsart gefunden. Worin besteht es, daß sie gefunden wurde? |
Sage mir: Habe ich eine |
Kann man sagen, daß ich,
durch eine iterative Definition (wenn
auch nicht durch eine einfache) || zwar nicht durch eine,
einfache, aber durch eine iterative Definition einen neuen
Begriff einführe? – Warum aber?
Führt eine iterative Def. nicht nur
eine Reihe von Abkürzungen ein
– statt einer Abkürzung?
(Ist es übrigens eine Abkürzung wenn ich festsetze: 1 + (1 + 1) = (1 + 1) + 1 Def. ?) |
12.1.
Offenbar die bloße ‘abgekürzte’,
Ist 1615 dasselbe || das gleiche wie 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16.? || Ist ‘1615’ das Zeichen statt || nur eine andere Schreibweise für ‘ 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × ’? Der Beweis, daß 1615 = .... ist, besteht nicht einfach darin, daß ich 16 15-mal mit sich selbst multipliziere & daß dabei dieses || dies Resultat || dies heraus kommt – sondern es muß im Beweis gezeigt sein, daß ich 16 || die Zahl || daß ich 16 15-mal zum Faktor setze. || der Beweis muß dartun, daß ich 16 || die Zahl 15-mal zum Faktor setze. || ; sondern der Beweis muß es zeigen, daß ich 16 || die Zahl 15-mal zum Faktor setze. |
Wenn ich frage: “Was ist das
neue an der ‘neuen Rechnungsart’ des
Potenzierens” – so ist || scheint
das schwer zu Zuerst will ich sagen: “Es hätte einem || mir nie auffallen brauchen, daß in gewissen Produkten alle Faktoren gleich sind” – oder: “‘Produkt lauter gleicher Faktoren’ ist ein neuer Begriff.” – oder: “Die || Das Neue besteht darin, daß wir die Rechnungen anders zusammenfassen”. Beim Potenzieren ist es offenbar das Wesentliche, daß wir auf die Zahl der Faktoren sehen. Es ist doch nicht gesagt, daß wir auf die Zahl der Faktoren je geachtet haben. Es |
[Ich schreibe oft meine
Bemerkungen, |
Aber so macht ja jeder Beweis, jede
einzelne Rechnung neue Verbindungen! |
Aber der gleiche Beweis, der
beweist || zeigt, daß
a × a × a × a … = b
ist beweist || zeigt doch auch, daß
an = b
ist; außer || bloß, || nur, daß wir den
Übergang nach der Definition von
‘an’ machen müssen.
Aber dieser Übergang ist gerade das Wichtige || Neue. Aber wenn er nur ein Übergang zu dem || zum alten Beweis ist, wie |
‘Es ist nur ein andere
Schreibweise.’ Wo hört es auf – bloß
eine andre Schreibweise zu sein? |
Nicht
dort, || : wo
nur die eine Schreibweisenicht || , & nicht die
andre, so & so verwendet werden kann? |
Man könnte es “einen
neuen Aspekt finden” nennen wenn man || Einer statt f(a) schreibt
a(f); man könnte
sagen: ‘Er sieht die Funktion als
Argument ihres Arguments
an’. Oder wenn Einer statt
‘a × a’
schriebe ‘x(a)’ könnte man
sagen: ‘Was man früher als Spezialfall einer
Funktion mit zwei Argumentstellen ansah, Wer das tut, hat gewiß in einem Sinn den Aspekt verändert, er hat z.B. diesen Ausdruck mit anderen zusammengestellt, verglichen, mit denen er früher nicht verglichen wurde. – Aber ist das nun eine wichtige Aspektänderung? Nicht, solange sie nicht gewisse Konsequenzen hat. |
Es ist schon wahr, daß ich
durch
das || mit dem Hineinbringen des Begriffs der
Zahl || Anzahl der Negationen von
p den Aspekt der logischen
Rechnung geändert
habe, || – || :
‘So hab ich es noch nicht angeschaut’–
könnte man sagen. – Aber wichtig wird diese
Änderung |
13.1.
