266.4.38.
Vergleiche den Gebrauch des Wortes “unendlich || transfinit” in der Mathematik mit dem Gebrauch des
Wortes
“Metapsychologie || metapsychologisch”. Warum hat man denn in der modernen Erklärung der Differentialrechnung das Wort “unendlich klein” gebannt || mit Bann belegt || ausgemerzt? Könnte man dieses Wort nicht beibehalten & dennoch die richtigen Erklärungen geben? Wenn es auf das Wort gar nicht ankommt, warum ließ man es nicht stehen? |
“Was Du in Deinen
Rechnungen tust, kann nur immer etwas Endliches sein.”
– Doch wohl, weil das Unendliche zu groß
wäre.
|
“Ich kann mir eine
unendliche Baumreihe denken.”
Gewiß; ich habe bei diesen Worten eine Vorstellung, aber in
wiefern zählt die? Kommt es auf sie
an? |
Du sagst, Du sprichst von etwas ungeheuer
Großem – wie zeigt es sich
denn, daß Du von etwas ungeheuer Großem sprichst? || davon sprichst? Kann man, was Du sagst, auf
etwas ungeheuer Großes
anwenden? |
Mit
“unendlich” scheinst Du zu sagen:
Etwas, was die Fassungskraft meiner || der Sinne übersteigt. – Ist es nicht,
als sagte ich: “Er flog weiter & weiter,
bis er endlich gänzlich meinem Blick
entschwand”
|
27.4.
“Was Du tust, sind doch lauter endliche
Operationen.” – Dies ist offenbar ein
verdrehtes Argument. Was hast Du Dir denn erwartet? – Nun, irgend etwas Außergewöhnliches. Worauf bist Du denn gekommen? Ich glaube: darauf, daß, was Du unter dem Gesichtspunkt des Unendlichen betrachtest, auch unter dem Gesichtspunkt des Endlichen betrachtet werden kann. Beinahe könnte man so sagen: “Warum fällst || gerätst Du bei diesen Zeichen in Ekstase?” |
“Du machst doch lauter
|
“Nun,
ich spreche z.B. von der Zahl der
Kardinalzahlen, & die ist doch unendlich.”
Wir bilden den Ausdruck “Anzahl der Kardinalzahlen” & wir neigen dazu uns darunter etwas wie eine ungeheure Zahl vorzustellen. |
8.5.
Was heißt “etwas wissen”? Man
bedenkt nicht, welch große Bedeutung es haben
kann, sich etwas zu sagen. Weiß ich,
wie ich mich in dem & dem Falle benommen
habe? In einem Sinne, ja;
|
Weiß ich,
daß ich Schmerzen habe, erst wenn ich es sage? –
“Du weißt es ohnehin, wozu sollst Du Dir's
noch mitteilen?” – Sich
selbst etwas sagen, kann eine Handlung von großer
Bedeutung sein. |
Es kann Einer nicht
‘Recht¤ (oder
‘Unrecht)¤ haben’, || ‘Recht
haben’,
wenn er
sagt: “ich habe Schmerzen”. |
Wie sieht das
Phänomen des menschlichen Erinnerns aus? Nun, es
beschreibt Einer was war, als wäre es noch
gegenwärtig; so sieht es
|
9.5.
In ganz || verhältnismäßig seltenen Fällen
nur, spricht man von einem Erinnerungserlebnis,
z.B. von einem Erinnerungsbild: || – “Ich sehe ihn noch vor mir, wie er
…”, “Ich kann noch seine Stimme
hören”, etc.. Nur in der Philosophie & philosophierenden Psychologie hat man das Erinnerungserlebnis als das zentrale Phänomen des Erinnerns aufgegriffen || zum zentralen Phänomen des Erinnerns gemacht. Denn man denkt: wer sagt: “ich erinnere mich …”, beschreibt einen |
Wer sich
erinnert, tut etwas; er sagt,
z.B., etwas; & ist das
nichts? – “Aber das ist doch nicht
alles, || ! es genügt doch
nicht, daß er bloß diese Worte ausspricht.”
|
“Wenn
man nur sagte, ‘ich habe
Schmerzen’ & nicht auch Schmerzen
hätte, wäre gar nichts Schreckliches an den
Schmerzen.” – Freilich, wenn man keine
Schmerzen hat, so ist daran nichts Schreckliches.
“Wenn man nur das Schmerzbenehmen hätte & sonst nichts, so wäre Freilich: sich die Wange halten, ist nicht unangenehm, || – der Zahnschmerz ist das Unangenehme. |
“Ich habe
doch nicht nur eine Erinnerung an mein
Benehmen || , ein Bild meines Benehmens; sondern auch des
Schmerzes!” – Ich bezweifle es nicht;
aber warum sagst Du das? Du willst immer
wieder sagen, Du habest ein Bild & damit eine
hinweisende Definition des Wortes
“Schmerz”. Nur ist das Bild eben ein
‘inneres’ & es hat keine hinweisende
Definition statt, denn ich wüßte ja nicht, was Du meinst wenn
Du es mir nicht zeigen kannst; & wie weißt Du, daß Du
jetzt das Gleiche meinst,
|
“Aber wenn ich Schmerzen habe, so – möchte
ich doch sagen –:
habe ich etwas außer || Bestimmtes ganz
abgesehen von meinem
Benehmen”!” “Wenn ich
Schmerz fühle, so ist doch kein Zweifel: ich habe
etwas.” – Aber was für einen
Gebrauch vom Worte “haben” machst Du
hier? Willst Du sagen, es ließe in diesen
Fällen sich bestätigen, daß Du ‘etwas
hast’?
|
Die
Vorstellung des Schmerzes, die Erinnerung an den Schmerz kann das Wort
“Schmerz” nicht definieren helfen.
|
Du
sagst: “ich habe Schmerzen” – wie
weißt Du, daß Du das Wort “Schmerzen” richtig
anwendest? Du weißt es nicht,
d.h., es gibt dafür kein Kriterium, das
Wort drängt sich Dir auf. Du sagst es, Du
weigerst Dich ein andres zu gebrauchen, Du beteuerst,
etc.,
etc.¤ Das Wort drängt sich Dir mit Macht auf; es ist, |
“Aber ich bin
doch geneigt den Ausdruck ‘ich habe’ zu gebrauchen,
eben weil ich etwas merke!’ –
Und warum bist Du geneigt den
Ist es also so: ich greife immer nach etwas, & es ist nichts da –? – Aber warum soll ich nicht sagen, es ist etwas da, || ? indem ich allerdings die greifende Bewegung als Kriterium dafür nehme, daß ‘etwas da ist’? || . |
10.5.
‘Brahms
hat alles herausgebracht, was in dem Thema ist || liegt.’ Aber wäre es in dem
Thema gewesen, wenn er es || er's nicht herausgebracht
hätte? –
D.h.: wenn das
Ganze da ist, so ist es als hätte die Entwicklung in
dem Thema gelegen. ‘Es liegt schon irgendwie in
dem Thema, er holt es nur heraus.’
|
Der Eindruck:
‘es liegt schon darin’. Wir sind geneigt, das Bild des Darin-liegens, die Worte “es liegt darin”, anzuwenden. |
“Zugegeben, ich habe keine
Rechtfertigung, was ich fühle
‘Schmerz’ zu nennen, || : aber daß
etwas || Etwas da ist, das ist doch klar!”
(“Es ist doch da nicht nichts!
Es geht doch
(offenbar) || irgend etwas vor; es ist doch etwas
da!”) –
‘Was
soll || Wozu der
Lärm?’ – Sagt man das nun mit Recht,
oder Unrecht? – Wie soll man
das || es entscheiden?
“Aber – möchte man sagen – ich wende doch das Wort an, ich sage es doch nicht bloß.” – Wie wenn Einer sagte: “Ich versichere Dich, ich wende das Wort an – kannst Du es mir || mir's denn nicht glauben?!” – mußt Du denn zweifeln?!” – Aber bezweifle ich denn, was er sagt? Glaube ich denn |
Es handelt sich – könnte man vielleicht sagen – um
eine falsche || irreführende Anwendung des Wortes
“etwas”. Denn dies Wort ist – sozusagen – das Mindeste, was man glaubt sagen zu können. || sagen kann (&) was man glaubt mit Sicherheit sagen zu können. |
11.5.
“Aber ich schreie doch nicht grundlos
‘Au!’” –
d.h.: ohne eine Begleitung
‒ ‒ aber müssen wir denn den Schmerz eine
“Begleitung” des Schmerzlautes
nennen? Oder besser: ist es klar, daß wir hier
das Bild von der Begleitung gebrauchen
müssen?
[Beispiele vom monotonen Sprechen.] |
Es ist
uns als schauten wir unsern Schmerz an & sagten:
→ Man macht eine Pseudo-Beobachtung. |
Was leugnet der,
der sagt, ein Mensch sei nur eine sehr komplizierte
Maschine? Warum will man dem
widersprechen? Oder der, der || welcher sagt, der Wille sei nicht frei, man tue nur was man
tun müsse?
|
‘Ist denn nichts da –
wenn Einer wahrheitsgemäß sagen kann, es sei etwas
da?’
Ja wenn wir diese Ausdrucksform gebrauchen, können wir nicht umhin auch jene zu gebrauchen. |
Warum aber sagen
wir, “er spricht die Wahrheit”,
sowohl wenn er sagt, er habe Schmerzen,
als auch, wenn er sagt, Napoleon sei 1821 gestorben, &
2 + 2 sei 4. Und das führt uns zur Frage, warum man
in allen diesen Fällen Substantive, Adjektive & Verben
verwendet; oder auch: warum man die
Subjekt-Prädikatform verwendet. Erinnere Dich,
daß man gesagt hat, jeder Satz habe ein
Subjekt & ein || bestehe aus Subjekt &
Prädikat. Ich konstatiere also eine
starke Tendenz diese Schemata zu verwenden. Wie kommt es,
daß wir
|
‘Muß ich denn
nicht sagen, || : es ist etwas da, || – wenn ein Mensch || man || Einer || er
(doch) wahrheitsgemäß sagen
kann, es sei || ist etwas
da?’ Gewiß – nur: was ist hier das Kriterium der Wahrhaftigkeit? Und was er sagt || uns sagt ist ja nicht: “Wenn ich Schmerzen habe, so ist etwas da” – sondern: “Es ist etwas da”. |
‘Man kann doch
mit gutem || ruhigem Gewissen sagen, es ist etwas da
– wenn Einer wahrheitsgemäß sagen || versichern kann, es sei etwas da –.’
|
12.5.
“(Ein) Schmerz ist
doch etwas, (ein)
Schmerz ist doch nicht
nichts.” Stimmt das?
Das klingt doch sehr plausibel. Ist (der) Schmerz etwas, – oder ist er nichts? – Erwäge diese Frage! |
Es kommt uns abwechselnd vor als wäre er
etwas, & als wäre er nichts. |
“Wenn ein
glaubwürdiger Mensch mich versichert, daß
da etwas ist, so glaube ich es. – Und was mehr kann
ich wollen? Also glaube ich, daß etwas da ist
& daß es Schmerz ist. Und wenn das nicht
genügt, was sollte genügen?
|
Kann ich auf den Schmerz zeigen,
oder nicht? – Wenn mir Einer
versichert, er zeige innerlich
|
13.5.
Wir sehen die Fata Morgana einer
Sprache vor uns, welche || die nicht
existiert. (“Komm, laß mich dich
fassen!”) || Wir sehen
die || eine Fata Morgana
einer Sprache vor uns. |
‘Aber sagst Du nicht
doch, mehr oder weniger verkappt, es sei da nichts als die
Äußerung?’ Wie, wenn ich sagte: “Das einzig Greifbare ist die Äußerung”? Wäre das falsch? – Aber wie, || – ist also der Schmerz: ‘zwar nichts Greifbares, aber doch etwas’? also etwas Ungreifbares? Du verwendest die ganze Sprache falsch! |
“Aber ich stelle mir
doch den Schmerz vor!” – Was macht
|
Und freilich willst Du
nicht nur das Wort “etwas”
hier anwenden, sondern auch, & vor allem, das
Bild ‘etwas’, || – eine
Geste, eine Innervation gewisser Muskeln. |
Ich suche Worte der
Entzauberung.
|
Wie wenn man
sagte: “der Schmerz ist, an der Äußerung
|
“Du
gibst dem Schmerz nur sozusagen eine
schattenhafte Existenz.” –
Durchaus nicht; aber, ob Du ihn schattenhaft siehst, oder nicht
hängt davon ab wie Du Dein Auge einstellst.
Ist es auf den Vordergrund eingestellt so siehst Du den
Hintergrund schattenhaft, und umgekehrt. |
“Wenn etwas Realität
hat, so
|
14.5.
“......... Wenn er später ein
gewisses Gefühl hat, sagt er: ‘ich habe
Schmerzen’.” –
Vergleiche damit: “Wenn er später einen Körper || eine gewisse Figur sieht, || ihm später eine gewisse Figur gezeigt wird, sagt er: ‘hier ist ein Kreis || Sechseck’.” |
(Oder:)
“....... Später sagt er unter gewissen
Umständen: ‘ich habe
Schmerzen’.” – Welches sind
diese Umstände; ist einer der Umstände || davon || von
ihnen, daß er Schmerzen hat? |
“Wenn er später ein gewisses Gefühl hat (Du
weißt welches ich meine) sagt er
‘.....’.” |
“Dieser Ausdruck läßt es erscheinen,
daß || als ob || wäre ......” –
daß das Unmögliche der Fall
ist || wäre || als wäre das Unmögliche der
Fall? “Dieser Ausdruck ist irreführend” – Führt er uns dazu, daß wir das Unmögliche für wahr halten? Wohin führt er uns, wenn er uns irreführt? – Er führt uns in philosophische Schwierigkeiten || Zweifel || Unsicherheiten; er führt uns dazu anzustaunen || aufgeblasene Götzen || wissenschaftliche Windbeuteleien anzustaunen & gedankenlos nach gewissen gut klingenden Formeln zu handeln, etc. || , & dergl.¤ |
“Dieser Ausdruck
läßt es erscheinen als wäre dieser Fall analog dem
.....” – Nun,
|
Womit kann
dieses Bild streiten? – Mit den Tatsachen? – – Mit andern Bildern!
|
…“Wenn er später ein gewisses Gefühl hat,
sagt er: ‘ich habe Schmerzen’,”
– macht || läßt es erscheinen,
als ob man durch Identifikation || Identifizierung des
Gefühls, || – indem man es
gleichsam anschaut, || –
herausfinden könnte, ob er ¤ das Wort
richtig verwendet. |
Der Vergleich hat etwas
reizendes, irritierendes. |
Man kann sagen,
daß der, welcher dies sagt, kein klares Bild von der Verwendung des
Satzes hat. |
Wie ist es aber
damit: “Wenn ich später ein
gewisses || dieses Gefühl habe, sage ich
‘......’”? – Beschreibt
|
Wenn wir eine
Ausdrucksweise mit etwas
konfrontieren, gegen etwas ausspielen,
so || streiten lassen, so kann es nur eine andere
Ausdrucksweise sein.
|
“Wenn ich später
dieses Gefühl habe …” – oder soll ich
sagen: “Wenn ich später dieses selbe
Gefühl zu haben glaube …”, oder wenn ich glaube,
dies zu glauben? |
Nun, die
Aussage || der Satz “Wenn ich
…” beschreibt || sagt etwas
über unser Sprachspiel aus: nämlich
etwas über den relativen Gebrauch des Ausdruckes
“dasselbe Gefühl” & des Wortes
“Schmerz”. Er sagt
|
Aber es genügt doch nicht zu
sagen: “Später sage ich manchmal:
‘ich habe Schmerzen’”.
