| IX. Philosophische Grammatik. |
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1
der Funktion
einen strengen Sinn hat, so muß sie sich in einer
Definition ausdrücken, die das Funktionszeichen mit der
Tabelle als gleichbedeutend erklärt. |
| 29.
Wenn Leute sagen, der Satz „es ist wahrscheinlich,
daß p eintreffen wird” sage
etwas sage etwas über das Ereignis
p, so vergessen sie, daß es
auch wahrscheinlich bleibt, wenn das Ereignis
p nicht
eintrifft. |
| Wir sagen mit dem
Satz „p wird wahrscheinlich
eintreffen” zwar etwas über die Zukunft, aber nicht
etwas „über das Ereignis
p”, wie die
grammatische Form der Aussage uns glauben macht. |
| Wenn ich nach dem Grund einer Behauptung
frage, so ist die Antwort auf diese Frage nicht für den Gefragten
& eben diese Handlung (die Behauptung),
sondern allgemein gültig. |
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Wenn ich sage: „das Wetter deutet auf
Regen”, sage ich etwas über das zukünftige
Wetter? Nein, sondern über das gegenwärtige,
mit Hilfe eines Gesetzes welches das Wetter zu einer Zeit mit dem
Wetter
Aber da⌊s⌋selbe könnte man dann auch für historische Aussagen behaupten. Aber es war ja auch vorschnell, zu sagen, der Satz „das Wetter deutet auf Regen” sage nichts über das zukünftige Wetter. Das kommt, darauf an, was man darunter versteht „etwas über etwas auszusagen”. Der Satz sagt eben seinen Wortlaut!
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(φe) ∙ φex
≡ φey Aber nach den
Erklärungen, die er über
(φe) ∙ φex ≡ φey die Aussage: „jeder Satz ist jedem Satz äquival[l|e]nt”. Er hat also mit seiner Erklärung nichts andres erreicht, als mit den was die zwei Definitionen x = x ≝ Tautologie x = y ≝ Contradiktion bestimm[t|en] ist. (Das Wort „Tautologie” kann hier durch jede beliebige Tautologie ersetzt werden und das gleiche gilt für „Contradiktion”) Soweit ist nichts geschehen als eine Erklärung⌊en⌋ der zwei verschiedenen Zeichenformen x = x & x = y zu geben. Diese Erklärungen können natürlich durch zwei Klassen von Erklärungen ˇz.B.
„(∃x,y) ∙ x ≠ y” ˇd.h. „(∃x,y) ∙ ~(x = y)”, – dazu hat er aber gar kein Recht: denn was bedeutet in diesem Zeichen das ⌊„⌋x = y⌊”?⌋ . Es ist ja weder das Zeichen „x = y” welches ich in der Definition oben gebraucht habe, noch natürlich das „x = x” in ˇder vorhergehenden Definition. Also ist es ein noch unerklärtes Zeichen. Um übrigens die Müßigkeit
Ich kann nun „(∃x,y) ∙ x ≠ y” natürlich wieder erklären; etwa als a ≠ a . ⌵ . a ≠ b . ⌵ . b ≠ b . ⌵ . b ≠ c . ⌵ . a ≠ c diese Erklärung aber ist eigentlich Humbug & ich sollte unmittelbar schreiben (∃x,y) ∙ x ≠ y ≝ Taut. (D.h. das Zeichen auf der linken Seite würde mir als ein neues – unnötiges – Zeichen für „Taut.” gegeben.) Denn wir dürfen nicht vergessen daß nach der Erklärung „x = x” „a = a”, „a = b”, etc. unabhängige Zeichen sind & nu[n|r] insofern zusammenhängen als eben die Zeichen „Taut.” & „Cont.”. Die Frage ist hier die nach der Nützlichkeit der „extensiven” Funktionen, denn die Ramsey'sche Erklärung des Gleichheitszeichens ist ja so eine Bestimmung durch die Extension.
fa = p Def
Diese Definitionen erteilen uns die Erlaubnis statt der uns
bekannten Sätze „p”, „q”, „r” die Zeichen
„fa”, „fb”,
„fc” zu setzen.
Zu sagen, durch diese drei Definitionen
fb = q Def fc = r Def
Denn die Zeichen „fa”, „fb”, „fc” sind f die gleiche Funktion dreier & Argumente nur⌊,⌋ insofern als es auch die Wörter „Ko(rb)”, „Ko(pf)” & „Ko(hl)” sind. (Es macht dabei keinen Unterschied, ob die „Argumente” „rb”, „pf”, „hl” sonst noch als Wörter gebraucht werden, oder nicht.) (Welchen Zweck also die Definitionen haben können, außer den, uns irrezuführen, ist schwer einzusehn.) Das Zeichen „(∃x) ∙ fx” heißt zunächst gar nichts; kann aber natürlich als denn die Regeln für Funktionen im alten Sinn des Wortes gelten ja hier nicht. Für diese wäre eine Definition fa = … Unsinn. Das Zeichen „(∃x) ∙ fx” ist, wenn keine ausdrückliche Erklärung dafür gegeben wird, nur wie ein Rebus zu b verstehen, in welchem auch die Zeichen eine Art uneigentlicher Bedeutung haben. Jedes ˇder Zeichen „a = a”, „a = c”, etc. in den Definitionen (a = a) ≝ Taut., etc. ist ein Wort. Der Endzweck der „Funkt Einführung der extensiven Funktionen war übrigens, d[as|ie] Arbeiten mit unendlichen Analyse von Sätzen über Extensionen & dieser Zweck ist verfehlt, da eine extensive Funktion durch eine Liste von Definitionen eingeführt wird. |
| Wenn man wissen will was
„2 + 2 =
4”
|
| 1.12.
Die Erklärung von (∃x) ∙ φx
als eine[n|r] logischen Summe &
(∃
(x) ∙ φx
als logischem Produkt kann natürlich nicht aufrecht
erhalten werden. Sie hing mit einer falschen
Analyse Auffassung der logischen Analyse zusammen
indem ich etwa dachte das logische Produkt für ein
(∃x) ∙ φx
: φa = φa &
(∃x) ∙ φx
: φa ⌵ φb =
φa ⌵ φb |
| Aus diesen Regeln ergeben sich dann die Grundgesetze
Russells
φx . ⊃ .
(∃Z).φZ &
φx ⌵ φy
. ⊃ .
(∃Z).φZ als Tautologien. |
|
Das Wesen des „logischen Gesetzes” ist es ja,
daß es im Produkt mit irgend einem Satz
diesen Satz ergibt. Und man könnte den Kalkül
Russells
p ⊃ p:q =
q p:p ⌵ q =
p etc.
Für (∃x) ∙ φx⌊, etc⌋ brauchen wir auch die Regeln (∃x[,|)]y)φx ⌵ ψx
= (∃x) φx ⌵
(∃[φ|x])ψx
(∃x,y) φx ∙ ψy
. ⌵ .
(∃x) φx ∙ ψx =
(∃x) φx ∙
(∃x) ψx Jede
solche Regel ist ein Ausdruck der Analogie zwischen
(∃x) φx
& einer logischen Summe. |
| 2.
Definitionen zur
Abkürzung:(∃x) φx:
~(∃x,y) φx ∙ φy ≝
(εx) φx (∃x,y) φx ∙ φy:
~(∃x,y,z) φx ∙ φy ∙ φz
≝
(εx,y) φx ∙ φy u.s.w. (Ɛx) φx ≝
(Ɛx) φx (Ɛx,y) φx ∙ φy = (Ɛ❘ ❘x) φx = (Ɛ2x) φx u.s.w. |
| Man kann zeigen, daß
(Ɛ❘ ❘x) φx . (Ɛ❘ ❘ ❘x) ψx . ~ (∃x) φx . ψx . ⊃ . ◇ (Ɛ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘x) φx ⌵ ψx(Ƒ) eine Tautologie ist.
Daher hat die Gleichung ❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ = ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ nur dann einen Witz, wenn das |
Zu sagen
„4 Gegenstände und 4 Gegenstände sind 8
Gegenstände” heißt nichts; & ebensowenig
„4 Äpfel [+| &] 4 Äpfel
Es ist also Unsinn zu fragen, ob vier Gegenstände auch dann 2 + 2 Gegenstande sind, wenn sich nicht je 2 unter einen Begriff bringen lassen fallen. | ✓ |
| Mein
Standpunkt unterscheidet sich dadurch vom Standpunkt der Leute die
heute über die Grundlagen der Arithmetik schreiben, daß ich es
nicht nötig habe einen bestimmten Kalkül zu
v z.B. den
des Dezimalsystems zu verachten. Einer
|
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Wenn man ˇin der Logik scheinbar m
(wie Ramsey) mehrere verschiedene Universen
betrachtet ˇ(wie Ramsey) so betrachtet, so betrachtet man
in Wirklichkeit verschiedene Spiele. Die
Erklärung eines „Universums”
würde z.B. in Ramseys Fall einfach
(∃x) φx ≝ φa ⌵ φb ⌵ φc ⌵ φd sein. |
| Man könnte
übrigens wirklich eine Notation
einfuh für
(∃x) ∙ φx
einführen in der man es durch ein Zeichen
„φα ⌵ φβ ⌵ φγ ⌵
…” ersetzt & dürfte dann damit
rechnen wie mit einer and logischen Summe;
es müßten aber die Regeln vorgesehen sein nach denen
ich diese Notation immer in die von
„(∃x) ∙ φx”
zurücknehmen kann & die also das Zeichen
„φa ⌵ φb ⌵ φc ⌵ …”
von dem einer logischen Summe unterscheiden. Der
Zweck dieser Notation wäre nur[,| d]er, in gewissen
Fällen leichter mit (∃x) φx
rechnen zu können. |
|
Der Satz R „die Relation
R verbindet zwei
Gegenstände mit einander”
wenn das soviel heißen soll, wie
„R ist eine zweistellige
Relation” ist ein Satz der Grammatik. |
| Ich sagte früher, es sei Unsinn es sei Unsinn zu sagen:
„4 Äpfel Man muß sich aber davor hüten zu glauben die Gleichung „4 Äpfel & 4 Äpfel = 8 Äpfel” ist die konkrete ˇGleichung, dagegen 4 + 4 = 8 der abstrakte Satz wovon die erste ˇGleichung nur eine spezielle Anwendung ist. Sodaß zwar die Arithmetik der Äpfel ˇviel weniger allgemein ist als die eigentliche allgemeine, aber eben in ihrem beschrankten Bereich (für Äpfel) gälte. – Es gibt aber keine „Arithmetik der Äpfel”, denn „4 Äpfel & 4 Äpfel = 8 Äpfel” ist nicht ein Satz, der von Äpfeln handelt. Man kann sagen daß in dieser Gleichung das Wort „Äpfel” keine Bedeutung hat. (Wie man es überhaupt von
|
| 3.
Die Zahlen sind der Mathematik nicht fundamental, wie ich
seinerzeit glaubte. |
| Die 0 ist
keine der Kardinalzahlen denn „es ist
|
| Die Reihe von Sätzen (∃x): aRx ∙ xRb (∃x,y): aRx ∙ xRy ∙ yRb (∃x,y,z): aRx ∙ xRy ∙ yRz ∙ zRb u.s.f. kann man sehr wohl so ausdrücken: „es gibt ein Glied
zwischen a & b” „es gibt 2 Glieder ״ ״ ״ ״” etc.
und kann das etwa schreiben (∃1x)
aRxRb, (∃2x) aRxRb,
etc. Es ist aber klar daß zum
Verständnis dieser Ausdrücke die obere
Erklärung nötig ist weil man sonst nach
al Analogie von (∃2x) ∙ φx
=
(∃x,y) φx ∙ φy
glauben könnte (∃2x) aRxRb
sei gleichˇbedeutend einem Ausdruck
(∃x,y)
aRxRb ∙ aRyRb. Ich könnte natürlich auch statt „(∃x,y)F(x,y)” schreiben „(∃2
(∃3x⌊,y⌋)[φ|F](x,y) = (∃x,y,z):F(x,y) ∙ F(x,z) ∙ F(y,z) (∃4x⌊,y⌋)[ = |F](x,y) = (∃x,y,z,u):F(x,y) ∙ F(x,z) … es folgen die Kombinationen zu zwei Elementen. (∃3
u.s.f.
[In allen diesen Erklärungen hätte ich richtiger
schreiben sollen (∃3x,y)F(x,y) statt (∃3x)F(x,y)] „(∃3x) ∙ F(xy) entspräche etwa dem Satz der Wortsprache „F(x,y) wird von 3 Dingen befriedigt” & auch dieser Satz bedürfte einer Erklärung um eindeutig zu werden. Soll ich nun sagen, daß in
Mit andern Worten die Zeichen von der Form (∃1x,y)F(x,y), (∃2x,y)F(x,y) (∃3x,y)F(x,y) ˇetc haben die Multiplizität der Kardinalzahlen wie die Zeichen (∃[3|1]x) φx, (∃2x) φx, etc & wie auch die Zeichen (ε1x) φx, (ε2x) φx etc.. |
| Von
einem Teil meines Gesichtsfeldes zu sagen, er habe keine Farbe,
ist Unsinn; ebenso – natürlich auch – zu sagen,
er habe Farbe (oder eine Farbe). Wohl aber [ Anderseits ] hat es Sinn zu sagen, er
habe nur eine Farbe (sei einfärbig oder
gleichfärbig), er habe mindestens zwei Farben, nur
zwei Farben, u.s.w..
Ich kann also in dem Satz „dieses Viereck in meinem Gesichtsfeld hat ˇmindestens zwei Farben” statt „zwei” nicht „eine” substituieren. Oder auch: „das [v|V]iereck hat nur eine Farbe” heißt nicht – analog (∃x) φx ∙ ~(∃x,y) φx ∙ φy – „das Viereck hat eine Farbe, aber nicht zwei Farben”. Ich rede hier von dem Fall, in
Was meint man wenn man sagt „der Raum ist färbig”? (Und: eine sehr interessante Frage: welcher Art ist diese Frage?) Nun man sieht etwas zur [b|B]estätigung herum & blickt auf die verschiedenen Farben um sich her & möchte etwa sagen: wohin ich schaue ist eine Farbe. Oder: Es ist doch alles färbig, alles sozusagen angestrichen.
Zur Bestätigung des Satzes „der Gesichtsraum ist färbig” sieht man sich (etwa) um & sagt: das hier ist schwarz & schwarz ist eine Farbe; das ist weiß & weiß ist eine Farbe; u.s.w. „Schwarz ist eine Farbe” aber faßt Mache ich es sinnlos zu sagen ein Teil des Gesichtsraumes habe keine Farbe so wird die (Frage nach der) Analyse der Angabe der Zahl der Farben in einem Teil des Gesichtsraumes ganz ähnlich der der Angabe der Zahl der Teile eines Vierecksˇ, etwa, daß ich etwa durch Striche in begrenzte Flächenteile teile. Auch hier kann ich es als sinnlos ansehen zu sagen, das Viereck sei „bestehe aus 0 Teilen”. Man kann daher nicht sagen es bestehe „aus einem oder mehreren Teilen” oder es „habe mindestens einen Teil”. Denken wir uns den speziellen Fall eines
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| Wie soll man nun den Satz auffassen
„diese Hüte haben die gleiche Größe”
oder „diese Stäbe haben g die
gleiche Länge” oder „diese Flecke haben die
gleiche Farbe”? Soll man sie in der Form
schreiben: „(∃L)La ∙ Lb”? Aber wenn das in der gewöhnlichen Weise gemeint wird also mit den gewöhnlichen Regeln gebraucht wird, so müßte es ja dann Sinn haben zu schreiben „(∃L)La” also „der Fleck a hat eine Farbe”, „der Stab
Nehmen wir als Beispiel auch den Satz „in den beiden Kisten |
|
Denken wir uns eine Rechenmaschine die anstatt mit Kugeln,
mit Farben in einem Streifen rechnet. Und während wir
jetzt auf unserm Abacus mit Kugeln ˇoder den
Fingern die Farben in einem Streifen zählen, so würden
wir dann die Kugeln auf einer Stange oder die Finger an unsrer Hand
mit Farben in einem Streifen zählen. Wie aber
müßte diese Farbenrechenmaschine konstruiert sein um
funktionieren zu können? Wir brauchten ein Zeichen
dafür daß keine Kugeln an der Stange
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| Denken wir
uns Jemand, der
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| Die Schwierigkeit daß
„(∃n) ∙ φn”
sinnlos ist könnte man übrigens aus dem Weg schaffen
indem man es bedeuten läßt, daß φ eine Anzahl
größer als
In allen den Fällen: „Einer der vier Füße dieses Tisches hält nicht”, „Es gibt Engländer mit schwarzen Haaren”, „Auf dieser Wand ist ein Fleck”, „die beiden Töpfe haben das gleiche Gewicht”, „[a|A]uf beiden Seiten stehen gleichviel Wörter” – wird in der Russellschen Notation das „(∃ …) …” gebraucht; & jedesmal mit anderer Grammatik. Damit will ich also sagen daß mit einer Übersetzung ˇso eines Satzes aus der Wortsprache in die Russellsche Notation nicht viel gewonnen ist. Will man den Satz „die Begriffe φ & ψ werden von der gleichen Anzahl von Dingen befriedigt” [ „unter φ & ψ fallen gleichviele Gegenstände” ] in übersichtlicher Notation schreiben so ist man vor allem versucht ihn in der Form „φn ∙ ψn” zu schreiben. Und ferner empfindet man das nicht als logisches Produkt (Es würde also auch nicht aus φn ∙ ψn φn folgen.) ‚φn ∙ ψn’ verhält sich vielmehr zu einem logischen Produkt ˇähnlich wie der Differentialquotient zu einem Quotienten.) Es ist so wenig ein logisches Produkt, wie die Photographie einer Familiengruppe eine Gruppe von Photographien ist. Darum kann uns also die Form „φn ∙ ψn” leicht irreführen & es wäre vielleicht eine Schreibweise von der Art φn ∙ ψn(Ƒ) vorzuziehen, aber auch „(∃n) φn ∙ ψn” wenn die Grammatik dieses Zeichens festgelegt ist. Man kann dann festlegen (∃n) φn = taut was soviel heißt wie (∃n) φn ∙ p = p Also (∃n) φn ⌵ ψn = taut, (∃n) φn ⊃ ψn = taut (∃n) φn ∣ ψn = cont. etc. φ1 ∙ ψ1 ∙ (∃n) φn ∙ ψn = φ1 ∙ (∃n) φn ∙ ψn φ2 ∙ ψ2 ∙ (∃n) φn ∙ ψn = φ2 ∙ (∃n) φn ∙ ψn etc. ad inf.
Und überhaupt sind die Rech-Es ist klar daß dies keine logische Summe ist, da „u.s.w. ad inf” kein Satz ist. Die Notation (∃n) φn ∙ ψn ist aber auch nicht unmißverständlich; denn man könnte sich wundern warum man hier statt φn ∙ ψn nicht Φn sollte setzen können & dann sollte ja „(∃n) Φn” nichtssagend werden. Das klärt sich natürlich auf wenn man auf die Notation ~(∃x) φx für (∃ φ0, (∃x) ∙ φx ∙ ~(∃x,y) φx ∙ φy für φ1, etc zurückgeht beziehungsweise auf (∃n0x) φx für φ0, (∃n1x) φx für φ1 etc.. Denn dann ist zu unterscheiden zwischen (∃n1x) φx ∙ (∃n1x) ψx & (∃n1x) φx ∙ ψx. Und geht man auf (∃n) φn ∙ ψn über so bedeutet das (∃n): (∃nnx) φx ∙ (∃nnx) ψx (welches nicht nichtssagend ist) & nicht (∃n): (∃nnx) φx ∙ ψx welches nichtssagend ist. |
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Die Grammatik des Wortes
„gleichzahlig” ist ähnlich aber doch
verschieden von der der Worte |
| Die Worte „gleichzahlig”,
„längen-
|
| Wenn es sich um
Flecke im Gesichtsraum handelt die wir zugl⌊e⌋icherzeit sehen so
hat das Wort „gleichlang” verschiedene Bedeutung
jenachdem die Strecken unmittelbar angrenzend oder
von einander entfernt sind.
|
| Die
Gleichzahligkeit wenn es sich um eine Anzahl von Strichen
handelt „die man übersehen kann” ist eine
andere als die welche nur durch zählen
der Striche festgestellt werden kann |
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| Im Fall der
Längengleichheit im Euklidischen
Raum mag man sagen, sie bestehe darin daß beide Strecken die
gleiche Anzahl von cm messen, beide 5
cm beide 10 cm, etc. Wenn es
sich aber um die Langengleichheit zweier
Strecken im Gesichtsraum handelt, so gibt es hier nicht eine
Lange 𝓁 die beide haben. |
| Man
möchte sagen: zwei Stäbe müssen immer entweder
gleichlang oder verschieden lang sein. Aber was heißt
das? Es ist natürlich eine Regel der
Ausdrucksweise. „In den zwei Kisten müssen
entweder gleichviel Äpfel oder verschiedene Anzahlen
sein”. Das Anlegen zweier Maßstäbe an je
einen Stab Strecke soll die Art sein Methode sein
wie ich herausfinde, ob die beiden Strecken gleichlang sind:
sind sie aber gleich lang wenn die
beiden Maßstabe ˇgerade nicht
angelegt sind? Wir würden in diesem Fall
sagen, wir wissen nicht ob die beiden während dieser Zeit gleich
oder verschieden lang sind. Aber man könnte auch
sagen, sie haben während dieser Zeit keine Längen oder etwa
keine numerischen Längen. |
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Ähnliches wenn auch nicht das gleiche gilt von der
Zahlengleichheit. |
| Es gibt
hier die Erfahrung daß wir eine Anzahl Punkte sehen deren Anzahl
wir nicht unmittelbar sehen können die wir
|
| 16.2.
Wenn man bei geschlossenen Augen ein Flimmern sieht, unzählige
Lichtpünktchen die kommen & verschwinden, –
wie man es etwa beschreiben würde – so hat es keinen
Sinn hier von einer ‚Anzahl’ der zugleich gesehenen
Pünktchen zu reden. Und man kann nicht sagen
„es sind eine immer eine bestimmte Anzahl von
P Lichtpünktchen da, wir wissen sie bloß
nicht”; dies entspräche einer Regel die dort
angewandt wird, wo von einer Kontrolle dieser Anzahl
gesprochen werden kann. |
|
Russells
Erklärung der Gleichzahligkeit ist aus verschiedenen
Gründen ungenügend. Aber die Wah⌊r⌋heit ist
daß man in der Mathematik keine solche Erklärung der
Was uns verführt, die Russellsche, oder Fregesche, [e|E]rklärung von anzunehmen, ist der Gedanke, zwei Klassen von Gegenständen (Äpfeln in zwei Kisten) seien gleichzahlig, wenn man sie einander 1–1 zuordnen könne. Man denkt sich die Zuordnung als eine Kontrolle der Gleichzahligkeit. Und hier macht man in Gedanken wohl noch eine Unterscheidung zwischen Zuordnung & Verbindung durch eine Relation; & zwar wird die Zuordnung zur Verbindung was die „geometrische Gerade zu einer wirklichen ist, eine Art I idealer Verbindung; einer Verbindung die quasi von der Logik vorgezeichnet ist & durch die Wirklichkeit nun nachgezogen werden kann. Es ist die Möglichkeit aufgefaßt als eine schattenhafte Wirklichkeit. Dies hängt dann wieder mit der Auffassung von „(∃x) ∙ φx” als Ausdruck der Möglichkeit von φx zusammen. „φ & ψ sind gleichzahlig” (ich werde dies schreiben „S(φ ∙ ψ)” oder „x = a ∙ y = b . ⌵ . x = c ∙ y = d . ⌵ . u.s.w.” |
| Aber, erstens, warum definiert man
dann nicht gleich S als das Bestehen einer solchen
Relation. Und wenn man darauf antwortet, diese
(∃x,y) φx ∙ φy ∙ ~(∃x,y,z) φx ∙ φy ∙ φz: (∃x,y) ψx ∙ ψy ∙ ~(∃x,y,z) ψx ∙ ψy ∙ ψz (Was ich in der Form schreibe (∃n2x) φx ∙ (∃n2x) ψx Und, zu sagen, zwischen φ & ψ bestehe eine der Beziehungen x = a ∙ y = b; x = a ∙ y = b ⌊. ⌵ .⌋ [y|x] = c ∙ y = d; etc. etc., In dem Sinne von S also in welchem S aus φ5 ∙ ψ5 folgt, wird es durch die Russellsche Erklärung nicht erklärt. Vielmehr braucht man da eine Reihe von Erklärungen
φ0 ∙ S = φ0 ∙ ψ0 = ψ0 ∙ S
Dagegen wird
π als Kriterium der
Gleichzahligkeit gebraucht & kann natürlich in einem
andern Sinne von S auch S gleichgesetzt
werden. (Und man φ1 ∙ S = φ1 ∙ ψ1 = ψ1 ∙ S }(Ƒ) ‒ ‒ ‒ α etc ad inf.
Es folgt zwar nicht π aus φ5 ∙ ψ5 wohl aber φ5 ∙ ψ5 aus π ∙ φ5. π ∙ φ5 =
π ∙ φ5 ∙ ψ5 =
π ∙ ψ5 Also kann man
schreiben u.s.w.
π ∙ φ0 = π ∙ φ0 ∙ ψ0 = π ∙ φ0 ∙ S
π ∙ φ1 = π ∙ φ1 ∙ ψ1 = π ∙ φ1 ∙ S }(Ƒ) ‒ ‒ ‒ β π ∙ φ2 = π ∙ φ2 ∙ ψ2 = π ∙ φ2 ∙ S u.s.w. ad inf. Und dies kann man dadurch ausdrücken daß man sagt die Gleichzahligkeit folge aus π. Und man kann auch die Regel geben π ∙ S =
π die mit den Regeln
β , oder der Regel, β &
α & der Regel α
übereinstimmt. |
✓ |
Wenn Einer sagt „der
Gesichtsraum ist farbig”, so schauen wir uns um
& schauen uns die Farben um uns an, als wenn er gesagt
hätte „schau Dir dieses Buch an”, oder
„schau [d|D]ir die Form dieser Vase
an”. |
| Wenn Einer
konstatieren wollte „der
ˇGesichtsRaum ist farbig”, so
wären wir versucht ihm zu
antwor- |
| Es läßt sich kein rationaler Grund
angeben weshalb wir denken müssen. |
| ˇDie Regel „Aus π folgt
S” also π ∙ S = π
könnte man auch ganz gut Schreibt man S in der Form φ0 ∙ ψ0 . ⌵ . φ1 ∙ ψ1 . ⌵ . φ2 ∙ ψ2 . ⌵ . … ad inf so kann mit man mit grammatischen Regeln die der gewohnten Sprache entsprechen leicht π ∙ S = π ableiten. Denn (φ0 ∙ ψ0 . ⌵ . φ1 ∙ ψ1 etc. ad inf) ∙ π = φ0 ∙ ψ0 ∙ π ⌵ φ1 ∙ ψ1 ∙ π ⌵ etc. ad inf) = φ0 ∙ π ⌵ φ1 ∙ π ⌵ φ2 ∙ π ⌊ ⌵ ⌋ etc. ad inf = π ∙ (φ0 ⌵ φ1 ⌵ φ2⌊ ⌵ ⌋ etc ad inf = π. φ Der Satz [(|„]φ0 ⌵ φ1 ⌵ φ2 ⌵ etc. ⌊ad inf⌋” muß als Tautologie behandelt werden. |
|
|
| Der Philosoph spürt Wechsel im Stil
einer Ableitung, die an denen der Mathematiker von
heute, mit seinem s[f|t]umpfen Gesicht ruhig
vorübergeht. – Eine höhere
Sensibilität ist es eigentlich, was den Mathematiker der
Zukunft von dem heutigen unterscheiden wird; &
die wird die Mathematik – gleichsam – stutzen;
weil man dann mehr auf die absolute Klarheit als auf
|
| Regel
& Erfahrungssatz. Ist eine Regel ein
Erfahrungssatz – etwa über den Gebrauch der
Sprache? Ist eine Regel des Schachspiels ein Satz
darüber wie die Menschen seit dem Ereignis der Erfindung
⌊17.⌋ &Die Regel ist die Festsetzung de[s|r] Maß[es|ein]⌊heit,⌋ setzt die Maßeinheit fest, & der Erfahrungssatz sagt, wie lang der ein Gegenstand ist. (Und hier sieht man wie logische Gleich[unge|nisse]n funktionieren, denn die Festsetzung der Maßeinheit ist wirklich eine grammatische Regel & die Angabe einer Länge in dieser Maßeinheit ein Satz, der von der Regel gebrauch macht.) |
| Wenn man die Regel
dem Satz beifügt, so ändert sich der Sinn
Die Legende zu einer Landkarte ist so eine Anweisung zum Gebrauch der Sprache – oder zum Verständnis – einer Beschreibung |
|
¥Das Lehren der
Philosoph⌊i⌋e hat dieselbe ungeheure Schwierigkeit welche der
Unterricht in der Geographie hätte wenn der Schüler eine
[m|M]enge falsche
|
|
⍈Diese Legende sagt
jedenfalls nichts über die Geographie des Landes aus.