Einen || Ein Fuß als 12 Zoll
auffassen, wäre allerdings eine
Änderung des Aspekts des Fußes || hieße allerdings den
Aspekt des Fußes ändern, aber wichtig würde
diese Änderung erst, wenn man nun auch
Längen in Zoll
mäße. || Längen auf andere
Weise, nämlich in Zoll,
mäße. |
Jeder Mensch trachtet sich selbst zu betrügen: und wer jemand betrügen will, macht's natürlich geschickt & nicht ungeschickt; er sagt dem Andern nicht || er wird dem Andern nicht sagen, was der Andere schon durchschauen kann, sondern was er nicht durchschauen kann. || er noch nicht durchschaut. |
Wer das Zählen der
Negationszeichen |
Es ist zwar
für die Arithmetik, die
(doch) || ja von der Gleichheit von || der Zahlen || Anzahlen spricht,
ganz gleichgültig, wie (die)
Gleichheit zweier || der Anzahlen zweier || , wie die Zahlengleichheit || Anzahlengleichheit zweier
Klassen von
Dingen festgestellt wird – aber es ist
für ihre Schlüsse nicht gleichgültig, wie ihre
Zeichen mit einander verglichen werden, nach welcher Methode
also, z.B., festgestellt wird, ob die
Anzahl der Ziffern zweier Zahlzeichen die gleiche
ist. |
Ein Lehrer, der während des Unterrichts gute, oder sogar || selbst erstaunliche Resultate aufweisen kann, ist darum kein guter Lehrer, denn es ist möglich, |
Nicht die
Einführung der Zahlzeichen als Abkürzungen
ist wichtig, sondern der Methode des Zählens. |
Ich will die Buntheit der Mathematik
|
‘Ich kann auch in
Russell's System den Beweis führen, daß
127 : 18 = 7˙055 ist.’
Warum nicht. – Aber muß beim
R.schen Beweis dasselbe herauskommen, wie bei der
gewöhnlichen Division? Die beiden sind
freilich durch eine Rechnung (durch
Übersetzungsregeln etwa) mit einander verbunden;
aber ist es nicht doch gewagt die Rechnung || Division in der
‘sekundären’ || der durch diese
Regeln eingeführten || begründeten
Technik auszuführen || zu rechnen || die Division in der neuen Technik
auszuführen? || aber ist es
nicht doch gewagt, die Division in || nach der
neuen Technik auszuführen, || –
da doch
(dadurch) || dann die Richtigkeit des Resultats
abhängig wird von der Geometrie der
Übertragung? || – da doch
die Wahrheit des Resultats |
Aber wenn nun Einer sagte:
“Unsinn – || ! solche Bedenken
spielen gar keine Rolle!” || spielen in der Mathematik gar keine
Rolle.” – |
14.1.
– Aber nicht um die || eine Unsicherheit handelt sich's, denn wir
sind (ja) unsrer
Schlüsse sicher, sondern darum, ob wir noch
(Russellsche) Logik betreiben, wenn wir
z.B. wie oben
dividieren. Wie weiß ich, wie || daß ich einen R.schen Beweis als Division anwenden kann? Ich sehe z.B. nach, wie oft eine Länge in einer andern enthalten ist: wie zeigt mir ein R-scher Beweis diese || führt mich ein R-scher Beweis zu dieser Anwendung? – Z.B., in R.schen Beweisen braucht kein |
Oder soll ich sagen: Die
reine Mathematik hat nichts mit Zahlen || Anzahlen zu
tun, sowenig wie mit Längen, Kreisen, Winkeln,
etc.? Oder vielleicht
besser: ‘sowenig mit dem Zählen, als mit
dem Messen von Längen oder von Winkeln,
etc.
etc..’ Aber sie bereitet doch diese Anwendung || Anwendungen jedenfalls vor. –– Kann man jeden Satz der Mathem. logisch begründen? D.h. muß man wirklich auf |
15.1.