Aber warum genügt es nicht? |
Inwiefern kann man sagen, daß das
Lügenspiel auf dem Spiel ohne Lügen basiert ist?
Doch nur darum weil wir das Wort Lüge nicht für
etwas gebrauchen würden, was nicht in bestimmter Weise eine
Ausnahme wäre. |
“Aber besteht die Lüge nicht darin, daß man
sagt: ‘ich habe Schmerzen’, & sich
dabei, z.B., wohl
fühlt?”
Wie weiß ich, daß ich lüge? |
Das
Gefühl als Begleitung des Ausdrucks erscheint
gleichsam || mir wie die Schlieren
in || der heißen Luft, die
unser Gesichtsbild || das Bild einer
Landschaft begleiten.
|
Warum soll der
Schmerz nicht zum Ausdruck
gehören?
Und die Verschiedenheit der begleitenden
Gefühle nicht zum Verfließen der Zeit?
|
‘Führe mir einmal den Fall so einer
Lüge vor, daß ich weiß, was Du
“Lüge” nennst!’ – |
Du hast ein
Bild. (Eine Ausdrucksweise.) Aber
rechtfertigen kannst Du es nicht. Wie
Du hinter die Ausdrucksweise zurückgreifen willst, greifst
Du in's Leere. Du kannst dort
wieder etwas arrangieren, was Dein erstes Bild
rechtfertigt, aber Du
|
Also, || :
‘Weder was wir sagen, noch, daß﹖ wir
etwas﹖ sagen, ist durch etwas
Anderes || Dahinterliegendes
gerechtfertigt.’ Und das wäre eine
Beschreibung eines Sprachspiels zur Unterscheidung
von einem andern. (‘Hier gibt
es ein Tor, dort nicht.’) |
“Also
begleitet die Schmerzäußerung (die ungeheuchelte)
wirklich nichts?” – Wie will man
es entscheiden? – “War es Irrtum,
daß ich meinte, es begleite sie || die
Schmerzen etwas?” –
Der Irrtum liegt darin, daß Du durch Konzentration auf die
Vorstellung der Schmerzsituation feststellen willst, ob den
Schmerzausdruck
|
“Also steht
die Schmerzäußerung wirklich allein
da?” || ; da sie durch
nichts gerechtfertigt ist?”
Wir können uns hinter ihr ebensogut immer das Gleiche, als immer etwas Anderes stehen denken. Und also ebensogut etwas, als nichts || Etwas als Nichts. |
“Die Schmerzäußerung ist doch nicht
ungerechtfertigt! sie ist doch durch den
Schmerz gerechtfertigt!” – &
zugleich: “Die Schmerzäußerung
ist doch durch nichts gerechtfertigt﹖! Ich kann doch nichts
anfassen & behalten, was sie
rechtfertigt!” |
“Also steht die
Schmerzäußerung
|
Wie wenn ein Wortausdruck ein
bestimmtes Bild in uns hervorruft, aber dann für etwas
steht || verwendet wird was dem Bild im normalen
Sinn entgegengesetzt ist. Wir werden dann
immer wieder vom Wortausdruck auf's Bild & dann
wieder vom Wortausdruck auf die tatsächliche
Anwendung blicken & sagen:
“aber es heißt doch das! –
Aber es heißt
|
15.5.
“Also steht die Schmerzäußerung wirklich allein
da; ....?” – Warum soll ich diese Worte,
“sie || die
Schmerzäußerung steht allein
da”, nicht sagen? Welche Konsequenz haben sie
denn? Sie haben ja eben keine Konsequenz.
|
Dein || Mein Spiel bleibt || bewegt sich ganz in der Sprache.
|
Ich sage
mir das Wort “Schmerz” & stelle mir
den || einen Schmerz vor; & sage
mir: “da haben wir doch, was das Wort
‘Schmerz’
bezeichnet–”. Gewiß,
das tue ich. Aber was
weiter? – || ; was habe ich damit
getan? wozu war es nütze? (Ich habe die
Schenkungsurkunde an mich ausgefertigt; aber was nun
weiter damit?) |
Ich will, daß Du Dir bewußt wirst, daß die Worte nur Worte
sind. “Daß ihnen keine magische Kraft
innewohnt”, – möchte ich
sagen. D.h. ich möchte, daß
Du Dich fragst: “Ja, das sage ich
– & was weiter?” |
Wie ist es mit diesen
unnützen Sätzen, sind sie sinnlos? Nun Meine ich denn nichts mit ihnen?
Nun, Ich sage sie jedenfalls
nicht ‘mechanisch’, sondern
‘erlebe’ || erlebe sie. || Ich
meine doch etwas. – Ich sage sie gewiß
nicht ‘mechanisch’ sondern erlebe
sie. |
Ich möchte, daß Du den
Übergang machst von der Seele des Satzes zu seiner Funktion im
Sprachspiel. |
Du kannst auch den Satz,
“Ich bin hier” mit Seele
|
Ich will Dir eigentlich nur etwas
abgewöhnen.
|
“Aber habe ich denn nicht
damit das Wort mit seiner Bedeutung
konfrontiert? || & seine
Bedeutung Aug in Aug
einander gegenüber gestellt?” –
Habe ich es denn mit seiner Bedeutung
konfrontiert? ¥
|
Denke, es wäre der
Gebrauch || gebräuchlich an den Enden jedes
Ballspielplatzes z.B. auch jedes Tennisplatzes,
‘Tore’ aufzustellen || die Menschen stellten an den
Enden jedes Ballspielplatzes z.B. auch jedes
Tennisplatzes, ‘Tore’ auf.
|
Ich mache Dich aufmerksam darauf,
daß der Satz zu nichts führt. –
|
⍈
“Aber habe ich denn nicht
damit || damit nicht das Wort seiner Bedeutung
gegenübergestellt?” – Habe
ich denn damit das Wort seiner Bedeutung gegenübergestellt?
|
Gehört das zum Sprachspiel,
zu dem diese Worte dienen? Du
kannst diese Frage beantworten, wie Du willst.
|
“Aber zeigt es mir nicht,
daß ich weiß, was ‘Schmerz’
heißt?” – Zeigt es
Dir, daß Du weißt, was “Schmerz”
heißt? – Man sagt:
“Laß mich sehen, ob ich weiß, was Sepia heißt || wie Sepia aussieht (ich
rufe es mir in die Erinnerung) – ja, ich ¤
weiß es..” (ich habe es mir in
die Erinnerung gerufen) ‒ ‒ Aber wie wird dieser
Satz nun weiter verwendet? & wie der Satz:
“ich habe es mir in die Erinnerung
gerufen”? ‘Interessiert Dich das
nicht?’ möchte ich fragen.
|
“Aber hab ich damit nicht dem
Wort seine Bedeutung gegenübergestellt?”
– Warum soll man das nicht sagen? Aber eine wichtige Frage ist: Wie verwenden wir diese Worte wirklich? – Aber diese Frage interessiert Dich nicht. Du schaust nicht auf die wirkliche Verwendung, sondern auf ein Bild, das die Worte in Dir aufrufen. Und Du weißt || fühlst, daß das Bild irgendwie nicht ganz passend ist. |
Es ist, als hätte die Sprache zwei
Anwendungen: eine, beinahe unwichtige,
äußere, praktische, & die wichtige || eigentlich interessante, innere, die darin besteht, daß
sie
Bilder hervorruft || ihr Bilder entsprechen.
Wenn wir philosophieren interessiert uns die äußere Anwendung nicht. |
“Und || “Ja; || – und || “Ja. Und was weiter? Wozu sind diese Worte nütze?¤” ist das entzaubernde Wort. |
Du machst
diese Geste, & sagst diese Worte gleichsam von der
Geste aus. || als Beschreibung der
Geste. Oder Du machst Dir dieses Bild
& sagst dann die Worte gleichsam als Beschreibung des
Bildes– || ; dann machst Du Dir ein andres
Bild & sagst andre Worte dazu. Und die Worte
scheinen immer bekräftigt – nämlich durch das
Bild. Von der Anwendung des Bildes siehst Du ganz ab. |
Du beschreibst ein
Bild! |
Sage Dir: “Das
sind Lautreihen & Bilder. – Und wozu
dienen sie?” |
Daß die Worte zum Bild passen, das
ist uns klar; aber vergleichen wir das Bild mit seiner
Verwendung so scheint es wieder zu zerrinnen &
ein andres Bild scheint zum mindesten ebensogut zu
passen || aber bedenken wir die Verwendung, so scheint das Bild
wieder zu zerrinnen & ein andres tritt vor unsre
Seele. |
Ist was ich sehe, immer der gleiche
Sessel, oder jeden Moment ein andrer Sessel? Du beschreibst ein Bild! Du beschreibst ein imaginäres (leerlaufendes) Sprachspiel hinter dem wirklichen. Bedenke, daß Worte Worte sind! |
Es ist,
als wäre hier etwas
Unfaßbares. – Man
fragt: “Ist hier etwas, oder
nichts?”
|
(Du mußt Dich
gleichsam von der Gewohnheit des Wortgebrauches trennen.) |
Denk
nur: wie soll das Wort einen Schmerz
bezeichnen?! Es ist ja der
reine Wahnsinn. |
“Denk nur, was
Du tust!” mußt Du Dir
zurufen; Du sag rufst Dir ein Gefühl in's
Gedächtnis & sagst dazu diese Worte, diese Laute.
Was soll das?! Du rufst Dir etwa einen Schmerz hervor & sagst wiederholt: “da ist doch etwas”. Nun, was sollen Aber warum sage ich mir dann diese Worte? – Die Sprache ruft sie hervor. |
16.5.
“Wenn er dann || später
die || diese Empfindung hat , || – || , die ich mir jetzt vorstelle
– || , sagt er ‘ich habe
Schmerzen’.” –
‒ ‒ “Wenn er später diese Farbe sieht,
die ich jetzt vor mir habe, & Dir jederzeit zeigen
könnte, sagt er ......” |
“Er hat die gleiche
Empfindung wie ich” – Kriterien der
Identität. Was ist aber das Kriterium der
Identität wenn ich sage: “Ich habe jetzt den
gleichen Schmerz wie früher”?
Soll ich sagen: “ich erkenne unmittelbar, daß es der gleiche ist? Also erkenne ich unmittelbar daß das Wort “Gleich” auf ihn paßt? Oder, daß das Bild + + auf ihn paßt? Und wie paßt? – Aber willst Du sagen, ich sage bloß das Wort “Gleich”, ohne daß es irgendwie gerechtfertigt ist? Das Wort “bloß” ist hier falsch || schlecht angewendet. Das Wort, daß der Ausdruck “gleich” hier nicht gerechtfertigt ist gibt Dir das gleiche Unbehagen wie manchem Menschen der Ausdruck daß die Erde ohne gestützt zu werden frei im Raum schwebt. (Und darin ist nichts Lächerliches.) |
“Aber wenn ich auch nicht
kontrollieren kann, ob des Andern Empfindung im
|
“Hast Du mich verstanden?” Wir
erwarten ein ‘ja’ oder
‘nein’. Wir könnten auch
fragen: “Hast Du ein klares Bild?”
Diese Verwendung von “verstehen” ist sehr
wichtig. Wir könnten uns sehr wohl denken,
daß sie in einer Sprache fehlte, daß man nur dann sagt
“ich habe verstanden || verstehe” wenn es heißt: ich pflege
dies Spiel richtig zu spielen. |
Man
könnte die Regel machen, || : jeder
philosophische Satz sei mit einem Ausrufungszeichen zu
schreiben. –––––––– · ––––––––
|
17.5.
Wie wäre das Phänomen der
menschlichen Erinnerung || des menschlichen Gedächtnisses
zu beschreiben? Oder: wie wäre der Unterschied
zu beschreiben zwischen einer Gesellschaft, in
|
19.5.
Wie weiß man denn, daß man sich damals an das
& das erinnert hat? Sagt man sich:
ich habe damals dieses Bild vor mir gesehen, dieses Gefühl
gehabt, diese Worte ausgesprochen – also habe ich mich
erinnert?
|
Wie, wenn man sagte: das
Phänomen der menschlichen Erinnerung besteht darin, daß
die Menschen Erinnerungserlebnisse haben? –
Welche Erlebnisse wären das?
Man denkt sich etwa Menschen, die eine gewisse || charakteristische Geste der Erinnerung || des sich Versenkens in die Erinnerung machen & denen dabei Bilder vorschweben – etwa, was man im alten stummen Film gesehen hätte, wenn jemand sich einer Sache erinnert. || eine Erinnerung dargestellt werden sollte. |
Aber ist sich Erinnern kein seelischer Vorgang?
|
Ist also das
Charakteristische am Sprachspiel mit dem Wort
“Schmerz” || “Erinnerung” nicht das, daß wir es
bei bestimmten äußeren
Bedenke: es gibt nicht einen Naturlaut der Erinnerung, wie es einen Naturlaut des Schmerzes gibt. |
“Erinnerung”
nennt man vor allem die richtige || korrekte Erinnerung.
Aber das Erinnerungssignal, “ich erinnere mich …” lernt man natürlich nicht als Beschreibung der korrekten Erinnerung. |
“Ich muß es geträumt
haben,” – sagt man, wenn man sich deutlich an
etwas erinnern zu können glaubt & alles
|
“Zeichnerisches
Gedächtnis”. Welches Phänomen
würden wir so nennen?
|
Wie schaut es
aus, || : das Unmögliche
wollen? Nun, das Daumenfangen ist ein Beispiel
davon. Sieh es genau an! Aber
inwiefern will man denn dabei das Unmögliche? Was
ich dabei tue ist doch ganz gewöhnlich, es geschieht doch dabei
nichts Ungeheuerliches. Nein;
nur sieht es aus wie ein Versuch, etwas
|
‘Der Satz, dessen || Wessen Beweisbarkeit
bewiesen ist, gilt als bewiesen.’ |
25.5.
Erscheinungen mit sprachähnlichem
Charakter in der Musik oder Architektur. Die sinnvolle
Unregelmäßigkeit, || – in der
Gotik z.B. ( (mir schweben auch die
Türme der Basiliuskathedrale
vor). Die Musik Bachs ist sprachähnlicher als die der
späteren Meister Mozarts & Haydns. Die
Rezitative der Bässe im
4ten Satz der
9ten Symphonie von
Beethoven.
(Vergleiche auch Schopenhauers Bemerkung über die “allgemeine Musik” zu einem
besonderen Text”.) |
27.5.
Das Vergnügen, das wir an einem aufgeblasenen
Gummiballon
|
Es hilft
wenn man sagt: der Beweis des Fermatschen Satzes ist nicht zu
entdecken, sondern zu erfinden. |
‘Ein “System aller
Systeme” ist ein Widerspruch.’
Wie läßt sich dieser Satz anwenden? |
30.5.