Sowenig wie der Satz „1 m ist die Länge des
Urmeters in Paris” etwas über die
Länge eines Gegenstandes aussagt [ die
Lange eines Gegenstandes
beschreibt ] . |
| Ferner bezie muß sich die
Regel auf die Anwendung in der Beschreibung (der
Wirklichkeit) beziehen. Denn was hat
es für einen Sinn von einem Stab zu sagen „das
Insofern könnten wir uns die Regel jedem Satz beigefügt denken. Die Regel ist eine Art vorgezeichneter Route; ein vorgezeichneter Weg. Man könnte sich in einem Wald Spazierwege markiert denken, zu dem Zweck daß sich die Menschen über Spaziergänge im Wald verständigen können. Aber täte es für diesen Zweck nicht auch irgendein Koordinatensystem? |
| 18.
∣ Die Menschen sind tief in den philosophischen
i.e. grammatischen Konfusionen
eingebettet. & Und sie
daraus zu befreien setzt voraus, daß man sie aus den
ungeheuer mannigfachen Verbindungen
herausreist in denen sie gefangen
sind. Man muß sozusagen ihre ganze Sprache
umgruppieren. – Aber das geht nur
diese Sprache ist ja so ents[f|t]anden [ geworden ] weil Menschen die Neigung hatten –
& haben – so zu denken. Darum geht
das Herausreißen nur bei denen die in einer instinktiven
|
| Die Regel möchte
ich ein Instrument nennen. |
|
∣ „Die Grammatik aufklären” heißt sie
|
∣ Ein Spiel könnte so gehen: man macht
[F|f]austgroße Kugeln aus Lehm & rollt sie in
der & der Weise etc. Die Angabe daß
es faustgroße St Kugeln sein sollen
entspricht ganz der Angabe daß irgendwo ein
‚Haufen’ Sand ist dort & dort ist;
& man sieht daß die besondere Unbestimmtheit dieser
Angabe sehr wohl in Regeln eintreten kann. ∣
| ✓ |
Ich will jemandem die Form eines Linienzugs
beschreiben & gebe zuerst die Regel (der Darstellung)
Denn, können wir nicht wirklich statt ‚a a c b d d’ schreiben
| \ |
✓ | Das zeigt
übrigens die
|
/ |
Wenn eine Regel ein Satz ist, dann wohl
einer, der von den Wörtern der Sprache handelt. Aber
was sagt so ein Satz von den Wörtern aus? Daß sie
in dem & dem Zusammenhang gebraucht werden? Aber
von wem & wann? Oder, daß jemand wünscht
daß sie so gebraucht werden? Und wer? –
Vielmehr ist die Regel von allen diesen Aussagen ein
Teil. |
/ |
Verhält es sich mit einer Grammatischen Regel wie mit
einem Gesetz im Staat? Ist es nicht
von so einem Gesetz wahr, daß es nichts darüber aussagt
was geschieht noch auch sagt daß jemand wünscht daß so
& so gehandelt werde.
| / |
20.
Die Regel „links gehen!”
oder einfach ein Pfeil. Wie, wenn ich mir in meinem Zimmer
einen Pfeil an die Wand malte, – wäre der auch der Ausdruck
eines Gesetzes[?|,] wie die es der Pfeil
auf einem Bahnhof wohl sein könnte? Um ihn zu einem
Gesetz zu machen, gehört
(Sraffa) Ein Ingenieur baut eine Brücke; er schlägt dazu in mehreren Handbüchern nach; in technischen Handbüchern & in juridischen. Aus den einen erfährt er daß die Brücke zusammenbrechen würde wenn er dieses Teil schwächer machen würde als etc. etc.; aus den andern daß er eingesperrt würde wenn er sie so & so bauen würde. – Stehen nun die beiden Bücher nicht auf gleicher Stufe? – Das kommt drauf an wie sie in sein was für eine Rolle sie in seinem Leben spielen. Das juri- Nein; denn wenn er handelt als ob ihn jemand zwänge so ist doch seine Handlung jedenfalls Wirklichkeit & auch die Vorstellungsbilder die er etwa dabei hat sind nicht Irrtümer; & er braucht sich in nichts irren & kann doch handeln wie er handelt & sich auch vorstellen, was er sich etwa vor- | \ |
| Der
Sinn der Sprache ist nicht durch ihren Zweck bestimmt.
Oder: was man den Sinn, die Bedeutung, in der Sprache nennt,
ist nicht ihr Zweck. |
| Die
Regel ˇ– wie ich sie verstehe – ist wie ein Weg in
einem Garten. Oder wie die vorgezeichneten Felder auf
Ich könnte auch so sagen: Ich will nur das mitteilen, was der Satz der Sprache mitteilt; & die Regel ist nichts als ein Hilfsmittel dieser Mitteilung. (so wie ich sieˇ, die Regel verstehe). Schon deshalb
Wir müssen uns vergegenwärtigen wie wir in der Philosophie, d.h. beim Klären grammatischer Fragen, wirklich von Regeln reg reden; – damit wir auf der Erde bleiben & nicht nebelhafte Konstruktionen
(∃x)
φx ⌵ φa ⌵ φb =
(∃x).φx oder
~~p =
p(Ƒ) 21.
Wie schaut nun so eine Notation aus? Nun, in den meisten Fällen werde ich Sätze der alten Notation (etwa der Wortsprache) in die entsprechenden Sätze der N neuen Schreibweise übersetzen[. E|; e]twa indem ich schreibe
etc. Die Regel entspricht
aber in gewissem Sinne dem was man eine „Annahme”
genannt Sie könnte, ver glaube ich, verglichen werden mit dem Plan eines Hauses „[i|I]ch meine einer Zeichnung die als Plan eines Hauses gebraucht werden kann, der aber kein ˇexistierendes Haus entspricht & von der auch nicht gesagt wird daß ihr einmal eines entsprechen soll, etc.. |
|
∣ Das Rätselhafte am Kontinuum ist wie das
Rätselhafte der Zeit für Augustinus dadurch bedingt daß
uns die wir durch die Sprache verleitet werden
ein Bild auf sie anzuwenden daß nicht
paßt. Die Mengenlehre behält das unpassende Bild
des [d|D]iskontinuierlichen bei, aber sagt diesem
Bilde [wi|Wi]dersprechendes von ihm aus mit der
Idee mit Vorurteilen zu brechen. Während
|
✓ | Die Beschreibung einer neuen etwa
übersichtlicheren Notation (denn auf die
Übersichtlichkeit kommt es uns an) ist dann von der gleichen
Art wie die Beschreibung einer jener Sprachen die die Kinder
erfinden oder von einander lernen worin
Das was hier irrezuführen scheint ist ein Doppelsinn des Wortes „Beschreibung” wenn man einmal von der Beschreibung eines wirklichen Hauses oder Baumes etc. spricht,
Die Beschreibung einer Notation fängt ˇman charakteristisch(er Weise) oft mit den Worten an: „Wir können auch so schreiben: …”. Man könnte fragen: „was ist das für eine Mitteilung ‚wir können’ …’” etc.. Man schreibt auch etwa: „übersichtlicher wird unsere Darstellung wenn wir statt … sc schreiben … & die Regeln geben …”; & hier kommen stehen die Regeln in einem Satz⌊.⌋ vor 22.
Welcher Art sind die Satze [eines | ]: „Man nehme 1 kg Mehl etc.”? (Hier kann man allerdings auch von falschen |
Denken wir uns etwa ein Bild
◇den Menschen einen Boxer in bestimmter Kampfstellung
darstellend. Dieses Bild kann nun dazu gebraucht werden um
jemandem mitzuteilen wie er stehen, sich halten, soll; oder wie er
sich nicht halten soll; oder wie ein bestimmter Mann dort
& dort gestanden ist; etc.
etc.. Man könnte dieses Bild ein
Satzradikal nennen. | \ ? |
∣ Die Grammatik des Wortes
„dort & dort” ∣ | ✓ |
Ich bewege mich noch immer
nicht frei genug in der tatsächlichen Verwendung der
Sprache umher. Ich bin noch immer zu sehr von
vorgefaßten Schemata beeinflußt, – noch zu steif.
| ✓ |
‚Regel’ ist in demselben Sinne ein Begriff
mit verschwommenen Rändern, wie ‚Blatt’
oder ‚Stiel’ oder ‚Tisch’,
etc.. | \ |
| Wenn man eine Notation beschreibt, sagt man
etwa: „ich
Wir sagen nun: „wir gebrauchen die Wörter ‚rot’ & ‚grün’ so in solcher Weise daß es als sinnlos gilt ˇ(kontradiktorisch ist) zu sagen am selben Ort sei zu gleicher Zeit rot & grün”. Und dies ist natürlich ein Satz, Erfahrungssatz über unsere tatsächliche Sprache. |
? s | 25.
Welcher Art nun sind die Regeln,
welche sagen daß die & die Zusammenstellungen von
Wörtern keinen Sinn haben? Sind sie von der Art
derjenigen Vorschriften Regelungen, welche etwa sagen, daß es keine
Spielstellung im Schach ist, wenn zwei Figuren auf dem gleichen Feld
stehen, oder wenn eine Figur auf der Grenze zwischen zwei Feldern
steht, etc.? Diese
Was heißt es denn zu sagen: „diese Wortzusammenstellung heißt nichts”. Im Falle eines Von einem Namens kann man sagen „diesen Namen habe ich niemandem gegeben” & das Namengeben ist eine bestimmte Handlung (umhängen eines Täfelchens). Denken wir an die Darstellung einer Reise auf der Erde durch eine Linie in der Projektion der von zwei Halbkugeln & daß wir sagen: ein Linienstück das auf der Zeichenebene die Grenzbreite der Projektionen verläßt ist in dieser Darstellung sinnlos. Man könnte auch sagen: nichts ist darüber ausgemacht worden. |
|
Wer etwas dagegen hat, daß man sagt die Regeln der
Grammatik seien Spielregeln hat in dem Sinne recht, daß das
was das Spiel zum Spiel macht, die Konkurrenz von Spielern, der Zweck
der Unterhaltung & Erholung in der Grammatik abwesend
ist, etc.. Aber niemand wird leugnen,
Man sieht dann vor allem wie der Begriff des Spiels & damit der Spielregel ein an den Rändern verschwimmender ist. Ferners sieht man etwa [f|F]olgendes wenn man die Regeln z.B. des Schachspiels betrachtet: Es gibt hier Sätze w die die Züge der einzelnen Figuren beschreiben, in allgemeiner ausgedrückt Regeln über Spielhandlungen. Dann aber gibt es doch die Sätze die die Grundstellung beschreiben & solche die das Schachbrett beschreiben. |
| Eine sehr
interessante Erwägung über die Stellung des
Zahlbegriffs in der Logik ist die: Wie
(Nichts wäre interessanter als die Arithmetik dieser Menschen zu untersuchen & man verstünde wirklich daß es hier keinen Unterschied zwischen 20 & 21 existiert gibt.) |
|
Ich nehme an daß dieses Haus nicht in einer halben
Stunde zusammenstürzen wird. Wann nehme
ich das an? Die ganze Zeit? & was ist
dieses Annehmen für eine Tätigkeit? Heißt
es nicht zweier das annehmen
nicht (wieder) zweierlei? Einmal
bezeichnet es eine hypothetische psychologische Disposition; einmal
den Akt des [d|D]enkens, [a|A]usdrückens,
Wenn man nun sagt: gewiß sind doch die Regeln der Grammatik, nach denen wir vorgehen & operieren nicht willkürlich, so müßte man zur Antwort fragen: Gut also, warum denkt denn ein Mensch wie er denkt? warum geht er denn durch diese Denkhandlungen? (gefragt ist hier natürlich nach den Gründen, nicht Ursachen). Nun, da lassen sich Gründe in dem Kalkül angeben; & ganz zum Schluß ist man dann versucht zu sagen: „es ist eben sehr wahrscheinlich, daß sich das Ding jetzt so verhalten wird, wie es sich immer verhalten hat” [ – – – daß das Ding jetzt das gleiche Verhalten zeigen wird, das es immer gezeigt hat”. ] , – oder dergleichen. Eine Redensart, die den Anfang des Raisonements verhüllt &
Das was so schwer einzusehen ist, ist, daß, solange wir ein im Bereich der [w|W]ahr-[f|F]alsch-Spiele spielen bleiben, eine Änderung der Grammatik uns nur von einem solchen zu einem andern führen kann, aber nicht von etwas Wahrem zu etwas Falschem. |
| Denken wir uns die
Tatigkeit in einem Haus in einer
Werkstätte. Da wird gehobelt, gesägt,
ges[f|t]richen, etc. etc.;
& außerdem gibt es da eine Tätigkeit die man rechnen
nennt & die sich scheinbar von allen
Wenn man nun nach dem Grund einer einzelnen Denkhandlung |
| ∣
Die Menschen welche kein Bedürfnis nach Durchsichtigkeit
ihrer Argumentation haben, sind für die Philosophie
verloren. ∣ |
| Wenn
man fragt „warum gibst Du Eier in diesen Teig”, so
ist die Antwort etwa „weil der Kuchen dann besser
schmeckt”. Also, man
Wenn ich dem Holzblock eine bestimmte Form geben will, so ist der Hieb der richtige der diese Form erzeugt. – Ich nenne aber nicht das Argument das richtige, das die erwünschten Folgen hat. Vielmehr nenne ich die Rechnung falsch
⌊26.⌋ Wenn man nun von der Willkürlichkeit der grammatischen Regeln spricht, so kann das nur bedeuten, daß ⌊es⌋ die Rechtfertigung, die in der Grammatik als solche gilt, nicht für die Grammatik gilt. Und wenn man das Rechnen
|
| 27.
Die Regeln der Grammatik sind so
(ˇd.h. in demselben Sinne)
willkürlich wie die Wahl einer Maßeinheit.
Aber das kann doch nur heissen daß sie
von der Länge des zu
[M|m]essenden unabhängig
ist. Und daß nicht die Wahl der einen Einheit
‚wahr’ der andern ‚falsch’ ist,
wie die Angabe der Länge wahr oder falsch ist. Was
natürlich nur eine Bemerkung über die Grammatik des Wortes
„Längeneinheit” ist.
Man ist versucht die Regeln der Grammatik durch Sätze zu rechtfer⌊t⌋igen von der Art: „Aber es Kann man aber nicht doch in irgend einem Sinne sagen, daß die Grammatik der Farbwörter die Welt wie sie tatsächlich ist charakterisiert? Man möchte sagen: kann ich nicht wirklich vergebens nach einer fünften primären Farbe suchen? – (Und wenn man suchen kann, dann ist ein Finden denkbar.) Nimmt man nicht die primären Farben zusammen, weil sie eine Ähnlichkeit haben oder zum mindesten die Farben im Gegensatz z.B. von Formen oder Tönen weil sie eine Ähnlichkeit haben? Oder habe ich wenn ich diese Einteilung der Welt als die richtige hinstelle schon eine vorgefaßte Idee als Paradigma im Kopf? Von der ich dann etwa nur sagen kann: „ja, das ist die
Die Wichtigkeit in einem Spiel liegt darin, daß wir dieses Spiel spielen. Daß wir diese Handlungen ausführen. Sie verl Es verliert seine Wichtigkeit nicht dadurch daß es selbst nicht wieder der eine Handlung in einem andern (übergeordneten) Spiel ist. Warum nenne ich die Regeln des Kochens nicht willkürlich; & warum bin ich versucht die Regeln der Grammatik willkurlich zu nennen? Weil das Kochen durch seinen Zweck definiert ist dagegen der Gebrauch der Sprache nicht. Darum ist der Gebrauch der Sprache in einem gewissen Sinne autonom in dem das Kochen & Waschen es nicht ist. Denn wer sich beim Kochen nach andern als den |
| Die Stellung der Spielregeln zu den
Sätzen. [Die| Eine]
Regel verhält sich zu einem Erfahrungssatz
ˇahnlich wie die
zeichnung die die ˇinnern Charakteristika
eines Wohnhausplanes hat zu der Beschreibung
welche sich einer solchen Zeichnung bedient &
welche sagt daß so ein Haus dort & dort
existiere. Der Respekt den man vor den Regeln des Schachspiels – etwa – hat
|
|
Statt der Zeichnung ˇallein die zur Beschreibung eines
bestimmten Hauses dienen kann könnte man sich auch ◇eine
die unangewandte Beschreibung eines Haushaltes etwa mit
der die Einteilung eines ganzen Tages denken, von welcher
Beschreibung die Planzeichnung einen Teil bilden
würde. Das entspräche etwa der Beschreibung des Schachbretts & der Figuren & der erlaubten Züge & etwas |
| Das Schema:
Ding-Eigenschaft. Man sagt: eine Handlung habe
eine Eigenschaft! Etwa die der Schnelligkeit; oder
die der Güte! |
| Die
Gleichung p ∙ q = p zeigt
ˇeigentlich den Zusammenhang des Folgens & der
Wah⌊r⌋heitsfunktionen. |
|
„In den Regeln darf kein Widerspruch
sein”, das klingt so wie eine Vorschrift: „in
|
|
Es hat keinen Sinn von einem schwarzen
Zwei-Eck im weißen Kreis zu reden; und dieser Fall ist
dieser Fall ist analog dem: es ist sinnlos zu sagen, das
Viereck sei in 0 Teile bestehe aus 0 Teilen
(keinem Teil). Hier haben wir etwas wie eine untere Grenze des Zählens noch ehe wir die Eins erreichen. Gibt es auch einen Fall in welchem es eine obere Grenze gibt? Ich glaube schon; z.B. den der re Flächen regelmäßiger Körper. Aber muß ich so weit gehen, kann ich nicht willkürlich so ein System festsetzen? | \ ✓ |
Ist Teile zählen in I das
Gleiche wie Punkte zählen in IV? Und worin
besteht der Unterschied? Man kann das Zählen der
Teile in I auffassen als ein zählen
von Vierecken. Dann kann man aber auch sagen „in
dieser Zeile ist kein Viereck”; & dann
zählt man nicht
Teile. Es beunruhigt uns die Analogie zwischen
dem Zählen der Punkte & der Teile & das Auslassen dieser Analogie
Darin, die ungeteilte Fläche als „Eins” zu zählen ist etwas [s|S]eltsames; dagegen finden wir keine Schwierigkeit darin die einmal ge[l|t]eilte als Bild der 2 zu sehen. Man möchte hier viel lieber zählen „0, 2, 3, etc.”. Und dies entspricht der Satzreihe: „das Viereck ist ungeteilt”, „das V. ist in 2 Teile geteilt”, etc.. | \ \ |
✓ |
Wenn es sich um verschiedene
Farben handelt dann kann man sich den Standpunkt (die
Betrachtungsweise) denken von
|
✓ |
Von dem Standpunkt von dem es
‚seltsam’ ist die ungeteilte Fläche als 1 zu
zählen ist es aber auch nicht natürlich die einmal
geteilte als 2 zu zählen.
| ✓ |
Das geht nun, wo die Farben
in einem Streifen an einander grenzen wie
ˇetwa im Schema
Das Natürlichste ist die Reihe der
| ✓ \ |
| Man kann die
Teilgkeit des Vierecks
beschreiben indem man
sagt, ⌊:⌋ es
Ich will zeigen daß nicht nur eine Methode besteht die Teiligkeit zu beschreiben. |
✓ |
Wenn man die Unterschiede (der
Farben) zählen will so wird man, wie gesagt etwa die
Zusammenstellungen je zweier Farben zählen; man ist aber
dann auch versucht von einem [m|M]ehrfarbenunterschied zu
sprechen, |
✓ |
Man wird sich
aber vielleicht auch enthalten den Unterschied überhaupt mit
einer Zahl zu bezeichnen sondern sich ganz an die Schemata
A, AB, ABC, etc.
halten Oder es auch so schreiben Und wirklich 1, 12, 123, etc. oder was auf das gleiche hinauskommt: 0, 0,1, 012, etc. Diese kann man sehr wohl auch Zahlenwörter nennenZahl[en|wö]⌊rter⌋ nennen Zahlzeichen nennen. | \ |
|
Die Schemata: A, AB, ABC, etc; 1, 12, 123, etc; ❘, ❘ ❘, ❘ ❘ ❘ etc;
|
✓ |
✓ / |
Die Schemata
Hätte man statt der Schemata
|
\ / |
Vergleiche einfach die beiden Reihen:
|
Es kann der
Reihe
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ etc | ✓ |
Beiläufig &
irreführend ausgedruckt: ich kann
die Teile zählen aber auch die Teile die
Ich kann die Reihe der Teilungsschemata sowohl mit der Reihe 1, 2, 3 etc. als auch mit der Reihe 0, 1, 2, 3 etc. vergleichen. Zähle ich die Teile so
| ✓ \ |
/ | Könnte
man auch eine Zahlenart den Kardinalzahlen
entgegensetzen deren Reihe der der
Kardinalzahlen ohne der 5 entspräche? Oh
ja; nur wäre diese Zahlenart vorläufig zu
nichts zu brauchen, wozu die Kardinalzahlen
es sind. Und die 5 fehlt diesen Zahlen nicht wie ein Apfel
den man aus einer Kiste voller Äpfel
(Zeigt sich hier nicht die Unsinnigkeit des Geredes von der „Grundintuition”?) |
✓ |
29.
Regeln ˇder Grammatik die eine „Verbindung
zwischen Sprache & Wirklichkeit” herstellen,
& solche die es nicht tun. Von der ersten Art
etwa: „diese Farbe nenne ich
‚rot’”, – von der zweiten:
„~~p =
p”. Aber über diesen Unterschied
besteht ein Irrtum: der Unterschied scheint prinzipieller Art zu
sein; & die Sprache wesentlich etwas was dem eine
Struktur gegeben, & was dann der Wirklichkeit
aufgepaßt wird. | \ |
Die Philosophen, welche
sagen: „nach dem Tod wird ein zeitloser Zustand
eintreten”, oder „mit dem Tod tritt ein zeitloser
Zustand ein”, & nicht merken, daß sie
zeitlich im zeitlichen Sinne
„nach” & „mit” &
„tritt ein” gesagt haben & daß die
Zeitlichkeit in ihrer Grammatik liegt. | \ |
⨯ | „Das
Viereck hat eine Farbe & nur Ich weiß selbst nicht, was mir an dieser Sache noch unverständlich ist, worin mein Problem liegt, & doch ist noch eins. Es ist etwas noch nicht klar! Unrichtig ausgedrückt, aber so wie man es zunächst ausdrücken würde, lautet das Problem: „warum kann man sagen ‚es gibt 2 Farben auf dieser Fläche’ & nicht⌊:⌋ ‚es gibt eine Farbe auf dieser Flache’?” Oder: Wie muß ich die grammatische Regel ausdrücken, daß ich nicht mehr versucht bin unsinniges zu sagen & daß sie mir selbstverständlich ist? Wo liegt der falsche Gedanke, die falsche Analogie, durch die ich versucht verführt werde, die Sprache unrichtig zu gebrauchen? Wie muß ich die Grammatik darstellen daß diese Versuchung wegfällt? Ich glaube, daß die Darstellung durch die Reihen
u.s.w.
u.s.w. So ist es auch, wenn ich die Längen von Stäben oder die Größen von Hüten zähle. Wenn ich mit [z|Z]ählstrichen zähle so könnte ich diese ˇsie in solchen dann so schreiben: , , , etc. um zu zeigen daß es auf den Richtungsunterschied ankommt & der einfache Strich der 0 entspricht. (d.h. der Anfang ist). | ✓ |
| (Der
aufregende Charakter der grammatischen
Unklarheit.) |
Der Sinn
| \ |
Welche Rolle der Satz im
Kalkül spielt, das ist sein Sinn. | \ |
Der Sinn
steht also nicht hinter ihm (wie der psychische Vorgang
der Vorstellungen etc.). | \ |
Welche Sätze aus
ihm folgen & aus welchen Sätzen er folgt, das macht
seinen Sinn aus. Daher auch die
| \ |
| Wende das auf einen
Satz an, wie etwa „es wird niemals Menschen mit zwei
Köpfen geben”. Dieser Satz scheint irgendwie
in's Unendliche [u|U]nverifizierbare zu reichen
& sein Sinn von jeder Verification
unabhängig zu sein. Aber wenn wir seinen Sinn
erforschen wollen, so meldet sich ganz richtig die Frage:
Können wir die Wahrheit eines solchen Satzes je wissen
& wie können wir sie wissen.
¤ Nun wird man vielleicht
sagen: ich frage ja es ist ja nach dem Sinn gefragt
worden; nicht danach, ob & wie man ihn wissen kann.
Aber ¤
& welche Gründe können wir haben was der Satz
ˇsagt anzunehmen & abzulehnen?
Aber die Antwort auf die Frage „wie kann man diesen Satz wissen?” ist nicht eine psychologische sondern sagt, aus welchem andern Satz er folgt, gehört also zur Grammatik des erstern. Und die Gründe, die möglich sind die Wahrheit den Satz anzunehmen sind nicht persönliche Angelegenheiten sondern Teile des Kalküls zu dem der Satz gehört. Wenn ich frage: wie kann ich den Satz „jemand ist im Nebenzimmer⌊”⌋ verifizieren”, oder „wie kann ich herausfinden, daß jemand im Und, indem man die erste [a|A]rt mit der zweiten verwechselt glaubt man, die Frage sei nach der Verification sei für den Sinn ohne Belang. Die Gründe für die Annahme eines Satzes muß man sind nicht ˇzu verwechseln mit den Ursachen der Annahme. Jene gehören zum Kalkül des Satzes. |
| Die Ursachen, warum wir einen Satz glauben
wären
|
| Und der Sinn des Satzes ist ja nicht etwas, was wir
erforschen & vielleicht zum Teil unerforschlich ist.
So daß wir später erst noch einmal darauf kommen
könnten, daß dieser Satz von andern Wesen als wir sind auf
eine andere Art gewußt werden kann. So daß er
dieser Satz mit diesem Sinn bliebe, dieser Sinn
aber Eigenschaften hätte, die wir jetzt nicht ahnen.