∣ In Zusammenhang mit Dedekinds Theorem: ich kann nach der dritten die
vierte Dezimalstelle rechnen, & nicht etwa nach der
dritten erst die fünfte, während die
vierte auf unbestimmte Dauer unbestimmt || unentschieden
bleibt. ∣ Oder: wenn sich nach der
nten die n & mte ergibt,
so muß sich nach einer angebbaren Zahl von Rechnungsstufen die
n + 1te
ergeben. Oder: wenn ich
auch mit jeder Rechnungsstufe eine Dezimalstelle
berechne es aber unentschieden bleibt, wieviele Stufen ich
rechnen muß um die n-te Stelle zu
erhalten, so berechne ich keine reelle Zahl. ∣ |
Die Trigonometrie hat ihre
Wichtigkeit ursprünglich in ihrer
Verbindung mit Längen- &
Winkelmessungen: sie ist ein Stück Mathematik, das zur
Anwendung auf Längen- &
Winkelmessungen eingerichtet ist. Man könnte die Anwendbarkeit auf dieses Gebiet auch einen ‘Aspekt’ der Trigonometrie nennen. |
Wenn ich einen Kreis in 7
gleiche Teile teile & den
Kosinus eines dieser Teile
durch Messung bestimme – ist das eine Rechnung oder ein
Experiment? Wenn eine Rechnung – ist sie denn übersehbar? |
Ist das Rechnen mit dem
Rechenschieber übersehbar? |
∣ Was heißt es:
glauben, daß ein Körper so & so viel
wiegt || ein bestimmtes Gewicht || das &
das Gewicht hat? ∣ |
Wenn man den Cosinus
eines Winkels durch Messung bestimmen muß, || , –
ist dann ein Satz der Form
cos α = n
ein mathematischer Satz? Was ist das Kriterium
der || zur Entscheidung dieser Frage || dieser
Entscheidung? Sagt der Satz etwas Äußeres über
unsre Lineale,
u. dergl. || etc., aus; oder etwas
Internes über unsre Begriffe? – Wie
ist das zu entscheiden? |
Gehören die Figuren
(Illustrationen) || (Zeichnungen) in der Trigonometrie
zur reinen Mathematik, oder sind sie nur Beispiele
einer möglichen || möglicher |
Übersetzung des
Schreibspiels in das Brettspiel: –– –– –– |
Ich bin nicht gescheit, sondern sehr dumm; weil ich nicht sehe, was unter meiner Nase liegt. |
16.1.
Wenn an dem, was ich sagen will, irgend etwas Wahres ist,
so muß, z.B. || –
z.B. –, das
Rechnen || der Kalkül
in der Dezimalnotation || mit
Dezimalen sein eigenes Leben
haben. – Man kann natürlich jede Dezimalzahl
darstellen durch ein Zeichen der Form: || in
der Form: &
daher die vier Rechnungsarten || Spezies in dieser
Notation ausführen. Aber das Leben der
Dezimalnotation müßte unabhängig sein von dem
der Strichnotation. || von dem Rechnen mit
Einerstrichen. |
In diesem Zusammenhang
fällt mir immer wieder folgendes || dies ein, daß || :
Daß man in
R.'s Logik zwar einen Satz
a : b = c
beweisen kann, daß sie uns aber einen richtigen Satz
dieser Form nicht konstruieren lehrt, d.h.
daß sie uns nicht Dividieren lehrt. Der
Vorgang des Dividierens entspräche z.B.
dem eines,
systematischen Probierens
R'scher Beweise zu dem Zwecke etwa
den Beweis eines Satzes von der
Form
37 × 15 = x
zu erhalten. ‘Aber die Technik eines solchen
systematischen Probierens gründet sich doch wieder auf
Logik.’ – Man kann doch wieder logisch
beweisen, daß diese Technik zum Ziel führen
muß.’ Es ist also ähnlich, wie wenn
wir im Euklid beweisen, daß
sich das & das so & so konstruieren
läßt. 200 |
Unsere Vorstellung
von den Mengen sind die Zahlen in der Darstellung unseres
Zahlensystems. || dargestellt in unserm
Zahlensystem. || dargestellt im
Zahlensystem. || Unsre || Unsere Vorstellung von den
Mengen sind unsere Zahlzeichen. |
Im Experiment
machen wir oft für das Resultat || Für das Resultat
des || eines Experiments machen wir oft das Wirken
unsichtbarer Vorgänge || Mechanismen || eines unsichtbaren
Mechanismus verantwortlich; der Beweis liegt ganz || offen vor unsern Augen. |
17.1.
Was will Einer zeigen, der zeigen will, daß Mathematik nicht
Logik ist? Er will doch etwas sagen
wie, daß, wenn || : –
Wenn man Tische, Stühle,
Kästen || Schränke 201 etc. in
genug || genügend Papier wickelt,
sie endlich gewiß alle
kugelförmig || gewiß endlich kugelförmig ausschauen
werden. || werden sie endlich gewiß alle
kugelförmig || gewiß endlich kugelförmig
ausschauen. |
Er will nicht zeigen, daß es unmöglich ist, zu jedem
math. Beweis einen
R'schen zu konstruieren, der ihm
(irgendwie)
‘entspricht’; sondern,
daß das Annehmen || Anerkennen so
einer || dieser || dieser Entsprechung
sich nicht auf Logik stützt. |
18.1.