Die Krankheit einer Zeit heilt sich durch eine || die Veränderung in der Lebensweise der Menschen
& die Krankheit der philosophischen Probleme
konnte nur durch eine veränderte
Denkweise & Lebensweise geheilt werden nicht durch
Denke, daß der Gebrauch des Wagens gewisse Krankheiten hervorruft oder begünstigt & die Menschheit von dieser Krankheit geplagt wird, bis sie sich, aus irgendwelchen Ursachen, als Resultat irgendeiner Entwickelung, das Fahren wieder abgewöhnt. |
“Nenn' mir eine Zahl, die größer
ist, als die Zahl aller ganzen Zahlen!” –
diese || Diese
Aufgabe hat den Charakter eines
mathematischen Witzes || einer mathematischen
Scherzfrage. |
Welcher Art wäre denn die
Frage || Aufgabe:
“Nenne mir eine Zahl zwischen
|
Es ist nämlich eine ganz
wesentliche Frage: Was ist denn die Anwendung dieses
(neuen) Zahlbegriffs
außerhalb der Mathematik. – Denn mit 1,
2, 3, 4 … kann ich nicht nur Zahlen zählen, sondern auch
Äpfel, & wenn nun ein Zahlwort nur in
mathematischen Sätzen & in keinen andern vorkommen
könnte, oder wir doch nicht wissen, welche Rolle es außerhalb
der mathematischen Sätze spielen kann, so
weist dies auf eine sehr wesentliche Unklarheit
unsrerseits hin. Es ist nämlich nicht klar ob
wir nicht bloß durch eine Einbildung verführt sind hier
|
31.5.
Wie macht man denn von dem Satz: “Es gibt
keine größte Kardinalzahl”?
Verwendung. || Verwendung: “Es gibt keine
größte
Kardinalzahl”?.
Wann, & bei welcher Gelegenheit,
würde man ihn sagen? Diese Verwendung ist jedenfalls
eine ganz andere, als die des mathematischen
Satzes “25 × 25 = 625”.
|
Vor allem ist zu
bemerken, daß wir dies überhaupt fragen, was darauf
deutet, daß die Antwort nicht (ganz)
auf der Hand liegt. Und ferners, wenn man die Frage rasch beantworten will fällt || gleitet man leicht aus. Es ist hier ähnlich wie mit der Frage, || ; “ welche Erfahrung uns zeigt, daß unser |
Von einer Erlaubnis
sagen wir, sie habe kein Ende. |
Und man kann sagen, die Erlaubnis
Sprachspiele mit Kardinalzahlen zu spielen habe kein
Ende. Dies würde man etwa Einem
sagen, dem wir unsere Sprache & Sprachspiele
lehrten. Es wäre also wieder ein
grammatischer Satz, aber von ganz anderer Art als
“25 × 25 = 625”. Er wäre
aber von großer Bedeutung, wenn der Schüler etwa geneigt
wäre (vielleicht weil er einer ganz andern
Kultur erzogen worden wäre) ein definitives Ende
dieser Reihe von Sprachspielen zu erwarten. |
Wie ist es nun
mit dem Satz, daß es kein System aller Systeme gibt, der dem Satz,
daß es keine größte Kardinalzahl gibt, in gewisser
Weise ähnlich ist? |
Es ist in der
Betrachtungsweise || Betrachtungsart der Mengenlehre
etwas von der Auffassung || der || einer primitiven Denkungsart || Denkweise eines
wilden Volksstammes || wilder Völkerschaften.
Ich meine: ich könnte mir denken, daß ein solcher die
Mathematik einer zivilisierten Rasse || eines
zivilisierten Volkes erlernt || aufgegriffen,
& ihr nun eine || ihr diese barbarische
Deutung gegeben hätte. |
Vor allem muß man sagen, daß wir
gar keine Idee haben, wie so ein System aller irrational
reellen Zahlen aussehen
Wir könnten uns aber denken, daß nur die algebraischen Zahlen bei uns in Gebrauch wären & dann könnte man die Cantorsche Überlegung auf dies System anwenden. |
Wie, wenn Einer sagte: “Es muß doch ein System aller Systeme
geben!”? |
1.6.
Gibt es einen Satz, der sagt, daß, wenn etwas in
Russells System
bewiesen (nicht:
‘beweisbar’) ist, daß es wahr
ist? Aber “bewiesen” ist zeitlich, “beweisbar” ist unzeitlich. Soll ich also sagen “beweisbar”, aber mit der Bedingung, daß als Beweis der Beweisbarkeit von p |
‘Beweisbarkeit’ ist
eine ‘interne’
Relation’ des Satzes zu den Axiomen.
|
Soll ich nun sagen: der Beweis
von p ist ein Beweis dieses Satzes || der Wahrheit dieses Satzes & seiner
Beweisbarkeit? |
Nun, wenn wir das Erste sagen so schwebt uns vor:
er || der Satz ist nun sanktioniert, wir können ihn
weiter gebrauchen – – das Zweite heißt
|| diese Satzstruktur hat also diese
geometrische Eigenschaft.
|
Denn auch “bewiesen”
wird zeitlich & unzeitlich gebraucht.
Wenn wir in der Mathematik Man kann also sagen: der Satz “der Satz … ist bewiesen” ist ein grammatischer Satz. |
Man
könnte in der Logik auch eine Aufgabe in den Worten
stellen: “Konstruiere den
Satz …” – statt: “Beweise den
Satz …” |
Warum soll man aber einen Satz konstruieren wollen?
Nach Analogie mit der Geometrie wäre es dann, wenn wir die
einzelnen Operationen der Konstruktion irgendwie
|
Aber sagt die R'sche Logik nicht daß
etwas wahr ist, wenn es so konstruierbar
ist? Sie sagt gar nichts darüber, sie konstruiert
diese Sätze & weitere Sätze mittels ihnen.
“Aber die Logik behauptet dieses || diese Sätze doch.” – Nein, sie konstruiert ihre Behauptungen. |
Kann man aber nicht
sagen, || : “Wenn ein
Satz konstruierbar ist, so gilt er nun als
wahr”? Aber wie zeigt es sich, daß er als
wahr gilt? – – Nun, ein Sinn, den dies
haben kann, ist, daß er
In einer andern könnte die entgegengesetzte Regel gelten. |
2.6.
Nicht: “Was bewiesen ist, ist wahr”,
sondern: was bewiesen ist, wird zu weiteren Beweisen
verwendet! |
Aber ist das Schlußgesetz, das mir erlaubt
induktiv zu schließen, nicht eine
Angelegenheit der Logik? |
Ich könnte fragen:
“Wie weiß ich, daß mein || der Satz
“Πp ⊃ p”
|
Inwiefern ist das ein
mathematischer Satz & kein
physikalischer? |
3.6.
‘Intuition – das wäre so etwas wie
Instinkt. Wir sagen, Einer erkenne etwas durch Intuition, wenn er ohne Überlegung dorthin gelangt wohin Überlegung führen würde. |
Lehrt uns denn die
Schlußregel “(u).f(u) ⊃ f(v)”
zählen? Ihre Anwendung ist
doch auf der Praxis des Zählens basiert. || ruht doch
|
Wenn ich nun auf
“f(27)”
schließen will || Um nun auf
“f(27)” zu
schließen, – genügt es, daß ich
die || jene
Implikation kenne? |
Schau in der Mathematik nicht da,
was gesagt wird, sondern, was getan wird. |
4.6.
“u.s.f. ad
inf.” ist keine abgekürzte
Schreibweise. |
Wenn man den Induktionsbeweis als eine
Abkürzung auffaßt, dann ist er eine Abkürzung die
gleichsam durch einen neuen Raum führt; als
kürzte man den Weg von hier nach Wien dadurch ab,
|
Mit der Induktion führen wir in
die Logik eine neue Technik ein.
‘Wenn Du eine Induktion bewiesen hast, die Dich von Beweis zu Beweis führt so ist es als hättest Du diese Beweise geliefert.’ Ist nun dies in der Implikation ausgedrückt “Πp ⊃ p”? |
7.6.
Da der Satz “Πp ⊃ p”
aller möglichen Anwendungen fähig ist, –
inwiefern sichert er einen Aufbau der Logik, in dem Sätze als
bewiesen gelten, wenn eine Induktion für sie
bewiesen ist? – Aber man kann den Satz
doch
|
Man kann etwas über die Geometrie
der Axiome & Schlußregeln beweisen & der
Beweis kann als Beweis eines Satzes im Axiomsystem aufgefaßt
werden; aber geht es nicht auch umgekehrt? Beweist
nicht die Multiplikation etwas in der Geometrie der
Zahlzeichen? Ist nicht der
Beweis durch Multiplikation, daß 14 × 26 = 364
ist, auch ein Beweis dafür, daß die Zeichen
“14” + “26” nach den
Multiplikationsregeln behandelt das Zeichen
“364” ergeben? Ja,
|
Ist das Axiomsystem nicht
formal beschrieben durch seine Darstellung? Denn
ist es keine Beschreibung des Schachspiels, wenn ich sage:
“Das Schachspiel geht so vor
sich: ” und nun das Spiel
vorführe. |
9.6.
Man || Jemand hat einmal gesagt, die
Mathematik sei die
Magd || Dienstmagd der
Wissenschaften; & || . Und ob sie es nun ist oder
nicht, ihr ganzes Gehaben
erklärt
sich daraus || leitet sich daraus her || leitet sich davon her,
|
Wir müssen || sollen immer fragen: welche Rolle könnte dieser
mathematische Satz – in einem nicht-mathematischen
Sprachspiel – spielen? Denn wenn die Bedeutung von “2 × || + 2 = 4” in der Anwendung dieses || des Satzes liegt, so liegt die Bedeutung aller Sätze, die mit ihm zusammenhängen, in ihre dem Zusammenhang mit dieser Anwendung. || Denn wenn die Bedeutung der arithmetischen Sätze. (2 × 2 = 4 etwa) in ihrer Anwendbarkeit || Anwendung liegt || ruht, so bestimmt haben auch alle andern |
Es ist also wichtig zu fragen:
Wie kann der Satz, daß die Rationalzahlen sich in eine Reihe
ordnen lassen, praktisch angewandt werden? |
10.6. Warum sollen wir sagen, || : die Irrationalzahlen können nicht geordnet werden? – Wir haben eine Methode, jede Ordnung zu zerstören || stören. |
11.6.
Im Rennen der Philosophie
|
Das
Cantorsche
Diagonalverfahren zeigt uns nicht eine Irrationalzahl die vor
allen des
Systems || im System verschieden ist, aber sie || es gibt dem mathematischen Satz
Sinn die Zahl so & so sei von allen des Systems
verschieden. Cantor könnte sagen: Du kannst dadurch
beweisen, daß eine Zahl von allen des Systems
verschieden ist, daß Du beweist, daß sie in der ersten
Stelle von der ersten Zahl, in der zweiten Stelle von der
zweiten Zahl u.s.f.
verschieden ist. Cantor sagt etwas über |
12.6.
Cantor zeigt,
daß wenn wir ein System von Extensionen haben, daß es
dann Sinn hat, von einer Extension zu reden, die von ihnen
allen verschieden ist. – Aber damit ist
die
Grammatik || der Gebrauch || die Anwendung des Wortes
“Extension” noch nicht bestimmt. |
Cantor gibt dem Ausdruck “Extension die von
allen Extensionen eines Systems verschieden ist”
einen Sinn indem er sagt || vorschlägt, eine
Extension solle so genannt werden, wenn von ihr bewiesen werden kann,
daß sie von den Extensionen
|
Es gibt also eine
Aufgabe: Finde eine Zahl deren
Entwicklung von denen dieses Systems diagonal verschieden ist.
|
Man könnte das
Närrische sagen, daß uns in der Mathematik die
Größe von π (gar) nicht
interessiert. Denn, könnte man sagen, die Größe von π ergibt sich nach & nach wenn wir π entwickeln & die Entwickelung von π interessiert uns im Allgemeinen nicht in der Mathematik. |
Wenn wir ein System von
Regeln der Entwicklung haben, können
Es ist nun ein großer Unterschied || Aber hier ist ein Unterschied, ob die Regel von den Entwickelungen ausgehend durch ihre Änderung die neue Entwickelung hervorbringt, oder ob sie einen andern Ausgangspunkt hat aber ein Beweis dafür existiert, der zeigt daß ihre Entwickelung Schritt für Schritt von denen des Systems verschieden ist. |
Wenn Einer in einem Lehrbuch wie
Hardy's
Beispiele von irrationalen Zahlen geben will, gibt er π, e,
²√ aber nicht ²√ & was aus ihr wird wenn
man jede 5 in
|
– – – ﹖, wenn
sich diese Verschiedenheit nämlich
ergibt. Nicht, wenn sie
hervorgebracht wird. || Nicht, wenn sie
schrittweise erzeugt wird.
Obwohl ja auch das eine Regel zur Erzeugung
einer Entwicklung ist. Aber, möchten wir sagen, wir wissen nicht, ob es eine wesentliche Zahl ist. Es kommt uns vor als wäre es zwar ein Spiel zum Hinschreiben immer neuer Ziffern || Stellen, aber als wäre da keine || nicht eine Zahl, der sie alle angehörten. Als wäre hier keine wesentliche Operation, die, alle diese Stücke einer || der Entwickelung hervorbringt || hervorbrächte. |
13.6. Man könnte
sagen: Außer den rationalen Punkten befinden
sich auf der Zahlenlinie diverse Systeme irrationaler
Punkte. Es gibt kein System der Irrationalzahlen – aber auch kein Über-System, keine ‘Menge der irrationalen Zahlen’ von einer Unendlichkeit höherer Ordnung. |
Cantor definiert eine Verschiedenheit höherer
Ordnung nämlich eine
‘Verschiedenheit’ einer Entwicklung von einem
System von Entwicklungen. Man kann diese
Erklärung so benützen, daß man zeigt daß eine
Zahl in diesem Sinne von
|
14.6.
Es gibt Regeln – könnte man sagen – über
unendliche Muster || [patterns]. Die Regel der
Erzeugung von … |
Es ist eines, die
Absurdität
|
Die englische
Redeweise: “he had done it all the
time”: in dem Sinne: er
hatte es getan & ich hatte all die Zeit keine Ahnung.
“So he had killed him all the
time!”
15.6.
Die Regel π im Dualsystem hinzuschreiben – – Nun bildet man die Regel π im Dualsystem hinzuschreiben, aber die erste Stelle zu ändern & man sagt, diese Regel sei von der ersten verschieden, |
Dagegen: Die Regel, die erste 5 in der
Dezimalentwicklung von π in eine 6 zu
verändern, wenn die 5 nicht auf eine
|| 1 folgt. aber nicht
wenn Diese Regel ist die gleiche wie π; dagegen ist
die Regel die erste 5 der Entwicklung in eine 6 zu
verändern, wenn sie auf eine 1 folgt, von π
verschieden. |
Die Zahlen 12² und 11² + 5² sind verschieden,
denn sie differieren in der ersten Stelle. Gibt es nun
nicht eine Zahl “144 & statt der ersten Stelle
6”?
|
Man kann auf
zweierlei Weise mit einer Extension operieren: Indem man
mit der Zahl operiert oder direkt mit den Stellen der
Extension. “Addiere 0˙1 zu π”
ist ein Fall, “Vertausche die zweite Stelle von π,
n mit
n +
1” ist der zweite. |
Ein Kalkül behandelt die
Operationen mit den Reellen Zahlen, ein anderer
Operationen mit Entwickelungen, d.h.
beliebig langen Reihen von Ziffern. Die
Lehrsätze der beiden Rechnungsarten sind
ganz verschiedene. |
16.6.