Der Satz, oder sein Sinn, ist nicht das pneumatische Wesen,
was sein Eigenleben hat & nun Abenteuer besteht, von denen wir
nichts zu wissen brauchen. Wir hätten ihm quasi Geist
von unserm Geist eingehaucht, – seinen Sinn – aber nun
hat er sein Eigenleben – wie unser Kind – & wir
können ihn (nur)
erforschen & mehr oder weniger verstehen.
|
|
Der Instinkt führt einen [R|r]ichtig, der zur Frage
führt: Wie kann man so etwas wissen; was für
einen Grund können wir haben das anzunehmen; aus welchen
Erfahrungen würden wir so einen Satz ableiten;
etc.. |
|
S Der Sinn ist keine Seele des
Satzes. Er muß, soweit wir an ihm interessiert
sind, sich gänzlich ausmessen
|
| Wenn man nun fragt: hat es Sinn
zu sagen „es wird nie das & das
geben”? – Nun, welche Evidenz gibt es
dafür; & was folgt daraus? – Denn wenn
es keine Evidenz dafür gibt – nicht daß wir noch nicht
imstande waren sie zu kriegen – sondern
|
|
Übrigens: Eine Zahl die
heute auf bewußte Weise mittels des
Fermatschen Satzes
definiert ist, wird dadurch nicht geändert daß der Beweis
dieses Satzes oder des Gegenteils gefunden wird. Denn der
Kalkül dieser Zahl weiß von dieser Lösung des Problems
nichts (& wird auch dann nichts von ihr wissen). |
| „Ich werde nie einen
Menschen mit 2 Köpfen sehen” – man glaubt, durch
diesen Satz irgendwie in die Unendlichkeit zu reichen.
Quasi zum mindesten eine Eisenbahn dorthin gelegt zu haben,
wenn wir sie auch wir auch noch nicht die ganze Strecke
bereist haben. Es liegt da die Idee zu Grunde, daß z.B. das Wort „nie” die Unendlichkeit
Es kommt darauf an: Was kann ich mit so einem Satz tun [ anfangen ] ; denn, auf die Frage „was bedeutet er?” kommt ja wieder ein Satz zur Antwort, & der führt mich solange nicht weiter, als ich aus der Erklärung nichts über die Züge erfahre, die ich mit den Figuren machen darf⌊.⌋[.| (]Als ich, sozusagen, nur immer wieder die gleiche Configuration vor mir sehe & keine anderen die ich aus ihr bilden kann.) So höre ich z.B. daß keine Erfahrung diesen Satz beweisen kann & das Beruhigt mich über seine unendliche Bedeutung. |
| Manche
Philosophen (oder wie man sie nennen soll) leiden an dem was man
„loss of problems”,
„Problemverlust” nennen kann. Es scheint
ihnen dann alles ganz einfach & es scheinen keine
tiefen Probleme mehr zu existieren, die Welt wird weit & flach
& verliert jede Tiefe; & was sie schreiben
wird unendlich seicht und trivial.
Russell &
H. G. Wells haben dieses Leiden. |
| Aus keiner Evidenz folgt, daß dieser
|
| Es gibt so viel verschiedene
Allgemeinheiten als es verschiedene Zahlarten
gibt. [ Es gibt soviel verschiedene
‚alle’, als es verschiedene ‚eins’
gibt. ] |
|
Darum nützt es nichts zur Klärung das Wort
„alle” zu gebrauchen, wenn seine man seine
Grammatik in diesem Fall noch nicht kennt. |
| 1.3.
Ein einfaches Sprachspiel ist z.B.
dieses: Man spricht zu einem Kind (es kann aber auch
ein Erwachsener sein) indem man das elektrische Licht in einem Raum
andreht: „Licht”, dann, indem man es
abdreht: „Finster”; & tut das
etwa mehrere male mit Betonung &
variierenden Zeitlängen. Dann geht man etwa
in das Nebenzim-Soll ich da nun „licht” & „finster” ‚Sätze’ nennen?! Nun, wie ich will. – – Und wie ist es mit der ‚Übereinstimmung mit der Wirklichkeit’? |
|
Wenn ich bestimmte einfache Spiele beschreibe, so
geschieht es nicht um mit ihnen nach & nach die wirklichen
Vorgänge der Sprache – oder des Denkens – aufzubauen,
was nur zu Ungerechtigkeiten führt, – sondern ich stelle die
Spiele als solche hin, & lasse sie ihre aufklärende
Wirkung auf die besondern Probleme ausstrahlen. |
| Ich habe ein Bild mit
verschwommenen Farben & komplizierten
Übergängen. Ich stelle ein einfaches
aber mit klar geschiedenen Farben aber mit dem ersten
verwandtes daneben⌊.⌋
& la Ich sage nicht daß das
erste eigentlich das
|
| (Hängt meine Art des Denkens mit
dem
|
| Man könnte oben sagen: „die
Worte ‚licht’, ‚finster’
sind hier als Sätze gemeint & ˇsind nicht
ˇeinfach Wörter”. Das heißt sie
sind hier nicht so gebraucht, wie wir sie in der gewöhnlichen
Sprache gebrauchen (obwohl wir tatsächlich auch oft so
sprechen). Aber wenn ich plötzlich ohne sichtbaren
Anlaß das Wort „licht” isoliert ausspreche, so
wird man allerdings fr sagen: „was heißt das? das ist doch kein
Satz” oder: „Du sagst
‚licht’, nun was soll's
damit?” Das Aussprechen des Wortes „licht” ist in diesem Fall sozusagen noch kein (kompletter) Zug des Spiels which we expect the other to play. |
| Wie unterscheidet sich nun
„licht” wenn es den Wunsch nach Licht ausdrückt
von „licht” wenn es konstatiert daß es im
Zimmer licht ist? Daß wir es in jedem Fall anders
meinen? Und worin besteht das? In
bestimmten Vorgängen die das [a|A]ussprechen
Begleiten, oder in einem bestimmten
Benehmen, da[ß|s] ihm vorangeht, eventuell es begleitet,
& ihm folgt? |
| Wenn
ein Mann im Ertrinken „Hilfe”
|
| Ich sage
das Wort „Licht!”, – der And⌊e⌋re
fragt mich: „was meinst Du?”
– Und ich
|
| Nun kann
man ruhig annehmen: ‚ich meinte, Du solltest Licht
machen’ heißt, daß mir dabei ein Phantasiebild
von Dir in dieser Tätigkeit vorgeschwebt hat, &
ebensogut, : d
jener S der Satz heißt, daß
mir dabei die Worte des vollständigen Satzes in der Phantasie
gegenwärtig waren, oder daß eins von diesen beiden der Fall
war, – nur muß ich wissen daß ich damit eine Festsetzung
über die Worte „ich meinte” getroffen habe
& eine engere als die ist welche dem tatsächlichen
ˇallgemeinen Gebrauch des Ausdrucks entspricht. |
| Wenn das
Meinen für uns irgendeine Bedeutung, Wichtigkeit, haben soll so
muß dem System der Sätze ein System der Meinungen zugeordnet
sein, was immer für Vorgänge die Meinungen sein
sollen. |
|
Inwiefern stimmt nun das Wort „Licht”
im obigen Symbolismus oder Zeichenspiel mit einer
Wirklichkeit überein, – oder nicht überein?
Wie Wie gebrauchen wir überhaupt das Wort übereinstimmen? – Wir sagen „die beiden Uhren stimmen überein”, wenn sie die gleiche Zeit zeigen, „die beiden Maßstäbe stimmen überein”, wenn gewi[ß|ss]e Teilstrche zusammenfallen, „die beiden Farben stimmen überein” wenn sie etwa etwa ihre Zusammenstellung uns angenehm ist. Wir sagen „die beiden Längen stimmen überein” wenn sie gleich sind, aber auch wenn sie in einem von uns gewünschten Verhältnis stehen. Und daß sie „übereinstimmen” heißt dann nichts andres, als daß sie in diesem Verhältnis – etwa 1 : 2 – stehen. So muß also in jedem Fall erst festgesetzt werden, was unter „Übereinstimmung” zu verstehen ist. – So ist es nun auch mit der
Als ich nun dem Andern erklärte: „Licht” (indem ich Licht machte), „Dunk Finster” (indem ich auslöschte) hatte ich auch sagen können & mit genau derselben Bedeutung
|
| 2.
Es kommt eben wieder auf die Grammatik des Wortes
„Übereinstimmung” an, auf seinen
Gebrauch. Und hier liegt die Verwechslung mit
‚Ähnlichkeit’ nahe in dem Sinn in
Ich kann auch wirklich nach der Aussage über die Gestalt eines Körpers eine Hohlform konstruieren in die nun der Körper paßt oder nicht paßt, jenachdem die Beschreibung richtig oder falsch war[;|,] & die konstruierte Hohlform gehört dann in dieser Auffassung noch zur Sprache (die ˇbis an die Wirklichkeit herankommt). |
| Aber auch die Hohlform macht kein
finsteres Gesicht, wenn der Körper nicht in sie paßt.
|
| Behauptung, Annahme,
Frage. Man kann auf dem Schachbrett einen Zug in einer
Schachpartie machen, – aber auch während eines
Gesprächs über ein Schachproblem
Freges Anschauung könnte man so wiedergeben: daß die Annahme ˇ(so wie er das Wort gebraucht) das ist, was die Behauptung daß p der Fall ist mit der Frage ob p der Fall ist gemeinsam hat. |
| Kann man statt der Frage „ist
p der Fall” den Satz setzen:
„ich möchte wissen ob p der Fall
ist”? (Und wie ist es mit dieser
Frage? – –) |
✓ |
Wie ist es mit den Sätzen eines
Romans? Wenn man sich immer mit Hilfe des
Fregeschen Symbolismus
ausdrückte, sollte man da das Zeichen
Behauptungszeichen |
| Es
gibt wirkliche Annahmen, die wir eben durch Sätze von der Form
„angenommen p wäre der
(oder⌊:⌋ ist) der Fall”
ausdrücken. Aber solche Sätze nennen wir nicht
vollständig & sie
|
| Erinnern wir uns daran, daß es
keinen Sinn hat zu sagen
„p „(es schneit) oder
(regnet es?)” Wenn ich die Behauptung
daß p der Fall ist
„⊢p”
schreibe, die Frage ob p der Fall ist
„?p” & den Wunsch,
daß p der Fall sein möge
„!p”, so kann
man also nicht schreiben „(⊢p) ⌵
(?p)”. |
| Welcher Und welcher Art ist ein
Satz der wie der vorige „Erinnern wir uns
daran …”? Oder, wenn sich [e|E]iner eine mögliche Situation, etwa ihrer [s|S]eltsamkeit wegen, notiert? Oder: die Erzählung eines Witzes? |
| Ist nun aber eine solche Annahme ein
Teil einer Behauptung? Ist das nicht als sagte man,
die Frage ob p der Fall ist, sei ein Teil der
Behauptung, daß p der Fall ist? |
| Ist es aber nicht
auffällig daß wir es in unsern gewöhnlichen
philosophischen⌊-⌋grammatischen Problemen nie
damit zu tun haben, ob sie sich auf Behauptungen oder Fragen
beziehen? (Etwa in dem Problem von Idealismus
& Realismus) |
|
ˇÜbrigens tritt der Der Unterschied
zwischen zwischen dem, was man Sätze der Mathematik
nennt nennt & Erfahrungssätzen tritt zu Tage,
wenn man bedenkt, ob es Sinn hat zu sagen: „ich
wünschte
2 × 2
wäre 5!” |
| Und,
daß das Problem
Und irgendwie ist die Lösung, daß wir uns nur für kalküle interessieren & psychische Begleiterscheinungen die nicht zum Kalkül gehören uns nicht angehen. |
| 8.
Wenn das Wort „Übereinstimmung mit der
Wirklichkeit” gebraucht
|
| 10.
Wenn es so etwas gäbe wie eine Annahme im
Sinne Freges, müßte
dann nicht die Annahme daß p der Fall ist gleich der sein
daß ~p der Fall ist? |
| In dem Sinn in welchem die Frage
„ist p der Fall?” die
gleiche ist wie „ist p nicht der
Fall?”. |
| Es
ist [S|s]innlos von einer Frage zu sagen, sie sei wahr oder
falsch; ihr ein ~ vorzusetzen (nämlich der Frage als
solcher); zu sagen sie stimme (oder stimme nicht) mit der
Wirklichkeit überein. |
|
In dem Sprachspiel „Licht--Finster”
wahr von ist kommt keine Frage
vor. – Aber wir könnten es auch mit Fragen
spielen. |
|
Man hat
natürlich das Recht ein Behauptungszeichen zu verwenden,
wenn man es im Gegensatz ˇetwa zu einem Fragezeichen
gebraucht. Irreleitend ist es nur wenn man meint
daß die Behauptung Mit dem Klavierspielen nach Noten ist nun allerdings das laute, oder ˇauch leise, Lesen nach dem geschriebenen oder gedruckten Satz zu vergleichen & ganz analog, aber nichts, was wir denken nennen. Ist also z.B. ein Behauptungszeichen im geschriebenen Satz, so wird wieder ein Behauptungszeichen im gelesenen sein (etwa die Betonung oder der Stimmfall). Aber nicht, als ob im geschriebenen Satz das Zeichen, im Gedachten aber die Bedeutung anwesend wäre. – |
|
Man kann Eine Sprache (ich
meine eine [s|S]prechart) ist denkbar in der
es keine Behauptungssätze gibt sondern nur Fragen & die
Bejahung & Verneinung. |
|
Welche Rolle spielen falsche Sätze in einem
Sprachspiel? Ich glaube, es gibt verschiedene
Fälle. I. Einer hat die
Signallaternen an einer Straßenkreuzung zu
beo- II. Es werden meteorologische Beobachtungen gemacht & nach gewissen Regeln aus ihnen das Wetter des nachsten für den nächsten Tag vorhergesagt. Die Vorhersage trifft ein oder nicht. Im ersten Fall kann man sagen, er spielt falsch; im zweiten nicht –. |
| Man
wird (nämlich) hier von einer Frage
geplagt die etwa so lautet: gehört die
Verification noch ˇmit zum
Sprachspiel? |
Wie schaut die
Verification aus?, – wie
geht sie vor sich? I. Jemand sagt mir: „Du siehst jetzt eine rote Kugel auf Dich zufliegen.” II. „Wenn Du Dich umdrehst wirst Du jemand hinter Dir stehn sehn.” III. „Wenn der Zeiger der Uhr auf 4 stehen wird, wirst Du an dieser Stelle ˇdes Zimmers ein Licht sehen.” IV. „Wenn Du diesen Stab messen wirst, so wirst Du finden, daß er 1 m lang ist.” | ✓ |
⨯ | ∣
Ich weiß nicht ob ich es je aufgeschrieben habe,
daß ich die Methode, einer grammatischen Betrachtung [ einer Betrachtung ] eine Anzahl Beispiele
|
✓ | ∣ Wenn
ich die Dinge mit so trüben Augen sehe wie sie der
gewöhnliche Mensch alle Tage sieht, kann ich auch nichts sagen
was ihre die Menschen aus ihrer gewöhnten
Betrachtungsweise herausreißen kann. ∣ |
| 18.4.
Glauben Hiermit verwandt:
erwarten, [H|h]offen, fürchten, wünschen.
Aber auch: zweifeln, suchen, etc.
Man sagt: „Ich habe ihn von 5–6 Uhr erwartet”, „ich habe den ganzen Tag gehofft, er werde kommen”, „in meiner Jugend habe ich gewünscht …”, etc.. Daher falscher Vergleich mit in der Zeit amorphen Zuständen (Zahnschmerz, das Hören eines Tones, etc) – (obwohl diese unter sich wieder verschieden sind). |
|
Was heißt es nur: [I|„i]ch glaube, er
wird um 5 Uhr kommen”? oder: „er glaubt
N werde um 5 Uhr kommen”? Nun,
woran erkenne ich, daß er das glaubt? Aus
seinem Daran, daß er es sagt? oder aus seinem
übrigen Verhalten? oder aus beiden? Danach
wird man dem Satz „er glaubt …” verschiedenen
Sinn geben können. |
| Hat
es einen Sinn zu fragen: „Woher weißt Du,
daß Du das glaubst?”
un Und ist etwa die Antwort:
„ich erkenne es durch
Introspection”?
In manchen Fällen wird man so etwas sagen können, in manchen aber nicht. |
| Es hat einen Sinn, zu fragen: „liebe
ich sie wirklich? mache ich mir das nicht nur
vor?” Und der Prozess
der Introspektion ist hier das Aufrufen von
I Erinnerungen, das Vorstellen möglicher
Situationen & der Gefühle die man hätte
etc. |
|
Introspektion nennt man einen
Prozess [ Vorgang ] des
Schauens im Gegensatz zum Sehen.
|
|
„
|
| Man
konstruiert hier nach dem Schema: „Woher weißt
Du, daß jemand im andern Zimmer ist?” –
„Ich habe ihn drin geh singen
gehört”. „Ich weiß daß ich Zahnschmerzen habe, weil ich es fühle” ist nach diesem Schema konstruiert & heißt nichts. Vielmehr: ich habe Zahnschmerzen = ich fühle Zahnschmerzen = ich fühle, daß ich Zahnschmerzen habe (ungeschickter & irreführender Ausdruck⌊).⌋ ˇund auch „[i|I]ch weiß, daß ich Zahnschmerzen habe” außer sagt dasselbe nur noch ungeschickter, es sei denn daß unter „ich habe Zahnschmerzen” eine Hypothese verstanden wird. Wie in dem Fall: „ich weiß daß die Schmerzen vom schlechten Zahn herrühren & keine nicht von einer Neuralgie⌊.⌋ sind. |
|
Denken wir auch an die Frage „Wie merkst Du daß Du
Zahnschmerzen hast?” oder gar „wie
merkst Du daß Du fürchterliche Zahnschmerzen
hast?” (Dagegen: „wie merkst
Du, daß Du Zahnschmerzen bekommen
wirst”.) |
|
(Hierher gehört die Frage: welchen
|
| Man könnte nun die Sache so (falsch)
auffassen: Die Frage „Wie weißt Du
daß Du Zahnschmerzen hast” ist darum nicht
üblich wird darum nicht gestellt weil man dies von
den Zahnschmerzen (selbst) aus erster
Hand erfährt, während man, daß ein Mensch im andern
Zimmer ist, aus zweiter Hand, du etwa durch
den ein Geräusch, erfährt. Das eine
weiß ich durch unmittelbare Beobachtung, das andere erfahre
ich indirekt. Also:
„[w|W]ie weißt Du, daß Du
Zahnschmerzen hast” – „Ich weiß es,
weil ich sie habe” – „Du entnimmst es
daraus, daß Du sie hast; aber mußt Du dazu nicht schon wissen,
daß Du sie hast?”. – – Der
Übergang von den Zahnschmerzen zur Aussage „ich habe
Zahnschmerzen” ist eben ein ganz anderer als der vom
Geräusch zur Aussage „in diesem Zimmer ist
jemand”. Das heißt die
Übergänge gehören ganz andern
Sprachspielen an [.| [ ]gehören zu
ganz verschiedenen Sprachspielen ] . |
| Ist, daß ich
Zahnschmerzen habe, ein Grund zur Annahme, daß ich
Zahnschmerzen habe? |
|
(Man kann die P[f|h]ilosophen dadurch
|
| E⌊r⌋schließt man aus
der Wirklichkeit einen Satz? Also etwa
„aus den wirklichen Zahnschmerzen, darauf, daß man
Zahnschmerzen hat”? Aber das ist doch nur eine
unkorrekte Ausdrucksweise; es müßte heißen: man
schließt daraus daß man Zahnschmerzen hat daraus,
daß man Zahnschmerzen hat.
(Offenbarer
[u|U]nsinn.)..
|
| 21.
„Warum glaubst Du, daß Du Dich an der Herdplatte
verbrennen wirst?”
„Hast Du Gründe für diesen Glauben[?|,] & brauchst Du Gründe?” Hast Du diese Gründe – gleichsam – immer bei Dir, wenn Du es glaubst? Und glaubst Du es immer – ausdrücklich – wenn Du Dich etwa wehrst die Herdplatte anzurühren? Meint man mit ‚Gründen
|
| 22. Was für einen Grund habe ich
|
|
Glaube ich, wenn ich auf meine Türe zugehe ausdrücklich
daß sie sich öffnen lassen wird, – daß sie
dahinter ein Zimmer & nicht ein Abgrund sein wird,
etc.? |
|
Setzen wir statt des Glaubens den Ausdruck des Glaubens. – |
| Was heißt es, etwas aus
einem bestimmten Grunde glauben? Entspricht es,
wenn wir statt des Glaubens den Ausdruck des Glaubens
setzen, dem, daß Einer man sch
den Grund sagt ehe er man das Begründete
sagt? |
| „Hast Du es aus diesen Gründen
geglaubt” ist dann eine ähnliche Frage wie:
„hast Du, als Du mir sagtest
25 × 25 sei
625 die
|
| 23. Die Frage „warum glaubst Du
das” [ „aus welchen Gründen glaubst Du
das” ] könnte bedeuten:
„aus welchen Gründen leitest Du das jetzt ab (hast Du
es jetzt abgeleitet)”; aber auch: „welche
Gründe kannst Du mir nachträglich für diese Annahme
angeben”. |
| Ich
könnte also unter ‚Gründen’ zu einer
Meinung tatsächlich nur das verstehen was der Andere sich
vorgesagt hat ehe er zu der Meinung kam. Die Rechnung die
er tatsächlich ausgeführt hat. |
| Frage ich jemand: „warum glaubst Du,
daß diese Armbewegung einen Schmerz mit sich bringen
wird?”, & er antwortet: „weil
sie ihn einmal hervorgebracht & einmal nicht
hervorgebracht hat”, so werde ich doch
sagen: „das ist doch kein Grund zu Deiner
Annahme”. Wie nun wenn er mir darauf antwortet: „oh doch![I|; i]ch habe diese |
|
„Warum glaubst Du, daß das geschehen
wird?” – „Weil ich es zweimal
beobachtet habe”. Oder: „Warum glaubst Du, daß das geschehen wird?” – „Weil ich es mehrmals beobachtet habe; & es geht offenbar so vor sich: …” (ˇes folgt eine Darlegung einer umfassenden Hypothese). Aber diese Hypothese, dieses Gesamtbild muß Dir einleuchten. Hier geht die Kette der Gründe nicht weiter. – ⌊ (Eher könnte man sagen daß sie sich schließt.) ⌋ |
| Man
möchte sagen: Wir schließen nur dann aus der
früheren Erfahrung auf die zukünftige, wenn wir die
Vorgänge verstehen (im Besitze der richtigen Hypothese
sind). Wenn wir den richtigen, tatsächlichen,
Mechanismus zwischen den beiden beobachteten Rädern
annehmen. Aber denken wir doch nur: Was ist
denn
Das Bild & die Daten überzeu- |
|
H Wir sagen: „diese
Gründe sind überzeugend”; und dabei handelt
es sich nicht um Premissen aus denen das
folgt wovon wir überzeugt
wurden. |
| Wenn man
sagt: „die gegebenen Daten sind insofern Gründe zu
glauben p werde geschehen, als dies aus
den Daten zusammen mit dem angenommenen Naturgesetz
folgt”, – dann komm kommt das
eben darauf hinaus zu sagen, das Geglaubte folge aus den Daten
nicht, sondern komme vielmehr einer neuen Annahme
gleich. |
| Wenn man nun
frag[e|t]n w: wie kann
aber frühere Erfahrung ein Grund zur Annahme sein, es werde
später das & das eintreffen, – so ist die
Antwort: welchen allgemeinen Begriff vom Grund zu solch
einer Annahme haben wir denn? Diese Art Angabe über
die Vergangenheit nennen wir eben Grund zur Annahme es werde das in
Zukunft geschehen. – Und wenn man sich
wundert, daß wir ein solches
|
| Wer sagt, er ist durch Angaben über
vergangenes nicht davon zu überzeugen daß
d in Zukunft etwas geschehen wird, der muß
etwas anderes mit dem Wort „überzeugen” meinen
als wir es tun. – Man könnte ihn fragen:
Was willst Du denn hören? Was für Angaben
nennst Du Gründe
|
| Denn
wohlgemerkt: Gründe sind hier nicht
wa Sätze aus denen das
geglaubte folgt. |
| Das soll aber nicht
heißen: Aber nicht als ob man wir
sagen könnte wollten: Für's Glauben
genügt eben weniger, als für das Wissen. –
Denn hier handelt es sich nicht um eine
|
| Irregeführt werden wir durch
die
|
| Ein guter Grund ist
einer der so aussieht. |
| „Das ist ein guter Grund, denn er macht
⌊das⌋ Eintreffen wahrscheinlich” erscheint uns so
wie: „das ist ein guter Hieb, denn er macht den Gegner
kampfunfähig”. |
| Man möchte sagen: „ein guter
Grund ist er nur darum weil er das Eintreffen wirklich
wahrscheinlich macht”. Weil er sozusagen wirklich
einen Einfluß auf das Ereignis hat, also quasi einen
erfahrungsmäßigen. |
|
“Warum nimmst Du an daß er nach dem
Essen besserer Stimmung sein wird, weil ich Dir sage daß er
gegessen hat? ist denn das ein Grund?”
– „Das ist ein guter Grund, denn das Essen hat
erfahrungsgemäß einen Einfluß auf seine
Stimmung.” Und das könnte man auch so
sagen: „Das Essen macht es wirklich
wahrscheinlicher, daß er guter Stimmung sein
wird”. Wenn man aber fragen wollte: „Und ist alles das, was Du von der früheren Erfahrung vorbringst, ein guter Grund, anzunehmen daß ⌊es⌋ sich auch diesmal so verhalten wird”, so kann ich nun nicht sagen: ja, denn das macht das Eintreffen der Annahme wahrscheinlich. Vielmehr Ich habe ich oben meinen Grund mit Hilfe des Standards für den guten Grund gerechtfertigt; jetzt kann ich aber nicht den Standard rechtfertigen. |
| Wenn man sagt
„die Furcht ist begründet”, so ist nicht wieder
begründet, daß wir das als guten Grund zur Furcht
ansehen. Oder vielmehr: es kann hier nicht
wieder von einer Begründung die Rede sein. |
| 24. |
| „Man kann
die Ursache ˇeiner Erscheinung nur vermuten”
(nicht wissen). – Das muß ein Satz
der Grammatik sein. Es ist nicht gemeint daß wir
‚mit dem besten Willen’ die Ursache nicht wissen können.