“Aber wir können doch immer auf die primitive
logische Methode
zurückgehen!” Nun, angenommen, daß
wir es können – || ; wie
kommt es, daß wir es nicht tun
müssen? Oder ist es eine
Unvorsichtigkeit || sind wir vorschnell, unvorsichtig, wenn
wir es nicht tun? Aber wie gehen || finden wir denn zurück zum primitiven Ausdruck? Führt das Vorgehen im sekundären System nicht Überzeugungskraft mit sich? |
“Aber wir
können uns doch bei jedem Schritt im sekundären System
denken, daß er auch im primären gemacht werden
könnte!” – Das ist es
eben: wir können uns |
Und warum
nehmen wir den einen an Stelle des andern an?
Aus logischen Gründen? || Aus Gründen der
Logik? |
“Aber kann man nicht logisch
beweisen, daß beide Umwandlungen zum gleichen Resultat gelangen
müssen?”
– Aber es handelt sich doch hier um Umwandlungen
von Zeichen – wie will || soll denn die Logik hier ein Urteil
sprechen || entscheiden? || hier entscheiden? || ; || – || ; wie kann die Logik da entscheiden? || – Aber es handelt sich doch hier um das Ergebnis von Umwandlungen von Zeichen! Wie kann die Logik dies entscheiden? |
Man sagt
häufig: “Es ist leicht zu sehen, daß
dieser Prozeß zu diesem Resultat
führen muß.” – Wie kommt es, daß es (leicht﹖) zu sehen ist? || Wie kann es leicht zu sehen sein? Oder bilden wir uns nur ein, es zu sehen – aus einer Art Gedankenlosigkeit? |
Betrachte statt des Beispiels
‘1 : 3’ ein Beispiel der rekursiven
Abkürzung eines R.schen
Beweises! |
19.1.
Frege's Bemerkung, daß, wenn man näher zusieht, doch
alle diese Stufen durchlaufen werden
mußten, um zu diesem
Schluß zu gelangen. (Ja in seinem System
des Schließens freilich.) |
20.1.
In gewissem Sinn ist ja die || eine
Ähnlichkeit aller Zweige der Mathematik
offenbar. Immer wieder
die selben Zeichen:
Das Gleichheitszeichen, “ + ”,
“ ‒ ” etc., Funktion &
Argument. – Das ist doch
etwas. ⌇ Aber anderseits – ist es nicht auch irreführend? Wie || wie der Gebrauch von Subjekt & Prädikat als Rahmen für tausenderlei Bilder. – |
‘Du siehst also: || , – so geht es
weiter –.’ Dies
Argument wird immer wieder gebraucht. Aber es wird in den
verschiedensten Zusammenhängen || Positionen
gebraucht. |
Z.B.:
Teilbarkeit, || – wir beweisen
daß eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn ihre Ziffernsumme
|
Ich
scheine doch etwas durch meinen Beweis prophezeien || vorhersagen zu können – –
aber meine Prophezeiung || Vorhersage ist eine andere,
wenn sie sich auf's Strichsystem , || – & eine andere, wenn sie sich
auf's Dezimalsystem bezieht. Und doch || Doch aber ist es für den Beweis
(der Teilbarkeit, z.B.)
wesentlich, eine solche Vorhersage sein zu können.
|
Es ist nun die Frage, || Es entsteht die Frage, wie ich in
einem System beweisen |
Unser Beweis
muß, um eine richtige Vorhersage
herstellen || begründen
zu können, in Übereinstimmung sein,
mit der besondern Geometrie
des || dieses
Zeichenraumes. || mit der
besondern Geometrie eines
Zeichenraumes. |
21.1.
Der || Jener Beweis
der Teilbarkeit, z.B.,
muß uns überzeugen, daß die Rechnung, so
ausgeführt, zu diesem Resultat
führen muß: d.h., daß,
wir, die Regeln gewissenhaft befolgend, zu diesem Resultat
gelangen werden. |
Kann man die Frage so stellen:
“Wenn man
(z.B.) die Zeichen des
Dezimalsystems 208 als Abkürzungen der || von Zeichen des Strichsystems
betrachtet – – || : – kann
man || man nun aber den
Induktionsbeweis im Dezimalsystem als Abkürzung eines
Beweises im Strichsystem betrachten?” |
Wie kann der Beweis im
Strichsystem beweisen || beweist der Beweis im Strichsystem,
daß der Beweis im Dezimalsystem ein Beweis ist? |
Nun, – ist es hier mit dem
Beweis im Dezimalsystem nicht so, wie mit einer Konstruktion
bei Euklid, von
der bewiesen wird, daß sie wirklich eine
Konstruktion dieses & dieses Gebildes ist? |
Darf ich es so
sagen: “Die Übertragung des Strichsystems
ins Dezimalsystem setzt eine
209
rekursive || induktive Definition
voraus. Diese || Eine
solche Definition führt aber nicht die
Abkürzung eines Ausdrucks durch einen andern
ein. Der Induktive Beweis im Dezimalsystem aber
enthält natürlich nicht die Menge jener Zeichen || Dezimalzeichen die durch die
rekursive || induktive
Definition in Strichzeichen zu übertragen wären.