Wie wäre es mit
dieser
Regel || diesem Satz: Es gibt eine Zahl die an
jeder Stelle von π
verschieden |
Es gibt Regeln die vom Muster der
Entwickelung handeln, & Regeln, die von der
arithmetischen Quelle der Entwicklung handeln. |
Warum sollten wir nicht
sagen, || : die Regel, die
Diagonale zu verändern, sei mit den Regeln des Systems
unvergleichbar? |
“tamper with the extension”
|
17.6.
Ich verstehe, daß man von
zwei arithmetischen Regeln sagt, sie
seien verschieden wenn die eine an der ersten Stelle
|
12.7.
‘Diese Überlegungen können uns dahin
führen, zu sagen, daß
2ℵ0 ˃ ℵ0’.
D.h., || : wir können die Überlegungen uns dahin führen lassen. Oder: Wir können dies sagen, & dies als Grund dafür angeben. Aber wenn wir es nun sagen – was ist weiter damit Er ist ein Stück mathematischen Gerüsts || mathematischer Architektur, das vorläufig || vorläufig ein Stück mathematischen Gerüsts || mathematischer Architektur, das in der Luft hängt, so aussieht als wäre es, sagen wir, ein Architrav, aber von nichts getragen wird & nichts trägt || tragen kann. |
Gewisse
Überlegungen können uns dahin führen, zu sagen daß
10¹⁰ Seelen in einem cm³ Platz
haben. Warum sagen wir es aber trotzdem nicht?
Weil es zu nichts nütze ist. Weil es zwar ein Bild
heraufruft, aber eins, womit wir
weiter nichts machen können. |
Der Satz gilt soviel,
als seine Gründe gelten. Er trägt soviel, als || wie seine Gründe tragen, die ihn stützen. |
Wir haben hier
etwas, was wie das Rudiment einer
mathematischen Technik ausschaut. – Als || So als hätte man,
etwa, keine Technik des Multiplizierens, aber
die Multiplikation || eine
Multiplikation 25 × 25 = 625. Eine Art
mathematische || mathematischer Scheinarchitektur. Wenn wir
aber in der Technik des Multiplizierens
(z.B.) einen gewissen Teil etwa
eine Multiplikation abgrenzten & alles
Übrige rundherum gleichsam auslöschten, so
würde diese eine Multiplikation nun nicht ein kleines
Stück der Wahrheit darstellen, sozusagen einen kleinen
Ausschnitt der großen Wahrheit des ganzen Systems, – sondern
sie wäre eine nutz- &
sinnlose Zusammenstellung von Zeichen.
|
Eine
interessante Frage ist: Welchen Zusammenhang hat
ℵ0 mit den Kardinalzahlen, deren Zahl es sein
soll? ℵ0 wäre offenbar das
Prädikat “endlose
Reihe || Folge”, in
seiner Anwendung auf die Reihe der Kardinalzahlen
& ähnliche mathematische
Begriffe || Bildungen. Es ist hier wichtig, das
Verhältnis zwischen einer Reihe im nicht-mathematischen Sinn
& einer im mathematischen Sinn zu erfassen.
Es ist natürlich klar, daß wir in der Mathematik das
Wort “Zahlenreihe” nicht im Sinne von
“Reihe von Zahlzeichen”
gebrauchen, wenn, natürlich, auch ein
Zusammenhang zwischen dem Gebrauch des einen Ausdrucks & des
andern
Wir haben also eine grammatische Klasse “endlose Folge || Folgen” & äquivalent mit diesem Ausdruck ein Wort, dessen Grammatik (eine gewisse) Ähnlichkeit mit der eines Zahlworts hat: “endlos”, oder “ℵ0”. Dies hängt damit zusammen, daß wir das Wort unter den Kalkülen der Mathematik eine ◇◇◇ Technik haben, die wir ‘mit einem gewissen Recht 1-1 Zuordnung der Glieder zweier endloser Folgen’ nennen können, weil || da sie mit einem solchen gegenseitigen Zuordnen der Glieder sogenannter ‘endlicher’ Daraus nun || aber, daß wir (eine) Verwendung für eine Art von Zahlwort haben, das || welches, gleichsam, die Zahl || Anzahl der Glieder einer endlosen Reihe bezeichnet || angibt, daraus folgt nicht daß es auch irgendeinen Sinn hat von der Zahl || Anzahl des Begriffes “endlose Folge” zu reden, daß wir hier irgendwelche Verwendung für einen zahlähnlichen Begriff haben, den wir so nennen könnten || etwas Zahlwort-ähnliches haben || benützen. Es gibt eben keine grammatische Technik, die die Verwendung so eines Wortes || Ausdrucks nahelegte. Denn ich kann freilich den Ausdruck bilden: “Klasse aller Klassen, die (mit) der Klasse ‘endlose Folge’ zahlengleich sind” – (wie auch den: “Klasse aller Engel |
Denke: || ,
ich legte ein
Schachbrettähnliches || dem Schachbrett ähnliches
Spielbrett || Brett vor Dich, setzte den
Schachfiguren einigermaßen ähnliche
Figuren darauf, – sagte || erklärte: “Das
ist der || Diese Figur ist der
‘König’, das sind die
‘Ritter’, das die
‘Bürger”: || . –
Mehr wissen wir von dem Spiel noch
nicht: || ; aber das ist
immerhin etwas, – || .
– Und mehr wird vielleicht noch entdeckt
werden.” ||
Denke, ich
legte ein in Felder geteiltes Spielbrett vor Dich, setzte
Schachfiguren ähnliche Stücke darauf, –
erklärte: “Diese
Figur
ist der
‘König’, das sind die
‘Ritter’, das die
‘Bürger. –
Mehr wissen wir von dem Spiel noch
nicht; aber das ist
immerhin etwas.
– Und mehr wird vielleicht noch entdeckt
werden.”
|
Was ist an unserem
Reden vom Unendlichen falsch? – Daß
wir || es uns seine Anwendung in einer
andern Richtung erwarten läßt. |
‘Die Differentialrechnung
hat es nicht mit unendlich Kleinem zu tun.’ – Nun wie
wäre es, wenn Sie damit zu tun
hätte? Nun sie || – Sie spräche dann jedenfalls
von etwas winzig, winzig Kleinem, von einem
Superlativ des winzig kleinen; & sie spricht gar nicht von
etwas Kleinem. |
15.7.
Denken wir
uns eine Variante des
Tennisspiels: || ; || : unter die
Regeln dieses Spiels wird die aufgenommen, der Spieler habe
|
Welcher Art ist nun die
innere Spielhandlung, worin besteht sie? Nun, darin,
daß er – der Spielregel gemäß – sich da
… || dies & dies vorstellt. – Könnte man aber nicht auch sagen:
Wir wissen nicht, welcher Art die innere || eine der Regel gemäß Spielhandlung ist die er,
der Regel gemäß, ausführt, wir kennen nur ihre
Äußerungen? Die
Wichtig ist für uns, daß wir die Gefahren des Ausdrucks “innere Spielhandlung” sehen. Den Ausdruck aber darf ich gefährlich nennen, der in der Folge Verwirrung erzeugt || anrichtet || . Der Ausdruck ist gefährlich, weil er die Aufmerksamkeit von wesentlichen Unterschieden ablenkt. || Er lenkt die Aufmerksamkeit von wesentlichen Unterschieden ab. Und ‘wesentlich’ nenne ich Unterschiede, deren Übersehen Verwirrung anrichtet || diese Unterschiede || sie, weil, sie nicht klar im Auge zu behalten, Verwirrung anrichtet || erzeugt. |
17.7
Phänomene || Subjektive Phänomene des
Sich-Entsinnens. Ähnlich:
Phänomene des Suchens & des Findens || Phänomene des Findens.
Wenn ich ein Buch von dem Bücherregal || der
Bücherstelle nehme so nenne ich das an
& für sich kein || nicht ein
Phänomen des Findens.
Man kann sagen, die Schwalbe erinnere sich daran || an den Ort, wo sie im Vorjahr ihr Nest gebaut habe; aber wenn die Schwalben in jedem Jahr wo anders hin || anders wohin zögen – würden wir sagen sie hätten vergessen, wo wo sie ihr Nest gewesen sei? Welche Art von Phänomen würde uns das sagen machen || etwa veranlassen dies zu sagen? |
Wir könnten zwischen
‘Gedächtnisphänomenen’ &
‘Erinnerungsphänomenen’
unterscheiden. Ein Gedächtnisphänomen wäre
ein allgemeiner Charakterzug des menschlichen oder
tierischen Lebens z.B. daß
Menschen im allgemeinen jede Nacht an den gleichen Ort || Platz zum Schlafen zurückkehren.
Erinnerungsphänomene wären Phänomene des
Suchens in der Erinnerung – wie wenn jemand
|
Wie lernen wir den Ausdruck der
Erinnerung? Wir haben vor allem die sprachliche
Reproduktion der Vergangenheit & an die knüpfen wir
einen Ausdruck wie: “ich erinnere mich … || ‒ ‒ ‒”. |
“Ich erinnere
mich” || …” ist
nicht die Beschreibung eines
Erlebnisses. |
Man ist versucht zu
fragen: “Wie denkt man den || diesen Satz ‘...’, wie erwartet
man, daß das & das eintreffen wird?”
(wie macht man das?). Denken,
Erwarten,
|| Der Satz, dessen Inhalt gedacht wird, kommt in dieser Tätigkeit vor, wie die Karten in der des Musterwebstuhls || in der Tätigkeit eines Musterwebstuhls. |
Die philosophische
Unklarheit das ‘Denken’ || die Idee des
Denkens betreffend zusammen mit psychologischen
Unklarheiten || gepaart mit psychologischen Problemen
wird unter dem Bild gesehen
eines geheimen Mechanismus.¤ || |
Das Bild des Gehirns
übertragen ins
Ätherische.
|
5.9.38.
Der physikalische Gegenstand eine ‘Klasse von
Sinnesdaten || Sinneseindrücken’. Was ist damit
gewonnen, daß man das sagt? |
‘Can continuous motion of a body
be truly recorded?’ How can continuous motion be
truly recorded? |
Du kannst nicht den
philosophischen Problemen || den philosophischen Problemen
nicht “etsch,
etsch!” sagen; sie sind zu
stark!
|
Man sagt, Sinnesdaten sind
primärer als physikalische Gegenstände –
aber das heißt doch daß die || unsre Notation der ‘physikalischen Gegenstände’ || mittels ‘physikalischer Gegenstände’
muß || soll sich also doch
zum || am Schluß auf Sinnesdaten
beziehen. Es kann also wohl nur eine
Notation primär & eine sekundär
sein. Und warum soll man die Notation die einzig sich
bewährt hat nicht die primäre
nennen: || . Oder: wozu hier
überhaupt von primär & sekundär
reden? Dem liegt ein Mißverständnis zu
Grunde. Wenn man sagt der
‘physikalische Gegenstand’ sei nur eine logische
Konstruktion |
Wenn sich, was wir sagen, auf
Sinnesdaten beziehen muß, dann könnte man von einem
Umweg den dieser Bezug nimmt nur dort reden,
wenn || wo eine kürzere, weniger
umständliche Ausdrucksweise möglich
wäre. |
Wann nennen wir eine
endliche Reihe von Zahlen verschieden von einer
andern? Es gibt mehrere Fälle: Verschiedenheit
in allen Gliedern, Verschiedenheit in einem,
oder einigen Gliedern. Gleich heißen sie, wenn alle Wann nennen wir zwei unendliche Reihen voneinander verschieden? Es gibt verschiedene Fälle: 1) Eine endliche Zahl von Gliedern ist verschieden 2) Eine unendliche Zahl von Gliedern ist verschieden. Aber wie wird dieser Ausdruck verwendet? Wann sagen wir eine unendliche Zahl || Anzahl von Gliedern sei verschieden? Da gibt es mehrere || verschiedene Fälle: Z.B.: Es liegt ein Beweis vor daß nach dem n ten verschiedenen Glied nach mindestens f(n) Gliedern wieder verschiedene folgen müssen. Oder die Regel der || einer Reihe stipuliert z.B. sie sei an Oder: Die Reihen sind, wie wir sagen können, verschiedene Muster wie:
Wann sagen wir, eine unendliche Reihe sei von einem System unendlicher Reihen verschieden? – Verschiedene Fälle: 54 |
Ich ‘mache durch
diese Umformung klar’, daß hier 100 Kugeln
stehen || dies 100 Kugeln sind. – Ist was
ich dabei tue das || z.B. ein Experiment?
Es kann ein Experiment genannt werden, welches zeigt, was
für eine Reihe wir jetzt vor uns haben daß
wir jetzt 100 Kugeln vor
uns haben || ich jetzt 100 Kugeln vor mir
habe. Aber die Worte “ich mache
klar” gebrauche ich nur dann wenn ich annehme || voraussetze, daß keine der Kugeln dazu oder
wegkommt. Das ‘Experiment’ kann zeigen, wieviele Kugeln jetzt da stehen. |
Ist die Eigenschaft, die ich ‘entfalte’ eine
externe oder interne?
|
Man ‘entfaltet’, was
schon in der Sache liegt.
|
Die Eigenschaften der 100
entfalten heißt, durch Entfalten von 100
Gegenständen || Kugeln
Merkmale des Begriffs 100 vor Augen führen.
|
Man entfaltet eine Reihe
(Formation), || – – nicht
physikalische Eigenschaften der || einer
Reihe. Und man sagt, man entfaltet interne
Eigenschaften der Reihe || Formation (das sind
Merkmale die den Begriff dieser Reihe || Formation
kennzeichnen), wenn man durch ein Entfalten der Reihe || Formation vorführt, was
(eine) || alles || z.B.
56 Umformung
dieser Formation durch Entfalten der
Formation genannt wird.
|
Man sagt: diese
Numerierung || Einteilung macht
klar, was da für eine Reihe von Kugeln steht.
Macht sie klar, was für eine Reihe vor der
Numerierung || Einteilung da
stand? || , oder macht sie klar
was für eine Reihe jetzt da steht? |
“Ja, jetzt sehe ich, was das steht;
Es steht jetzt die gleiche Zahl von Strichen wie früher, es ist keiner dazu oder weggekommen (das habe ich gesehen); aber früher wußte ich nicht wie viele es waren, jetzt weiß ich es. |
‘Ich sehe auf den ersten
Blick, wieviele es sind’. Nun wieviele sind
es? So viele? – Nein, das ist
nicht die Antwort. Es sind ‘50’, oder
‘100’, etc. |
“Die Einteilung
macht mir klar was da für eine Reihe
steht”. Nun, was für eine steht da?
“Diese.” – Es muß
natürlich heißen: “Eine von 100
Kugeln”, oder “Eine, die durch
3 teilbar ist”, oder dergl..
58 |
← (2
Seiten) Oder: Berechtigt mich
das Ziehen der Diagonalen nun zu sagen: da steht ein
5-Eck? – Aber
kann es mich nicht dazu berechtigen, obwohl ich dieser
Berechtigung gar nicht bedarf? – |
Auf dieser Stütze liegt im
Sprachspiel kein Gewicht; daher trägt sie
(auch) nicht. |
“Ich entfalte die
Eigenschaften dieser Kette || Gliederpuppe; ich
zeige, was sich aus ihr machen läßt.” –
Wie machen läßt? Durch
bloßes Biegen || Entfalten in den Gelenken. Und was
läßt sich aus ihr machen? Soll ich
sagen, || : “dies, dies,
& dies”? Damit kann ich nur
etwas anfangen, wenn ich die Identität dieser Figuren
wieder feststellen kann.
|
Den
Satz “die Reihe von 100 Kugeln besteht aus 10 × 10
Kugeln” kann man als arithmetischen verwenden; dann folgt,
daß:
Diese Reihe besteht aus 100 Kugeln = = Diese Reihe besteht aus 10 × 10 Kugeln oder er kann verwendet werden, etwas von dieser Kugelreihe auszusagen; daß sie z.B. so & so in 10 Stücke zu 10 eingeteilt ist (zeitlich). |
“Ich entfalte die
Eigenschaften der Reihe von 100 Kugeln, indem ich
vorführe, was sich alles aus ihnen machen
läßt.” – Aber doch nicht
irgendwie machen läßt; sondern durch bloßes
Verschieben, Umgruppieren, der Kugeln.