Der Satz ist de insofern ähnlich
dem: „wir können in der Zahlenreihe, so weit wir
auch zählen, kein Ende erreichen”. Das
heißt: von einem „Ende der Zahlenreihe”
kann keine Rede sein; & dies ist – irreführend
– in das
|
| „Wie weißt Du, daß Du es aus diesem
Motiv getan hast?” – „Ich erinnere
mich daran, es darum getan zu Und wenn man sich etwa daran einen Ausdruck seines Gefühls nur mit Mühe unterdrückt hat, – wie war das? Hatte man sich ihn damals leise vorgesagt? etc. etc.. |
| Das Motiv ist nicht eine Ursache ‚von innen
gesehen’! Das Gleichnis von innen &
außen ist hier – wie so oft – gänzlich
irreleitend. – Es ist von der Idee der Seele
(eines Lebewesens) im Kopfe (als Hohlraum vorgestellt)
|
| Der Vorgang einer Erkenntnis in einer
Wissenschaftlichen Untersuchung etwa (in der
Experimentalphysik etwa) ist freilich nicht der einer Erkenntnis im
Leben außerhalb des dem Laboratoriumsm; aber er
ist ein ähnlicher & kann neben den andern
gestellt [ gehalten ] diesen
beleuchten. |
| Nach den
Gründen zu einer Annahme gefragt besinnt man sich auf
diese Gründe. Geschieht hier dasselbe, wie wenn
man über die Ursachen eines Ereignisses nachdenkt? [ … wenn man darüber nachdenkt, was die
Ursachen eines Ereignisses gewesen sein
mögen? ] * |
| 27
Wie kann man Vorbereitungen zum Empfang von etwas eventuell
Existierendem treffen? , – in dem
Sinn in welchem Russell
& Ramsey das
(immer) tun wollten? Man
bereitet etwa die Logik für die Existenz
von vielstelligen Relationen vor, oder für die Existenz
einer unendlichen Anzahl von Gegenständen. –
|
| Nun kann man doch für die
Existenz eines Dinges vorsorgen: [i|I]ch
mache z.B. ein Kästchen um den Schmuck
hineinzulegen, der vielleicht einmal gemacht werden wird. – Aber hier kann ich doch sagen, was der Fall sein muß,
– welcher Fall es ist, für den ich
vorsorge. Ich kann diesen Fall jetzt so gut beschreiben
[Dieser Fall läßt sich jetzt so gut beschreiben,
wie, nachdem er schon eingetreten ist; & auch dann wenn
er nie eintritt. (Lösung
mathematischer Pro- |
| Man denkt einerseits,
daß es die Mathematik mit der Art der Funktionen zu
tun hat von & ihren
Hier handelt es ich um
|
|
Aber was gibt die Anwendung der
Rechnung? [ Aber was erhält die Rechnung
von ihrer Anwendung? ] Setzt
Fügt sie ihr einen neuen Kalkül zu? dann ist
sie ja jetzt eine andere Rechnung. Oder gibt sie
ihr in irgend einem, der Mathematik
(Logik) wesentlichem, Sinne
Substanz? Wie kann man dann überhaupt, auch nur
zeitweise, von der Anwendung absehen? |
| Nein, die Rechnung mit Äpfeln ist wesentlich
dieselbe, wie die mit Strichen oder Ziffern. Die
Arbeitsmaschine setzt den Motor fort, aber die Anwendung (in
diesem Sinne) nicht die Rechnung. |
| Wenn ich nun sage: „die Liebe
ist ein Beispiel einer 2-stelligen Relation”, – [ Wenn ich nun, um ein Beispiel zu geben sage:
„die Liebe ist eine 2-stellige
Relation, – ] sage ich hier etwas
über die Liebe aus? Natürlich nicht. Ich gebe eine Regel für den Gebrauch des Wortes „Liebe” & will etwa sagen, daß wir dieses |
| Nun hat man aber doch das Gefühl, daß
mit dem Hinweis auf die 2-stellige Relation
‚Liebe’ in die Hülse des Relationskalküls
Sinn gesteckt wurde. – Denken wir uns eine
geometrische Demonstration statt an einer Zeichnung oder an
analytischen Symbolen an einem
Lampenzyllinder
|
| Wir haben es mit
verschiedenen Verwendungen, Bedeutungen, des Wortes
„Anwendung” zu tun. „Die
Multiplication wird in der Division
angewandt”; „der Glaszylinder wird in der
Lampe angewandt”; „die Rechnung ist auf diese
Äpfel angewandt”. |
|
Hier kann man nun sagen: Die Arithmetik ist ihre
eigene Anwendung. Der Kalkül ist seine eigene
Anwendung. Wir können nicht in der Arithmetik für eine grammatische Anwendung |
| Wenn also der Logiker sagt, er habe für
eventuell existierende 6-stellige Relationen in
der Arithmetik vorgesorgt, so können wir fragen: Was
wird denn nun zu dem, was Du vorbereitet hast, hinzukommen [ hinzutreten ] , wenn es seine Anwendung findet [ finden wird ] ? Ein neuer
Kalkül? – aber den hast Du ja eben nicht
vorbereitet. Oder etwas, was den Kalkül nicht
tangiert? – dann interessiert uns das nicht & der
Kalkül, den Du uns gezeigt hast ist uns Anwendung
genug. |
| Die
unrichtige Idee ist, daß die Anwendung eines Kalküls in der
Grammatik der wirklichen Sprache, ihm eine Realität
zuordnet, eine Wirklichkeit gibt, die er früher nicht
hatte. [ Die unrichtige Idee ist: die
Anwendung eines Kalküls auf die wirkliche Sprache
|
| Aber, wie gewöhnlich in unserem
Gebiet, liegt hier der Fehler nicht darin, daß man etwas
[f|F]alsches glaubt sondern darin daß man auf eine
irreführende Analogie hinsieht. |
| Was geschieht denn, wenn die 6-stellige
Relation gefunden wird? Wird quasi ein Metall
gefunden, das nun die gewünschten (vorher
beschriebenen) Eigenschaften (das richtige spezifische
Gewicht, die Festigkeit, etc)
hat? Nein; ein Wort wird gefunden, das wir
tatsächlich in unsrer Sprache so verwenden, wie wir etwa den
Buchstaben R verwendet haben. „Ja,
aber dieses Wort hat doch Bedeutung &
„R” hatte keine! Wir sehen also
jetzt daß dem „R” etwas entsprechen
kann”. Aber die Bedeutung des Wortes besteht ja
nicht darin, daß ihm etwas entspricht. Außer etwa, wo
es sich um Namen & benannten Gegenstand handelt, aber da setzt
der Träger des Namens nur den Kalkül fort, also die
Sprache. Und es ist nicht so, wie wenn man
sagt: „diese Geschichte hat sich tatsächlich
zugetragen, sie war nicht bloße Fiktion”.
|
| Das alles
hängt auch mit dem falschen Begriff der logischen Analyse
zusammen den Russell,
Ramsey & ich
hatten. So daß man auf eine endliche logische Analyse
der Tatsachen wartet, wie auf eine chemische von Verbindungen.
Eine Analyse, durch die man dann etwa eine 7-stellige Relation
wirklich findet, wie ein Element, das tatsächlich das
spez. Gewicht 7 hat. |
| Die Grammatik ist für uns ein reiner
Kalkül. (Nicht die Anwendung eines auf die
Realität.) |
| 28. „Es gibt nur 4 rote Dinge, aber die
bestehen nicht aus 2 & 2, weil es keine Funktion gibt, die sie
zu je zweien unter einen Hut bringt.” Das hieße
den Satz 2 + 2 =
4 etwa so auffassen: Wenn auf einer Fläche 4
Kreise zu sehen sind, so haben je zwei von ihnen immer eine
bestimmte
Eigentümlichkeit mit einander
gemein; sagen wir etwa ein Zeichen innerhalb des
Kreises. (Dann sollen natürlich auch je 3 der
Kreise ein Zeichen gemeinsam haben,
etc.) Denn wenn ich
überhaupt etwas über die Wirklichkeit annehme, warum
nicht das? Das „axiom of
reducibility” ist wesentlich von keiner andern
Art. In diesem Sinne könne man sagen, daß zwar
|
| Man möchte sagen: 4 muß
nicht immer aus 2 & 2 bestehen, aber es kann, wenn es wirklich
aus Gruppen besteht aus 2 & 2 wie aus 3 & 1
etc. bestehen; aber nicht aus 2 & 1 oder 3
& 2, etc., & so bereiten wir eben
alles für den Fall vor daß 4 in Gruppen zerlegbar
ist. Aber dann hat es eben die Arithmetik gar nicht mit der
Wirklichen Zerlegung zu tun, sondern nur mit jener
Möglichkeit der Zerlegung.2
Die Behauptung könnte ja auch die sein, daß von einer Gruppe von 4 Punkten auf dem Papier, immer je zwei durch einen Strich verbunden sind [ Die Behauptung könnte ja auch die sein, daß, wenn immer ich eine Gruppe von 4 Punkten auf einem Papier sehe, je zwei von ihnen durch Denken wir gar an die Annahme, um je zwei
|
| Dazu kommt nun, daß, z.B.,
die Aussage, daß zwei schwarze Kreise in einem weißen
Viereck zwei schwarze Kreise zu sehen sind, nicht die Form
„(∃x,y)
etc” hat. Denn gebe
ich den Kreisen Namen, dann beziehen sich diese Namen gerade auf die
Orte der Kreise & ich kann nicht von ihnen sagen, sie seien
entweder in dem einen oder dem andern Viereck. Ich kann
wohl sagen: „in beiden Vierecken zusammen sind 4
Kreise”, aber das heißt nicht, daß ich von jedem
einzeln sagen kann daß er i[n|m]
eine[m|n] einen oder
andern Viereck sei. Denn der Satz „dieser Kreis
ist in diesem Viereck” ist im angenommenen Fall
sinnlos. |
| Was bedeutet nun
der Satz „in den 2 Vierecken zusammen sind 4
Kreise”? Wie konstatiere ich das?
Indem ich die Zahlen in beiden addiere? Die Zahl der
Kreise in beiden Vierecken zusammen, bedeutet also dann das
Resultat der Addition der beiden Zahlen. – Oder
ˇist es etwa das Resultat
einer
|
| Sind in diesen
beiden Kreisen zusammen 9 Punkte oder 7? Wie man es
gewöhnlich versteht, 7. Aber muß ich es so
verstehen? Warum soll ich nicht die Punkte, die beiden
Kreisen gemeinsam angehören doppelt zählen:
Anders ist es, wenn man fragt: „wieviel Punkte sind innerhalb der stark ausgezogenen Grenze? Denn hier kann ich sagen: es sind 7 in dem Sinne in welchem in den Kreisen 5 |
| Man könnte nun sagen: die
Summe von 4 & 5 nenne ich die Zahl, die welche die, unter den Begriff φx ⌵ ψx
fallenden Gegenstände haben, wenn
(∃4
(Е4x) φx ∙ (Е5x) ψx
.Ind.
⊃ der Fall
ist. Und zwar heißt das ˇnun nicht, daß die
Summe von 4 & 5 nur in der Verbindung mit Sätzen von der
Art (∃⌊4⌋x) ∙ φx
etc verwendet werden darf, sondern es
heißt: Wenn Du die Summe von n & m
bilden willst, setze i die Zahlen links von
„. ⊃ .”
in die Form (∃nx) φx ∙ (∃mx) ψx
etc ein, & die Zahl die rechts
stehen muß um aus dem ˇganzen
|
| Vergleiche:
„Wasserstoff & Sauerstoff zusammen geben
zusammen Wasser” – „2 Punkte & 3 Punkte
geben zusammen 5 Punkte”. |
| Bestehen denn z.B. 4 Punkte in
meinem Gesichtsfeld die ich „als 4”, nicht
„als 2 & 2” sehe”, aus
2 & 2? Ja, was heißt das? Soll es
heißen, ob sie in irgend einem Sinne in
Gruppen von je 2 Punkten geteilt waren? Gewiß
nicht. (Denn dann müßten sie ja wohl auch in
allen andern denkbaren Weisen geteilt sein.) Heißt
es, |
| „Bestehen 4 Punkte aus 2
& 2” kann eine Frage nach einer physikalischen oder
|
| „Wie kann man Vorbereitung
treffen für etwas eventuell
existierendes treffen” heißt:
Wie kann man die Arithmetik auf eine Logik aufbauen, in der man
im Speziellen noch Resultate einer Analyse
Treffen wir etwa die Vorbereitung⌊en⌋ für die Existenz von 100 Gegenständen, indem wir 100 Namen einführen & einen Kalkül mit ihnen. Und nehmen wir jetzt an es werden wirklich 100 Gegenstände gefunden. Aber wie ist das, wenn jetzt den Namen Gegenstände zugeordnet werden, die ihnen früher nicht zugeordnet waren? ändert sich jetzt der Kalkül? [W|w]as hat diese Zuordnung überhaupt
|
| Daß das axiom of infinity nicht
das ist, wofür Russell es gehalten hat, daß es weder ein Satz der Logik
noch auch – wie es da steht – ein Satz der Physik ist,
ist klar. Ob der Kalkül damit ˇin eine ganz
andre Umgebung gebracht (in ganz anderer
„Interpretation”) irgend eine praktische Anwendung finden
könnte, weiß ich nicht. Von den logischen Begriffen z.B. von dem (oder: einem) der Unendlichkeit könnte man sagen: ihre Essenz beweise ihre Existenz. |
|
„Angenommen, ich glaubte, es gäbe überhaupt nur
eine Funktion & die 4 Gegenstände die sie
befriedigen. Später komme ich darauf, daß sie noch
von einem 5ten Ding
befriedigt wird; ist jetzt das Zeichen ‚4’
sinnlos geworden?” – Ja, wenn im
Kalkül die 4 nicht existiert, dann ist
‚4’ sinnlos. [ Ja, wenn es
im Kalkül die 4 nicht gibt, dann ist
sie ‚4’
sinnlos. ] |
| 29. Wenn man sagt es wäre möglich mit Hilfe
der Tautologie (∃ (Е2x) φx ∙ (Е3x) ψx ∙ Ind . ⊃ . (Е
A)
So geht also aus den Regeln hervor daß (Еx)(Еx) ⊃ (Еx,y), (Еx,y)(Еx) ⊃ (Еxyz) und andere ˇTautologien. Ich schreibe „und andere” & nicht „u.s.w. ad. inf.” weil man mit diesem Begriff noch nicht operieren muß. | Unser Kalkül braucht überhaupt noch nichts von der Bildung einer Reihe ‚(Еx)’, ‚(Еxy)’, ‚(Еxyz)’, etc. zu wissen sondern kann einfach einige, ˇetwa drei, dieser Zeichen einführen ohne das „u.s.w.”. Wir können nun einen Kalkül mit einer endlichen Reihe von Zeichen einführen indem wir
(Еa)(Еa) ⊃ (Еab) (Еab)(Еa) ⊃ (Еabc) (Еab)(Еab) ⊃ (Еabcd) u.s.w. bis zum z Die rechte Seite ˇ(rechts von „ ⊃ ”) kann man dann aus der linken durch einen Kalkül der Art finden:
B)
Dieser Kalkül a + a ≝ ab a + ab ≝ abc u.s.w. bis z Hätte man an einigen Beispielen die Regel des Kalküls B erklärt, so könnte man auch diese Definitionen als Spezialfälle einer allgemeinen Regel betrachten & nun Aufgaben stellen von der Art: „abc + ab = ?” Es liegt nun nahe die Ta⌊u⌋tologie α) (Е ab)(Е ab) ⊃ (Е abcd) mit der Gleichung β) ab + ab = abcd zu verwechseln. – Aber diese ist eine Ersetzungsregel jene ist k[i|e]ine Regel, sondern eben eine Tautologie. Das Zeichen „ ⊃ ” in α entspricht in keiner Weise dem „ = ” in β. Man vergißt daß das Zeichen „ ⊃ ” in α ja nicht sagt daß die beiden Zeichen rechts & links von ihm eine Tautologie ergeben. Dagegen könnte man einen Kalkül konstruieren in welchem die Gleichung ξ + η = ζ als eine Transformation erhalten wird ˇaus der Gleichung: γ) (Еξ(Еη) ⊃ (Еζ) = Taut. |
|
Sodaß ich also sozusagen
ζ = ξ + η erhalte,
|
| 30. Wie tritt der Begriff der Summe in diese
Überlegungen ein? – Zuerst
d.i. i[n|m]
d
[i|I]m ursprünglichen Kalkül der
ˇetwa feststellt, daß z.B.
in die Form (Еξ)(Еη) ⊃ (Еζ) (δ ˇz.B. tautologisch wird für ξ = xy, η = x & ζ = xyz ist von einer Summierung nicht die Rede. – Dann bringen wir ein Zahlensystem in den Kalkül (etwa das System abcd … z). Und endlich definieren wir die Summe zweier Zahlen als diejenige Zahl ζ welche die Gleichung γ löst. |
| (Wenn wir statt
„(Еx)(Еx)
⊃ (Еx,y)”
schrieben: „(Еx)(Еx)
⊃ (Еx + x)”, so
hätte das keinen Sinn; es sei denn, daß die Notation von
vornherein nicht λ) „(Еx) etc”, „(Еxy) etc”, „(Еxyz) etc”, lautet sondern κ) „(Еx) etc”, „(Еx + x) etc”, „(Еx + x + x) etc”. Denn warum sollten wir plötzlich statt „(Еxy) (Еx) ⊃ (Еxyz)” schreiben „(Еxy) (Еx) ⊃ (Еxy + x)”? das wäre nur eine Verwirrung der Notation. – Nun sagt man: Es vereinfacht doch das Hinschreiben der Tautologie sehr, wenn man in der rechten Klammer gleich die Ausdrücke der beiden linken hinschreiben kann. Aber diese Schreibweise ist ja noch gar nicht erklärt; ich weiß ja nicht, was (Еxy + x) bedeutet, daß nämlich (Еxy + x) = (Еxyz). |
| Wenn man aber von vornherein
die Notation „(Еx)”,
„(Еx + x)”,
„(Еx + x + x)”
so hätte vorerst nur der Ausdruck
„(Еx + x + x +
x)” Sinn, aber nicht
„(Е(x + x)
+ (x + x))”
Die Notation κ ist
also: (Еxy)
(Еxy) ⊃ (Еxyzu)(Ƒ)
& analog
(Еx + x)
(Еx + x) ⊃ (Еx + x + x + x)(Ƒ)
Die Bögen [ Verbindungslinien ]
entsprechen nur der Regel, die in jedem Fall für die
Kontrolle der Tautologie gegeben sein muß. Von
einer Addition ist hier noch keine Rede.
[S|D]ie tritt
erst ein, wenn ich mich entschließe z.B.
– statt
„xyzu”
„xy + xy” zu
schreiben, & zwar in Verbin[g|d]ung mit einem
Kalkül der nach Regeln die Ableitung einer Ersetzungsregel
„xy + xy =
xyzu” erlaubt. Addition liegt
auch dann nicht vor wenn ich in der Notation
κ schreibe
„(Еx)(Еx)
⊃ (Еx + x)”,
sondern erst wenn ich zwischen „x + x” & „(x) + (x)” unterscheide & schreibe ) (Ƒ)
(x) + (x)
= (x + x) |
| Ich kann
„die Summe von
ξ und
η”
(„ξ + η”)
ˇals d[as|ie] ˇZahl
ˇζ definieren
(oder: „den
Ausdruck”) – wenn wir uns scheuen das
Wort Zahl zu gebrauchen) – ich kann
„ξ + η” als die Zahl
ζ definieren, die den Ausdruck
δ tautologisch macht; –
|
| Eine Frage, die sich leicht einstel⌊l⌋t
ist: die: mü[ß|ss]en wir
die Kardinalzahlen in Verbindung mit der Notation
(∃ …)
(∃x,y, …)
φx ∙ φy … einführen?
Ist der Kalkül der Kardinalzahlen irgendwie an den mit
den Zeichen
„(∃x,y, …)
φx ∙ φy …”
gebunden? Ist etwa der letztere die einzige, &
vielleicht wesentlich einzige, Anwendung der
Kardinalzahlen des ersten [ ersteren ] ? Was die
„Anwendung der Kardinalarithmetik
|
| Übrigens ist das Zahlzeichen
– ⌊,⌋ ˇjetzt in einem andern Sinne,
nicht mit Е ∃ verbunden:
insofern ˇnämlich Е
„(∃3x) …”
nicht in
„(∃2 + 3x) …”
vork enthalten ist. [ …
|
|
Es
besteht eine Versuchung die Form der Gleichung für die
Form von Tautologien &
Contradictionen zu halten
& zwar darum weil es scheint als könne man sagen
x = x ist
selbstverständlich wahr (&)
x = y ebenso
selbstverständlich falsch. Eher noch kann man natürlich ◇ ⌊sa⌋gen, daß x = x die Rolle einer Tautologie spielt, als x = y die der Contradiction, da x = x mit einer Tautologie vergleichen, als x = y mit einer Contradiktion, da … ja alle richtigen (und „sinnvollen”) Gleichungen der Mathematik von der Form x = y sind. Man könnte sagen x = x ist eine degenerierte Gleichung nennen (Ramsey nannte ˇsehr richtig Tautologien & Contradictionen ˇ◇ degenerierte Sätze) & zwar eine richtige degenerierte Gleichung (den Man könnte nun einwenden daß richtige Gleichungen der Form x = y auch Tautologien
|
| 1.5.
Wenn wir von den mittels
„ = ” konstruierten
Funktionen (x = a ⌵ ⌊ ∙ ⌋y = b
. ⌵ . x = c ∙ y = d
etc) (x = a ⌵ x = b
etc) absehen so wird nach
Russells Theorie
5 =
1, wenn es keine Dieses Problem hängt damit zusammen daß ich in der hinweisenden Definition von dem Paradigma (Muster) nichts aussage sondern nur mit seiner Hilfe Aussagen mache; daß es zum Symbolismus gehört & nicht einer der Gegenstände ist, auf den ich ihn anwende. So kann man von der Gruppe der Striche welches etwa als Paradigma der 3 steht nicht sagen es bestehe aus 3 Strichen. „Wenn dieser jener Satz nicht wahr ist, so gibt es jenen diesen Satz gar nicht” – das heißt: „wenn es diesen Satz nicht gibt, so gibt es ihn nicht”. Und ein Satz kann das Paradigma im andern nie beschreiben, sonst ist es eben nicht Paradigma. Wenn die Länge des Einheitsstabes besch durch
|
| Ein
Satz „~(∃φ):
(Еx) ∙ φx” muß,
wenn wir ihm überhaupt einen Sinn geben von der Art
Wenn nun aus den Sätzen „~(∃φ): (Еx) φx” [&| …] (ρ & ~(∃φ): (Еx,y) φx ∙ φy … (σ folgt, daß 1 = 2 ist, so ist hier mit „1” & „2” nicht das gemeint, was wir sonst damit meinen, denn die Sätze ρ und σ würden in der Wortsprache lauten: „es gibt keine Funktion, die nur von einem Ding befriedigt wird” & „es gibt keine Funktion die nur von 2 Dingen befriedigt wird”. Und dies sind nach den Regeln unserer Sprache Sätze mit verschiedenem Sinn. |
| Man ist versucht zu sagen: „Um
„(∃x,y) ∙ φx ∙ φy”
[ Was f wir dazu brauchen, sind, etwa, die Schreibutensilien, aber nicht die Bestandteile des Satzes.
|
| 5.
„Welchen Sinn hat ein Satz der Art
‚(∃n) 3 + n =
7’?” Man ist hier in einer
seltsamen Schwierigkeit: einerseits empfindet man es
als Problem, daß der Satz die Wahl zwischen unendlich vielen
W Werten von n hat, andrerseits scheint
uns der Sinn des Satzes in sich gesichert & nur
für uns (etwa) noch zu erforschen
da wir doch ⌊„⌋wissen „was
‚(∃x) ∙ φx’
bedeutet”. Wenn [e|E]iner sagte, er
wisse nicht was „(∃n) 3 + n =
7” bedeute [ welchen Sinn
„(∃n) ∙ 3 + n
= 7” habe ] , so würde man ihm
antworten: „aber Du weißt doch was dieser Satz
sagt: 3 + 0 =
7 ⌵ 3 + 1 = 7 ⌵ 3 + 2 = 7 und
so weiter!” Aber darauf kann man
antworten: „Ganz richtig! – der
Satz ist also keine logische Summe, denn die endet nicht mit
‚und so weiter’ & das worüber ich nicht
klar bin ist eben diese Satzform
‘φ(0) ⌵ φ(1)
⌵ φ(2) ⌵
u.s.w.”’ und
Du hast mir nur statt der ersten unverständlichen
Satzformart eine
zweite gegeben & zwar mit dem Schein als gäbest Du mir
etwas altbekanntes, nämlich eine
Disjunktion.” Wenn wir nämlich meinen daß wir doch unbedingt „(∃n) etc” verstehen so denken wir zur Rechtfertigung an andre Fälle des Gebrauchs der Notation „(∃ …) …” beziehungsweise der Ausdrucksform „es giebt …” unserer Wortsprache. Darauf kann man aber nur sagen: Du vergleichst also den Satz „(∃n) …” mit jenem Satz „es gibt ein Haus in dieser Stadt welches …”, oder
|
| Wir werden uns zuerst fragen
müssen: Ist der mathematische Satz bewiesen?
& wie? Denn der Beweis gehört zur
Grammatik des Satzes! – Daß das
so oft nicht eingesehen wird rührt wieder von kommt
daher daß wir ˇhier wieder auf der Bahn einer uns
irreführenden Analogie denken. Es ist wie
gewöhnlich in diesen Fällen eine Analogie aus unserm
ˇnaturwissenschaftlichen
Denken. Wir sagen ˇz.B.
„dieser Mann ist vor 2 Stunden gestorben”
& wenn man uns fragt „wie läßt sich das
feststellen”, so können wir eine Reihe von
Anzeichenc ˇ(Symptomen) dafür
angeben. Wir lassen aber auch die Möglichkeit
dafür offen daß etwa die Medizin bis jetzt
Der ‚medizinische Beweis’ hat die Hypothese die er bewiesen hat nicht in einen neuen Kalkül eingegliedert & ihm also keinen neuen Sinn gegeben; der mathematische Beweis gliedert den mathematischen Satz in einen neuen Kalkül ein, er verändert seine Stellung in der Mathematik. Der Satz mit seinem Beweis gehört einer andern Kathegorie an als der Satz ohne den Beweis. (Der unbewiesene mathematische Satz ist ein dient als [ zum ] ⌊–⌋ Wegweiser zu math ˇder mathem. Forschung (ˇd.h. als Anregung) zu mathematischen Konstruktionen).) |
| 6.
„Alle Zahlen haben vielleicht die Eigenschaft
ε”.
Wieder ist die Frage: was ist die Grammatik dieses
allgemeinen Satzes? Denn damit ist uns nicht gedient,
daß wir die Verwendung des Ausdrucks „alle
…” in andern grammatischen Systemen kennen.
Sagt man: „Du weißt doch was es heißt!
es heißt: „ε(0) ∙
ε(1) ∙ ε(2)
u.s.w.” so ist damit wieder
nichts erklärt; außer, daß der Satz kein
logisches Produkt ist. Und man wird, um die Grammatik
des Satzes verstehen zu lernen, fragen: Wie
gebraucht man diesen Satz? Was sieht man als
Criterium seiner Wahrheit an?
Was ist seine Verification? Wenn
keine Methode vorgesehen ist um zu entscheiden ob der Satz wahr oder
falsch ist, ist er z ja zwecklos
& d.h. sinnlos. Aber hier
kommen wir nun zur Illusion, daß Erinnere Dich daran, daß, in dem Sinne, in welchem es unmöglich ist eine unendliche Anzahl von Sätzen zu prüfen, es auch unmöglich ist
|
| „Alle
Punkte dieser Fläche sind weiß”. Wie
verifizierst Du das? – dann werde ich wissen was es
heißt. |
| „Den
mathematischen Satz kann man sich vorstellen als ein Lebewesen, das
selbst, weiß, ob es wahr oder falsch ist.
(Zum Unterschied von den
Der mathematische Satz weiß selbst, daß er wahr oder daß er falsch ist. Wenn er von allen Zahlen handelt, so muß Wie der Sinn, so muß auch seine Wahrheit oder Falschheit in ihm liegen.” |
|
„Es ist als wäre die Allgemeinheit eines Satzes
‚(n) ∙ ε(n)’
nur eine Anweisung auf die eigentliche, wirkliche, mathematische
Allgemeinheit eines Satzes. Gleichsam nur eine
Beschreibung der Allgemeinheit, nicht diese selbst.
Als bilde der Satz nur auf rein äußerliche Weise ein
Zeichen, dem erst erst von innen Sinn gegeben werden
muß.” |
|
„Wir fühlen: Die Allgemeinheit,
die die mathematische Behauptung hat, ist anders als
die Allgemeinheit des Satzes der bewiesen ist.” |
| „Man könnte sagen: ein
mathematischer Satz ist der Hinweis auf einen
Beweis.” |
|
Wie wäre es, wenn ein Satz seinen Sinn selber nicht ganz
erfaßte. Wenn er sich quasi selber zu hoch
wäre? – Und das nehmen eigentlich die Logiker
an. |
| Den Satz, der
von allen Zahlen handelt kann man sich nicht durch ein
Denken wir uns eine unendlich lange Baumreihe, & ihr entlang damit wir sie inspizieren können einen Weg. Sehr |
| Man kann auch nicht sagen: „Der
Satz kann alle Zahlen nicht successive
erfassen, so muß er sie durch den Begriff fassen”,
– als ob das faute de mieux so wäre:
„Weil er es so nicht kann, muß er es auf
andre Weise tun.” Aber ein
successives Erfassen ist schon
möglich nur führt es eben nicht zur Gesamtheit.