Dieser allgemeine Beweis || Dieses
Beweiszeichen, kann daher durch die rekursive Definition
nicht in einen Beweis || ein Beweiszeichen des
Strichsystems übertragen werden.”? |
Der rekursive Beweis
führt eine neue Zeichentechnik ein. – Er muß
also den Übergang in eine || die neue
‘Geometrie’ machen.
(Können wir
sagen): wir erhalten eine neue Methode ein
Zeichen wiederzuerkennen? || 210 Es wird uns eine neue
Methode || ein neuer Weg gelehrt, ein Zeichen
wiederzuerkennen. || Es wird ein neues
Kriterium für die Gleichheit von
Zeichen eingeführt. |
“Der Beweis muß übersehbar
sein” – heißt das nicht: daß es ein Beweis
ist, muß zu sehen sein. |
22.1.
Der Beweis zeigt || sagt uns, was herauskommen
soll. – Und da jede Reproduktion des Beweises das
nämliche demonstrieren muß, so muß sie
einerseits || also das
Resultat automatisch reproduzieren, anderseits
aber auch den Zwang es zu erhalten. || . – Daher muß jede Reproduktion des
Beweises das || sein
Resultat automatisch enthalten, &
dennoch 211 auch zu ihm führen. || . – Und da jede Reproduktion des
Beweises das nämliche demonstrieren muß, so muß sie
einerseits das || sein
Resultat, automatisch, reproduzieren, anderseits aber auch
den Zwang, es anzuerkennen.|| soll. – Daher gehört einerseits das Resultat zum Beweis – & die || jede Reproduktion des Beweises muß es || dies || das Resultat automatisch enthalten, || –, anderseits aber uns immer wieder zwingen, es anzuerkennen. || – Daher gehört einerseits das Resultat zum Beweis – & jede Reproduktion des Beweises muß es automatisch enthalten – anderseits aber auch uns immer wieder zwingen, es anzuerkennen. D.h.: wir reproduzieren nicht nur die Bedingungen, unter welchen sich dies Resultat einmal ergab (wie beim Experiment), sondern das |
Wir müssen einerseits den Beweis automatisch
ganz reproduzieren können, &
anderseits muß diese Reproduktion wieder
der || ein Beweis des Resultats sein.
|
“Der Beweis
muß übersehbar sein” will unsre
Aufmerksamkeit eigentlich auf den Unterschied
der Begriffe richten || richten der Begriffe:
‘einen Beweis wiederholen’, || & ‘ein Experiment
wiederholen’. Einen Beweis wiederholen heißt
nicht: die Bedingungen reproduzieren unter denen einmal
ein﹖ |
Es ist also, als ob ich sagte: Der
Beweis ist nichts als ein Bild, & doch muß er uns
überzeugen. |
Sind die
(verschiedenen) || (diversen)
Kalküle der Mathematik nur |
Oder man könnte fragen:
“Die Mathematik kennt || hat die mannigfaltigsten Konstruktionen
für ihre Sätze: kann man alle diese
Konstruktionen auf R.sche Weise
rechtfertigen?” |
Könnte man fragen:
‘Muß die √2, im Dezimalsystem auf Grund
der (R.schen) Logik, im Dezimalsystem
gleich 1˙4142 .... sein?’ |
24.1.