60 Und welches sind nun die
Eigenschaften der Kugelreihe, von welcher ich geredet
habe? Meinte ich die physikalischen,
z.B. daß die Kugeln sich durch diese
Kräfte so bewegen ließen? – Diese
waren natürlich inbegriffen, aber, was ich zeigen wollte,
waren die geometrischen Eigenschaften, (die welche mich auch
interessieren, wenn ich, z.B., die Aufrollung
eines Kegelmantels vorführe). – Aber
sind das Eigenschaften der || dieser
Kugelreihe? Denn
dann hätte ich daß sie sie besitzt auch an einer
andern Kugelreihe demonstrieren können; ja auch an
einem
Bild || einer Zeichnung oder einer Reihe von Bildern || Zeichnungen. Und dann besitzt diese
Kugelreihe die geometrische Eigenschaft, sich so umformen zu
lassen,
|
Was uns an diesen
Umformungen interessiert, ist || interessierte, war, was eine
Demonstration , || – nicht was ein
Experiment zeigt. |
“Die Eigenschaften der Reihe von 100 Kugeln
entfalten” hieß hier also die mathematischen || mathematische Eigenschaften der 100 entfalten, &
das heißt, || : || ,
den Begriff
‘100’ ausbauen.
Denn wir erhalten so, z.B., ein neues
Kriterium || Merkmal dafür daß
sich 100 Gegenstände hier befinden || 100 Gegenstände da
sind. Das Experiment machen: versuchen, ob sich, diese Stücke von je 10 Kugeln || der Reihe so trennen lassen, zeigt physikalische Eigenschaften der Reihe, man würde es aber 62 nicht ein
‘Entfalten’ der Eigenschaften der
Reihe nennen wollen . || (sowenig wie die Zerreißprobe an einem
Eisenstab ein Entfalten seiner
Eigenschaften. || ).1
|
Wohl aber
würde || könnte man ein Umformen || Gruppieren || Formen der Reihe || Kugelreihe zum Zweck, die
Anzahl der Kugeln festzustellen, ein Entfalten einer Eigenschaft einer
Reihe nennen || ein Umgruppieren zu dem Zweck, die Anzahl der Kugeln
zu finden, zu erkennen. |
Die mathematische Demonstration
könnte man mit || passend || bei dem Urmeter (oder dem
Greenwich foot) || im Archiv
der Maße & Gewichte niederlegen &
aufbewahren. |
Eine Reihe von Kugeln auf diese Weise || zu
diesem Zweck umgruppieren || umformen kann
oder auch sie zählen kann ein Experiment genannt werden.
(Es ist ähnlich || analog dem einer
63
Längenmessung.) Wie aber,
wenn ich die Gruppe dieser Gruppe von Strichen | | |
zähle?
oder gar diese
| ?
Ist das wieder || Soll ich sagen:
es ist wieder ein Experiment zur Bestimmung der Anzahl, nur
daß ich des Ausgangs
sicher bin? || bin || sei ich des Ausgangs sicher?
˃ [Maßstäbe
aneinander legen] ˃ [(Maßstab
am Tisch)] |
Andeutung: Gebrauch
des Zählens in || innerhalb der Mathematik
& außerhalb der Mathematik.
|
Die Striche zu zählen
|
Die Vorgänge eines mathematischen Beweises
müssen übersehbar sein || Zum Beweis gehört,
daß seine Vorgänge übersichtlich sind, d.h.
wir müssen im Stande sein, sie || ihn mit Sicherheit immer wieder richtig
zu
reproduzieren || reproduzieren zu
können. (Was ist das Kriterium dieser
Sicherheit?) [Ist 12 × 12 = 144 nur wahrscheinlich? (Russell, Principia Mathematica)]
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ = ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
ist
kein Satz der || unsrer Arithmetik wie
❘ ❘ ❘ + ❘ ❘ = ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
; obwohl,
wenn Du die Striche zählst, also eine neue Technik
heranbringst || anwendest || einführst, die Zeile zu || allerdings 16
+ 16 = 34 wird.
|
Ich will aber sagen:
Es soll nicht heißen “wir
können mit Zahlzeichen wie
|
Damit hängt auch
zusammen daß aus Russells Principia nicht folgt, daß 129 × 336 = 43344 ist. Wenn Du sagst: “doch, es folgt, über entsprechende Definitionen”, so ist die Antwort daß nichts uns zwingt gerade diese Definitionen zu geben. |
Der schwankende Charakter der Definition || dessen was man
… nennt, wenn sie zwischen zwei beliebigen Techniken des
Rechnens vermitteln soll.
|
Das Multiplizieren
(z.B.) ist eine Rechentechnik die in den
Principia Mathematica nicht enthalten ist. |
Die Logik ist
ein Kalkül. Was an ihr besonderes ist
läßt sich gut durch meine W-F Notation
herausbringen. |
Aber kann der logische Kalkül den
arithmetischen nicht rechtfertigen? Also zeigen, daß 2
× 2 wirklich 4 ist? |
Man sagt von einer Definition, sie
kürze nur den definierenden Ausdruck ab. Aber
führt sie nicht auch einen neuen Kalkül ein?
|
Wie müssen denn, z.B., || – z.B. –
die ‘Definitionen’ ausschauen, die die Zahlzeichen
1, 1 + 1, 1 + (1 + 1), 1 + (1 + (1
+ 1)) etc. in die des
Dezimalsystems überführen? Die
Zeichenerklärungen, die hier nötig sind kann man freilich in
der Form von Definitionen (i.e.
Gleichungen) niederschreiben || niederlegen; aber sind sie damit
auch ebenso zu verwenden wie etwa “~p
⌵ q = p ⊃ q”? || aber werden diese nun auch ebenso || auf gleiche Weise verwendet wie
etwa “~p
⌵ q = p ⊃ q”?
|
Soll ich sagen, es ist
nur wahrscheinlich, daß 12 × 12 =
144 ist? Und wie gebrauchen wir dann das Wort
“Sicherheit”? (Wir könnten uns aber wohl auch eine Rechnungsart || Art des Rechnens || Art zu rechnen denken, die, wie wir sagen könnten, nur angenäherte 68 Resultate liefert. || Art
zu rechnen
geben deren || des Rechnens denken dessen Resultate immer nur als
ein beiläufiges gilt. So
daß, etwa, die Resultate 10 × 10 = 99, 10
× 10 = 100, || & 10 ×
10 = 101 alle drei als richtig gelten.) |
“passen”, ähnlich
“können”,
ähnlich “verstehen”.
Aufgaben: 1) Wann sagt man ein Zylinder Z. passe in einen Hohlzylinder H.? Nur solange Z in H steckt? 2) Man sagt manchmal || : Z hat um die & die Zeit || damals aufgehört in H zu passen – || : welche Kriterien verwendet man in so einem Fall dafür, daß dies || es um diese Zeit geschah? 3) Was betrachtet man als Kriterien dafür, daß ein Körper sein Gewicht um die & die Zeit || eine bestimmte Zeit geändert hat, wenn er damals nicht auf der Waage lag? 4) Gestern |
Die Kriterien, die wir für das ‘Passen’
‘Können’, ‘Verstehen’
anerkennen || gelten lassen sind viel
komplizierter || kompliziertere, als
(es),
auf den ersten Blick, scheinen
möchte. |
Diese Rolle
ist es, die wir verstehen müssen, um
philosophische Paradoxe aufzulösen. Und darum
genügt dazu gewöhnlich nicht eine Definition; &
schon erst recht nicht die Feststellung, ein Wort sei
‘undefinierbar’. |
Nur insofern
trachten wir die Bedeutung eines Worts zu finden, als wir
diese Rolle beschreiben. Und wir beschreiben sie
nur soweit, als es nötig ist philosophische Probleme zu
lösen. |
(In der Philosophie wird eine Frage gelöst, indem man
auch || noch
hundert andere stellt || fragt.) || , indem man
ihr || noch hundert andere
beifügt || hinzufügt.
72 |
(Die Mathematik ist aber nicht symbolische Logik; sondern diese ein
kleiner Teil der Mathematik. Der Teil,
der, durch ein Mißverständnis,
(die) ‘Grundlage der
Mathematik’ zu sein schien.) |
25.12.38. “Man kann die Brüche nicht ihrer Größe nach ordnen. – Dies klingt vor allem sehr || höchst interessant & merkwürdig. Es klingt interessant in ganz anderem Sinne || anderer Weise, als, etwa, ein Satz aus der Differentialrechnung. Der Unterschied liegt: || , glaube ich, darin, daß ein solcher Satz sich leicht mit einer Anwendung auf Physikalisches assoziiert, während jener Man könnte || möchte von dem Satz || ihm beinahe || etwa sagen: er führe uns in die Geheimnisse der mathematischen Welt ein. Es ist dieser Aspekt vor dem || welchem ich warnen will. |
Wenn es den Anschein hat
… (Littlewood), dann ist Vorsicht geboten. |
Wie seltsam, daß
man die einen der Größe nach ordnen kann, die andern
nicht! |
Sagt
man sich, daß die Reihe der Kardinalzahlen endlos ist, so
kann das unser
74 Staunen erwecken; denn wir
hören, daß wir in dieser Reihe etwas ungeheuer langes, ja mehr als ungeheuer, langes haben || vor uns
haben. || ungeheuer langes, ja mehr als ungeheuer
langes, vor uns haben. Daß dagegen die Technik des Bildens von Kardinalzahlen (etwa durch Addition von 1) kein Ende hat, daß in ihr kein Ende vorgesehen ist, ist ein sehr leicht verständlicher Satz || verständliches Sätzchen & nichts daran, worüber wir staunen würden. || , ist ein ganz einfaches , & leicht verständliches Sätzchen. Niemand wäre versucht die Technik des Zählens oder des Multiplizierens ‘im unbegrenzten Zahlenraum’ eine “unendlich lange ’ Technik” zu nennen. Denn was unendlich lang ist, ist doch zum mindestens ungeheuer lang. |
Darum möchte ich definieren:
“ || “unendlich” || ” das heißt: ungeheuer, || – & nur noch größer –.
|
Wenn ich mir bei dem
Satz, die Brüche können nicht ihrer Größe nach in
eine Reihe geordnet werden, das Bild einer unendlichen
Reihe von Dingen (sagen wir Bäume) mache, &
zwischen jedem Baum &
seinem Nachbarn || je zwei Nachbarbäumen neue
Bäume in die Höhe schießen &
nun wieder zwischen jedem Baum & seinem Nachbar
neue Bäume & so fort ohne
Ende, || & zwischen jedem
Ding & seinem Nachbar werden neue Dinge sichtbar || treten nun
neue Dinge ans Licht || erscheinen neue Dinge, &
nun wieder zwischen jedem Ding & seinem Nachbar neue,
& so fort ohne Ende,
so haben wir hier (sicher) 76 etwas, wovor einem
schwindlig werden kann. Sehen wir aber, daß dieses Bild zwar || wenn auch || wohl sensationell, aber || so doch irreführend ganz unzutreffend ist, daß wir uns nicht von den Worten “Reihe”, “ordnen”, “existieren” & dergleichen || andern fangen lassen dürfen, so werden wir auf eine Darstellung des Sachverhalts zurückgehen, in der alles wieder trivial & gewöhnlich aussieht. || Sehen wir aber, daß dieses Bild wohl sensationell || zwar sehr geheimnisvoll || zwar ein sehr aufregendes || zwar ein aufregendes, aber ein ganz & gar nicht || ganz & gar kein treffendes ist; so werden wir es links liegen lassen daß wir uns nicht von den Worten “Reihe”, “ordnen”, “existieren”, & andern, fangen lassen dürfen; so werden wir versuchen, die Sache so einfach & || so gewöhnlich darzustellen, daß sie keinerlei ungewöhnlichen Anstrich erhält. || 78
zurückgewiesen an der nun nichts
Seltsames mehr
ist. |
Daß wir eine Technik erfinden || bilden || Daß in einer Technik der
Berechnung von Brüchen, in der der Ausdruck
“der nächst größere Bruch” keinen Sinn
hat, daß wir ihm keinen Sinn gegeben haben, ist nichts
Erstaunliches.
|
Wenn wir
eine Technik des fortgesetzten Interpolierens von Brüchen
lehren || anwenden, so werden wir
keinen Bruch den “nächst größeren”
nennen wollen. |
Von einer Technik zu sagen,
sie sei unbegrenzt, heißt nicht, sie laufe ohne
aufzuhören weiter || fort, || – wachse ohne
aufzuhören || ins
Ungemessene; vielmehr
fehlt || sondern, es fehle
|
Eine neue Rechentechnik soll uns ja
eben ein neues Bild liefern, eine neue
Ausdrucksweise; & wir können nichts
Absurderes tun, als dieses neue Schema, diese neue Art
von Gerüst, vermittels der
80 alten Ausdrücke
beschreiben zu wollen. |
Was ist die
Funktion eines solchen Satzes wie: “Es gibt zu
einem Bruch nicht einen nächst größeren Bruch, aber zu
einer Kardinalzahl eine nächst
größere”?
Es ist doch gleichsam ein Satz, der zwei Spiele vergleicht, || : [wie: im Damespiel gibt es ein Überspringen eines Steines, aber nicht im Schachspiel.] |
Wir
nennen etwas “die nächst größere Kardinalzahl
konstruieren || bilden” aber
nicht etwas || nichts “den
nächst größeren Bruch konstruieren || bilden”. |
Dieser Strich
–– hat enorme
Größe, denn sein Radius
|
Wie vergleicht man die Spiele? Indem
man beide || sie beschreibt, –
indem man das eine als Variation des andern beschreibt – indem
man sie beschreibt & die
Unterschiede & Analogien hervorhebt. |
“Im Damespiel gibt es
keinen König” – was sagt das? (Es
klingt kindisch.) Heißt es nur, daß man keinen
Damestein “König” nennt; &
wenn man nun einen so nennte, gäbe es im Damespiel einen
König? Wie ist es
82 aber mit dem
Satz: “Im Damespiel sind alle Steine
gleichberechtigt, aber nicht im Schach”? –
Wem teile ich dies mit? Dem, der die beiden
Spiele (schon) kennt, oder einem der sie noch
nicht kennt. Da scheint es, daß der erste unserer
Mitteilung nicht bedarf & der zweite nichts von ihr
hat. || & sie dem zweiten nichts sagt. || & der zweite mit ihr nichts anfangen
kann. Aber wie wenn ich
sagte: “Schau! im Damespiel sind alle
Steine gleichberechtigt …”
– oder noch besser: “Schau! in
diesen Spielen sind alle Steine gleichberechtigt, in jenen
nicht”. Aber was tut so ein Satz? Er
führt einen neuen Begriff ein, einen neuen
Einteilungsgrund (Einteilungsprinzip). Ich
lehre Dich, auf die Frage antworten || die
Aufgabe beantworten: nenne
|
Im
Bruchrechnen gibt es keine Aufgabe: “bilde den
nächstgrößten Bruch”. –
Wem teilt man das mit? |
‘Wenn Einer Dich fragt:
“welches ist der nächst größere
Bruch?”, antworte ihm: “so etwas
gibt's nicht”. || ! (N.B.