Diese liegt: nicht auf dem Weg den wir
schrittweise gehn, & nicht: am unendlich fernen
Ende dieses Weges. (Das alles heißt nur
„ε(0) ∙ ε(1) ∙ ε(2) ∙
u.s.w.” ist nicht das Zeichen
eines logischen Produkts.) |
|
„Alle Zahlen können nicht zufällig
eine Eigensschaft ε besitzen;
sondern nur ihrem Wesen ˇ(als Zahlen)
nach.” – Der Satz
„
Sehen wir uns nun den Satz an: „alle ⌊n⌋ Zahlen welche der Bedingung F([n|ξ]) genügen, haben zufälligerweise die Eigenschaft ε.” Da kommt es drauf an ob die Bedingung F(ξ) eine mathematische ist. Ist sie das, nun dann kann ich ja aus F(x) ε(x) ableiten, wenn auch nur über die Disjunktion der n Werte von F(ξ). (Denn [g|h]ier gibt es eben eine Disjunktion). Hier werde ich also nicht von einem Zufall reden. – Ist die Bedingung eine nicht-mathematische, so wird man dagegen vo[n|m] eine Zuf[f|a]ll reden können. Z.B. wenn ich sage: alle Zahlen die ich heute auf den Omnibusen gelesen habe waren zufällig Primzahlen. (Dagegen kann man natürlich nicht sagen: „die Zahlen 17, 3, 5, 31, sind zufällig [p|P]rimzahlen”⌊,⌋) ebensowenig wie: „die Zahl 3 ist zufällig eine Primzahl”.) „Zufällig” ist wohl der Gegensatz von „allgemein ableitbar”; aber ˇman kann sagen: der Satz „17, 3, 5, 31 sind Primzahlen” ist allgemein ableitbar ˇso sonderbar das klingt, wie der auch der Satz 2 + 3 = 5. Sehen wir nun zu unserm ersten Satz zurück, so fragen wir wieder: wie soll denn der Satz „alle Zahlen haben die Eigen- |
| In der Mathematik
sind Beschreibung & Gegenstand äquivalent.
„Die fünfte Zahl der Zahlenreihe hat diese
Eigenschaften” sagt dasselbe wie „5 hat
diese Eigenschaften”. Die Eigenschaften
eines Hauses folgen nicht aus seiner Stellung in einer
Häuserreihe; dagegen sind die Eigenschaften einer
Zahl die Eigenschaften einer Stellung. |
| Welche seltsame Frage: „kann man sich
eine endlose Baumreihe denken⌊?⌋”!
Wenn man von einer ‚endlosen Baumreihe’ spricht,
so wird doch, was man meint, mit den Erfahrungen zusammenhängen,
die man „das Sehen der Baumreihe”, „das
Zählen einer Baumreihe”, „das Messen einer
Baumreihe”, etc. nennt.
„Können wir uns eine unendliche Baumreihe
denken”! Gewiß, wenn wir festgesetzt haben,
was darunter zu verstehen ist; d.h.: wenn
wir diesen Begriff mit all dem in Verbindung gebracht haben, mit den
Erfahrungen die für uns den Begriff der Baumreihe
bestimmen. Was ist das Criterium in der Erfahrung |
| „Aber wir kennen doch eine Erfahrung wenn
wir eine Baumreihe entlang gehen die wir das Aufhören
der Reihe nennen können. Nun, eine endlose Baumreihe
ist eine solche an der wir diese Erfahrung nie
machen.” – Aber was bedeutet hier
„nie”? Ich kenne eine Erfahrung die ich
mit den Worten B beschreibe: „er
hat in dieser Stunde nie gehustet” oder „er hat in
seinem Leben nie gelacht”. Von einer
|
|
Reden wir nun von einem endlosen Leben im Sinne einer Hypothese
(vergl. Trägheitsgesetz) &, der es
lebt, wählt nach einander aus den
Brüchen zwischen 1 & 2, 2 & 3, 3 & 4
etc.. ad. inf.
einen beliebigen Bruch aus
& schreibt ihn auf. Erhalten wir so eine
„Selektion aus allen jenen Intervallen”?
Nein, denn sein Wählen hat kein Ende. Es hat keinen
Sinn jemals von ihm zu sagen, er habe die Selektion beendet.
Kann ich aber nicht sagen, daß doch alle Intervalle an die Reihe
kommen müssen, da ich keines nennen kann das nicht an die Reihe
käme? Aber daraus, daß ⌊er⌋ jedes
Intervall einmal
erreichen wird, folgt doch nicht daß er alle einmal erreicht haben
wird. Denn, wenn wir das Wort erreichen so verwenden,
daß „er etwas zu einer bestimmten Zeit
erreicht” (d.h. in diesem
grammatischen Zusammenhang), dann heißt, daß er
„jedes Intervall einmal erreicht” etwa: daß
er das erste Inter in nach
der ersten Sekunde, das zweite in nach der zweiten, das
dritte in nach der dritten erreicht
u.s.w. ad inf.. Es wird also
hier ein Gesetz mit dem Ausdruck
u.s.w. ad inf gegeben.
Dann hieße aber, daß er alle Intervalle erreicht,
daß er sie zu einer bestimmten Zeit erreicht, der
Prozess also zu einem Ende kommt, was der
„Denken wir uns aber nun einen Mann der im Auswählen aus den Intervallen eine immer größere Übung bekäme, so daß er die zur ersten Wahl eine Stunde zur zweiten eine halbe, zur dritten ein [v|V]iertel brauchte, u.s.w. ad inf. Dann würde der ja in zwei Stunden mit der ganzen Arbeit fertig!” Stellen wir uns einmal den Vorgang vor. Das Auswählen bestünde etwa im Aufschreiben des Bruches also in einer Bew⌊e⌋gung der Hand. Diese Bewegung würde nun immer schneller; so schnell sie aber auch wird so gibt es immer ein letztes Intervall das in einer bestimmten Zeit von ihr erledigt wird. Die Überlegung
|
| Denken wir uns nun
aber die Hypothese jemand werde würfle mit werde unter gewissen Umständen die Ziffern
der Zahl π (ˇetwa im
Sechsersystem) würfeln. Diese Hypothese ist also
ein Gesetz, mit dessen Hilfe ich für jeden Wurf die Zahl der
geworfenen Augen ausrechnen kann. Wie aber, wenn wir
die Hypothese dahin modifizierten daß jemand
unter gewissen Umständen nicht
π die Ziffern
von π werfen werde!
Sollte das nicht auch einen Sinn haben? Wie aber kann
man je wissen daß diese Hypothese richtig ist da er ja zu jeder
gegebenen Zeit π gemäß
geworfen haben mag & die Hypothese dadurch doch
nicht widerlegt ist. Aber das heißt doch eben daß wir
es hier mit einer andern Art von Hypothese zu tun haben;
einer H mit einer Satzart
für die in ihrer Grammatik keine
Falsification vorgesehen ist.
Und es steht mir frei das „Satz” oder
„Hypothese” oder ganz anders zu nennen, wenn ich
will. (π ist ein Defini
|
| 7.
Die Unendlichkeit der Zeit ist keine Ausdehnung.
|
| Wenn wir fragen:
„worin besteht die Unendlichkeit der Zeit”
so wird man uns sagen: „darin, daß kein Tag der
letzte ist, daß auf jeden Tag wieder ein Tag
folgt”. Hier werden wir aber wieder verleitet die
Sache durch eine Analogie falsch zu sehen. Wir vergleichen
nämlich etwa die Folge der Tage mit der Folge von Ereignissen
(in der Zeit) z.B.
den Schlägen einer Uhr. Wir machen dann manchmal die
Erfahrung daß 4 Schlägen ein
5ter folgt. Hat es
nun auch Sinn von der Erfahrung zu reden daß auf vier Tage ein
fünfter folgt? Und kann man sagen:
„siehst Du, ich habe es Dir
vorhergesagt, ⌊:⌋ es wird auf den
vierten noch einer folgen”? (So gut
könnte man sagen, es sei eine Erfahrung daß auf den
vierten gerade der fünfte folgt & kein
andrer.) Wir reden hier aber nicht von der Vorhersage,
es werde die Sonne nach dem vierten Tag sich so wie bisher bewegen;
das ist eine echte Vorhersage. Nein, in unserm
Fall hande⌊l⌋t es sich nicht um eine Vorhersage, kein Ereignis
wird prophezeit sondern wir sagen etwa: daß es Sinn hat in
Bezug auf jeden Sonnenauf-
& untergang von einem
|
| „Regellose unendliche
Dezimalzahl”. Die Auffassung ist immer die, als ob
wir nur Wörter unserer Umgangssprache zusammenzustellen brauchten
& dies Ko Zusammenstellung hätte
damit einen Sinn, den wir jetzt eben erforschen müßten
– wenn er uns nicht gleich ganz klar sein sollte. Es
ist als wären die Wörter Ingredientien
einer chemischen Verbindung, die wir
zusammenschütten, sich mit
einander verbinden lassen, & nun
müßten wir eben die Eigenschaften der
(betreffenden) Verbindung
untersuchen. Wer sagte, er verstünde den Ausdruck
„regellose unendliche Dezimalzahl” nicht, dem
würde geantwortet: „das ist nicht wahr, Du
verstehst ihn sehr gut! weißt
|
|
„Eine regellose ˇunendliche Dezimalzahl kann man
z.B. sich
z.B. erzeug[e|t]n indem denken,
daß
endlos gewürfelt wird & die Zahl der Augen jedesmal
eine Dezimalstelle ist”. Aber wenn endlos
gewürfelt wird kommt ja eben kein endgültiges Resultat
heraus. |
| Denken wir uns
einen Mann Stellen wir uns vor daß ein Mann, der
unendlich lange Zeit gelebt hat, weil er nie geboren wurde
sagt: „[j|J]etzt schreibe ich die
letzte Ziffer von π hin, nämlich
die 3 Einer”. Er hatte an jedem Tag seines
Lebens eine Ziffer hingeschrieben & niemals damit
angefangen; f jetzt ist er fertig
geworden. |
|
„Nur der [m|M]enschliche
Intelekt kann
|
| Nehmen
ˇwir an wir würfen mit einer Münze „Kopf
& Adler” & teilen nun eine Strecke
ˇAB nach folgender Regel:
„Kopf” sagt:
|
|
Kann man den Begriff des
„Satzes” festlegen? oder die allgemeine
Form des Gesetzes? – Warum nicht! Wie
man ja auch den Begriff Zahl festlegen könnte, etwa durch das
Zeichen „[0, ξ, ξ + 1]”.
Es steht mir ja frei nur das Zahl zu nennen &
|
|
„Unendlich kompliziertes Gesetz”,
„unendlich komplizierte Konstruktion”.
(„Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte
hört, es müsse sich dabei auch etwas denken
lassen”.)
„Die Lage aller Primzahlen muß doch irgendwie vorausbestimmt sein. Wir rechnen sie nur successive aus, aber sie sind alle schon bestimmt. Gott kennt sie sozusagen alle. Und dabei scheint es doch möglich daß sie nicht durch ein Gesetz bestimmt sind. –” – Immer wieder das Bild von der Bedeutung eines Wortes als einer vollen Kiste, deren |
| Hat es einen Sinn zu sagen:
„Ich habe so viele Schuhe, als eine Wurzel der
Gleichung x³ + 2x ‒ 3 = 0
Einheiten hat”? Hier könnte es scheinen als
hätten wir eine ◇ Notation, der wir es eventuell
nicht ansehen können ob sie Sinn hat oder nicht.
Wenn der Ausdruck „die Wurzel der Gleichung F(x) = 0” eine Beschreibung im Russellschen Sinne wäre, so hätte der Wir habe in dem ersten Satz ein außerordentlich lehrreiches Beispiel dafür, wie eine Notation auf den ersten Blick einwandfrei erscheinen kann, nämlich so, als vers⌊t⌋ünden wir sie, & daß wir in Wirklichkeit einen unsinnigen Satz nach Analogie eines sinnvollen gebildet haben & nur glauben die Regeln des ersteren zu übersehen. So ist „ich habe n Schuhe & n² = 4” ein sinnvoller Satz; aber nicht: „ich habe n Schuhe & n² = 2”. |
|
Gleichungen sind eine Art von Zahlen.
(D.h. sie können den Zahlen
ähnlich behandelt werden.) |
| „Die Ausdrücke
„die Kardinalzahlen”, „die reellen
Zahlen” sind außerordentlich irreführend
außer wo sie als teil einer Bestimmung
ˇverwendet werden wie ˇin „die
Kardinalzahlen von 1 bis 100”,
etc.. „Die
Kardinalzahlen” gibt es nicht sondern nur
„Kardinalzahlen” & den Begriff, die Form,
„Kardinalzahl”. Nun sagt man:
„die Zahl der Kardinalzahlen ist kleiner als die der reellen
Zahlen” & denkt sich man
könn⌊t⌋e die beiden Reihen etwa nebeneinander
schreiben (wenn wir nicht schwache Menschen wären)
& dann würde die eine im Endlosen enden während die
andere in's ˇwirklich Unendliche über sie
hinaus liefe. Aber das ist
alles Unsinn. Wenn
|
|
Der Konflikt in welchem wir in der
Philo uns in logischen Betrachtungen immer
wieder befinden ist wie der Konflikt zweier Personen die
mit einander einen Vertrag
abgeschlossen haben dessen letzte Formulierungen in
ein leicht misdeutbaren
Worten niedergelegt sind, wogegen die
Erläuterungen ˇzu diese[r|n] Formulierungen alles in
unmisverständlicher Weise
erklären. Die eine der beiden Personen nun hat ein
kurzes Gedächtnis, & vergißt die
Erläuterungen immer wieder, misdeutet die
Bestimmungen des Vertrages &
|
| Man kann sagen, daß die
Eigenschaften einer bestimmten Zahl nicht vorauszusehen
sind. Man sieht sie erst wenn man zu
Das Allgemeine ist die Wiederholung einer Operation. Jedes Stadium dieser Wiederholung hat seine Individualität. Nun ist es nicht etwa so, daß ich durch die Operation von einer Individualität zur andern fortschreite. So daß die Operation das Mittel wäre um von einer zur andern zu kommen. Gleichsam das Vehikel das bei jeder Zahl anhält, die man nun betrachten kann. Sondern die
(Im Kalkül sind Prozess & Resultat einander äquivalent.) • ¥ |
| Wie unterscheidet sich ein unendlich kompliziertes
Gesetz vom Mangel eines Fehlen eines
Gesetzes? |
| ⍈↺ Ehe ich aber nun von „allen
ˇdiesen Individualitäten” oder
„der Gesamtheit dieser
Individualitäten” sprechen wollte, müßte
ich mir gut überlegen welche Bestimmungen ich in diesem
Falle über für den Gebrach
der Worte „alle” &
„Gesamtheit” gelten lassen will!
|
|
(Vergessen wir nicht: Die Überlegungen der
Mathematiker über das Unendliche sind doch lauter endliche
Überlegungen. Womit ich nur meine daß sie ein Ende
haben.) |
|
„Angenommen, ich schneide eine Strecke dort, wo kein
rationaler Punkt (keine rationale Zahl) ist.”
Aber kann man denn das? Von was für Strecken
sprichst Du? – „Aber, wenn meine Meßinstrumente
fein genug wären so könnte ich mich doch ˇdurch
fortgesetzte Bisektionen einem gewissen Punkt unbegrenzt
nähern.” – Nein, denn ich könnte ja
eben niemals erfahren ob mein Punkt ein solcher ist. Meine
Erfahrung wird immer nur sein, daß ich ihn bis jetzt
nicht erreicht habe. „Aber wenn ich nun mit einem
absolut genauen Rüstzeug die Konstruktion der
Wurzel √2
durchgeführt hätte & nun
mich nun dem erhaltenen Punkt durch Bisektion nähere, dann
weiß ich doch daß dieser
Prozess den konstruierten Punkt niemals
erreichen wird[!|.]” – Aber
das wäre doch sonderbar, wenn so die ˇeine Konstruktion
der andern sozusagen etwas vorschreiben
könnte! Und so ist es ja auch
nicht. Es ist sehr leicht möglich daß ich bei der
‚genauen’ Konstruktion der
√2 zu einem Punkt komme, den
die Bisektion, sagen wir nach 100 Stufen erreicht; – aber dann
werden wir sagen: unser Raum ist nicht
Euklidisch! – |
| Der „Schnitt in einem
irrationalen Punkt” ist ein Bild & ein
irreführendes Bild. |
|
Sind durch den Schnitt einer Strecke die Resultate aller
Bisektionen die sich dem Schnittpunkt nähern sollen
vorausbestimmt? Nein. |
| In dem vorigen Beispiel, in
dem ich ˇmich bei der
successiven Einschränkung eines
Intervalls durch Bisektionen einer Strecke von den Ergebnissen
des Würfelns leiten ließ hätte ich ebensowohl das
Anschreiben eines Dualbruches Dezimalbruches vom Würfeln leiten lassen
können. ˇSo bestimmt auch die Beschreibung
Der „endloser Vorgang des
Wählens zwischen 1 & 0” beim Anschreiben eines
Dualbruches kein Gesetz. Man möchte etwa
sagen: Die Vorschrift des endlosen Wählens zwischen 0
& 1 in diesem Fall könnte durch ein Symbol
„0˙
|
| Es gibt unendlich viele
Kardinalzahlen weil wir dieses unendliche System
konstruieren & es das der Kardinalzahlen nennen. Es
gibt auch ein Zahlensystem „1, 2, 3, 4, 5, viele”
& auch eines: „1, 2, 3, 4, 5.”
Und warum sollte ich das nicht auch ein System von Kardinalzahlen
nennen? (und also ein endliches). |
| Wenn man wissen will was der Ausdruck
„das Maximum einer Kurve” bedeutet, so
|
| Es ist der gleiche Fehler unserer Syntax,
der den Satz den geometrischen Satz
„die Strecke läßt sich in zwei
glei durch einen „[i|I]n zwei Teile [T|t]eilbar” & „unbegrenzt teilbar” haben eine gänzlich verschiedene Grammatik. Man operiert fälschlich mit dem Worte „unendlich” wie mit einem Zahlwort; weil beide in der Umgangssprache auf die Frage „wieviele …” zur Antwort kommen. |
| „Das Maximum ist doch aber höher, als
jeder beliebige andre Punkt der Kurve.” Aber die
Kurve besteht ja nicht aus Punkten sondern ist ein Gesetz dem
Punkte gehorchen. Oder auch: ein Gesetz nach dem
Punkte konstruiert werden können. Wenn man nun
fragt: „welche Punkte”, ⌊–⌋ so kann ich nur sagen: „nun,
z.B. die Punkte P, Q,
R, etc.”. Und es ist
einerseits so, daß keine Anzahl von Punkten gegeben werden
kann von denen man sagen könnte, sie seien alle Punkte die auf
der Kurve liegen, daß man anderseits auch nicht von einer solchen
Gesamtheit von Punkten reden kann, die nur wir Menschen nicht
aufzählen können, die sich aber wohl beschreiben
läßt & die man die Gesamtheit aller Punkte der Kurve
nennen könnte eine Gesamtheit die für uns Menschen
zu groß wäre. Es gibt |
| Das Gewebe der
Irrtümer auf diesem Gebiet ist natürlich
ˇein sehr kompliziertes. Es tritt
z.B. noch die Verwechslung zweier
verschiede[r|n]⌊er⌋ Bedeutungen des Wortes
„Art” hinzu. Man gibt nämlich zu
daß die unendlichen Zahlen eine andre Art Zahlen sind als
die endlichen aber man misversteht nun worin
hier der Unterschied verschiedener Arten besteht.
Daß es sich nämlich hier nicht um die
Unterscheidung von Gegenständen nach ihren Eigenschaften handelt,
wie wenn man rote Äpfel von gelben unterscheidet sondern
daß es sich um verschiedene logische Formen⌊.⌋
handelt.
– So versucht
Dedekind eine
unendliche Klasse zu beschreiben; indem er
sagt es sei eine die einer echten Teilklasse ihrer selbst ähnlich
ist. Hierdurch hat er scheinbar eine Eigenschaft angegeben
die die Klasse haben muß um unter den Begriff ‚unendliche
Klasse’ Frege!!!
Die Definition gibt nämlich vor daß aus dem gelingen oder [m|M]islingen des Versuchs eine wirkliche Teilklasse der ganzen Klasse zuzuordnen hervorgeht daß sie unendlich
|
|
(Welches Kriterium gibt es dafür, daß die irrationalen
Zahlen komplett sind? Sehen wir uns eine irrationale Zahl
an: Sie läuft entlang einer Reihe
rationaler Näherungswerte. Wann verläßt sie
diese Reihe? Niemals. Aber sie kommt
allerdings auch niemals zu einem Ende.
Angenommen wir hätten die Gesamtheit aller i⌊r⌋rationalen Zahlen mit Ausnahme einer einzigen. Wie wurde uns diese [A|a]bgehen? Und wie würde sie nun – wenn sie dazukäme, die Lücke füllen? – Angenommen es wäre π. Wenn die irrationale Zahl durch die Gesamtheit ihrer Näherungswerte gegeben ist, so gäbe es bis zu jedem beliebigen Punkt eine Reihe, die mit der von π übereinstimmt. Allerdings kommt für jede solche Reihe ein Punkt der Trennung. Aber dieser Punkt kann beliebig weit Auf die Frage „wie würde uns π abgehen”, müßte man antworten: π, wenn es eine Extension wäre, würde uns niemals abgehen. D.h., wir könnten niemals eine Lücke, bemerken, die es füllt. Wenn man uns fragte: „aber hast Du auch einen unendlichen Dezimalbruch, der die Ziffer m an der r-ten Stelle hat & n an der s-ten etc.?” wir könnten ihm immer dienen.) |
| „Die
Gesetzmäßig forschreitenden
unendlichen Dezimalbrüche sind noch
ergänzungsbedürftig durch eine unendliche Menge
|
| 8.
Wie ist es wenn man die verschiedenen Gesetze der Bildung von
irrationalen Z. DezimalDualbrüchen durch die Menge der endlichen
Combinationen der Ziffern
|
| Wenn man sagt: zwei Gesetze
sind identisch, wenn sie auf jeder Stufe das gleiche Resultat ergeben
so erscheint uns das wie eine ganz allgemeine
Regel. In w Wirklichkeit aber hat
dieser Satz verschiedenen Sinn jenachdem was das Kriterium
dafür ist, daß sie auf jeder Stufe das gleiche Resultat
liefern. (Denn die supponierte allgemein anwendbare
Methode des endlosen Probierens gibt es ja nicht!) Wir
decken also die Verschiedensten Bedeutungen
mit einer von einer Analogie hergenommenen Redeweise & glauben
nun wir hätten die verschiedensten Fälle
|
| Von verschiedenen Typen
([der|Die]
Vorschriften Zur [ Gesetze ] die den irrationalen Zahlen entsprechen,
sind gehören insofern alle von der
gleichen Type an, als sie ja alle schließlich Vorschriften
zur successiven Erzeugung von
Dezimalbrüchen sein müssen. Die
Gemeinsame Dezimalnotation bedingt, in
gewissem Sinne, eine gemeinsame Type.) |
| Die Mengenlehre sucht das Unendliche auf eine
allgemeinere Art zu fassen als es die Untersuchung der Gesetze der
irration reellen Zahlen kann. Sie
sagt, daß das wirklich Unendliche mit dem
mathematischen Symbolismus überhaupt nicht zu fassen ist,
& daß es also nur beschrieben & nicht dargestellt
werden kann. Die Beschreibung würde es etwa so
erfassen, wie man eine Menge von Dingen, die man nicht alle in der
Hand halten kann in einer Kiste verpackt trägt. Sie
sind dann unsichtbar & doch wissen wir, daß wir sie tragen
(gleichsam indirekt). Man könnte von
dieser Theorie sagen, sie kaufe die Katze im Sack.
Soll sich's das Unendliche in seiner Kiste einrichten, wie
Darauf beruht auch die Idee, daß man logische Formen beschreiben kann. In so einer Beschreibung werden uns die Strukturen & etwa zuordnende Relationen in verpacktem Zustand
|
| Es geht, sozusagen, die Logik nichts an,
wieviele Äpfel vorhanden sind, wenn von „allen
Äpfeln” geredet wird; dagegen ist es anders mit den
Zahlen: für die ist sie einzeln verantwortlich.
|
| „Es muß
gibt einen Punkt in dem die beiden Kurven einander
schneiden.” Wie weißt Du das? Wenn
Du es mir sagst werde ich wissen was der Satz „es gibt
…” für einen Sinn hat. |
| Wenn in den
Discussionen über die
Beweisbarkeit der mathematischen Sätze
Das Wort Satz, wenn es hier überhaupt Bedeutung haben soll, ist äquivalent einem Kalkül & zwar jedenfalls dem in welchem p ⌵ ~p = Taut. ist (das „Gesetz des ausgeschlossenen Dritten” gilt). Soll es nicht gelten, so haben wir den Begriff des Satzes geändert. Aber wir haben damit keine Entdeckung gemacht (etwas gefunden das ein Satz ist & dem & dem Gesetz nicht gehorcht) sondern eine neue Festsetzung getroffen ein neues Spiel angegeben. |
|
„Wenn ich die Zahlenreihe durchlaufe, so komme ich
entweder einmal zu
|
|
Sind die Variablen von derselben Art in den Gleichungen:
x² + y² + 2xy = (x + y)² x² + 3x + 2 = 0 x² + ax + b = 0 x² + xy + z = 0 ? Das kommt auf die Verwendung dieser Gleichungen an. – Aber der Unterschied zwischen № 1 & № 2 (wie sie gewöhnlich gebraucht werden⌊)⌋ ist) nicht einer der Extension der Werte die sie befriedigen. Wie beweist Du den Satz daß „№ 1 gilt für alle Werte von x & y” & wie den Satz „№ 2 „Es gibt Werte von x die № 2 befriedigen”. Soviel Analogie in diesen Beweisen ist soviel Analogie ist im Sinn der beiden Sätze. |
| „A ist mein Ahne” das
heißt: „A ist mein Vater, oder der Vater
meines Vaters, oder der Vater des Vaters meines Vaters, oder
u.s.w”.
Wohl aber dadurch haben wir nur ein Satzzeichen für ein
anderes gesetzt, den Sinn aber ˇnoch nicht bestimmt,
(denn wir haben ihn ja nicht – wie es leicht
scheint – auf den uns bekannten Sinn einer
|
| Aber kann ich nicht von einer Gleichung
sagen: „Ich weiß sie stimmt für einige
Substitutionen nicht – ich erinnere mich nicht, für
welche –; ob sie aber allgemein nicht stimmt, das
weiß ich nicht”? – Aber was meinst Du
damit, wenn Du sagst, Du weißt das? Wie weißt Du
es? Hinter den Worten „ich weiß
…” ist ja nicht ein
eindeutig bestimmter
Geisteszustand der der Sinn dieser Worte wäre.