Eine Zahl nach dem Rhythmus von Schlägen erkennen. – Wie weiß ich, daß, was auf diese Weise
gleichzahlig |
Man hätte
auf die √2 so kommen können:
Wenn man eine ganze Zahl im Dezimalsystem || im Dezimalsystem eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert, so entsteht manchmal ein Produkt mit einer ungeraden Anzahl von Stellen, dessen höchste Stelle 1 ist, der 1 folgt eine ununterbrochene || nicht unterbrochene Reihe von 9ern & endlich noch einige andere Stellen folgen || welcher unmittelbar eine nicht unterbrochene Reihe von 9ern folgt & endlich noch einige andere Stellen folgen || welcher unmittelbar eine nicht unterbrochene Reihe von 9ern folgt & endlich noch eine Zahl anderer Stellen; vergrößert man aber die Einerstelle der Faktoren um 1, so wird das Produkt bereits ˃ 2. Liegt uns ein solches Produkt a × a = b vor, so kann man ein weiteres derselben || dieser || der gleichen Art konstruieren mit einer längeren Reihe von 9ern, indem man an die Zahl || Ziffernreihe a rechts eine bestimmte Einerstelle || Folge weiterer Stellen anhängt. Auf diese Weise erhielt man etwa die Folge: 14 × 14 = 196 141 × 141 = 19881 1414 × 1414 = 1999396 Nun ist es klar, daß man diese Multiplikationen im Strichsystem ausführen kann. Und auch, daß man in diesem System eine Eigenschaft der Produkte nachweisen kann, die darauf hinauskommt, daß die Produkte sich immer mehr einer Zahl 2 × 102n nähern. – Was aber kann mich sicher machen, daß die Beweise in den beiden Systemen wirklich parallel laufen werden? – Dies kann nicht der Beweis || können nicht die Beweise im Strichsystem sein, da ich ja im Dezimalsystem unabhängig von jenem System || diesem vorgehe. Es ist also denkbar, daß es sich am Ende der Wege zeigt, daß |
25.1.
Aber, wenn man das auch zugibt – || ; || , – ist es nicht eine
Spitzfindigkeit? Kann man nicht sagen:
“Der Mathematiker kümmert sich um solche
mögliche Unstimmigkeiten nicht – er || .
Er setzt voraus – & mit Recht – daß
alles auf dem Papier in Ordnung gehen werde || geht.”
D.h.:– Was etwa den Strichkalkül anbelangt, so können wir ja die Striche numerieren & ihre Menge dadurch übersehbar machen &, verlaß Dich nur |
Wann sagen wir: ein Kalkül
‘entspräche’ einem andern, sei nur
die || eine abgekürzte Form des ersten? – ‘Nun, wenn man die Resultate dieses, durch
entsprechende Definitionen in die Resultate jenes
überführen kann.’ Aber ist
schon gesagt, wie man, mit diesen Definitionen zu rechnen
hat? Was macht || läßt uns diese
Übertragung anerkennen? Ist sie am Ende ein abgekartetes Spiel? Das ist sie, wenn wir
entschlossen sind nur die Übertragung
anzuerkennen, die zu dem uns gewohnten Resultat
führt. |
Wenn wir von ‘einander entsprechenden’ |
Warum nennen wir einen Aber stimmt das, sogar im Fall des Multiplizierens im Strichsystem mit numerierten Strichen? |
26.1.
Nun muß es klar gemacht werden, || muß klar
gesagt werden, daß die Rechnungen in der
Strichnotation || im Strichsystem
(SN)
normalerweise immer mit denen in der
Dezimalnotation übereinstimmen werden. Vielleicht
werden wir, Aber das zeigt natürlich || freilich schon, || : daß nicht die Beweise im Strichsystem die Beweise im Dezimalsystem zwingend machen. || , || : daß nicht die Beweise im Strichsystem – die Beweise im Dezimalsystem zu zwingenden Beweisen machen. |
“Hätte man aber nun diese nicht, so
könnte man jene gebrauchen, um das Gleiche zu
beweisen.” – Das Gleiche?
Was || – was ist das Gleiche? –
Also, der Strichbeweis wird mich vom Gleichen, wenn |
27.1.
Ich schlage mich auf diesen Seiten mit
einem bestimmten Teufel herum; & der Kampf ist noch
unentschieden. |
28.1.
Es wäre natürlich Unsinn zu sagen, daß ein
Satz Ist denn z.B. das mathematische Faktum, daß 129 durch 3 teilbar ist, unabhängig davon, daß dies Resultat bei dieser Rechnung herauskommt? Ich meine: ist das Faktum dieser Teilbarkeit unabhängig von dem Kalkül vorhanden, in dem || besteht das Faktum dieser Teilbarkeit unabhängig von dem Kalkül, in dem es sich ergibt; oder ist es ein Faktum dieses Kalküls? |
Denke man sagte:
“Durch das Kalkulieren || Rechnen lernen wir die Eigenschaften der
Zahlen kennen.” Aber bestehen die Eigenschaften der Zahlen außerhalb des Rechnens? |
‘Zwei Beweise, beweisen dasselbe, wenn sie mich von
dem gleichen überzeugen.’ – Und
wann überzeugen sie mich von dem Gleichen? Wie
weiß ich, daß sie mich vom Gleichen überzeugen?