“So etwas gibt's nicht” –
nicht: “es gibt keinen nächst größeren
Bruch”.) |
‘Du siehst, wir
interpolieren
84 Brüche zwischen je
zwei beliebige Brüche; – also gibt es hier nicht so
etwas wie, einen ‘nächst größeren’
Bruch. |
‘Du
siehst, wir interpolieren Brüche zwischen je zwei beliebige
Brüche; || – also verwenden || haben wir hier keine Verwendung für den
Ausdruck (oder das Bild) eines Gliedes der
Reihe || Reihengliedes & des nächst
größeren.’ || ‘das
nächstgrößere Glied der
Reihe’. |
Was ist aber das für eine Art der
Mitteilung: “Du siehst, …? Denn,
siehst Du, || – wozu sage ich es? |
Wohl aber könnte man
sagen, || : Ich setze Deinem
Zählen auf diese Weise keine Grenze; glaube also nicht,
|
Und ähnlich: “Du darfst
auf diese Weise einen Bruch zwischen beliebige Brüche
interpolieren.” |
‘In dieser Technik gibt es
also keine Verwendung für den Ausdruck des ‘nächst
größeren Reihengliedes’ || der
‘nächst größeren Zahl’.’
Oder: ‘Was wolltest Du hier das ‘nächstgrößere Reihenglied || die ‘nächstgrößere Zahl’ nennen? Wir werden sagen: es gibt hier keine.’ Hier, in diesem Spiel. 86 |
‘Frag also nicht, durch die Analogie mit den
Kardinalzahlen verführt || verleitet, || :
“Was || welches
ist der nächstgrößere
Bruch”!’ Dies hat offenbar
Sinn. |
‘Die Brüche lassen sich nicht ihrer Größe
nach in eine Reihe ordnen’ – aber nicht ihrer Natur
nach, sondern den Regeln nach, & der Natur ihrer Verwendung
nach || gemäß || . Aber || aber es liegt nicht in ihrer Natur, sondern in den Regeln
& in der Natur ihrer
Verwendung. |
‘Wir können die
Brüche nicht ihrer Größe nach in eine Reihe, aber wir
können sie in eine unendliche Reihe
ordnen.’ Was hat der gelernt, der das nicht wußte? Er hat 87 eine neue Art der
Rechnung gelernt z.B.:
“bestimme die Nummer des Bruches …”.
|
Er lernt diese Technik
– aber lernte er nicht auch, daß es so eine Technik
gibt? Ich habe allerdings in einem wichtigen Sinne gelernt, daß es so eine Technik gibt; ich habe nämlich eine Technik gelernt || kennen gelernt, die sich jetzt auf alles mögliche Andre anwenden läßt. |
Lehrt mich nun die Mathematik,
daß ich die Zahlenpaare in eine Reihe ordnen kann?
Kann ich denn
sagen: sie lehrt mich, daß ich
das machen kann? Hat es denn
Sinn zu sagen, ich lehre ein Kind, daß man multiplizieren
kann, || – indem ich es lehre zu
multiplizieren. Eher könnte man dies
natürlich sagen, ich lehre ihm daß man Brüche
multiplizieren kann, nachdem er Kardinalzahlen mit
einander zu multiplizieren gelernt
hat. Denn nun, könnte man sagen, weiß
er schon was “multiplizieren” heißt.
Aber wäre nicht auch das irreführend.
89 |
Wenn Einer sagt, ich habe den
Satz bewiesen, || : daß man Zahlenpaare in
eine Reihe ordnen könne; so ist zu || muß man
antworten, daß dies ja kein mathematischer Satz ist, da man mit den
Worten “Man”, “kann”,
“die”, “Zahlenpaare”
etc. nicht rechnet. Der Satz
“man kann die etc.” ist
vielmehr nur eine beiläufige || ungefähre Beschreibung der Technik die man lehrt,
etwa ein nicht unpassender Titel, eine
Überschrift
zu diesem Kapitel.
Aber ein Titel mit dem man
(vorderhand) noch nicht
rechnen kann. |
Aber, sagst Du, das ist es eben, was
Weil wir im Unterricht || beim Lehren dieser Rechnung || Methode etwa (auch) || vielleicht den Satz gebrauchen: “Du siehst also, daß man die Brüche in eine Reihe ordnen kann” || man kann die Brüche in eine Reihe ordnen”, sagt nicht daß wir für diesen Satz andere Verwendung haben, als die, ein einprägsames || charakteristisches Bild mit dieser || der Rechnungsart zu verknüpfen. 91 |
Wenn hier das Interesse an dem Satz haftet der ‘bewiesen wurde’, so haftet es an
einem Bild, das (eine) äußerst
dünne || schwächliche Berechtigung
hat, (uns) aber durch seine Seltsamkeit
reizt, wie etwa das Bild von der ‘Richtung’ des
Verlaufs der Zeit || Zeitverlaufs.
Es bewirkt einen leisen leichten Taumel der
Gedanken || Es erzeugt einen leichten
Taumel. |
Ich kann hier nur sagen:
Trenne Dich so bald wie || als
möglich von diesem Bild || diesen
Phantasien || phantasieanregenden
Titeln & sieh' das Interesse der
Rechnung in ihrer Anwendung. || von diesen Titeln
diesen Kostümen & …
(Es ist als wären wir in der Mengenlehre auf einem
Maskenball, auf dem jede Rechnung als irgend etwas
Seltsames verkleidet geht.) || in seltsamer
Verkleidung erscheint.)
|
Was ist der Unterschied zwischen
“diese Zahl ﹖ist﹖ verschieden 92 von diesen”
& “ich nenne sie ‘verschieden’ || ich will sie
‘verschieden’ nennen || ich bin geneigt, sie
‘verschieden’ zu nennen”? Ist es nicht
dies || der: im ersten Fall habe
ich bereits einen Gebrauch﹖ für dieses || dies Resultat, im zweiten Fall noch keinen.
Im ersten ist das Resultat bereits in
einen Kalkül
eingebettet im zweiten Fall noch nicht. |
Ich zeige Dir im
Cantorschen Beweis etwas. Hast Du früher (schon) an
so was || das || dieses
Vorgehen gedacht? Nein.
Du hast etwas Neues gelernt.
–– || –
Aber
welcher Art ist das, was Du gelernt hast? – → Ist es, etwa, ein Beweis? Du hast mich ein neues Gesetz der Ziffernbildung kennen gelehrt || mir ein neues Gesetz der Ziffernbildung gezeigt. Es könnte das die Antwort auf eine Scherzfrage gewesen sein. [(Dieser sehr nützliche Rechnungsvorgang scheint nur 93 zum Zweck von
mathematischen Feuerwerken erfunden zu sein.)] Hast
Du mir eine von allen diesen Zahlen verschiedene Zahl
gezeigt? Du hast mir etwas gezeigt was ich
(vielleicht || etwa) geneigt bin eine
solche || neue || von allen diesen verschiedene Zahl zu
nennen. Aber warum sage ich dies
|| drücke ich mich hier so
aus?;? || ;
während ich im Fall von einfach sagen
würde: Du habest || hast eine
neue Zahl hingeschrieben? Ich möchte dies
rechtfertigen indem ich sage: Es ist eben hier
alles anders; ich bin nicht mehr – wie im
andern || endlichen Fall
– gezwungen dies so zu nennen. Aber hier ist
doch nur ein Gradunterschied! Du
könntest doch auch
94 im andern Fall sagen,
Du seist nicht gezwungen || kannst ja eben von
jedem neuen
Fall sagen hier gelte die alte Regel nicht mehr.
Jeden mathematischen Unterschied
kannst Du Unterschied der Art nennen!
Du kannst überall (oder nirgends) eine scharfe Biegung sehen. Gewiß; aber auf diesen Gradunterschied muß man aufmerksam machen || sein. Denn durch diese || auf dieser || über diese Gradunterschiede || Stufenleiter geht, was jeder einen Beweis nennt, in etwas über, was niemand mehr einen Beweis nennen würde. Wenn Du Dir des Unterschieds bewußt wirst, redest Du nun || auch noch so wie früher? |
Wenn Du nun das
Cantorsche Vorgehen eines nennst, eine neue reelle Zahl zu
erzeugen, so wirst Du nun nicht mehr geneigt sein, von einem
System aller reellen Zahlen zu reden. 95 Hier zu sagen:
“Die reellen Zahlen lassen sich also nicht in
eine Reihe ordnen” also das Gegenteil || Negativ des Satzes zu gebrauchen || verwenden
was || den man für die
Rationalzahlen gebraucht || verwendet
hat, ist nun äußerst || ganz irreführend, denn dadurch || so wird der
ganze Unterschied der Kalküle verschleiert &
der Mathematik eine Scheinfassade gegeben, hinter der || ihnen Scheinfassaden gegeben hinter denen niemand den
tatsächlichen Bau vermuten würde. |
Die Mathematik besteht aus
Kalkülen || Rechnungen nicht aus
Sätzen. |
Das heißt nun nicht, daß in der
Math. nicht auch eine
bloße Fassade ohne Haus Verwendung
finden könne || dürfe. Nur ist sie
streng || so ein Gebilde streng zu unterscheiden von der
Fassade eines Hauses.
96 |
Zu sagen “man kann sie nicht
in ein System ordnen, weil ihrer mehr sind als in einem System Platz
haben” ist gräulicher Unsinn. |
Die Frage ist ja doch: wer sind
die sie die ich nicht in ein System ordnen
kann? Ist es denn nicht so daß mir der
Cantorsche Beweis einen andern Sinn von
“sie” zeigt? Wir haben hier eine andre
Art von Begriff, eine neue Verwendungsart für ein
Begriffswort. |
28.12
Aber gilt
also der Satz vom
Widerspruch || des Widerspruches nicht?
97 |
Wie verwendet man den Satz des
Widerspruches? Ja eigentlich verwendet man ihn nie.
D.h. ich habe noch nie gehört daß ihn
jemand im praktischen Leben herangezogen,
zitiert, hätte. Oder doch – – man sagt
manchmal:
“Du hast doch soeben …
gesagt; || , & jetzt sagst Du das
Gegenteil!”; || –
d.h., || : man
weist einen Widerspruch zurück. Man weist ihn zurück als etwas was wie ein Satz ausschaut || (zwar) die Form des Satzes hat (weil ‘p.~p’ ein Spezialfall von ‘p.~q’ ist.), aber kein brauchbarer Satz ist || unbrauchbar ist. |
Man könnte die
Principia
Mathematica auffassen, nicht als fortlaufende
Mitteilung, sondern als Liste, als
einen Katalog,
von Sätzen einer gewissen || gewisser Form
(mit beigefügten Analysen dieser Formen).
98 Aber überall weist man ja den Widerspruch nicht zurück. Es || : es gibt (ja) Gelegenheiten, wo wir den Satz gelten lassen wo wo wir für den Satz Verwendung haben, || : es verhalte sich so, & doch wieder nicht so. |
Auch wird der Widerspruch
nicht zurückgewiesen als eine falsche Mitteilung, sondern als
Unsinn, als Scheinsatz, || : als etwas, wofür
in unsern Sprachspielen kein Gebrauch ist.
|
Bedenk aber vorerst, daß man den
Widerspruch sehr wohl gebrauchen könnte;
wenn nur vor ihm zu warnen.
So könnten die Principia Mathematica || Die Principia Mathematica könnten sehr gut auch als ein Katalog von Widersprüchen geschrieben sein. “Aber dann wären sie ja falsch!” Durchaus nicht; 99 sie wären
dann auch richtig || dann auch
richtig. Der Satz vom Widerspruch würde
dann heißen: ⊢ p .
~p. Und warum sollte man
dann || in diesem Fall nicht sogar sagen
⊢ p . ~p sei ein
wahrer logischer Satz?
|
Einen Stuhl, der zusammenklappt, wenn man sich auf ihn setzen
will, wird allerdings jeder zurückweisen, der einen Stuhl
für normale Zwecke brauchen || der ihn für normale Zwecke
brauchen || der ihn zu normalen Zwecken brauchen || der ihn zum
normalen Zwecke kaufen will; soll er aber nur zur
Dekoration dienen, oder als Scherz || zu einem Scherz
oder als Falle, || – so ist gegen ihn nichts
einzuwenden. || ; soll er diesen Zweck aber nicht
erfüllen; sondern nur Dekoration sein, oder ein Scherz, oder eine
Falle, so ist gegen ihn nichts einzuwenden.
Wenn Einer dort einen Widerspruch || einen Widerspruch dort findet, oder erzeugt, wo für die satzartigen Gebilde || Zeichenverbindungen die einander widersprechen || den Widerspruch bilden, keinerlei Verwendung vorgesehen ist, dann ist gegen diesen Widerspruch vorerst 100 nichts einzuwenden.
|
Warum sollte die
Russellsche || symbolische Logik nicht zu einem
Widerspruch führen dürfen? Warum || Ja, warum
sollte man
diesen nicht als die seltenste Blume dieses Systems
empfinden! || in diesem nicht die seltenste Blume
dieses Systems sehen? || sollte man in diesem
nicht eine exotische Blume dieses Systems
sehen? |
“Aber aus einem Widerspruch
folgt ja jeder Satz! Was würde dann aus
der Logik?” Nun so folgere || folgere nichts aus einem Widerspruch! |
Wenn Mathematiker sich
abergläubisch vor dem Widerspruch wie vor dem
leibhaftigen Teufel || Leibhaftigen
|| gebärden, warum
sollten nicht andere eine Art schwarze Messe feiern (&) || , indem sie sich in
Widersprüchen ergehen?
101 |
Wie wird denn der Satz vom Widerspruch eigentlich
verwendet? Ja, eigentlich wird er gar nie verwendet – – wenigstens habe ich noch nie gehört, daß ihn jemand im praktischen Leben ausdrücklich herangezogen hätte. Oder doch! – man sagt z.B. manchmal “Du hast doch soeben … gesagt, & jetzt sagst Du das Gegenteil!”; || – d.h.: man weist einen Widerspruch zurück. Der Satz vom Widerspruch ist ein Prinzip unserer Sprachverwendung. Mit ‘Prinzip’ meine ich Grundzug﹖. |
Nicht das || dies ist ein Unglück || verderblich || perniziös, || : einen Widerspruch zu erzeugen
in der Region, in der || dort, wo weder der
widerspruchsfreie
102
noch der widerspruchsvolle
Satz eine || irgend welche
Arbeit zu leisten hat; wohl aber das, || : nicht zu
wissen, wo man in diese Region eingetreten ist || gekommen ist wo der Widerspruch
nicht mehr schadet || wie man dorthin
gekommen ist. |
Frag nicht:
“Ist p wahr, oder
falsch?”, || – sondern:
“Soll ich schreiben ‘⊢ p’, oder ‘⊢
~p’?” – Und
darauf wird
oft || manchmal die
Antwort sein: “Das kommt drauf an, was Du mit
dem Satz machen willst”. |
Erinnere Dich hier Deiner
Freiheit, möchte ich sagen, zu gehen, wie Du willst.
|
Und heißt das
nicht || : Verstehe, was Dich sonst
gebunden
103 hat & daß Du
also hier frei bist? |
“Ja, soll ich diesen Satz
(Gödels
z.B.) anerkennen, oder nicht?