Was kannst Du mit diesem Wissen anfangen?
|
| Die
Ausdrucksweise, ⌊:⌋
m =
2n ordne eine Klasse einer ihrer echten
|
| Weniger irreführend ist es,
zu sagen „m = 2n gibt die
Möglichkeit der Zuordnung jeder Zahl mit einer andern”
als „m = 2n ordnet alle Zahlen
anderen zu”. Aber auch hier muß erst
die Grammatik lehren, wie die Bedeutung
de[r|s] Ausdrucks „Möglichkeit der
Zuord⌊n⌋ung” lehren. |
| Wenn zwei Pfeile in derselben Richtung zeigen, ist
es dann nicht absurd diese Richtungen „gleich
lang” zu nennen, weil, was in der einen
Richtung des einen Pfeiles liegt, auch in der des andern
liegt. – Die Allgemeinheit von
m =
2n ist ein Pfeil der der Operationsreihe entlang
weist. Der Pfeil Und zwar kann man
sagen, der Pfeil weist in's Unendliche; aber heißt das, daß
es ein Etwas, das Unendliche, gibt, auf das er – wie auf ein Ding
– hinweist? – Der Pfeil bezeichnet gleichsam
die Möglichkeit der Lage ˇvon Dingen in seiner
Richtung. Das Wort Möglichkeit ist aber
irreführend, denn, was möglich ist, wird man sagen, soll
eben nur nun wirklich werden. Auch denkt man
dabei immer an zeitliche Prozesse & schießt
darau[ß|s], daß die Mathematik nichts mit
der Zeit zu tun hat, daß die Möglichkeit in ihr bereits
Wirklichkeit ist. Die „unendliche Reihe der Kardinalzahlen” nämlich oder „der Begriff der Kardinalzahl” ist nur so eine Möglichkeit, wie aus ihrem dem Symbol „[0, ξ, ξ + 1]” klar hervorgeht. Dieses Symbol selbst ist ein Pfeil |
|
Die Mengenlehre wenn sie sich auf die menschliche
Unmöglichkeit eines ˇdirekten Symbolismus des Unendlichen
beruft führt dadurch die denkbar
kra[ß|ss]⌊e⌋ste Misdeutung
ihres eigenen Kalküls ein. Es ist freilich eben diese
Misdeutung die für die Erfindung dieses
Kalküls verantwortlich ist. Aber der Kalkül
an sich ist natürlich dadurch nicht als etwas Falsches erwiesen
(höchstens als etwas [u|U]ninteressantes)
& es ist sonderbar, zu glauben daß dieser Teil der
Mathematik durch irgend welche philosophische (oder
mathematische) Untersuchungen gefährdet ist.
(Ebenso könnte das Schachspiel durch die Entdeckung
gefährdet werden daß sich Kriege zwischen zwei Armeen nicht so
abspielen wie der Kampf auf dem Schachbrett.) Was der
Mengenlehre verloren gehen muß ist vielmehr die
Atmosphäre von Gedankennebeln die den bloßen
Kalkül umgibt. Also die
|
|
Verschiedene Verwendung des Wortes
„können” in den Sätzen:
„in dieser Richtung können 3 Dinge liegen”
& „in dieser Richtung können unendlich viele
Dinge liegen”. Welchen Sinn,
d.h. welche Grammatik, könnte nun
so eine Ausdrucksweise haben? Man könnte
z.B. sagen: „in der
Reihe [N|n]atürlichen
Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, … können rechts
von auf d[er|ie] „1” unendlich
viele Ziffern liegen folgen”; das heißt dasselbe wie:
„die Operation + 1 darf immer wieder
(oder: ohne Ende) gebraucht werden. Wenn also
z.B. Einer nach der Ziffer 100 die Ziffer 100
+ 1 anschreibt so hat er nach jener Regel das Recht dazu.
Dagegen hat es hier keinen Sinn zu sagen: „wenn es
erlaubt ist unendlich viele Ziffern hinzuschreiben, so schreiben
wir unendlich viele Ziffern hin (oder versuchen
es)!”. Ich würde, dem
den, der das sagt, darauf hinweisen daß „unendlich
viele” hier nicht als Zahlwort gebraucht ist;
daß in die Form „ich schreibe n
Ziffern Ziffern” statt dem n
eingesetzt werden darf. Daß also was ich erlaube nicht
ist eine bestimmte Anzahl von Ziffern hinzuschreiben
(nämlich eine Anzahl die ˇetwa
„unendlichˇ viele” hieße ˇdenn so habe
ich keine der Ziffern genannt)
son-
Analog, wenn ich sage[;|,] eine Division erzeug[t|e] einen unendlichen Dezimalbruch so ◇◇ ist gibt es nicht einˇ, endliches, ˇunendliches Resultat der Division das „unendlicher Dezimalbruch” heißt wie in dem Sinn in welchem die Zahl 0˙142
Denken wir uns nun folgenden Fall: Ich hätte eine besondere Art Würfel konstruiert & würde nun voraussagen⌊:⌋ die „ich werde mit diesem Würfel die Stellen von π würfeln”. Diese Aussage ist von anderer Form als die scheinbar analoge: „ich werde mit diesem Würfel die ersten 10 Stellen von π würfeln”. Denn im zweiten Fall gibt es einen Satz „ich werde in einer Stunde die ersten 10 Stellen von π gewürfelt haben” während
|
| 9.
Damit, daß gesagt wird, daß aus der unendlichen Hypothese
„(n) ∙ (∃nx) φx”
(wie ich sie, der Kürze wegen jetzt schreiben
will) jeder beliebige
Satz (∃nx) φx
folgt & sie selbst aus keinem logischen Produkt dieser
Sätze, ist natürlich noch gar nichts über den weiteren
Gebrauch dieses Spiels gesagt. |
|
Vergleichen wir die Sätze: „ich richte meine
Handlungsweise darauf ein daß dieser Zustand noch 2 Jahre dauern
wird” & „ich richte
Man kann sagen⌊:⌋ „ich mache Vorbereitungen für die nächsten 3 Tage” oder 10 Jahre, etc, & auch „ich mache Vorbereitungen auf unbestimmte Zeit”; – aber auch: „auf unendliche Zeit”? Denken wir gar an den Satz: „ich vermute daß dieser Zustand end ohne Ende
Und Oder an den komischen Klang der Widerlegung: „Du hast gesagt, dieses Uhrwerk werde immer so weitergehen, – nun es steht jetzt schon”. Wir fühlen, daß ja doch auch jede endl endliche Vorhersage einer zu langen Gangdauer durch die Tatsache wiederlegt wäre, & die Widerlegung daher in irgend einem Sinn mit der Behauptung inkommensurabel sei. – Es ist nämlich Unsinn, zu sagen: „sie ˇdas Uhrwerk ist nicht unendlich weiter gelaufen, sondern nach zehn Jahren stehen geblieben”[.| (]oder, noch komischer: …, sondern schon nach zehn Jahren stehen geblieben”). Wie seltsam, wenn man sagte: „Es gehört große Kühnheit dazu etwas auf 100 Jahre vorauszusagen; – aber welche Kühnheit muß dazugehören um etwas auf unendliche Zeit vorauszusagen, wie es Newton im Trägheitsgesetz getan hat!” „Ich glaube, das wird immer so weitergehn” – „Ist es nicht genug ˇ(for all practical purposes) wenn Du sagst, Du glaubst, es werde noch 100000 Jahre so weiter gehen?” – Wir müssen nämlich fragen: kann Denken wir, an den Satz: „dieser Komet wird sich in einer Parabel von der Gleichung … bewegen”. Wie wird dieser Satz gebraucht? Er kann nicht verifiziert werden; d.h.: wir haben keine Verification in seiner Grammatik für ihn vorgesehen (das heißt natürlich nicht, daß man nicht sagen kann, er sei wahr; denn „p ist wahr” sagt dasselbe wie „p”). Der Satz kann uns nun dazu bringen, bestimmte Beobachtungen zu machen. Aber für die hätte es immer auch eine endliche Vorhersage getan. Er wird auch gewisse Handlungen bestimmen. Z.B. könnte er uns daran davon abhalten den Kometen an dem & dem Ort zu suchen. Aber auch dazu hätte eine endliche Angabe genügt. Die Unendlichkeit der Hypothese besteht nicht in ihrer Größe sondern in ihrer [u|U]nabgeschlossenheit. |
| Wenn man vom Begriff
‚Unendlichkeit’ redet, muß man sich daran
erinnern, daß dieses |
| (Die besondere Beruhigung welche eintritt, wenn
wir einem Fall, den wir für einzigartig hielten,
andere Fälle an die Seite stellen können, tritt in
unseren Untersuchungen immer wieder ein, wenn wir zeigen, daß ein
Wort nicht nur eine (oder nicht z nur
zwei) Bedeutungen (oder nicht nur zwei) hat,
sondern in fünf oder sechs verschiedenen gebraucht
wird.) |
| Wenn wir
sagen möchten, die Unendlichkeit ist eine Eigenschaft der
Möglichkeit nicht der Wirklichkeit,
Wir wehren uns gegen die Auffassung des Unendlichen, als einer ungeheuren Größe. (Die Denken wir uns, wir erzählten jemandem: „gestern kaufte ich mir ein Lineal mit unendlichem Kümmungsradius”. Aber hier kommt doch das Wort „unendlich” in
„Unendlich ist nur die Möglichkeit” heißt: „‚unendlich’ ist ein Zusatz zu ‚u.s.w.’”. Und soweit es dies ist, gehört es in eine Regel, ein Gesetz. In die Beschreibung der Erfahrung gehört es nur
Denken wir uns, die Fee im Märchen sagte: „Du wirst so viel Goldstücke erhalten, als Du Dir wünscht, aber Du darfst nur einmal wünschen”. – Ist ihre Versprechen nicht erfüllt, wenn ich kriege, was ich mir wünsche? Und war meine Wahl nicht unbeschränkt? Wäre der Fall nicht ein anderer gewesen, wenn sie dem Betrag eine Grenze gesetzt hätte, wie weit immer sie sie auch gezogen hätte? Kann ich nun nicht sagen: die Freiheit, die mir die Fee gelassen hat, war unbeschran unendlich? Und ist damit nicht eine Wirklichkeit beschrieben? – Wenn nun Einer sagt: „Nein, die Freiheit der Wahl ist nur eine Möglichkeit”, so vermengt er die Aussage, ⌊:⌋ daß mir die Fee eine unendliche Freiheit gelassen hat, – welcher keine Regel der Grammatik ist –, mit der Regel, die mir erlaubt, in Übereinstimmung mit dem Versprechen der Fee eine beliebige Zahl von Goldstücken zu nennen. Man könnte das auch so sagen: wenn der Begriff der Unendlichkeit in der Beschreibung der Realität angewendet wird, so ist in solchen Beschreibungen nicht von ‚unendlichen Linealen’ die Rede, sondern etwa Wenn wir sagen: „die Möglichkeit der Bildung von Dezimalstellen in der Division 1 : 3 ist unendlich”, so stellen wir damit keine Naturtatsache fest, sondern geben eine Regel des Kalküls. Sage ich aber: „ich lasse Dir die ˇunendliche Freiheit, so viele Stellen zu bilden als Du willst, ich werde Dich nicht hindern” so stelle ich damit nicht die Regel eines Kalküls auf sondern mache eine Vorhersage. “Ja, aber doch nur als Beschreibung einer Möglichkeit” – Nein, einer Wirklichkeit! aber natürlich nicht der von „unendlich vielen Stellen”; aber das
Und es bleibt natürlich in diesen Erfahrungssätzen „unendlich” die Eigenschaft einer Regel, wenn man es so ausdrücken will & das heißt nichts anderes als daß es auch hier durch „u.s.w. ad inf.” wiedergegeben werden kann & zugleich ist das auch alles was damit gemeint ist wenn man sagt: die Unendlichkeit sei ein Prädikat der Möglichkeit. |
| (Wenn man sagt, daß dieses Gebiet
unseres Gegenstands außerordentlich schwer ist, so ist das
insofernweit nicht wahr, als nicht etwa von außerordentlich
schwer |
| Es gibt ein
Gefühl: „In der Mathematik kann es nicht
Wirklichkeit & Möglichkeit geben. Alles ist
auf einer Stufe. Und zwar in gewissem Sinne
wirklich.” – Und das ist
richtig. Denn Mathematik ist ein Kalkül:
& der Kalkül sagt von keinem Zeichen, daß es nur
möglich wäre, sondern er besteht nur
hat es nur mit den Zeichen zu tun mit denen er wirklich
operiert. (Vergleiche die Begründung der
Mengenlehre mit der Annahme eines möglichen
Kalküls mit unendlichen Zeichen.) |
| Der Schnittpunkt zweier Kurven ist nicht
das gemeinsame Glied zweier Klassen von Punkten sondern der
Durchschnitt zweier Gese⌊t⌋ze. Es sei denn daß man
die erste Ausdrucksweise, sehr irreführend, durch die
zweite definiert. |
|
„[e|E]inmal wird die Welt
untergehen” eine unendliche Hypothese. |
| Was wir im
physikalischen Raum denken, ist nicht das Primäre, das
wir nur mehr oder weniger erkennen können; sondern, was vom
physikalischen Raum wir erkennen können, zeigt uns wie weit
das Primäre reicht & wie wir den physikalischen
Raum zu deuten haben. |
| Angenommen
in einem Spiel lautete eine Spielregel: „Man
schreibe einen Bruch ˇauf, der zwischen 1 &
2 0 & 1 liegt”; ist diese Regel nicht
ganz verständlich? braucht hier eine
Einschränkung gegeben zu werden? (Oder die
Regel: „man schreibe eine Zahl auf die größer
als 100 ist”) |
|
Ist [d|D]er Satz: daß einmal
– in der unendlichen Zukunft – ein Ereignis
(z.B. der Weltuntergang) eintreten werde,
hat eine gewisse formale Ähnlichkeit mit dem was wir Tautologie
nennen. |
| ¥ •
Das Unendliche konkurriert mit dem Endlichen nicht.
⌇Es ist das, was wesentlich kein Endliches
ausschließt.⌇
⍈↺ Man denkt, eine große Zahl sei dem Unendlichen doch näher als eine kleine. Der ˇ Raum hat keine Ausdehnung, nur die räumlichen Gegenstände sind ausgedehnt. Die Unendlichkeit ist eine Eigenschaft des Raumes. (Und das zeigt, daß sie keine unendliche Ausdehnung ist.) |
| Die unendliche Teilbarkeit besteht darin, daß
jede ˇbeliebige endliche Anzahl von Teilen denkbar ist (aber
keine unendliche). |
| Wenn
man sagt: „der Raum ist unendlich teilbar”, so
heißt das eigentlich: der Raum besteht nicht aus einzelnen
Dingen (Teilen). Die unendliche Teilbarkeit bedeutet in gewissem Sinne, daß der Raum nicht teilbar ist, daß Der Raum gibt der Wirklichkeit eine unendliche Gelegenheit der Teilung. (Und darum steht in der [E|e]rsten Klammer von „(n) ∙ (∃nx) φx” nur ein Buchstabe. Offenbar nur eine Gelegenheit, nichts anderes.) Wir denken wir zu wenig daran, daß das Zeichen wirklich nicht mehr bedeuten kann,
|
| Sehen
wir einen kontinuierlichen Farbenübergang eine kontinuierliche
Bewegung, dann sehen wir keine Teile, keine
Sprünge (nicht „unendlich viele”;
außer ich gebe diesem Ausdruck jetzt diese
Bedeutung.). |
| Die Annahme der Unentscheidbarkeit setzt voraus,
daß zwischen den beiden Seiten einer Gleichung, sozusagen, eine
unterirdische Verbindung besteht; daß die Brücke nicht
in Symbolen geschlagen werden kann. Aber dennoch
besteht: denn sonst wäre die Gleichung
sinnlos. – Aber die
|
|
Wenn Brouwer die Anwendung des Satzes vom
|
| Die
Betrachtungsweise, ⌊:⌋
daß ein Satz ˇlogisches Gesetz, weil er
es für ein Gebiet der Mathematik gilt, nicht notwendig
auch für ein anderes gelten müsse, ist in der Mathematik gar
nicht am Platz, ihrem Wesen ganz entgegen. Obwohl
manche Autoren gerade das für besonders subtil halten, &
entgegen den Vorurteilen. |
|
Man wundert sich darüber, daß „zwischen
den überall dicht liegenden ˇrationalen Punkten”
noch die irrationalen Platz haben. (Welche
Verdummung!) Was zeigt eine Konstruktion, wie
die des Punktes √2? Zeigt sie diesen Punkt, wie
|
|
Die Erklärung des
Dedekindschen Schnittes
tut so, als wäre gibt vor sie anschaulich zu
sein, wenn
⍈↺ Wenn man nämlich, starr darüber daß Einer von einer Klasse von Punkten redet, die rechts von einem gegebenen Punkt lieg[e|t]n & keinen Anfang hat, sagt: gib uns doch ein Beispiel so einer Klasse, so zieht er das von den rationalen Zahlen hervor! Aber hier ist ja gar keine Klasse von Punkten im
|
|
„m ˃ n” kann ich allerdings
definieren als (∃x) m ‒ n =
x aber dadurch habe ich es in keiner Weise
analysiert. Man denkt nämlich, daß
|
| Wenn
ich sage: „für jedes n gibt es ein δ,
das die Funktion kleiner macht als n”, so muß ich
mich auf ein allgemeines arithmetisches Kriterium beziehen, das
anzeigt, wann F(δ) ˂ n
ist. |
| Wenn ich wesentlich
keine Zahl hinschreiben kann |
| Es geht auch nichts von
der Allgemeinheit der Betrachtung verloren, wenn ich
die Regeln die [r|R]ichtigkeit &
[f|F]alschheit von m ˃ n (also seinen
Sinn) bestimmen etwa
|
| Wenn Du wissen willst was der Ausdruck
„Stetigkeit einer Funktion” bedeutet, schau den
Beweis der Stetigkeit an der wird ja zeigen was er
beweist. Aber sieh nicht das Resultat an,
wie es in Prosa hingeschr⌊i⌋eben [ ausgedrückt ] ist & auch nicht wie
es in der Russellschen Notation lautet, die ja bloß eine
Übersetzung des Prosaausdrucks ist; sondern richte Deinen
Blick dorthin wo im Beweis noch gerechnet wird. Denn der
ProsaˇWortausdruck des angeblich
bewiesenen Satzes ist meist irreführend, denn er
verschleiert das eigentliche Ziel des Beweises,
was das in ihm diesem mit voller Klarheit zu sehen ist. |
| Der Beweis der Beweisbarkeit
eines Satzes wäre
Was ist der Beweis dafür, daß die Division 1 : 3 einmal die Zahl 0˙33333 erzeugen wird |
| Wenn man den Menschen lehrt einen
Schritt zu machen, so gibt man ihm damit die Möglichkeit
irgend eine [ jede ] Strecke zu gehen.
|
| Es ist schwer sich von der
extensiven Auffassung ganz frei zu machen: So denkt
man: „Ja, aber es muß doch eine innere
Beziehung zwischen x³ + y³ und
z³ ˇbestehen, da
doch |
|
Wo man fragen kann, kann man auch suchen, & wo man nicht
suchen kann, kann man auch nicht fragen. Und auch nicht
antworten. ⌊ (Das ist
|
| 10.
Wenn von Beweisen der Relevanz ⌊(⌋& ähnlichen
Dingen der Mathematik⌊)⌋ geredet wird so geschieht es
immer, als hätten wir, abgesehen von den einzelnen
Operationsreihen die wir Beweise der Relevanz nennen noch einen ganz
scharfen umfassenden Begriff so eines Beweises oder überhaupt
eines mathematischen Beweises. Während in
Wirklichkeit dieses Wort wieder für in
vielen mehr oder weniger verwandten Bedeutungen angewandt
wird (wie ˇetwa die Wörter
„Volk”, „König”,
„Religion”
etc.). siehe
Spengler.)
Denken wir nur an die Rolle, die
|
| Man kann sagen:
Ein Beweis der Relevanz wird den Kalkül des Satzes
auf den er sich bezieht ändern. Einen
Kalkül mit diesem Satz rechtfertigen
|
| Der Beweis der Kontrollierbarkeit von
17 × 23 =
391 ist ‚Beweis’ in einem ˇandern
Sinne d⌊i⌋eses Worts, als der, der Gleichung
selbst. (Der Müller mahlt, der Maler malt:
beide …). Die Kontrollierbarkeit ˇder
Gleichung
|
| Kann man sagen daß wir zu jedem Schritt
eines Beweises eine frische Intuition brauchen?
(Individualität der Zahlen.) Es
wäre etwa so: Ist mir eine allgemeine (variable) Regel
gegeben, so muß ich immer von neuem
erkennen, dass diese Regel auch
hier angewendet werden kann (daß sie auch für
diesen Fall gilt). Kein Akt der Voraussicht
kann mir diesen Akt der Einsicht ersparen. Denn
tatsächlich ist die Form, auf die die Regel angewandt wird, bei
jedem ˇneuen Schritte eine neue. – Es handelt
sich aber hier nicht um einen Akt der Einsicht
sondern um einen Akt der Entscheidung. |
| Der sogenannte Beweis der
Relevanz steigt die Leiter zu seinem Satz nicht hinauf, denn
dazu muß man jede Stufe nehmen, sondern zeigt nur daß
die Leiter in der Richtung zu jenem Satz führt.
D.h.: es gibt
keinen Ersatz für das Durchlaufen jeder Stufe. (In
der Logik gibt es kein Surrogat.) Es ist auch der
Pfeil ˇder die Richtung weist kein Surrogat für das
Durchschreiten aller Stufen bis zum bestimmten Ziel. |
| Ich sagte: Wo man
nicht suchen kann, da kann man auch nicht fragen, und
d.h.: wo es keine logische
Methode des Findens gibt, da kann auch die Frage keinen Sinn
haben. – Nur wo eine Methode der Lösung ist, ist
ein Problem (d.h. natürlich nicht:
„nur wo die Lösung gefunden ist, ist ein
Problem). –
Dieser Satz fixiert wieder nur eine Grammatik für das Wort
„Problem”.
D.h.: dort wo die Lösung des
Problems nur von einer Art Offenbarung erwartet werden kann,
ist auch kein Problem. Einer Offenbarung entspricht
keine Frage. – Diese Sätze sind nur verkappte
Erklärungen
|
| (Es ist beinahe unglaublich, wie ein Problem
durch die irreführenden Ausdrucksweisen, die Generation auf
Generation rundherumstellt, gänzlich, auf Meilen, blockiert wird,
so daß es beinahe unmöglich wird,
dazuzukommen.) |
|
„Wird die Gleichung von irgendwelchen Zahlen
befriedigt⌊?⌋”; „sie wird von
allen Zahlen befriedigt”; „sie wird von
allen Zahlen (von keiner Zahl) befriedigt”.
Hat Dein Kalkül Beweise? und welche? daraus erst
wird man den Sinn dieser Sätze & Fragen entnehmen
können. Ich kann den Ausdruck: „die Gleichung G ergibt die Lösung L” nicht eindeutig anwenden, solange ich keine Methode der Lösung besitze; weil „ergiebt” eine sich auf eine Struktur bezieht bedeutet, die ich ohne sie zu kennen nicht bezeichnen kann. Denn das heißt das Wort „ergibt” zu verwenden ohne seine Grammatik zu kennen. Ich könnte aber auch sagen: Das Wort „ergibt” hat andere Bedeutung wenn ich es so verwende daß es sich auf eine Metho der der Lösung bezieht & ˇeine andere wenn dies nicht der Fall ist. Es [f|v]erhält sich hier mit „ergibt” ähnl⌊i⌋ch wie mit dem Wort „gewinnen” (oder „verlieren”) wenn es sich einmal auf gewisse Spielregeln, ein wenn das Kriterium des „Gewinnens” einmal eine bestimmte⌊r⌋ Stellung der Spielfiguren Verlauf der Partie (z.B.) ist (hier muß ich die Spielregeln kennen um sagen zu können ob [e|E]iner
Wenn wir „ergibt”
|
|
Der Fermatsche Satz hat keinen strengen Sinn, solange ich
nach der Auflösung der Gleichung durch Kardinalzahlen nicht
suchen kann. Und „suchen”
heißt: systematisch suchen. Es ist kein
[s|S]uchen, wenn ich im unendlichen Raum nach einem
Gegenstand umherirre. – An unserer
Schwierigkeit ist natürlich die falsche Auffassung der Variablen
schuld, ⌊:⌋ die Auffassung, als
verträte die Variable eine Klasse von Zahlen
(& zwar einer Klasse, Liste, von Zahlen), während
sie nichts vertritt sondern ist was sie ist.
Verträte sie Zahlen, dann brauchte allerdings nur
5³ + 7³ =
9³ Sinn zu haben & der Sinn der
allgemeinen Sätze über die Form
x³ + y³ =
z³ folgte daraus. Aber da die
Variable autonom ist, so hat der Satz in welchem sie vorkommt erst
dann Sinn, wenn er nach seinen eigenen Prinzipien kontrollierbar ist,
wie die Zahlengleichung nach dem
|
| Es genügt also nicht zu sagen
„p ist beweisbar”,
sondern es muss heißen: beweisbar
nach einem bestimmten System. Und zwar behauptet der Satz nicht, p sei beweisbar nach dem System S, sondern nach seinem System, dem System von p. D Daß p dem System S angehört, das läßt sich nicht behaupten (das muß sich zeigen). – Man kann nicht sagen, „p gehört zum System S; man kann nicht fragen, zu welchem System p gehört; man kann nicht das System von p suchen. p verstehen, heißt, sein
|
|
Würde denn aus dem Allen nicht das Paradox folgen:
daß es in der Mathematik keine schweren Probleme gibt; weil,
was schwer ist, kein Problem ist? Was folgt ist, daß das „schwere mathematische Problem” d.h. das Problem der mathematischen Forschung zur Aufgabe „25 × 25 = ?” nicht in dem Verhältnis steht
|
|
Man könnte
|
| 14.