Natürlich nicht durch Introspektion. |
Man kann mich auf verschiedenen Wegen
dazu bringen, || bewegen, diese Regel
anzunehmen. |
Kann
man in R' Logik beweisen, daß
~100p ≡ p ist? – Nun warum nicht?
“~100p”
steht
|
29.1.
Numerieren wir die ‘~’ vor
p mit
den Buchstaben ‘a’ bis
‘r’: Ist
~rp ≡ p || Ist ‘~rp’
ein R-scher Begriff? (Wie, wenn
‘~rp’
hieße: viele Verneinungen von
‘p’?) |
Ich bin versucht hier eine Deutung zu
konstruieren || erfinden, nach welcher man sagen kann,
daß der Sinn der Sätze, die durch die Rechnungen
und
bewiesen sind, ein verschiedener ist. D.h.: ich will die Worte “Sinn eines mathematischen Satzes” so deuten, daß dieser || der Sinn davon || auch davon abhängt, || abhängig wird, wie der Satz erhalten wird. So eine Deutung || Betrachtung kann natürlich nicht zeigen, daß es falsch ist zu sagen, zwei Beweise bewiesen das Gleiche! (Analog kann man sagen, daß verschiedene Kriterien beweisen, daß der Tod vor zwei Stunden eingetreten sei, & doch kann es nützlich sein von verschiedenen |
Aber kann man gegen mich nicht
einwenden: daß nur eine kleine Zahl || Anzahl Zeichen-geometrischer Prinzipe in der
Mathematik angewandt werden, so daß der Unterschied der
Berechnungen des gleichen Satzes uninteressant wird.
[Dies ist sehr unklar
ausgedrückt.] Ich meine: Kommt, was ich sagen will, nicht darauf hinaus, daß jeder neue |
Wohl aber kann nicht
so eine neue Methode trivial werden, indem man sie auf
trivialem Wege einführt? Könnte z.B. das Multiplizieren mit Dezimalen nicht als eine triviale Abweichung vom Multiplizieren im Strichsystem dargestellt werden? Ja; aber hörte die Trivialität nicht dann auf, wenn gezeigt wird, daß wir uns in gewissen Fällen auf die zweite & nicht auf die erste Methode verlassen? |
(Man könnte mein Problem
auch so ausdrücken: Ist es richtig die
Mathematik als eine Klasse von wahren
Sätzen aufzufassen?) |
30.1.
Kann die Strichrechnung mich davon überzeugen, daß die
Dezimalrechnung dies ergeben wird? In gewissem
Sinne doch offenbar! |
Ist nicht folgendes ein starker Einwand gegen mich:
Niemand wird sich die Mühe nehmen, das Kommutative Gesetz
für das Rechnen im Dezimalsystem zu beweisen, wenn es
für das Strichsystem bewiesen ist. Man wird vielmehr
auf diesen Beweis hin sagen, || : es
müsse nun auch
fürs Dezimalsystem |
Und damit hängt
diese Frage zusammen: Sind es nur
so uninteressante Fälle, wie
z.B. lange Sätze im Dezimalsystem,
in denen die ‘kürzere’ Rechnungsweise
mehr als eine ganz triviale Transformation der
‘langen’ ist. |
Kann man nicht sagen, daß alle
interessanten Sätze über die Kardinalzahlen
(& daher alle Sätze über die Zahlen) im
Strichsystem |
Aber, wenn wir nun
z.B. das Kommutative Gesetz im Strichsystem
bewiesen haben, ist es dann nicht von höchstem Interesse, daß
die Rechnungen im Dezimalsystem – so gut wie immer – diesen
Beweis || dieses Gesetz
befolgen? Und nicht nur darum weil man also so
kürzer rechnen kann, sondern weil man also
auch anders rechnen kann. |
Man könnte fragen: Wie ist es
denn möglich, daß mich || uns der
Skolemsche
Induktionsbeweis des Distributiven a + (b + c) = (a + b) + c & kommt das im besondern Fall nicht heraus, so haben wir einen Fehler anzunehmen. Wohl, aber das wäre dann also unter Umständen eine sehr unpraktische Regel & eine, die anzunehmen kein Grund vorhanden wäre. |
Es gibt aber nun doch mehr oder
weniger triviale Ersetzungen &
Abkürzungen! |
∣ Der Bescheidene, der sich selbst mitzuzählen
vergaß. ∣ |
31.1.