–” Worin besteht || Was heißt es denn, || : einen Satz anzuerkennen || anerkennen? “Es ist eine besondere geistige Handlung.” – Nun dann interessiert es mich hier || jetzt nicht. Erkenne ihn nur immer an, wenn Du dazu Zeit & Lust hast! – Aber redet man nicht davon, daß man einen Satz mit der Tat, – || , || – oder nur mit dem Mund, anerkennt? Nun das bringt uns schon näher, || ; daran, zu sehen || läßt uns sehen || es läßt uns sehen was es mit dem Anerkennen eines Satzes || der Wahrheit eines Satzes für eine Bewandtnis hat. || Nun das bringt uns schon näher – || : zu sehen, || erkennen, was es mit dem Anerkennen eines Satzes || der Wahrheit eines Satzes für eine Bewandtnis hat. || näher; es wird schon eher möglich, 104 zu sehen, was
es mit dem Anerkennen eines Satzes || der Wahrheit des Satzes für eine Bewandtnis hat. |
[Setze statt der Gefühle
(Gebärden) der Anerkennung: was Du mit
dem Satz tust.] |
Gödel zeigt uns
eine Unklarheit im Begriff (der)
‘Mathematik’, die darin
|| zum Ausdruck kam, daß
man die Mathematik für ein System gehalten
hat. |
Die
‘Eigenschaft einer Zahl’ – wie schaut
das aus? Ich vermute
– – – ❘
|
Wenn wir ein
System mathematischer Sätze haben, so hat dies
selbst eine || seine
eigene Geometrie.
105 |
“Dieses Satzzeichen ist 25
cm lang.” “Dieses Satzzeichen
kann nicht durch die Operationen … erhalten
werden.” |
“Das Satzzeichen № 512 kann nicht
durch die Operationen … erhalten werden.”
Die Frage ist: wie rechne ich aus, daß dieses Satzzeichen das 512te ist. |
30.12.
Die Philosophie verdankt
Cantor || schuldet
Cantors Mengenlehre || schuldet der Mengenlehre Ungeheures; denn || .
Denn wir haben nun eine Erfahrung von
den Fallen, die der Ausdruck || die
Phraseologie (uns) stellen
kann, von der wir
uns sonst nichts hätten || man sich sonst nichts hätte
träumen lassen können. ||
kann, eine Erfahrung, die man so bald
106 vielleicht nicht
vergessen kann. || wird vergessen
können. || wie wir sie nicht so bald
werden vergessen können. ||
, eine Erfahrung, die uns gelehrt hat,
wovon wir uns (sonst) keinen Begriff
hätten machen können. || was wir uns nie hätten
vorstellen können. ||
eine Erfahrung, die uns gelehrt hat, was wir nie hätten
ahnen können. || , eine
Erfahrung, die man für einige Zeit nicht wird vergessen
können. || , eine Erfahrung einziger Art, die man
sobald, vielleicht, nicht vergessen wird. || , eine Erfahrung, von der man
sich nichts hätte träumen lassen
können,
& die man so bald vielleicht || vielleicht so bald nicht vergessen wird. || , eine unersetzliche Erfahrung, die man so bald
nicht vergessen
wird. |
Nennen
wir die R'schen Beweise
‘Konstruktionen von Sätzen’ – was ist aber
dann ein Induktionsbeweis? Er kann
sich doch als Konstruktion nicht mit den andern
verglichen werden. |
Eine der verderblichsten || peinlichsten Unklarheiten
ist die der Mathematiker über das, was sie – jetzt
halb verächtlich – die
‘Interpretation’, der || ihrer Zeichen nennen. Unter
‘Interpretation’, oder ‘Auffassung’,
stellt man sich irgendwelche
108 uns nicht
interessierende psychologische Vorgänge vor, die die
die Worte || Zeichen
begleiten, während die
Interpretation eines Zeichens in seiner Anwendung
liegt. |
Die Bedeutung eines Zeichens liegt von
Ausnahmen || seltenen Fällen
abgesehen nicht in seelischen Vorgängen, die sein
Aussprechen, Schreiben, etc. begleiten
sondern in der komplizierten, uns (aber)
geläufigen, Praxis seiner Verwendung. |
Gehen wir ‘von einer
stillschweigenden Voraussetzung’ aus, wenn wir die
Paradigmen der Übergänge von Satz zu Satz
iterativ immer wieder & wieder || Stufe auf Stufe verwenden? Wir
gehen von gar keiner Voraussetzung aus. Wir tun, was
wir tun.
109 |
‘Wir tun, was wir tun’ – heißt:
“Laß es damit bewenden.” |
Wenn ich einen Schritt
stillschweigend anerkenne, dann erkenne ich ihn eben
stillschweigend an; d.h.
die Anerkennung || das Anerkennen liegt || geschieht dann (eben)
ohne Begründung || stillschweigend. |
“Dieser Satz ist keine
Tautologie.” ” || ‘Dieser Satz kann keine Tautologie sein & er
kann nicht falsch sein, denn …‘ || ” (Siehe Gödel) Argumentieren wir so: Nehmen wir an dies wäre eine Tautologie, so gäbe es also eine Tautologie, die von sich selbst aussagte, sie sei keine. Und dann sagt sie doch nicht die Wahrheit. 110
“Aber das könnte doch ohnehin niemand glauben, daß der Satz eine Taut. ist.” || Aber dieser || Dein Satz kann doch ohnehin keine Taut. sein, man sieht es ihm ja gleich an.” || es ist ihm ja gleich anzusehen.” – Ich nehme an, er || jemand hatte || habe einen Rechenfehler gemacht, & ich kann ja einen beliebig dummen Rechenfehler annehmen. Es ist unbegreiflich, || – aber das hat er || er hat herausgebracht, daß der Satz eine Tautologie ist. |
Wir haben
die ‘Wahrheitsbedingungen’
gestellt || niedergelegt, || : || ,
wenn der Satz beweisbar ist, solle er falsch sein. |
‘Dieser Satz
enthält 5 t”. |
“Dieser Satz
enthält … Buchstaben”.
111 |
Wir könnten uns ein Sprachspiel vorstellen in dem
Sätze Verwendung finden, die
‘über sich selbst’ etwas aussagen.
Wir könnten uns hier dazu auch ein eigenes
Demonstrativpronomen verwendet denken. |
Man käme also dazu, zu
sagen: Nein, man kann diesem Satz nicht trauen, er
ist eine Tautologie. |
Wir könnten uns hier auch
◇◇◇ “Dieser Satz läßt sich aus den Elementen … auf die Weise … zusammensetzen.” |
“Dieser Satz ist nicht unmittelbar
einleuchtend.”
112 |
Wie wenn ein Mensch wenn auch fälschlich vom Satz
T sagen
würde: “Nun, das ist eine offenbare
Tautologie!”? – Was
meinst Du? – “Nun das ist doch
selbstverständlich, daß das keine Tautologie
ist!” |
31.12.
“Dieser Satz ist nicht
selbstverständlich.” – Wie sollen
wir uns zu diesem Satz stellen? Sollen wir sagen, er sei
wahr? falsch? selbstverständlich? – ‘Du mußt
sagen, || : er sei wahr, aber nicht selbstverständlich; denn || , er sei
selbstverständlich-wahr. Denn
…’ |
Wenn Du also den Satz liest & (etwa)
ausrufst || sagst:
“selbstverständlich!”, so kann man
Dich eines Widerspruchs überführen.
113 |
Du hast, sozusagen, einen
Rechenfehler gemacht – nicht genau genug hingesehen,
was der Satz eigentlich sagt, d.h.,
was aus ihm folgt. || was für Folgen er
bedingt. ||
d.h., was er alles
bedingt.
|
Angenommen nun, Du gibst es
zu: || mir nach: er sei wahr – nicht
selbstverständlich
– –
was hast Du da zugegeben? Du hast ﹖den
Satz zugegeben. (Aber wie macht man
das?) Du sprichst ihn nun mit dem
Ton der Überzeugung aus, lehrst Andere, es tun, nickst mit dem
Kopf & sagst: “das stimmt”. || Du sprichst ihn also mit dem Ton der Überzeugung
aus; sagst: “das stimmt” & nickst mit
dem Kopf; (&) lehrst Andere dies || dasselbe tun.
114 Oder
sollten wir sagen, || : || will der
Mathematiker sagen, || : wir
lieben die Wahrheit um ihrer selbst willen? || Oder entgegnet der Mathematiker: er
liebe
die Wahrheit um ihrer selbst willen?
|| Oder sagt der
Mathematiker, es handle sich nicht um
Vorteil & Nachteil: wir
lieben die Wahrheit um ihrer selbst willen?
|
Aber
welchen Nachteil hätte es hier gehabt, hier zu
sagen, || : der Satz sei
selbstverständlich, daraus folge aber nicht, ich könnte
ihn als Behauptung aussprechen, | das käme
aber hier auf das gleiche hinaus, als ihn, der scheinbar das Gegenteil
sagt, behauptend auszusprechen. Wir hätten also
hier einen äußerlichen Widerspruch; aber es
sei alles in Ordnung. || aberunter den besonderen Umständen || , durch die
besonderen Umstände, sei alles in
Ordnung. || aber, durch die
Besonderheit der Aussage, sei
alles in
Ordnung.
|
“Aber zum Teufel, er
ist selbstverständlich, oder nicht
selbstverständlich!” – Die
Wahrheit ist, daß Du zu so etwas
115 normalerweise nicht
“selbstverständlich!” sagst, noch es
behauptest, noch sein Gegenteil. Du hast vor allem
gar nicht den geringsten Gebrauch für so einen
Satz.
Und dränge ich Dich nun doch, Dich zu
entscheiden, ob Du ihn anerkennen wirst || willst, etc.,
so
sollst Du sehen, daß es hier ganz gleichgültig ist || daß hier die
gewöhnliche Entscheidung wie Du Dich entscheidest,
daß also hier die gewöhnliche
Entscheidung || Wahl nicht
vorliegt. || so
sollst Du sehen, daß es hier die gewöhnlichen
Entscheidungsgründe nicht
gibt. || so
sollst Du sehen, daß hier die gewöhnliche
Situation der Entscheidung nicht vorliegt.
Ich möchte beinahe
sagen: Wofür immer Du Dich entscheidest, entscheide Dich
nicht aus dem Gödelschen Grund, denn das ist ein dummer Grund. Ich
wollte (lieber), Du hättest den Mut
hier etwas offenbar
Unsinniges || einen offenbaren Unsinn zu sagen, als || statt daß Du vor dieser
Konsequenz zurückscheust. || statt daß Du hier noch die äußere
Formen wahrst.
116 |
Wie lautet denn das Gegenteil des
Satzes
“Dieser
Satz ist nicht
selbstverständlich”? So:
“
|
Wenn Du den Satz für falsch erklären willst || ich den
Satz ausspreche & Du ihn für falsch erklären
willst || ich dies ausspreche & Du willst es
leugnen mußt Du bereit sein zu sagen:
“Was Du sagst || er sagt ist falsch;
es || er ist selbstverständlich.”
– |
Soll ich
sagen, das Gegenteil lautet: “Der
Satz: ‘
117 |
“Gödel
sagt || Gödels Satz
sagt in indirekter Weise aus, daß er nicht
beweisbar ist.” – Was sagt also das Gegenteil von
Gödels Satz
aus? || d.h. die Verneinung von
Gödels Satz
aus? || der verneinte Satz Gödels aus? || der verneinte
Gödelsche Satz
aus?
|
Folgt aus “⊢ p ist
beweisbar”
“⊢ p”?
D.h.: folgt daraus, daß
“p” die interne
Eigenschaft der Beweisbarkeit hat, daß es wahr ist? – Der Beweis für die Beweisbarkeit gilt
allerdings als Beweis von “⊢
p”, aber das heißt nicht, daß man aus dem
unbewiesenen Satz “⊢ p ist
beweisbar” “⊢ p” folgern darf.
|
1.1.39.
Aus Daraus, daß der Satz … eine so
& so beweisbare Struktur ist, folgt, bei
Russell, daß er ein
wahrer Satz ist. – Ja, ist das Alles || alles? Sind
118
keine Bestimmungen getroffen, wann man sagen könne, ein Satz sei beweisbar? [Krieche in das Netz hinein, das gemacht ist um zu fangen; laß Dich aber nicht fangen, sondern knüpfe es von innen auf!] |
Aber wenn mir (nun) Einer mitteilt, …
sei eine bei R. beweisbare Struktur – || ;
kann ich da nicht mit R's
Zustimmung || Erlaubnis folgern, daß …
wahr || richtig ist? || kann ich da nicht, mit R in
Übereinstimmung, folgern, … Doch;
Russell könnte diesen
Übergang vollziehen (ich meine, den Übergang vom
Satz || von der Form ‘⊢ ξ
ist beweisbar’ zu ‘⊢ ξ’), aber
nur unter gewissen Bedingungen: nämlich wenn
‘ξ’ bewiesen ist. Wir könnten uns ja denken, daß einer || Einer, auf Grund eines Traumes etwa, sagte: “Der Satz… ist beweisbar”; & nun 119 zur Behauptung des
Satzes überginge. || geht er zur Behauptung des Satzes
über.
|
‘Dieser Satz ist einer, der sich durch die Operationen
… nicht erhalten läßt.’ Wenn man
hier das “Dieser” reflexiv
auffaßt, so könnte das einfach eine
abgekürzte Schreibweise sein für:
“Der Satz: ‘Dieser
Satz … ’ läßt sich nicht …
erhalten, || ”, &
hier wäre ‘Dieser’ nicht
reflexiv zu
gebrauchen || aufzufassen || aufgefaßt. Der Satz
wäre also ein mathematischer Satz
geschrieben als Satz über seine eigene Form (eine eigene Art
der Schreibweise).
120 |
‘Dieser Satz ist einer der
sich … nicht ableiten läßt: Dieser Satz ist
einer der sich … nicht ableiten läßt.’ |
2.1.
Gödel
konfrontiert uns mit
einer neuen Situation:
“was sollen wir nun dazu sagen?” |
Aber in der
Entscheidung, was man sagen solle, darf man
nun nicht vorschnell sein. (Besonders darf man nicht
gleich das sagen wollen, was am
Aufsehen-erregendsten
klingt.) Die Situation ist schwerer zu übersehen,
als es scheint. |
‘Ist der mathematische Beweis eines Satzes
nur der Beweis
121 davon daß sich der Satz
so beweisen läßt, oder ist er auch der || ein Beweis des
Satzes?’ || ‘Was beweist eigentlich ein
mathematischer Beweis: beweist er, daß man den
Satz || diesen Satz … || p beweisen kann; oder
beweist er , den Satz (selbst) || p
selbst?’ |
(Man könnte geneigt sein zu
sagen nur das erstere sei Sache der Mathematik.)
|
Könnte
Russell nicht am Ende
jedes Beweises sagen, || : der & der Satz
ließe sich also beweisen? Ja es könnte
das Zeichen “⊢” so gelesen
werden, wenn man es nicht auch vor die Grundgesetze || Axiome setzte. – Aber würde
R. dann nicht etwas behaupten,
122 was er gar nicht behaupten
will? – – Er will doch sagen daß
p ⌵ ~p der Fall ist, nicht,
daß es aus dem & dem folgt! || . – Aber könnten denn diese beiden
Sätze nicht ganz die gleiche Verwendung haben?