Welcher Art ist der Satz „die 3-Teilung des
Winkels mit Zirkel & Lineal ist
unmöglich”? Doch wohl von
derselben wie: „in der Reihe der Winkelteilungen
F(n) kommt keine
F(3) vor, wie in der Reihe
der ˇKombinations[Z|z]ahlen
|
| Warum nennt man
diesen Beweis, den Beweis dieses
Satzes? Der Satz ist ja kein Name, sondern
gehört ˇals Satz einem Sprachsystem an: Wenn
ich sagen kann „es gibt keine 3-Teilung”
so hat es Sinn zu sagen „es gibt keine
4-Teilung” etc.
etc. Und ist
|
| Der bewiesene mathematische Satz hat in
seiner Grammatik zur Wahrheit hin ein
Übergewicht. Ich kann um den Sinn
von |
|
Wenn ich a + (b + c) =
(a + b) + c negiere, so hat das nur Sinn wenn
ich etwa sagen will: es ist nicht a + (b + c) =
(a + b) + c sondern
=
(a + 2b) + c . Denn es
fragt sich: was ist der Raum in welchem ich den Satz
negiere; wenn ich ihn ˇabgrenze ausschließe,
wovon? Die Kontrolle von 25 × 25 = 625 ist die Ausrechnung von 25 × 25 die Berechnung der rechten Seite; – kann ich nun a + (b + c) = (a + b) + c errechnen, das Resultat (a + b) + c ausrechnen? Je nachdem man es als berechenbar oder unberechenbar betrachtet ist es beweisbar oder nicht. Denn ist der Satz eine Regel, der jede Ausrechnung folgen muß, ein Paradigma, dann hat es keinen Sinn von einer Ausrechnung der Gleichung zu Das Wesentliche an [der|Die] Möglichkeit des Das was die Ausrechnung ist möglich macht ist das System, dem der Satz angehört & das auch die Rechenfehler bestimmt die sich bei der Ausrechnung machen lassen. Z.B. ist (a + b)² = a² + 2ab + b² & nicht = a² + ab + b²; aber (a + b)² = ‒ 4 ist kein möglicher Rechenfehler in diesem System. |
| Sofern man die
Unmöglichkeit der 3-Teilung als eine physische
Unmöglichkeit darstellen kann, indem man
z.B. sagt: „Versuch'
nicht den Wi[ü|n]kel in 3 gleiche Teile zu teilen, es
ist hoffnungslos!”, insofern beweist der
„Beweis der Unmöglichkeit” diesec
nicht. Daß es hoffnungslos ist,
ˇdie Teilung zu versuchen, das hängt mit
physikalischen Tatsachen zusammen. |
| Man kann nicht sagen: „ich
werde au⌊s⌋rechnen daß es so ist”,
sondern „ob es so ist”. Also ob
so, oder anders. |
|
Ich könnte ja auch ganz beiläufig (siehe
andere Bemerkungen) sagen: „25 × 64 = 160, 64 × 25 = 160; das beweist, daß a × b = b × a ist” (& diese Redeweise ist nicht vielleicht lächerlich & falsch; sondern man muß sie nur recht deuten.). Und man kann richtig daraus schließen: also läßt sich „a ∙ b = b ∙ a” in einem Sinne
Und ich will sagen: [n|N]ur in dem Sinne in welchem die Ausrechnung so eines Beispiels
|
|
(Die Philosophie prüft nicht die Kalküle der
Mathematik, sondern nur, was die Mathematiker über diese
Kalküle sagen.) |
|
„Ich habe ausgerechnet, daß es keine Zahl
gibt welche …”. – In welchem
Rechnungssystem kommt diese Rechnung vor? –
Dies wird uns zeigen in welchem Satzsystem der errechnete Satz
ist. (Man fragt auch: „wie rechnet man
so etwas aus?”) |
| „Ich habe gefunden, daß es
„Ich habe ausgerechnet, daß es keine solche Zahl gibt.” Im ersten Satz darf ich nicht „keine” statt „eine” einsetzen. – Und wie, wenn ich im zweiten St statt „keine” „eine” setze? Nehmen wir an
⍈↺ Wenn nun z.B. der Beweis daß ~(∃n) etc eine Induktion ist, die zeigt, daß, soweit ich auch gehen, eine solche Zahl nicht vorkommen kann, so ist das Gegenteil dieses Beweises (ich will einmal diesen Ausdruck gebrauchen) nicht der Beweis davon, d Existenzbeweis in unserem Sinne. (Das hängt damit zusammen, daß ich nicht in jedem Kalkül in dem ich Gleichungen gebrauchen, eo ipso auch die Verneinungen von Gleichungen gebrauchen darf. Denn 3 × 3 ≠ 7 heißt nicht, daß die Gleichung „3 × 3 = 7” nicht Sagt man, übrigens, daß das Interval im Existenzbeweis sei nicht wesentlich, da ein andres Interval es auch getan hätte, so heißt das natürlich nicht, daß das Fehlen einer Intervalangabe es auch getan hätte. – Der Beweis der Nichtexistenz hat zum Beweis der Existenz nicht das Verhältnis eines Beweises von p zum Beweis des Gegenteils. Man sollte glauben, in den Beweis des Gegenteils von „(∃n) etc” müßte sich eine Negation
Gehen wir doch einmal, umgekehrt, von den Beweisen aus & nehmen wir an, sie wären uns ursprünglich gezeigt worden & man hätte uns dann gefragt: was beweisen diese Rechnungen? Sieh auf die Beweise & entscheide dann, was sie beweisen. |
| Die Methode der
Kontrolle der Wahrheit ist das was entspricht dem Sinn des
mathematischen Satzes. Kann von so einer
Kontrolle nicht die Rede sein, dann fällt die
|
| (In Wirklichkeit konstruiert der „Beweis
des Hauptsatzes der Algebra” eine neue Art von
Zahlen.) |
| Der
„Satz der Mathematik” welcher durch eine
Induktion bewiesen ist –, so aber, daß man nach dieser
Induktion nicht in einem System von Kontrollen
„Jede Gleichung ˇG hat eine Wurzel”. Und wie, wenn sie keine hat? können wir diesen Fall beschreiben, wie den, daß sie keine rationale Lösung hat? Was ist das Criterium dafür daß eine Gleichung keine Lösung hat? Denn dieses Criterium muß gegeben
(Worin besteht die Beschreibung des Gegenteils[?|;] worauf stützt sie sich[?|;] auf welche Beispiele, & wie sind diese Beispiele mit einem besonderen Fall ˇdes bewiesenen Gegenteils verwandt? Diese Fragen sind nicht etwa nebensächlich, sondern absolut wesentlich.) (Die Philosophie der Mathematik besteht in eine[m|r] äußerst genauen Untersuchung der mathematischen Beweise – nicht darin ˇdaß man die Mathematik mit einem Dunst umgibt.) |
|
„Wie kommt es, daß ich diesen Satz (der Geometrie
oder Arithmetik) nicht eigens beweisen muß, sondern daß er
durch den allgemeinen Beweis schon bewiesen ist?”
Aber Du mußt ihn ja beweisen⌊,⌋ – indem Du
nämlich den S besondern Satz
hinschreibst, denn das Übrige ist nur, was allen Beweisen solcher
Sätze gemeinsam ist. (Du mußt diesen
ˇeuklidischen Satz für
jedes Dreieck von neuem beweisen nur besteht allerdings
der Beweis nur in das besondere
dieses Beweises nur in der Zeichnung dieses Dreiecks das das
[ü|Ü]brige durch die allgemeine Form (den
euklidischen Beweis) schon
vorgesehen ist.) |
| 3 × 2 = 5 + 1 3 × (a + 1) = 3 + (3 × a) = (5 + b) + 3 = 5 + (b + 3) Warum nennst Denken wir nun J jemand sagte „prüfen wir nach ob f(n) für alle n gilt” & nun fängt er an die Reihe zu schreiben: 3 × 2 = 5 + 1 3 × (2 + 1) = (3 × 2) + 3 = (5 + 1) + 3 = 5 + (1 + 3) 3 × (2 + 2) = (3 × (2 + 1)) + 3 = (5 + (1 + 3)) + 3 = 5 + (1 + 3 + 3) & nun bricht er ab & sagt: „ich sehe schon daß es für alle n gilt”. – So hat er also eine Induktion gesehen! Aber hatte er denn nach einer Induktion gesucht? Er hatte ja gar keine Methode um nach
|
| Wenn wir sagen die
Induktion beweise einen Satz den allgemeinen Satz so
denken wir: sie beweist daß dieser Satz & nicht sein
Gegenteil wahr ist. [ so wollen wir natürlich
zur Ausdrucksform übergehn sie beweise, daß dies
& nicht sein Gegenteil der Fall ist. ]
Welches wäre aber das Gegenteil des
[b|B]ewiesenen? Nun, daß
(∃n)~fn
der Fall ist. Damit verbinden wir zwei Begriffe: den
einen den ich aus meinem gegenwärtigen Begriff des Beweises von
(n)f(n) herleite
& einen andern der von der Analogie mit
(∃x) φx
hergenommen ist. (Wir müssen ja bedenken, daß
„(n) ∙ fn”
kein Satz ist, solange ich kein Kriterium seiner Wahrheit habe;
& dann nur den Sinn hat, den ihm dieses Kriterium
gibt.)) Ich konnte freilich
schon ehe ich das Kriterium
|
|
3 + 2
= 5 + 1 & die Gleichung
3 × (a + 1)
= (3 × a) + 3 –
etc.. Die Gleichungen:
3 + 2 =
5 + 1, 3 × (a + 1) =
(3 × a) + 3,
(5 + b) + 3 =
5 + (b + 3) im Gegensatz also ˇetwa zu
3 + 2 =
5 + 6, 3 × (a + 1) =
(4 × a) + 2
|
| Daher wir es seltsam empfinden, wenn
uns gesagt wird, die Induktion beweise den allgemeinen Satz; da wir
das richtige Gefühl haben, daß wir ja in der Sprache der
Induktion die allgemeine Frage gar nicht hätten stellen
können. Da uns ja nicht zuerst eine Alternative
gestellt war (◇ sondern nur zu sein schien solange
wir uns an ˇein Kalkül mit
endliche⌊n⌋ Klassen dachten vorschwebte)
Die Frage nach der Allgemeinheit h[ä|a]tte vor dem Beweis noch gar keinen Sinn, also war ist sie ⌊auch⌋ nie ⌊k⌋eine Fragec auch nach dem Beweis keine Frage, denn die Frage h[ä|[a|ä]]tte nur Sinn gehabt, gehabt wenn eine allgemeine Methode ˇder Entscheidung bekannt gegeben w[ä|a]re, ehe der besondere Beweis geliefert geführt wurde bekannt war. [ Die Frage nach der Allgemeinheit hatte vor dem Beweis durch Induktion noch gar keinen Sinn, also war sie auch keine Frage, denn die hätte nur Sinn gehabt, wenn eine allgemeine Methode der Entscheidung bekannt war, ehe der besondere Beweis bekannt war. ] Denn der Induktionsbeweis entscheidet nichts. ⌊… ⌋ entscheidet
|
| Wenn gesagt wird:
wir „der Satz
‚(n) ∙ fn’
folgt aus der Induktion” heißt
nur, ⌊:⌋ jeder Satz der Form
f(n) folge aus
ihr der Induktion; &⌊:⌋
der Satz (∃n)~fn
widerspreche der Induktion heiße nur: jeder Satz der
[f|F]orm ~f(n)
widerspreche werde durch die Induktion widerlegt,
|
| Denken
wir es stritten sich Leute darüber ob in der Division
1 : 3 lauter Dreier im
Quotienten herauskommen mü[ss|ß]ten; sie
hätten aber keine Methode wie dies zu entscheiden sei.
Nun bemerkt Einer von ihnen die induktive Eigenschaft von
Die Frage „gibt es eine rationale Zahl die die Wurzel von x² + 3x + 1 = 0 ist” ist freilich durch eine Induktion entschieden,⌊: –⌋ aber nur, weil hier habe ich eben eine Methode konstruiert um Induktionen zu bilden; & die Frage hat ihren Wortlaut nur, weil es sich um eine Konst⌊r⌋uktion von Induktionen handelt. D.h. die Frage wird durch eine Induktion entschieden, wenn ich nach dieser Induktion fragen konnte⌊.⌋, d.h. [w|W]enn mir ˇalso ihr Zeichen von vornherein so beschrieben war auf ja & nein bestimmt war so daß ich rechnerisch zwischen ihnen entscheiden konnte wie z.B. ob der ◇◇◇ Rest in 5 : 7 gleich oder ungleich dem Dividenden sein sein wird. (Die Verwendung der Ausdrücke „alle …” & „es gibt …” hat für diese Fälle hat eine gewisse Ähnlichkeit wiemit d[i|e][e|r] Verwendung des Wortes „unendlich” im |
| Was man anfassen kann, ist ein
Problem. |
| Kenne ich die
Regeln der elementaren Trigonometrie, so kann ich den Satz
sin 2x = 2 sin x
cos x kontrollieren aber nicht den Satz
sin x = x ‒
Die beiden Sätze stehen gleichsam auf zwei verschiedenen Ebenen. In der ersten kann ich mich bewegen, so weit ich will, ich werde nie zu dem Satz auf der höheren Ebene kommen. Der Schüler dem das Rüstzeug der elementaren Trigonometrie zur Verfügung stände & von dem die Überprüfung der Gleichung sin x = x ‒
|
| 16. Man könnte sagen: In der Geometrie
der Euklidischen Elemente kann man
nach der 3-Teilung des Winkels nicht suchen, weil es sie nicht
gibt ⌊–⌋ & nach der 2-Teilung nicht, weil es
sie gibt. |
| In der Welt der
Euklidischen Elemente kann
|
| Wir müssen übrigens hier
eine Unterscheidung zwischen gewissen Arten von Fragen machen,
eine Unterscheidung die wieder zeigt daß, was wir in der Mathematik
Fra „Frage” nennen von dem
verschieden ist, was wir im alltäglichen Leben so
nennen. Wir müssen unterscheiden zwischen einer Frage
„wie teilt man den Winkel in zwei gleiche Teile”
& der Frage „ist diese Konstruktion die
Halbierung des Winkels”. Die Frage hat nur Sinn in
einem System Kalkül der uns eine Methode zu ihrer
Lösung gibt; nun kann uns ein Kalkül
|
| 17. Ich kann nicht fragen, ob die 4 unter den
Kombinationszahlen vorkommt, wenn
Bezeichnen wir mit „Kardinalzahlen” nicht einen Teil der rationalen Zahlen, so können wir nicht ausrechnen ob
|
| Statt
◇ ◇◇◇ des Problems der 3-Teilung
des Winkels mit Lineal & Zirkel können wir uns
mit nun einem ganz entsprechende[n|s]
aber viel übersichtlichere[n|s] untersuchen.
Es steht uns ja frei die Möglichkeiten der Konstruktion mit
Lineal & Zirkel weiter einzuschränken. So
können wir z.B. die Bedingung setzen,
daß der Zirkel sich die Öffnung des Zirkels nicht
verändern läßt. Und wir können
festsetzen daß die einzige Konstruktion die wir kennen – oder
besser: die unser Kalkül kennt – diejenige ist die man
zur Halbierung einer Strecke ˇAB benützt
nämlich:
Ich will diese Geometrie das System α nennen & fragen: „ist die 3 Teilung der Strecke im System α möglich?” Welche 3-Teilung ist in dieser Frage gemeint? – denn davon hängt offenbar der Sinn der Frage ab. Ist z.B. die physikalische 3-Teilung gemeint? d.h. die 3-Teilung durch Probieren & Nachmessen[?|.] In diesem Falle ist die Frage vielleicht zu be[g|j]ahen. Oder die optische Dreiteilung? d.h. die Teilung deren Resultat drei gleichlang aussehende Teile sind? Wenn wir z.B. durch ein verzerrendes Medium sehen so ist es ganz leicht vorstellbar daß uns die Teile a, b & c gleichlang erscheinen. Nun könnte man die Resultate der Teilungen im System α nach der Zahl der erzeugten Teile durch die Zahlen 2, 2², 2³, u.s.w. darstellen; & die Frage kon ob die 3-Teilung möglich ist könnte bedeuten: ist eine der Zahlen in dieser Reihe = 3. Diese Frage
Es kann nun gefragt werden: ist die Teilung β in 108 Teile eine Teilung der Art α? Und diese Frage könnte wieder auf die hinauslaufen: ist 108 eine Potenz von 2? aber sie könnte auch auf eine andere Entscheidungsart hinweisen (einen andern Sinn haben) wenn wir die Systeme ˇα & β zu einem geometrischen Konstruktionssystem verbinden so zwar, daß es sich nun in diesem System beweisen läßt, daß die beiden Konstruktionen „die gleichen Teilungspunkte B, C, D „liefern müssen”.
Die Antwort auf diese Frage wäre der Beweis daß 2³ nicht durch 3 teilbar ist; oder der Hinweis darauf daß sich die Teile a, b, c wie 1:3:4 verhalten. Und nun könnte man fragen: habe ich also im System α nicht doch einen Begriff von der 3-Teilung, nämlich der Teilung, die die Teile a, b, c im Verhältnis 1:1:1 hervorbringt? Gewiß, ich habe nun einen neuen Begriff von ‘3-Teilung einer Strecke’ eingeführt; wir könnten ja sehr wohl sagen daß wir durch die 8-Teilung der Strecke AB die Strecke CB
|
|
Die
Perplexitäte in der wir uns bezüglich des
Problems der 3-Teilung befanden war etwa die: Wenn die
3 Teilung des Winkels unmöglich ist –
logisch unmöglich – wie kann man dann überhaupt nach
ihr Fragen? Wie kann man das logisch
Unmögliche beschreiben & nach seiner
möglichkeit sinnvoll fragen?
D.h., wie kann man logisch nicht
zusammenpassende Begriffe zusammenstellen (gegen die
Grammatik, also unsinnig) & sinnvoll nach der
[m|M]öglichkeit dieser Zusammenstellung
fragen? – Aber dieses |
| (Wir
sprechen von einer „Teilung des Kreises in 7
Teile” & von einer Teilung eines Kuchens in 7
Teile.) |
| Man ist geneigt
zu glauben die Schreibweise einer Reihe daß die
Notation, die eine Reihe durch [a|A]nschreiben einiger
Glieder mit dem Zeichen u.s.w.
darstellt wesentlich unexact ist im
Gegensatz zur Angabe des allgemeinen Gliedes. Dabei
vergißt man daß die Angabe des allgemeinen Gliedes sich auf
die eine Grundreihe bezieht, welche nicht wieder durch ein
allgemeines Glied beschrieben sein kann. So ist
2n + 1 das allgemeine
Glied der ungeraden Zahlen wenn n die Kardinalzahlen
durchläuft, aber es wäre Unsinn zu sagen n sei das
allgemeine Glied der Reihe der Kardinalzahlen.
Wenn
|
|
(Frege hätte noch gesagt: „es gibt
vielleicht
|
|
Den Mathematiker
muß es bei meinen mathematischen Ausführungen grausen,
denn
|
| Die Wirkung einer in die Sprache
aufgenommen falschen Analogie:
Sie einen
ständigen Kampf & Beunruhigung (quasi einen
ständigen Reiz). Es ist, wie wenn ein Ding
aus der Entfernung ein Mensch zu sein scheint weil wir dann
gewisses nicht wahrnehmen & in der Nähe sehen
wir daß es etwa ein Baumstumpf ist. Kaum
entfernen wir uns von dort ein wenig & verlieren
die Erklärungen aus dem Auge, so erscheint uns eine
Gestalt, sehen wir darauf hin näher zu, so sehen wir eine andere;
nun entfernen wir uns wieder, etc,
etc. |
|
(Ich kann der Aufgabe der 3-Teilung des Winkels in einem
größern System ihren Platz bestimmen, aber nicht im System der
Euklidischen Elemente
|
| (*Die
ˇKlassifikationen der Philosophen & Psychologen:
ˇsie klassifizieren Wolken nach ihrer Gestalt.)
|
| Es ist unmöglich
Entdeckungen neuartiger Regeln zu machen, die von einer uns
bekannten Form (etwa dem sinus eines Winkels)
gelten. Sind es neue [r|R]egeln, so ist es nicht
die alte Form. |
| Man faßt
die Periodizität eines Bruches
z.[b|B].
|
| Und das Zeichen
[0˙3, ⌊0⌋˙ξ,
0˙ξ3] ist kein Ersatz für eine
Extension, sondern da[ß|s] vollwertige Zeichen selbst
& ebensogut ist „0˙3̇
”.
Es sollte uns doch zu denken geben daß ein Zeichen der Art
„0˙3̇
”
genügt um damit zu machen was wir brauchen.
Es ist kein Ersatz & im Kalkül gibt es keinen
Ersatz. Wenn man meint die besondere Eigenschaft der Division
|
| Man könnte nun sagen: die
Stellen
|
| Hat der ˇrekursive Beweis von
a + (b + c) =
(a + b) + c ‒ ‒ ‒
A eine Frage beantwortet? & welche? Hat er eine Behauptung als wahr erwiesen & also ihr Gegenteil als falsch? Das, was
a + (b + 1) = (a + b) + 1
In diesem Beweis kommt offenbar der bewiesene Satz
gar nicht vor. – Man müßte nur eine allgemeine
Bestimmung machen die den Übergang in ihm erlaubt.
Diese Bestimmung könnte man so ausdrücken:
a + (b + (c + 1) = (a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1 }(Ƒ) B (a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1 α φ(1) = ψ(1) ∆ β φ(c + 1) = F(φ(c)) }(Ƒ) φ(c) = ψ(c) γ ψ(c + 1) = F(ψ(c)) Wenn drei Gleichungen von der Form α, β, γ bewiesen werden sind, so sagen wir es sei „die Gleichung ∆ für alle Kardinalzahlen bewiesen”. Das ist eine Erklärung dieser Ausdrucks⌊form⌋ durch die erste. Sie zeigt daß wir das Wort „beweisen” im zweiten Fall anders gebrauchen als im ersten. Es ist jedenfalls irreführend zu sagen wir hätten die Gleichung ∆ oder A bewiesen & vielleicht besser Hat nun der Beweis B eine Frage beantwortet[?|,] eine Behauptung als wahr erwiesen? Ja, welches ist denn der Beweis B[?|:] ist es die Gruppe der drei Gleichungen von der Form α, β, γ, oder die Klasse der Beweise dieser Gleichungen? Diese Gleichungen behaupten ja etwas (& beweisen nichts in dem Sinne in dem sie bewiesen werden⌊)⌋. Die Beweise von α, β, γ aber beantworten die Frage, ob diese drei Gleichungen stimmen, & erweisen die Behauptung als wahr, daß sie stimmen. Ich kann nun erklären: die Frage, ob A für alle Kardinalzahlen gilt, solle
φ(ξ) = a + (b + ξ), ψ(ξ) = (a + b) + ξ Gleichungen α, β & γ?” Und dann ist diese Frage durch den rekursiven Beweis von A beantwortet, wenn hierunter die Beweise von α, β, γ verstanden werden (bezw. ˇdie Festsetzung von α & die Beweise von β & γ mittels α.). Ich kann also sagen, daß der rekursive Beweis ausrechnet, daß die Gleichung A einer gewissen Bedingung genügt; aber es ist nicht
|
| Was heißt
„1:3 =
0˙3̇
”? heißt es
dasselbe wie „
„1 : 3 = 0˙3̇ ” ist ja nicht von der Art, wie „1 : 2 = 0˙5”; vielmehr entspricht „10 : 2 = 0˙5” dem „
dem „
Ich will einmal statt der Schreibweise „1 : 4 = 0˙25” die adoptieren „1
dann kann ich sagen diesem Satz entspricht nicht der: 1 : 3 = 0˙3̇ sondern z.B. der: „1
Nun steht B ˇzur Behauptung A gelte für alle Kardinalzahlen zu a
|
| Der Gegensatz zu der Behauptung
„A gilt für alle Kardinalzahlen” ist
nun: eine der Gleichungen α, β, γ sei falsch.
◇◇◇ Und die entsprechende Frage sucht keine
Entscheidung zwischen einem (x)fx & einem
(∃x)~fx.
|
| Die Konstruktion der
Induktion ist nicht ein Beweis sondern eine ˇbestimmte
Zusammenstellung (
|
|
Der „rekursive Beweis” ist das allgemeine Glied
einer Reihe von Beweisen. Er ist also ein Gesetz nach dem
man Beweise konstruieren kann. Wenn gefragt wird, wie
es möglich ist daß mir diese allgemeine Form den Beweis eines
speziellen Satzes et z.B.
7 + (8 + 9)
= (7 + 8) + 9 ersparen kann, so ist
die Antwort daß sie nur alles zum Beweis dieses Satzes vorbereitet
hat ihn aber nicht beweist (er kommt ja in ihr nicht
vor). Der Beweis besteht vielmehr aus der
allgemeinen Form zusammen mit dem Satz. |
| Unsere gewöhnliche Ausdrucksweise trägt
den Keim der Verwirrung in ihre Fundamente indem sie
das Wort „Reihe”
einer- |
| Wir könntenen
uns also
den rekurieen Beweis
immer auch als Reihenstück mit dem
„u.s.w.” anschreiben
& er verliert dadurch nicht seine Strenge⌊.⌋
([u|U]nd zugleich zeigt diese
Schreibweise klarer sein Verhältnis zur Gleichung
A)
[d|D]enn nun verliert der rekursive Beweis
jeden Schein einer Rechtfertigung von A im Sinne eines
algebraischen Beweises – etwa von (a + b)² =
a² + 2ab + b².)
Dieser Beweis ist ganz analog mit Hilfe der
algebraischen Rechnungsregeln ist vielmehr ganz analog einer
Ziffernrechnung. |
|
(„Every symbol is what it is & not
another symbol”.) |
|
Kann es keinen Beweis geben, der bloß zeigt,
|
| Man kann auch so sagen:
Sofern man die Regelc in ˇirgendeinem Spiel
Dezimalbrüche zu bilden die nur aus der Ziffer 3 bestehen,
sofern man diese Regel als eine Art Zahl auffaßt, kann
eine Division sie nicht zum Resultat haben sondern
nur das, was man periodische Division nennen kann &
was die Form aa : b =
c hat. |
| Kann es
keinen Beweis geben der bloß zeigt daß
z.B. jede Multiplikation im Dezimalsystem
nach den Regeln eine An Zahl des Dezimalsystems
liefern muß? – E[r|s] müßte
analog sein einem Beweis dafür, daß durch Addition von
Formen Ausdrücken der Art
(1),
((1) + 1),
(((1) + 1) + 1)
u.s.w. immer wieder Ziffern von dieser
Form erzeugt werden. Kann man das nun beweisen?
Der Beweis liegt offenbar in der Regel der Addition solcher
Ausdrücke, d.h. in der Definition &
in nichts anderem. (Man könnte ja auf die Frage
& auf die der Beweis die Antwort geben sollte auch
sagen: „Ja, was soll die Addition denn sonst
ergeben?”) |
| Die rekursive
Definition ist eine Regel zur Bildung von Ersetzungsregeln.
Oder auch das allgemeine Glied einer Reihe
|
| A als Regel für das algebraische
Rechnen kann nicht rekursiv bewiesen werden das würde man
besonders klar
|
| (Wenn die Regeln des algebraisch
Rechnens mit denen des Rechnens mit reellen Zahlen
übereinstimmen sollen, so muß ich z.B.
von der Gleichung x² + 2x + 2 = 0
sagen, sie habe keine Lösung. Ich werfe dann
alle ˇquadratischen Gleichungen die keine Lösung
haben, sozusagen, in einen |
| 19.
Phänomenologische
Sprache: Die Beschreibung der unmittelbaren
Sinneswahrnehmung, ohne hypothetische Zutat. Wenn etwas,
dann muß doch wohl die Abbildung durch ein gemaltes Bild oder
dergleichen eine solche Beschreibung der unmittelbaren
Erfahrung sein. Wenn wir also
z.B. in ein Fernrohr sehen & die
gesehene Constellation aufzeichnen oder
malen. Für Denken wir uns sogar
unsere Sinneswahrnehmung dadurch reproduziert daß ˇzu ihrer
Beschreibung ein Modell erzeugt wird welches von einem
bestimmten Punkt gesehen diese Wahrnehmungen erzeugt, das Modell
könnte mit einem Kurbelantrieb in ˇdie richtige Bewegung
gesetzt werden & wir könnten durch Drehen der Kurbel die
Beschreibung herunterlesen. (Eine Annäherung
hierzu wäre eine Darstellung im Film.)
Ist das keine Darstellung des Unmittelbaren – was sollte eine sein? Was noch unmittelbarer sein wollte müßte es aufgeben eine Beschreibung zu sein. |
| Was
wir die Zeit im Phänomen (specious
present) nennen können ist nicht eine
Zeitstrecke liegt nicht in der Zeit (Vergangenheit,
Gegenwart & Zukunft) der Geschichte, ist keine
Strecke dieser Zeit.
|
| Aber
[v|V]on welcher Wichtigkeit
Anderseits brauchen wir eine Ausdrucks-
|
| Wenn wir vom
Gesichtsraum reden⌊,⌋ so so werden wir leicht zu der
Vorstellung verführt als wäre der Gesichts
e wäre er eine Art von Guckkasten die
der jeder
|
|
„Aber kann nicht ich in meinem Gesichtsraum eine
Landschaft & Du in dem Deinen ein Zimmer
sehen?” – Nein,
„‚ich sehe in meinem
Gesichtsraum’ ist Unsinn[?|.] Es
muß heißen [„|‚]ich sehe eine
Landschaft & Du
etc.[”|’] & das
wird nicht bestritten. Was uns hier irreführt ist eben
das Gleichnis vom Guckkasten oder etwa von einer kreisrunden
weißen Scheibe die wir wir gleichsam
als Projektionsleinwand mit uns trügen & die
der Raum ist in dem das jeweilige Gesichtsbild
erscheint. Aber der Fehler an diesem Gleichnis ist, daß
es sich die Gelegenheit – die Möglichkeit – zum
[e|E]rscheinen |
| Es
ist nun wichtig, daß der Satz „das Auge womit ich sehe,
kann ich nicht unmittelbar sehen” ein verkappter Satz der
Grammatik, oder Unsinn, ist. Der Ausdruck
„näher ˇam (oder weiter
ˇvom) sehenden Auge” hat nämlich eine
andere Grammatik als der „näher an dem blauen Gegenstand
welchen ich sehe”. Die Erscheinung
im visuelle Erscheinung die
|
|
Zwingt mich etwas zu der Deutung, daß der Baum, den ich durch
mein Fenster sehe größer ist als das Fenster? Das
kommt darauf an wie ich die Wörter
„größer” &
„kleiner” gebrauche. – Denken wir
uns, wir sähen gewöhnlich die
|
| I[n|m]
mein Gesichtsraum gibt es absolute
Lage. Wenn ich durch ein Aug schaue sehe ich meine
Nase⌊n⌋ˇspitze.,
[w|W]ürde
|
| Mein
Gesichtsfeld weist keine Unvollständigkeit auf die mich
dazu bringen könnte mich umzuwenden & zu sehen was
hinter mir liegt. Im Gesichtsraum gibt es kein
„hinter mir”; & wenn ich mich
|
| Beziehung zwischen
physikalischem Raum & [g|G]esichtsraum.