Es sei π100 die
100-stellige ganze
Zahl, || : 314159 …. Ist dann
der Beweis, das ~π100p ≡ p
ist (oder das Gegenteil) ein
R'scher Beweis, da doch dieser Satz der Logik nur
eine Abkürzung eines
R'schen Satzes ist? |
Nun, der Beweis involviert
eine neue Technik der Zahlbestimmung – wie man sagen
könnte. Aber statt des allgemeinen
Ausdrucks “Zahlbestimmung”, ◇
wäre es besser ganz speziell von einer Bestimmung der Menge der
“~” zu reden. || einen ganz
speziellen zu verwenden für die Bestimmung der Menge der
Negationen. |
Lenkt nicht das Wort
“abgekürzt || Abkürzung” unsre Aufmerksamkeit – wie ein Taschenspielertrick || Taschenspielerkunststück – || , wie ein
Taschenspielertrick || Taschenspielerkunststück,
auf den || einen unwichtigen Gegenstand?
Freilich ist der “~π100 p”
kürzer als (eine ihm || die entsprechende Reihe) von
“~ ~ ~ .....p”;
aber doch nur (darum), weil,
z.B., der Buchstabe π ein so || so
ein kurzes Zeichen ist. Wie, wenn wir statt seiner
einen Linienzug verwendeten, (der) komplizierter
(wäre), als die ganze Reihe der
Negationszeichen? |
– Aber man könnte doch auch sagen || argumentieren: “Die Rechnung die
“~π100 p”
in die Form der Reihe umwandelt, zeigt bloß, was
“~π100 p”
bedeutet –, sie ist bloß die Übersetzung
von einer Ausdrucksweise in eine andere – |
(Wenn man diesen Weg geht,
könnte man noch einen Schritt weiter gehen & sagen,
daß der R'sche Beweis dann einen
Satz beweist, der nichts sagt.) |
Aber warum soll ich das
‘Übersetzen’ von einer Ausdrucksweise in
eine andre nicht auch einen Beweis nennen?
Der || der zeigt || beweist, daß diesem Ausdruck in der einen
Ausdrucksweise dieser in der andern entspricht. (So kann man Einem mittels Hilfe des Wörterbuchs & der Grammatik beweisen, daß dieser deutsche Satz auf Englisch so heißt || lautet. || lauten muß. |
1.2.
∣ ‘Zweck der Musik: Gefühle zu
|
Verbirg dir
nie, || : daß du in Schwierigkeiten
bist. |
Damit
verbunden: Wir mögen mit Recht sagen
Einer || “er hat || macht jetzt den gleichen
Gesichtsausdruck || das gleiche Gesicht
wie damals || früher” – obwohl die Messung in
(den) beiden Fällen
Verschiedenes ergab. Wie werden die Worte “der gleiche Gesichtsausdruck” gebraucht? – Wie weiß man, daß Einer diese Worte richtig gebraucht? Aber wie weiß ich, daß ich sie richtig gebrauche? |
‘Ich
fühle, daß ich das Wort “rot”
richtig gebrauche.’ Nun, das kann man schon
sagen. Nur ist es jetzt interessant zu
untersuchen, was mit diesem |
Die unerfüllte Sehnsucht in der
Philosophie: ‘Ich will Rot
beschreiben, kann es aber nicht’. Sehn'
ich mich nach dem, wonach man sich nicht sehnen
kann? Wenn ich in einem Kreis herum liefe,
immer schneller, || – & sagte,
ich wollte || wolle mich fangen – soll man
dann sagen, || : ich
versuche mich selbst einzuholen, || – oder soll man es nicht sagen? |
3.2.
Es heiße ‘
⇒ Fortgesetzt in Band
XIII.
|
1) See facsimile; arrows pointing to remarks '“250 Würfel ...' and '“250 + 3220 Würfel ...' on page 23v.
2) It seems that the remark 'I'm much too slick ...' was written at an earlier point, and the sentence 'Aber ich verwende ...' had as a consequence to be written around it.
3) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
4) See facsimile; Wittgenstein writes 'Leeraufführungen'.
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BOXVIEW: http://wittgensteinsource.com/BTE/Ms-122_n