–“Aber es ist doch wohl ein Unterschied, –
ob ich sage: || : es
regne; oder: der Satz “es regne”
könne folgerichtig aus … abgeleitet werden! || gehe folgerichtig aus …
hervor! – || ”
Aber wenn nun die Sätze, aus denen es hervorginge, anerkannt wären, & wenn die
Ableitung aus ihnen das einzige Kriterium wäre, das wir für
die Richtigkeit von “es
regnet” gelten ließen! – |
Aber halt!
R. könnte ja den Satz
~p ⌵
p auch ohne Beweis als wahr anerkennen & hat er dann
nicht denselben 123 Satz anerkannt, den er jetzt auf Grund
des eines || des Beweises
anerkennt? Kannst Du nicht den gleichen Satz einmal auf Grund des einen, einmal auf Grund des andern Beweises anerkennen & einmal ohne jeden Beweis? Und soll ich also sagen, der mathematische Beweis, beweise zwei mathematische Sätze auf einen || mit einem Schlag: den bewiesenen Satz & den, daß er bewiesen werden könne? 124 |
3.1.
Man könnte sagen, daß der Cantorsche Beweis zeige, daß man keine Vorstellung von
einem System der unendlichen Dezimalbrüche
habe; || – wie man ursprünglich annehmen
möchte, wegen der Ähnlichkeit der || ihrer Schreibweise
mit
den || der der
Kardinalzahlen. |
Von der ‘Zahl aller reellen
Zahlen’ (zu) reden heißt eine Metapher
(zu) gebrauchen; & wie passend das Bild
ist, welchen Nutzen es hat, muß nun der Kalkül erst
zeigen. |
Wie
kann man das Feld von Kalkülen überblicken die man noch
gar nicht hat || gar nicht gebildet hat?
(Littlewood.) 125 |
Liegt
denn der Wert einer Allgemeinheit nicht in der Technik
ihres Gebrauches? Darum studiere die verschiedenen Arten & Weisen wie Allgemeinheiten verwendet werden! |
Z.B.: “Jeder
Mensch geht nach
Paris, || : die meisten
allerdings auf großen Umwegen & ohne das Ziel je zu
erreichen.” |
Laß uns || mich hinter
die Kulissen dieser Definition schauen! (Ich
will mich dann ruhig wieder in den Zuschauerraum
setzen.) Die Frage scheint irrelevant – aber
warst Du wirklich ganz ahnungslos, als Du sie gabst, || :
hast Du sie nicht
im Hinblick auf eine bestimmte
126 Anwendung
gegeben?
Nun es macht ja nichts, wenn es so ist.
Nur schillert (Frege) || (Freges Ausdruck) Deine Definition: man kann
sie einmal als unangreifbare, weil willkürliche,
Festsetzung der Bezeichnung verstehen & zugleich
aber wieder || dann wieder als
Satz über die Natur der Zahlen.
“Aber was kann man mehr von einer Konvention des Ausdrucks wollen, als daß sie sich hinterher als äußerst praktisch || treffend || brauchbar erweist?!” Aber da || hier ist es eben schwer, daß man sich & dem Andern kein x für ein u vormacht || sich & dem Andern kein x für ein u vorzumachen, || : denn ist sie || die Definition nun brauchbar, weil || indem sie das Bild, das unserer Phantasie gefällt, || sie unsrer Phantasie Nahrung gibt? || , oder in anderer Weise? || : denn besteht nun die Brauchbarkeit 127 dieser Definition darin, daß sie unserer Phantasie
durch das Bild, was || welches sie
einführt, allerlei Nahrung gibt; oder besteht sie in etwas
anderm? |
Ein Tor ist etwas durch das Haus, was
dahinter steht, ein Fenster durch den Raum in den es Licht
läßt. Denke Dir eine Stadt mit
Häusern, Straßen & Gärten & eine
ihrer Vorstädte bestünde aus Toren ohne Häusern,
Fenstern in Mauern ohne Zimmer dahinter,
Gartenzäune
die keinen Garten umgeben, Gaslaternen, die mit keinem Gaswerk in
Verbindung stehen. |
“Ist das Wort
‘unendlich’ in der Mathematik zu vermeiden || Soll man das Wort ‘unendlich’ in der
Mathematik vermeiden?” Ja; dort,
wo es eine Bedeutung in
128 den Kalkül
mitzubringen scheint || mitbringen soll statt
sie erst von ihm zu erhalten. || Ja;
dort, wo es dem Kalkül eine Bedeutung zu verleihen scheint; statt
sie erst von ihm zu erhalten. |
Die Redeweise: “wenn man
aber in den Kalkül sieht, ist gar nichts Unendliches da”
– natürlich eine ungeschickte
Redeweise. || – aber
es heißt || sie bedeutet: ist || Ist es hier wirklich
nötig das Bild des Unendlichen || unendlich
(der ungeheuern Größe || unermeßlich)
hier heraufzubeschwören? & || Und wie ist dieses Bild mit dem
Kalkül﹖ in Verbindung?
denn seine || diese Verbindung
ist nicht die des Bildes ❘ ❘ ❘ ❘
|| eine andere als die des Bildes ❘ ❘ ❘ ❘
mit 4. || : Ist es hier wirklich
nötig, das Bild unendlich (das Bild der unermeßlichen
129
Größe) heraufzubeschwören? Und welches
ist seine Verbindung mit dem Kalkül? denn diese Verbindung
ist eine andere, als die anderer Bilder mit dem
Kalkül.
|
So zu tun, als sei man
enttäuscht, nichts Unendliches im Kalkül gefunden zu
haben ist (freilich) komisch;
nicht aber, zu die Frage
zu stellen: || zu
fragen:
was ist die Verbindung
unsrer Idee ‘unendlich’ mit diesen
Rechnungen.
|| Finitismus, Behaviourismus || Finitism, Behaviourism oder: wie verwendet man denn das Wort“unendlich” ursprünglich in der nicht mathematischen Sprache || : welches || was ist denn die alltägliche Verwendung des Wortes “unendlich”, von 130 der es seine Bedeutung zu
erhalten scheint¤ || die ihm seine
Bedeutung für uns gibt,
& was ist nun seine
Verbindung mit diesen mathematischen Kalkülen?
|
Finitism
& Behaviourism sind ganz ähnliche
Strömungen Bewegungen || Richtungen. Beide sagen: hier ist doch
nur … Beide leugnen die Existenz von etwas, & bei beiden
geht dieses Leugnen || & bei beiden ist dieses Leugnen || beide dem Zweck || beide zu dem Zweck, um
(aus) einer Verwirrung zu entkommen || entrinnen. || um einer Verwirrung zu
entrinnen. |
Was ich
(hier) tue ist nicht Rechnungen
als falsch zu erweisen; sondern das Interesse von
Rechnungen zu prüfen. || einer Prüfung zu
unterziehen. Ich prüfe
etwa die Berechtigung, hier noch ein Wort || das
Wort … zu gebrauchen. Eigentlich aber:
ich fordere immer wieder zu so einer Untersuchung
auf.
131 Zeige, daß es sie
gibt, & was da etwa zu untersuchen sei || ist. Ich darf also nicht sagen: “So darf man sich nicht ausdrücken,”, oder “Das ist uninteressant”, oder “Das ist absurd” || oder “Das ist absurd”, oder “Das ist uninteressant”, sondern: “Prüfe diesen Ausdruck in dieser Weise auf seine Berechtigung” || die Berechtigung dieses Ausdrucks in dieser Weise”; denn man kennt die Berechtigung eines Ausdrucks noch nicht, damit, daß man … || man kennt seine Bedeutung, weil seine Verwendung, noch nicht, damit, daß man … || man kennt seine Berechtigung, weil seine Verwendung, noch nicht, damit, daß man … || Man kennt seine Bedeutung, weil seine Verwendung, noch nicht, damit, daß man … || Ich mache Dich || darauf || aufmerksam: Man kennt seine Bedeutung, weil seine Verwendung, noch nicht, damit, daß man … |
4.1.
‘Man kann die Eigenschaften der Zahlen || Kardinalzahlen nicht in eine Reihe
ordnen.’ ||
‘Die Eigenschaften der Zahlen || Kardinalzahlen’: das ist kein
System.
Warum ist man (bin ich) geneigt, das zu sagen? – Wegen der Cantorschen Überlegung? 132
Möchte ich nicht sagen: “Ein System hätte nicht die nötige Mannigfaltigkeit”? Aber warum? Weil es || das zu wenig || nicht genug Glieder hat? Ein System von Eigenschaften – möchte man sagen – ist schon eine zu große Spezialisierung. – Aber das heißt doch, daß man Eigenschaften muß angeben können, die im Gegensatz zu dem System stehen, das man etwa aufgestellt hat. Also, daß es hier wieder ein ‘anders als’﹖ gibt. Nicht die Zahl der Glieder des Systems ist zu klein – was sollte denn das heißen? – aber dadurch daß || indem Du ein System angabst, hast Du (selbst) || eben neuen Bildungen Tür & Tür geöffnet, || den Weg gezeigt || die Tür geöffnet. 133 |
Man könnte das auch so sagen: Es gibt nicht
(wie ich in der Log. Phil. Abh.
gemeint habe || meinte
–) eine ‘allgemeine Form der Operation’,
die eine Zahl in eine andere verwandelt || aus einer Kardinalzahl eine andre macht – das wäre
ein System der Operationen;
|
Nehmen wir nun an, wir hätten alle
(uns vorläufig bekannten) || (uns soweit bekannten)
Operationen in ein System gebracht || in die Form
eines Systems gebracht. (Dies
– sie in ein System bringen – ist selbst ein
neues Stück Mathematik.)
Dann präsentiert sich uns das System selbst
nun als (eine) neue Möglichkeit
von Operationen. Es zeigt uns eine neue
Rechnungsart. Beiläufig gesprochen, die, diagonal
fortzuschreiten || (beiläufig gesprochen, die, diagonal
fortzuschreiten). || : Jeder
Stufe der Entwicklung 134 im System
(in der Vertikalen)
einem Punkt (in) der
horizontalen Entwicklung (nach einer
Regel) || der Entwicklung in der
Horizontalen nach einer
Regel beizuordnen || zuzuordnen.
Das
Gesetz der vertikalen Fortschreitung zu einer || zur Konstruktion eines
neuen Gesetzes der || einer horizontalen
Fortschreitung zu verwenden. |
5.1. ← |
“Denke Dir alle Stellen der Zahl π
in einer Reihe aufgeschrieben. – –
Du wirst mir doch nicht sagen, Du verstehst nicht, was ich
meine!” – So gut, wie ich verstehe, was es
heißt, daß 1000 Seelen auf einem cm³
Platz haben || 1000 Seelen haben in einem
cm³ Platz || 1000 Seelen gehen in einen
cm³. Daß ich
Bilder mit einem Ausdruck ein Bild || einige Bilder || Bilder verbinde,
verbürgt noch nicht, || ist kein Beweis
dafür, daß ich seine Verwendung verstehe || über seine Verwendung nicht
völlig im Unklaren bin oder seine
Berechtigung beurteilen kann. ||
Daß ich Bilder mit einem Ausdruck 135 verbinde, zeigt
nicht immer, daß || verbinden kann, ist nicht immer ein
Anzeichen dafür, daß über seine Verwendung
& also seine Berechtigung nicht völliges
Dunkel herrscht. || Daß ich Bilder mit einem
Ausdruck verbinde, ist nicht ohne weiteres als Anzeichen dafür zu
nehmen, daß ich ihn & seine Berechtigung
verstehe.
wenn uns die Bilder nämlich nicht den Weg zu seiner Verwendung weisen. ⇒[Zu der Bemerkung 4 Seiten früher]: Ich mache darauf aufmerksam, || : Man kennt seine Berechtigung – weil seine Verwendung – noch nicht, weil man Bilder mit ihm verbindet. || : Man kann seine Berechtigung – weil seine Verwendung – damit noch nicht beurteilen, daß man gewisse Bilder mit ihm verbinden kann. || : Man kennt seine Berechtigung damit nicht, daß man ein Stückchen Verwendung & ein Bild 136 vor sich
hat. || , daß man
Bilder || ein Bild hat & ein Stückchen
Verwendung vor sich
sieht. || : Man kann
die Verwendung eines Ausdrucks damit noch nicht
übersehn & daher sich kein Urteil über seine
Berechtigung bilden, daß sich ein Bild || ein Bild sich mit ihm
verbindet. || : Man kann die
Verwendung eines Ausdrucks damit noch nicht übersehen, daß
sich ein Bild ◇◇◇ mit ihm verbindet. man ein Bild
sieht, welches sich mit ihm verbindet ||
: Man kann die Berechtigung,
weil die Verwendung eines Ausdrucks || : Man kann die
Berechtigung eines Ausdrucks, weil seine Verwendung, damit
nicht übersehen, daß man nur eine
Facette nur
dieser || seiner Verwendung ansieht,
etwa auf || z.B. || etwa
ein Bild, das sich mit ihm || dem
Ausdruck verbindet. || : Man kann die Berechtigung eines
Ausdrucks, weil seine Verwendung, damit nicht
übersehen, daß man 137 eine
Facette dieser || seiner
Verwendung ansieht; etwa ein Bild, das sich mit ihm
verbindet. |
Überlege, wie Du zeigst || man beweist, daß
(∃x1, x2, x3 … x10¹⁰) φx … (∃x1, x2, x3 … x10¹⁰)λ ⊃ (∃x1, x2 … x2 × 10¹⁰) eine Tautologie ist! Ist es wirklich mit Russells Technik zu beweisen? [Ehe Du Dich entscheidest, daß diese Bemerkung || dieser Satz eine Dummheit ist, überlege Dir die Sache noch ein wenig.] |
Du denkst || Man
denkt: alles was notwendig ist sind geeignete
Definitionen. Und man vergißt, daß eine
Definition in der Mathematik
nicht bloß eine ‘Abkürzung’ der Schreibweise ist, sondern die Einführung
einer (mehr oder 138 weniger)
verwandten Technik des Rechnens. Wo aber steht geschrieben,
wie ich Russells
Technik durch andre Techniken fortsetzen soll?
|
Wir brauchen,
z.B., eine Methode, festzustellen,
ob || daß in zwei Klammern die gleiche
Anzahl von Variablen steht. Denn, was es heißt, in
beiden stehe die gleiche Anzahl hängt (so
sehr) von der Zählermethode ab, wie der
Sinn der Aussage zwei Stöcke seine gleich
lang || des Satzes “diese || die zwei Stöcke sind gleich
lang” von der Meßmethode (oder
Vergleichsmethode.) – Wir sagen etwa daß
der Satz eine Tautologie ist, wenn in diesen beiden
Klammern die gleiche Anzahl von Variablen steht: aber sagt das,
daß nicht in der einen 10000, in der andern |
Mit andern Worten die
Russellsche Technik
lehrt uns nicht 273 und 398 zu addieren.
Russell kann nicht
beweisen, daß 273 & 398 nicht 600 ist: denn
wenn wir eine Arithmetik benützen || anerkennen,
in der 600 als die Summe dieser Zahlen gilt || die 600 als
die Summe dieser Zahlen anerkennt || die 600 als Summe dieser Zahlen
bestimmt, so werden wir eben sagen müssen daß der
Russellsche Satz
… eine Tautologie ist, wenn in der
ersten || einen
Klammer 273, in der andern
398 & in der dritten 600 Variable stehen.
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1) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://wittgensteinsource.com/BTE/Ms-121_n