Denke an das Sehen bei geschlossenen Augen
ˇ(Nachtbilder etc) &
an die Traumbilder. |
| (Wir
befinden uns mit unserer Sprache (als physischer Erscheinung)
sozusagen ˇnicht im Bereich des projizierten Bildes auf der
Leinwand, sondern im Bereich des Films der durch die
Laterne geht. Und wenn ich zu dem Vorgang auf der
Leinwand Musik machen will, muß das, was sie hervorruft, sich
wieder im Gebiet des Films abspielen. Das Ganze
ist Das gesprochene Wort im Sprechfilm das die
Vorgänge auf der Leinwand begleitet, ist ebenso
fliehend wie diese Vorgänge, & nicht das Gleiche wie der
Tonstreifen. Der Tonstreifen begleitet nicht das Spiel auf
der Leinwand.) |
|
Gedächtniszeit. Sie ist (wie der
Gesichtsraum) nicht ein Teil der großen Zeit sondern
die spezifische Ordnung der Ereignisse oder Situationen
des
20. |
|
Begriff &
Gegenstand: das ist ˇbei Russell & Frege eigentlich Eigenschaft & Ding; &
zwar denke ich hier an einen ˇräumlichen
Körper & seine Farbe. Man kann auch
sagen: Begriff & Gegenstand: das ist Prädikat
& Subject. Und die
Subjekt--Prädikat Form ist eine
Ausdrucksform
Wie nun die Physik von Körpern der Erfahrung den Begriff des materiellen Punktes abgezogen hat, ähnlich hat man von der Subjekt-Prädikat Form unserer Sprachen die Subjekt-Prädikat Form der Logik abgezogen. Die reine S.-P. Form soll nun a ε f(x) sein wo „a” der Name eines Gegenstandes ist. Sehen wir uns nun um nach einer Anwendung dieses Schemas um. Bei „Name eines Gegenstandes” denkt man zuerst an Namen von Personen & ˇandern räumlichen Gegenständen (der Diamant Koh i Noor). So ein Name wird dem Ding durch eine hinweisende Erklärung gegeben („das↗
Geben wir räumlichen Gegenständen Namen, so beruht unsere gilt für die Verwendung dieser Namen auf einem Kriterium der Identität das die Kontinuität der Bewegung einesde[s|r] Körpers & ihre Undurchdringlichkeit zur Voraussetzung hat. Könnte ich also mit zwei Körpern ˇA & B das tun, was ich mit ihren Schattenbildern an der Wand tun kann, aus ihnen [e|E]ins machen & aus dem [e|E]inen wieder zwei, so wäre die Frage [S|s]innlos welcher von den beiden nach der Trennung A & welcher B ist. Es sei denn daß ich nun ein ganz neues Kriterium der Identität einführe, etwa die Form ihrer Bahn ([F|f]ür den Namen eines Flusses der aus dem Zusammenfluß zweier Flüsse entsteht gibt es so eine Regel): der Fluß der nach dem Zusammen der resultierende Fluß erhält den Namen desjenigen Quellflusses in dessen Richtung
|
|
Gehen wir nun zur Schreibweise
„(∃x) ∙ fx”
über, so ist klar daß diese eine Sublimierung der
Ausdrucksform unserer Sprache ist: „es gibt Menschen
auf
Es hat also auf den Satz „(∃x) ∙ fx” nicht in allen Fällen die Frage einen Sinn „welche x befriedigen f”. „Welcher rote Kreis vom Durchmesser 1 cm befindet sich in der Mitte dieses Vierecks?”. Man darf übrigens die Frage „welcher Gegenstand befriedigt f?” nicht mit der Frage verwechseln „was für ein Gegenstand etc.?” Auf die erste Frage müßte ein Name zur Antwort kommen, die Antwort müßte also die Form „f(a)” annehmen können; auf die Frage „was für ein … ” |
| Wenn man fragt: „was heißt denn
ˇdann
‚5 + 7 =
12’ – was für ein Sinn oder Zweck bleibt
denn, noch f nach Ausschaltung der Tautologien
etc noch für diesen
Ausdruck, nachdem man die Tautologien etc
aus dem arithmetischen Kalkül
|
|
Keine Untersuchung der Begriffe, nur die Einsicht in den
Zahlenkalkül kann vermitteln daß
3 + 2 =
5 ist. Das ist es, was sich in uns auflehnt gegen
den Gedanken, die Tautologie daß „(∃3x) φx ∙ (∃2x) ψx ∙ Ind. ⊃ (∃5x) φx ⌵ ψx” der Satz 3 + 2 = 5 sein könnte. Denn das, wodurch wir diesen Ausdruck als Tautologie erkennen, kann sich selbst nicht aus einer Betrachtung von Begriffen |
| Was die Zahlen
sind? – Die Bedeutungen der Zahlzeichen; &
nun diese
Be Untersuchung dieser Bedeutung ist
die Untersuchung der Grammatik der Zahlzeichen.
|
| Wir suchen nicht nach einer
Definition des Zahl-Begriffs, sondern nach einer
Klärung der Grammatik des Wortes „Zahl”
& der Zahlwörter. [ , sondern versuchen eine
Darlegung der Grammatik des Wortes „Zahl” &
der Zahlwörter. ] |
|
Messen einer Länge im Gesichtsfeld durch
[a|A]nlegen eines visuellen Maßstabes.
D.i., eines Stabes der ˇdurch
Teilstriche in gleiche Teile geteilt ist. Es gibt hier
eine Messung die darin besteht, daß der Maßstab ˇan zwei
Längen angelegt wird. Und zwar können
2 Maßstäbe je einer an eine Länge
angelegt werden & das Kriterium für die Gleichheit
der Maßeinheit ist daß die Einheiten gleich lang
aussehen. Es kann aber auch ein Maßstab von einer
|
| 21. Teilbarkeit. Unendliche
Teilbarkeit. Die unendliche Teilbarkeit der Euklidischen Strecke besteht in der Regel ˇ(Festsetzung), daß es Sinn hat von einem n-ten Teil jedes Teils zu sprechen. Spricht man aber von
Ich würde also sagen „a
|
|
Gibt es nun für die Teilbarkeit des Streifens im Gesichtsraum
eine Grenze? Nun – das kann ich festsetzen wie ich
will. – Das heißt: ich kann ein Zeichensystem
mit begrenzter Teilbarkeit oder eins mit unbegrenzter
Teilbarkeit einführen – nur kann ich natürlich die
Tatsachen nicht kommandieren & muß sie dann mit dem
von mir festgesetzten Zeichensystem entsprechend beschreiben.
Wenn also meine Vorstellung
Wenn ich also sagte „wir suchen nach einer Regel, die einer gewissen Realität entspricht”, so liegt die Entsprechung in der Einfachheit & leichten Verständlichkeit der Darstellung. Die Regel wird durch die Tatsachen nur insofern gerechtfertigt, als die zweckmäßige Wahl eines Koordinatensystems durch ihre Anwendung auf eine Kurve gerechtfertigt wird die sich in dem System besonders einfach darstellen läßt. |
| Es ist möglich im Gesichtsfeld zwei
gleich lange (d.h. gleichlang gesehene)
Strecken zu sehen deren jede ˇetwa durch Farbgrenzen in
mehrere Teile gleiche Teile geteilt ist & beim Zählen
dieser Teile herauszufinden daß ihre Anzahlen ungleich
sind. Wie ist es nun mit
|
| Verschiedene
Bedeutungen der Wörter „verschwommen”,
„unklar”. |
|
Wenn das Kriterium dafür daß
p aus q folgt darin besteht daß
man „beim Denken von q
p mitdenkt”, so denkt man wohl beim
Denken des Satzes „in dieser Kiste sind
10⁵ Sandkörner” die
10⁵ Sätze „in dieser
Kiste ist ein Sandkorn”, „… 2
Sandkörner” etc.
etc.? Was ist denn hier das Kriterium des
Mitdenkens! Und wie ist es mit
|
| Wenn wir
die Bedeutungen der Worter Ausdrücke „gleichlang” &
anderer
|
|
π' ist eine Regel zur
Erzeugung von Dezimalbrüchen und zwar ist die Entwicklung
von π' dieselbe wie die von
π außer wenn in der Entwickelung
von π eine Gruppe 777 vorkommt; in
diesem Falle tritt statt jeder 7 der drei dieser
Gruppe die Gruppe 000. Unser Kalkül kennt keine
Methode um zu finden wo wir in der Entwickelung von
π auf so eine Gruppe
stoßen. P ist eine endlose Regel zur Erzeugung F ist eine Regel zur Erzeugung von Dualbruchen. Ob [a|A]n der n ten Stelle ˇsteht eine 0 steht außer dann wenn ein Zahlentrippel x, y, z aus den ersten 100 Kardinalzahlen die Gleichung xn + yn = zn löst. |
|
Man möchte sagen, die einzelnen Ziffern der Entwickelung
(von π
z.B.) sind immer nur die Resultate, die Rinde
des fertigen Baumes. Das worauf es ankommt, oder
woraus noch etwas Neues wachsen kann, ist im Innern des Stammes, wo
die Triebkräfte sind. Eine Änderung des
Äußeren ändert den Baum überhaupt
nicht. Um ihn zu ändern muß man in den noch
lebenden Stamm gehen. |
| Ich
nenne „πn” die
Entwickelung von π bis zur
n-ten Stelle. Dann kann ich sagen:
was ◇◇◇ welche Zahl
π'100 heißt
ist, verstehe ich, nicht aber π', weil
π ja gar keine Stellen hat, ich
also auch keine durch andere ersetzen kann. [ welche
Zahl π'100
22.
das was ich oben definiert habe; es hat eine andere Grammatik, als die
von mir angenommene. In unserm Kalkül gibt es keine
Frage ob π ⋝ π' ist
oder nicht & keine solche Gleichung oder Ungleichung.
π' ist mit
π unvergleichbar. Und
zwar kann man nun nicht sagen
„noch”
unvergleichbar”, denn sollte ich einmal etwas
π' Ähnliches konstruieren das mit
π vergleichbar ist dann wird das
eben darum nicht mehr π' sein. Denn
π' sowie
π sind ja Bezeichnungen für
ein Spiel & ich kann nicht sagen das Damespiel sei noch
nicht dasselbe wie das werde noch mit wenigen Steinen
gespielt als das Schach da es sich ja einmal zu einem Spiel mit 16
Steinen entwickeln könne. Dann wird es nicht mehr das
Dauers sein was wir
„Damespiel” nennen. (Es sei denn
daß ich mit diesem Wort ˇgar nicht ein Spiel bezeichne
sondern etwa eine Charakteristik mehrerer
Spiele)⌊;⌋ & auch diesen Nachsatz kann
man auf π' & π
anwenden.) Da es nun ein
Hauptcharakteristicum einer Zahl ist, mit andern
Zahlen vergleichbar zu sein so ist die Frage ob man
π' eine Zahl nennen soll & ob eine
reelle Zahl; wie immer man es aber nennt, so ist
|
| Es zeigt sich hier
klar, daß die Möglichkeit der
Dezimalentwicklung π' nicht zu einer Zahl im
Sinne von π macht.
Die Regel für diese Entwicklung ist natürlich
eindeutig so eindeutig wie die für π oder √2 aber das
ist kein Argument dafür daß π' eine reelle Zahl
ist, wenn man die Vergleichbarkeit mit andern reellen Zahlen
für ein wesentliches Merkmal der reellen Zahl
nimmt. Man kann ja auch von dem Unterschied
zwischen den rationalen & den irrationalen Zahlen
◇◇◇ abstrahieren, aber ◇◇◇ der Unterschied
verschwindet doch dadurch nicht. Daß
π' eine eindeutige Regel zur
Entwickelung von Dezimalbrüchen ist
|
| „Wie
weit muß ich π entwickeln um es
einigermaßen zu kennen?” – Das heißt
natürlich nichts. Wir kennen es ˇalso schon
ohne es überhaupt zu entwickeln. Und, in diesem Sinne,
könnte man sagen, kenne ich π' gar nicht.
Hier zeigt sich natürlich nur ˇganz
deutlich, daß π' einem ganz anderen
System angehört als π,
was & das erkennt man wenn man statt „die
Entwicklungen” der beiden zu vergleichen die Art der Gesetze
allein ins Auge faßt. |
| Zwei mathematische Gebilde deren eines ich in meinem
Kalkül mit jeder rationalen Zahl vergleichen kann, das andere
nicht, – sind nicht Zahlen im gleichen Sinne des Wortes.
Der Vergleich der Zahl mit einem Punkt auf der Zahlgeraden ist nur
stichhältig wenn man für je zwei Zahlen
ˇa & b sagen kann ob a rechts von
b oder b rechts von a liegt.
|
| Zu
sagen „zwei reelle Zahlen sind identisch, wenn sie in
allen Stellen ihrer Entwicklung
übereinstimmen”, hat nur dann Sinn wenn ich dem Ausdruck
„in allen Stellen übereinstimmen” durch eine
Methode diese Übereinstimmung festzustellen einen Sinn
gegeben habe. Und das Gleiche gilt natürlich
für den Satz „sie stimmen nicht überein wenn sie an
irgend einer Stelle nicht
übereinstimmen”. |
|
Könnte man aber nicht auch umgekehrt π' als das
Ursprüngliche & also ˇals den zuerst angenommenen
Punkt betrachten & dann über die Berechtigung von
π im Zweifel sein? – Was ihre Extensionen betrifft sind sie natürlich
gleichberechtigt; was uns aber dazu
veranlaßt hat
π einen Punkt auf der Zahlengeraden
zu nennen, ist seine Vergleichbarkeit mit den
[r|R]ationalzahlen. |
|
Wenn ich π, oder sagen wir
√2, als Regel zur Erzeugung von
Dezimalbrüchen auffasse, so kann ich natürlich eine
Modifikation dieser Regel erzeugen indem ich sage es solle jede
7 in der Entwicklung von √2 durch eine 5 ersetzt
werden; aber diese
|
| Durch die falsche Auffassung des Wortes
„unendlich” & der Rolle der
„unendlichen Entwicklung” in der Arithmetik der
reellen Zahlen wird man zu der Meinung verführt, es gäbe
eine einheitliche Notation der irrationalen Zahlen
(nämlich eben die der unendlichen
Extension) z.B. der unendlichen
Dezimalbrüche). Dadurch, daß man bewiesen hat, daß (
|
| Gebe ich eine Regel ρ zur Bildung von
Extensionen an, aber so, daß ich mein Kalkül kein
Mittel kennt vorherzusagen, wie oft sich eine
[S|s]cheinbare Periode der Extension
höchstens wiederholen kann, kann ist
ρ
|
|
Es wäre eine gute Frage für die Scholastiker
gewesen: „kann Gott alle
Stellen von π
kennen”. |
| Es tritt
uns bei diesen Überlegungen immer wieder etwas entgegen was man
„arithmetisches Experiment” nennen
möchte. Was herauskommt ist zwar durch das Gegebene
bestimmt, aber |
| Die Kinder lernen in der Schule wohl
2 × 2 =
4 aber nicht
2 = 2.
|
| Die Allgemeinheit in der
(Kardinal)[a|A]rithmetik wird durch die Induktion
dargestellt. Die Induktion ist der Ausdruck der
arithmetischen Allgemeinheit. |
| Wogegen ich mich wehre, ist die Anschauung, daß
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Hat es keinen
Sinn, auch dann wenn der Fermatsche Satz bewiesen ist, zu sagen F =
0˙11? (Wenn ich etwa in der
Zeitung davon läse.) Ja, ich werde dann
sagen: „nun „können wir also
schreiben ‚F =
0˙11’”
D.h. es liegt nahe das Zeichen
„F” aus dem |
| 23. F wäre ja eine Zahl, von der wir nicht
wüßten ob sie rational oder irrational ist. Denken
wir uns einige Zahl von der wir nicht wüßten ob sie
eine Kardinalzahl oder eine Rationalzahl ist. –
Eine Beschreibung im Kalkül gilt eben nur, so viel
als als dieser bestimmte Wortlaut & hat
nichts mit einem Gegenstand ˇder Beschreibung zu tun, der
vielleicht einmal gefunden werden wird⌊.⌋ & der
Beschreibung genügt. |
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Man könnte – wie gesagt – den Induktionsbeweis
ganz ohne die Benützung von Buchstaben (mit
voller Strenge) anschreiben. Die rekursive
Definition a + (b + 1) =
(a + b)1 müßte dann als
Definitionsreihe geschrieben werden. Diese Reihe
verbirgt sich nämlich in der Erklärung ihres
Gebrauchs. Man kann natürlich auch der
Bequemlichkeit halber die Buchstaben ˇin der Definition
beibehalten muß sich aber dann in der Erklärung auf ein
Zeichen der Art „1, (1) + 1,
((1) + 1) + 1,
u.s.w.” beziehen; oder, was auf
dasselbe hinausläuft „[1, ξ, ξ + 1]”.
Hier darf man aber nicht etwa glauben, daß dieses Zeichen
eigentlich lauten sollte „(ξ) ∙ [1, ξ, ξ + 1]”! – Natürlich Natürlich ist die sogenannte „rekursive Definition” keine Definition im hergebrachten Sinne des Worts, weil keine Gleichung. Denn die Gleichung „a + (b + 1) = (a + b) + 1” ist nur ein Bestandteil von ihr. Noch ist sie das logische Produkt von Gleichungen. Sie ist vielmehr ein Gesetz wonach Gleichungen gebildet werden; wie [1, ξ, ξ + 1] keine Zahl ist sondern ein Gesetz etc.. (Das
Anderseits ist die Allgemeinheit dieser Regel keine andere als die der ˇperiodischen Division
Und vergessen wir nicht: Das Zeichen „[1, ξ, ξ + 1] … N interessiert uns nicht als ein suggestiver Ausdruck des allgemeinen Gliedes der Kardinalzahlenreihe, sondern nur, sofern es mit analog gebauten Zeichen in Gegensatz tritt: N im Gegensatz zu, etwa, [2, ξ, ξ + 3]; kurz als Zeichen, als Instrument, in einem Kalkül. Und das Gleiche gilt
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1 + (1 + 1)
= (1 + 1) + 1,
2 + (1 + 1)
= (2 + 1) + 1,
3 + (1 + 1)
= (3 + 1) + 1,
4 …
u.s.w.
1 + (2 + 1) = (1 + 2) + 1, 2 + (2 + 1) = (2 + 2) + 1, 3 + (2 + 1) = (3 + 2) + 1, … u.s.w. 1 + (3 + 1) = (1 + 3) + 1, 2 + (3 + 1) = (2 + 3) + 1, 3 + (3 + 1) = (3 + 3) + 1, … u.s.w. ‒ ‒ ‒ u.s.w. ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ So könnte man die Regel „a + (b + 1) = (a + b) + 1” anschreiben. |
| Vielleicht wird die Sache klarer,
wenn man als Additionsregel statt der rekursiven Regel
„a + (b + 1) =
(a + b) + 1” folgende gibt:
a + (1 + 1) = (a + 1) + 1 a + ((1 + 1) + 1) = ((a + 1) + 1) + 1 a + (((1 + 1) + 1) + 1) = (((a + 1) + 1) + 1) + 1 ‒ ‒ ‒ u.s.w. ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ Wir schreiben
a + (
a + (ξ + 1) = (a + ξ) + 1 ‒ ‒ ‒ R a + ((ξ + 1) + 1) = ((a + ξ) + 1) + 1 |
| Dann entspricht der Regel
„a + (b + 1) =
(a + b) + 1” jetzt folgende
Induktion: die Form5 a + (1 + 1) = (a + 1) + 1 a + (ξ + 1) = (a + ξ) + 1 ‒ ‒ ‒ S a + ((ξ + 1) + 1) = ((a + ξ) + 1) + 1(Ƒ) der Regel R. |
| In der Anwendung der Regel R,
Das Zeichen einer Regel ist ein Zeichen eines Kalküls wie jedes andere; seine Aufgabe ist nicht suggestiv (auf eine Anwendung hin) zu wirken, sondern im Kalkül regelmäßig (
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| Was ist nun der
Gegensatz eines allgemeinen
Denken wir uns nun den allgemeinen Satz als Reihe geschrieben p11, p12, p13, … p21, p22, p23, … p31, p32, p33, … ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ & verneint. Wenn wir ihn als (x)f(x) auffassen, so
Daß man die Zahlenreihe durch die Regel laufen läßt, ist eine gegebene Form; darüber wird nichts behauptet & kann nichts verneint werden. Ich möchte sagen: [d|D]as Durchleiten des Zahlenstromes ist ja nichts wovon ich sagen kann, ich könne es beweisen. Beweisen kann ich nur etwas über die Form, (den Model), durch den ich den Zahlenstrom leite. Kann man nun nicht sagen, daß die ˇallgemeine Zahlen[R|r]egel a + (b + c) = (a + b) + c (A) eben die Allgemeinheit hat wie a + (1 + 1) = (a + 1) + 1 (indem diese für jede Kardinalzahl, jene für jedes Kardinalzahlentrippel gilt); & daß der
Rechtfertigt
„1
P
A ist eine vollständig vollkommen verständliche Regel; so wie die ErsetzungsRegel P. „schreibe eine Dezimalzahl die aus 3 Eine solche Regel kann ich aber darum nicht geben weil ich die einzelnen Fälle von A schon durch eine andere Regel berechnen kann, wie ich P nicht als Regel geben kann wenn ich eine Regel gegeben habe mit der ich 1
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Darum kann ich nur sagen
„25 × 25
= 625 wird bewiesen”, wenn die Beweismethode
fixiert ist, unabhängig von dem speziellen Beweis.
Denn diese Methode bestimmt erst die Bedeutung von
„ξ × η”, also,
was bewiesen Die Arithmetik ist ohne eine Regel A vollständig,
Nun ist die Festsetzung P verschieden vom Satz „1 : 3 = 0˙3̇ ” & insofern (in diesem Sinne istc) ◇◇◇ „a + (b + ċ ) = (a + b) + ċ ” verschieden von einer Regel (Festsetzung) A. ˇDie beiden gehören andern Kalkülen an. Der rekursive Beweis von A ist nur insofern ˇein Beweis, ˇich meine, man kann ihn nur insofern den Beweis einer Regel nennen einer allgemeinen Regel – ◇◇◇ er hat nur insofern eine beweisende Beziehung zu A als allgemeiner arithmetischer Ersetzungsregel – als er die ˇallgemeine Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist. [ Der Beweis einer Regel ist der Beweis von A nur insofern als er die Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist. ] [ Der Beweis einer allgemeinen Ersetzungsregel A ist der re[c|k]ursive Beweis nur insofern als er … ] [ Der Beweis, die Rechtfertigung, einer Ersetzungsregel A ist |
| Die Periodizität ist nicht das Anzeichen
(Symptom) dafür, daß es so weiter geht, aber der
Ausdruck „so geht es immer weiter” ist nur eine
Übersetzung in eine andere Ausdrucksweise
de[s|r] Zeichens Periodizität
des Zeichens [ des periodischen
Zeichens ] . (Gäbe es außer dem
[P|p]eriodischen Zeichen noch etwas wofür
jenes Zeichen die
Periodizität nur ein Symptom ist, so müßte
dieses Etwas seinen spezifischen Ausdruck haben, der nichts
anderes wäre, als der vollständige Ausdruck dieses
Etwas.) ¥ • |
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Eigentlich hat ja schon Russell durch seine
„Theorie of
descriptions” gezeigt, daß man sich nicht eine
Kenntnis der Dinge von hinten herum erschleichen kann,
& daß es nur scheinen kann, als wüßten
wie von den Dingen mehr, als sie uns auf geradem Weg geoffenbart
haben. Aber er hat durch
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| Warum ich
sage, daß wir eine[m|n] Satz wie de[m|n]
Hauptsatz der Algebra nicht finden, sondern konstruieren? – Weil wir ihm beim Beweis einen neuen Sinn geben, den er
früher noch gar nicht gehabt hat. Für
diesen Sinn gab es vor dem sogenannten Beweis nur eine beiläufige
Vorlage in der Wortsprache. |
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Wenn durch Entdeckungen die ein
Kalküle der Mathematik geändert
w[e|i]rden, können wir d[ie|en] alten
Kalküle nicht behalten (aufheben)?
(D.h., müssen wir ihn
wegwerfen?) Das ist ein sehr interessanter
Aspekt. Wir haben nach der Entdeckung des
Nordpols nicht zwei Erden: eine mit, &
eine ohne den Nordpol. Aber nach der Entdeckung
des Gesetzes der Verteilung der Primzahlen, zwei Arten von
Primzahlen. |
| Denken wir
Einer würde sagen, das Schachspiel,
mußte nur entdeckt werden, es war immer da!
Oder das reine Schachspiel war immer da, nur das
materielle von Materie verunreinigte, haben wir gemacht. |
| Messung des Raumes & des
räumlichen räumlichen
Gegenstandes. Das [s|S]eltsame am leeren Raum
& an der leeren Zeit. Die Zeit (& der
Raum) ein [ae|ä]therischer Stoff.
„Was ist die Zeit?” – schon in der Frage liegt der Irrtum: als wäre die Frage: woraus, aus welchem Stoff, ist die Zeit gemacht. Wie man etwa fragt, woraus ist dieses feine Kleid gemacht. |
| „Ergibt die Operationˇ,
z.B., eine rationale Zahl” –
wie kann das gefragt werden, wenn man keine Methode zur
Entscheidung der Frage hat[,|?] denn die Operation
ergibt doch nur im festgesetzten Kalkül. Ich
meine: „ergibt” ist doch wesentlich
pr[ae|ä]sens zeitlos. Es heißt doch nicht:
„ergibt mit der Zeit[,|!] – sondern,
ergibt nach der gegenwärtigen Regel. [ … nach der jetzt bekannten, festgelegten,
Regel. ] |
| Die alles
gleich machende Gewalt der Sprache, die sich am krassesten im
Wörterbuch zeigt, & die es möglich macht, daß die
Zeit personifiziert werden konnte; was nicht weniger
merkwürdig ist, als es wäre, wenn wir Gottheiten der
logischen Constanten hätten. |
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Die philosophische Klarheit wird auf das
Wachstum der Mathematik den Wie es sich nun mit derjenigen Allgemeinheit verhält in der Mathematik verhält,
|
| Denken wir
uns jemand stellte sich
|
| „Er sagt das, & meint
es”: Vergleiche das ˇeinerseits mit:
„er sagt das, & schreibt es
nieder”; einerseits anderseits mit:
„er sagt das & unterschreibt
es”. |
| Der
Glaube, daß mich das Feuer brennen wird, ist von der Natur der
Furcht, daß es mich brennen wird. |
| Wenn man mich in's Feuer zöge, so
würde ich mich wehren & nicht gutwillig gehen; &
ebenso würde ich schreien: „das Feuer wird mich
brennen!” & ich würde nicht schreien:
„vielleicht wird es ganz angenehm sein!”
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| Ich kalkuliere so, weil
ich nicht anders kalkulieren kann. (Ich glaube
das, weil ich nichts andres glauben kann.) 6
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1) Continuation from Ms-112,136r.
2) See facsimile; line connecting this sentence with the following one.
3) See facsimile; line connecting this sentence with the following one.
4) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
5) Deleted formulas.
6) Continuation in Ms-114,1v.
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BOXVIEW: http://wittgensteinsource.com/BTE/Ms-113_d